2016年淮南市第一中学(淮南一中)高中自主招生考试数学测试真题试题卷

2016年淮南一中自主招生数学卷第 1 页2016年淮南一中高中自主招生考试 综合能力测试科学素养卷数学试题卷数学试题（80分）一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1．,00,,,><∈b a R c b a 且设则下列不等式一定成立的是( ).A 22b a < .B 22bc ac > .C ba 11> .D a b a 11>-2．抛物线2ax y =与直线1=x ，,3=x 1=y ，,2=y 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 191≤≤a .B 291≤≤a .C 131≤≤a .D 231≤≤a 3．的值是则是正有理数，且若a a a a b b b b a b ---=+>,321( ).A 22 .B 3 .C 10 D.324．若)201611)(201511)...(411)(311)(211(22222-----=S ,则S 的值为( ) .A 20162013 .B 20162015 .C 40322015 .D 40322017二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5．的值为有唯一实数解，则的方程若关于a x ax x 0342=-+ .6．已知1223=++c b a ，且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23 .7． 已知函数322--=x x y ，则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为 .8．如图,AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 的长分别是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin .2016年淮南一中自主招生数学卷第 2 页三、解答题（共4题，满分48分）9．（10分）已知ABC ∆的两边,AB AC 的长是关于x 的一元二次方程065)52(22=++++-k k k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）k 为何值时，ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，ABC ∆是等腰三角形，并求ABC ∆的周长．10．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=2，BC=3，tan ∠ADC=3.⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论．11．（12分）淮南市春苗中学初三年级欲在“五一”期间到上海开展研学活动，青春旅行社现有42座和48座两种客车供选择租用，若只租用42座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过36人；已知42座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少学生参加此次研学活动？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．12．（14分）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点)8,0(-C ，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若a b 2=，6=AB求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称， 问直线BD 是否经过圆心P ？并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另一点E ，求点E 的坐标．CM ByxDE O AP2016年淮南一中自主招生数学卷第 3 页。

高中自主招生考试数学试卷1、试卷分试题卷和答题卷两部分。

满分为100分，考试时间为70分钟。

2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。

3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．32．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．313-B ．33C ．314-D ．123．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的41，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

6．下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦B ．②④⑧C ．②⑥⑧D ．②⑤⑥7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：欲购买的 商品原价（元）优惠方式一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券ABC DB 'D 'C '请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）A ． 500元B ． 600元C ． 700元D ． 800元 8．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）二、填空题：（每题6分，共30分）9. 若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实数范围内无解，则实数=a _____. 10．三角形的两边长为4cm 和7cm ，则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2. 11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*，若444=*x ，则x 的值是________．12．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。

2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．（5分）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m＝0B．m＝1C．x＝0D．x＝14．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．（5分）经过抛物线y＝x2的焦点和双曲线﹣＝1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3＝0B．x+80y﹣5＝0C．x+3y﹣3＝0D．x+5y﹣5＝0 6．（5分）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．（5分）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．9．（5分）已知{a n}中，，且{a n}是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）10．（5分）椭圆C：+＝1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线P A2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1] 11．（5分）如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．二、填空题13．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，当α最小时，此时点P坐标为．14．（5分）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，则直线l的方程为．15．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．16．（5分）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x+1对称，且f （﹣3）+f（﹣7）＝1，则a的值为．三.解答题17．（12分）在△ABC中，B＝，AC＝，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．18．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B＝AC＝5，AA1＝BC＝13，且AB＝12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．20．（12分）已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．四.选做题，以下三题任选一题22．（10分）已知函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++＝，求||；（Ⅱ）设＝m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．2016年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：＝，则复数的虚部是1，故选：C．2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，则满足条件的A的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵U＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，且A∩B＝{1，2}，∴满足条件的A可能为{1，2}，{1，2，4}共2个，故选：B．3．（5分）下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是（）A．m＝0B．m＝1C．x＝0D．x＝1【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m＝1．故选：B．4．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【解答】解：由函数的图象可知T＝＝π，ω＝＝2．x＝时，y＝2，可得：2sin（2×+φ）＝2，由五点法作图可知φ＝﹣．故选：A．5．（5分）经过抛物线y＝x2的焦点和双曲线﹣＝1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3＝0B．x+80y﹣5＝0C．x+3y﹣3＝0D．x+5y﹣5＝0【解答】解：抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），双曲线﹣＝1的右焦点的坐标为（5，0），∴所求直线方程为即x+5y﹣5＝0．故选：D．6．（5分）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由题意可知：a＝log32∈（0，1），b＝log52∈（0，1），c＝log23＞1，所以a＝log32，b＝log52＝，所以c＞a＞b，故选：C．7．（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．8．（5分）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1C．D．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB＝π，AD＝2问题转化为在CD 上找一点Q使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．9．（5分）已知{a n}中，，且{a n}是递增数列，则实数的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴∀n∈N*，a n+1＞a n，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，λ＞﹣（2n+1），∴λ＞﹣3．故选：C．10．（5分）椭圆C：+＝1的左，右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线P A2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]【解答】解：由椭圆C：+＝1可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则得＝﹣．∵＝，＝kP A 1＝，∴＝•＝＝﹣．∵直线P A 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]， ∴直线P A 1斜率的取值范围是[，] 故选：A ．11．（5分）如图，是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥（底面直角三角形的直角边为2和2，高为1）；，再截去一个三棱柱（底面直角三角形的直角边为2和2，高为2）而得到，其直观图如图所示，∴该多面体的体积为：2×2×2﹣2×﹣2×（2××）＝．故选：B ．12．（5分）设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy +4y 2﹣z ＝0，则当取得最小值时，x +2y ﹣z 的最大值为（ ）A．0B．C．2D．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴＝+﹣3≥2﹣3＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），即x＝2y（y＞0），∴x+2y﹣z＝2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）＝4y﹣2y2＝﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二、填空题13．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．14．（5分）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，则直线l的方程为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21＝0的圆心为（0，﹣2），半径r＝＝5，当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣3，联立，得或，∴直线l：x＝﹣3被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x+3）﹣3，圆心（0，﹣2）到直线y＝k（x+3）﹣3的距离d＝＝，∵过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21＝0所截得的弦长为8，∴由勾股定理得：，即25＝+16，解得k＝﹣，∴直线l：，整理，得：4x+3y+21＝0．综上直线l的方程为：4x+3y+21＝0或x＝﹣3．故答案为：4x+3y+21＝0或x＝﹣3．15．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，所以不等式f（1﹣m）＜f（m）等价于：f（|1﹣m|）＜f（|m|），因为f（x）在[﹣2，0]上为增函数，所以，解得﹣1≤m＜，即m的取值范围是，故答案为：．16．（5分）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x+1对称，且f （﹣3）+f（﹣7）＝1，则a的值为2．【解答】解：设函数y＝f（x）的任意点的坐标为（x，y），关于y＝﹣x+1对称点的坐标（m，n），则（m，n）在y＝2x+a的图象上，，解得m＝1﹣y，n＝1﹣x，代入y＝2x+a可得：1﹣x＝21﹣y+a，即：y＝log2（1﹣x）﹣a﹣1，函数y＝f（x）＝log2（1﹣x）﹣a﹣1，∵f（﹣3）+f（﹣7）＝1，∴log24﹣a﹣1+log28﹣a﹣1＝1，解得，a＝2，故答案为：2．三.解答题17．（12分）在△ABC中，B＝，AC＝，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．【解答】（本题满分为12分）解：∵B＝，AC＝，∴在△ABC中，根据＝＝，得AB＝•sin C＝sin C＝2sin C，∴同理BC＝2sin A，∴AB+BC＝2sin C+2sin A，…（4分）＝2sin C+2sin（π﹣C）＝，…（8分）当C＝，可得AB+BC的最大值为，…（10分）取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…（12分）18．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4＝0．解得d＝﹣1或d＝4．当d＝﹣1时，a n＝a1+（n﹣1）d＝10﹣（n﹣1）＝﹣n+11．当d＝4时，a n＝a1+（n﹣1）d＝10+4（n﹣1）＝4n+6．所以a n＝﹣n+11或a n＝4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d＝﹣1，a n＝﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝﹣S n+2S11＝．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B＝AC＝5，AA1＝BC＝13，且AB＝12．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小．【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2，∴AC⊥AB，…（2分）又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，..…（4分）又AC⊂平面ACC1A1，∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1．…（5分）解：（2）在△ABC中，∵，∴A1B⊥AB，又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A1B⊥面ABC，…（7分）∴以B为原点，BA为x轴，在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴，BA1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（12，0，0），C（12，5，0），A1（0，0，5），由，得B1（﹣12，0，5），…（8分）取平面ABB1A1的一个法向量＝（0，1，0），设平面BCC1B1的一个法向量，由，得取x＝5，则…（10分）∴cos＜＞＝＝﹣，设A﹣BB1﹣C的大小为θ，则，．∴二面角A﹣BB1﹣C的正切值的大小为…（12分）20．（12分）已知点A（2，0），椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的上焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于点P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（1）由e＝，可得：，即，设F（0，c），则，，又a2﹣b2＝c2＝3，∴a2＝4，b2＝1，∴E的方程是；（2）设l的方程为x＝my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（4m2+1）y2+16my+12＝0，y1+y2＝﹣，y1y2＝，△＝（16m）2﹣4×12×（4m2+1）＝16（4m2﹣3）＞0，＝，令，则，而当且仅当t＝2，≤1．即时等号成立，此时S△OPQ∴当△OPQ的面积最大时，求l的方程为，即．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1的导数为f′（x）＝lnx﹣2a（x﹣1），当时，f′（x）＝lnx﹣（x﹣1），令g（x）＝lnx﹣（x﹣1），则．x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0．∴g（x）≤g（1）＝0，即f′（x）≤0（只在x＝1处取等号）∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；（2）f′（x）＝lnx﹣2a（x﹣1），令f′（x）＝0，则lnx＝2a（x﹣1）且函数lnx在x＝1处的切线为y＝x﹣1，由（1）知，时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）＝0，∴f（x）≤0，合题意；当a＞时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）＝0，∴f（x）≤0，合题意；当0＜a＜时，数形结合知，∃x0＞1，使得f′（x0）＝0．即x∈（1，x0）时f′（x）＞0，f（x）在（1，x0）上单增，f（x）＞f（1）＝0，不合题意；当a≤0时，数形结合知，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单增，f（x）＞f（1）＝0，不合题意．综上，若x∈[1，+∞）时恒有f（x）≤0，则a的取值范围是．四.选做题，以下三题任选一题22．（10分）已知函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+＝sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）＝sin（2x﹣2φ）﹣cos（2x﹣2φ）＝sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ＝kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ＝∴f（x）＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x∴函数的最小正周期T＝＝π令2x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）＝﹣sin2x由题意知g（x）＝﹣sin[2（x﹣）]＝﹣sin（2x﹣）令2x﹣＝kπ（k∈Z），则x＝+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．23．已知p：|1﹣|＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0；若￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：p：|1﹣|＜2即为p：﹣2＜x＜10，q：x2﹣2x+1﹣m2＜0即为（x﹣1）2＜m2，即q：1﹣|m|＜x＜1+|m|，又￢p是￢q的充分非必要条件，所以q是p的充分非必要，∴（两式不能同时取等）得到|m|≤3，满足题意，所以m的范围为[﹣3，3]．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++＝，求||；（Ⅱ）设＝m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++＝，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）＝0∴3x﹣6＝0，3y﹣6＝0∴x＝2，y＝2，即＝（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵＝m+n，∴（x，y）＝（m+2n，2m+n）∴x＝m+2n，y＝2m+n∴m﹣n＝y﹣x，令y﹣x＝t，由图知，当直线y＝x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．。

2016年高中部自主招生考试试题数学（试题卷）一．选择题（共6小题，每小题6分，共36分）1．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A．B．2C．﹣1 D．﹣22．已知，则的值为（）A．B．C．D．或13．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F 关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB=B．2BC=5CFC．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣2，0） C．（﹣4，0）或（﹣2，0）D．（﹣3，0）6．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似D．无法确定二．填空题（共4小题，每小题6分，共24分）7．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．8．如图，已知直线交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为，则t=s时⊙P与直线AB相切．9．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=．10．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3=．三．解答题（共5题，每题12分，共60分）11．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．试题图备用图12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣B﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D ﹣B﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．13．在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG⊥EF，交AB于点G，连接AE．（1）求证：△AGE是等腰三角形；（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．14．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．15．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH 的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016年高中部自主招生考试数学参考答案选择题1-6.ABABDB填空题7.﹣6、﹣8.或249.{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}10.1解答题11.（1）y=﹣x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0＜t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC=CM=BC时，M的坐标是：（0，），（0，﹣2）；当AM=BM=CM时，M的坐标是：（0，0），（0，）；一共四个点，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．∵GH∥OP∴即=，解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC==．即GE的长度不变．当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H．由AP=t，可得AE=．由即=，∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），∴2tGH=t（t﹣2），解得GH=，所以GC=GH=．于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=，即GE的长度不变．综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值．12.（1）令x=0，y=4，令y=0，则﹣x+4=0，解得x=3，所以，A（0，4），B（3，0），由勾股定理得，AB==5，BD==10，过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2，由勾股定理得，AD===，∵AB2=25，BD2=100，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形；（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11﹣x）2+62，解得x=，所以，C（，0）；（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，解得t=7.5，点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t，PQ===，点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t，重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t﹣5﹣10=2t﹣15，点Q在AB上时，10＜t≤15，PB=t﹣5，BQ=t﹣10，PQ===．13.（1）连AH，∵AH⊥EF，GE⊥EF，∴GE∥AH，∴∠GEA=∠EAH，∵AH=AB，AE=AE，∠ABE=∠AHB，∴△AHE≌△ABE，∴∠BAE=∠EAH，∴∠BAE=∠GEA，∴AG=EG，即△AGE是等腰三角形．（2）∵EH=EB=x，∴EC=1﹣x，CF=1﹣FD，∵FD=FH，∴EF=EH+HF=x+FD，在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2，∴（1﹣x）2+（1﹣FD）2=（x+FD）2，整理得，（1+x）FD=1﹣x，∴，∵∠B=∠C，又GE⊥EF，∴∠GEB=∠FEC，∴△GEB∽△EFC，∴，∴，∴（0＜x＜1）．（3）假设BC上存在一点E，能使GE=EF，则，∴，解得x=0或x=1，经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B，C点重合，故x≠0且x≠1，∴BC边上符合条件的E点不存在．14.（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE，又OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°；（2）∵AE=3，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，∴MB=MN=，连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴OB==，在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°==，∴BO=OC，∴OC=OB=，又OC+EC=OM=R，∴R=+3，整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5，则R=5；（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，∴FD=5，则C△EFD=5+10+5=15+5，由（2）可得C△COB=3+，∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，∴EG=5，则C△EFG=5+10+5=15+5，∴C△EFG：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．15.（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）①当m=0时，直线l：y=x．∵抛物线对称轴为x=1，∴CP=1．如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OM•CP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，∴S△OPH=．②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．假设存在满足条件的点P．a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a（0＜a≤4），则PD=3+a，PF=PD=（3+a）．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在；若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即（3+a）=a，解得a=3．∴P1（0，3）．b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，∴P2（7﹣4，4）c）∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K（，）．当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=（11﹣3a）．与a）同理，可求得：EF=．若PE=PF，则8﹣2a=（11﹣3a），解得a=1﹣2＜0，故此种情形不存在；若PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=•（11﹣3a），解得a=3，符合条件，此时P3（3，2）；若PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即（11﹣3a）=（8﹣2a），解得a=5＞，故此种情形不存在．d）当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PE、PF夹角为135°，∴只可能是PE=PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3）．又因为G（3，0），可求得直线MG的解析式为：y=（﹣1）x+3﹣3．联立直线MG：y=（﹣1）x+3﹣3与直线AB：y=﹣2x+8，可求得：P4（1+2，6﹣4）．e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7﹣4，4）、（1+2，6﹣4）．。

2014年淮南一中自主招生考试数学卷 第 1 页 2014年淮南市第一中学（淮南一中）自主招生数学测试试题卷 第二部分（科学素养120分）－－76分一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。

每小题只有一个正确选项）－－32分7. 计算)3(223x x -⋅的结果是（ ）A.56x -B.56xC. 512x -D.62x8．把2221y xy x -+-分解因式的结果是（ ）A ．)1(x 1y x y ---+）（B ．)1(x 1y x y -+++）（C ．)1(x 1y x y +--+）（D ．)1(x 1y x y --+-）（9. 如果一个样本的方差是])20()20()20[(12121222212-++-+-=x x x S ，将这组数据中的一个最小数9去掉，所得新数据的平均数为（ ）A.12B.15C.18D.2110. 如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为（ ） A ．518 B ．4 C ．521 D ．524二、填空题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）－－16分11. 若α、β是方程0201432=--x x 的两根，则βαα+-22=________________。

12. 如图，已知Rt △ABC 中，AC=3cm ，BC=4cm ，设⊙C 的半径为r cm ，若⊙C 与△ABC 的边有两个公共点，则半径r 的取值范围是___________。

13．计算：201420121861641421⨯++⨯+⨯+⨯的结果是_______________。

14. 已知AB 是半径为1的⊙O 的一条弦，且AB=a <1，以AB 为一边在⊙O 内作正△ABC ，点D 为⊙O 上不同于点A 的一点，且DB=AB=a ，DC 的延长线交⊙O 于点E ，则AE=________C B A FE D C B A E2014年淮南一中自主招生考试数学卷 第 2 页 19．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB 长为4米．（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈＝，73.13≈，24.25≈，45.26≈）24．（8分）分现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B′．求线段B′C 的长．25．（12分）如图，抛物线c bx x y ++=221与直线143:-=x y l 交于点A(4，2)、B （0，－1）。

2016年淮南一中自主招生试题数 学一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分）1.已知，且，，，00><∈b a R c b a 则下列不等式中一定成立的是( )A.22b a <B.22bc ac >C. b a 11>D. a b a 11>- 2.抛物线2ax y =与直线，，，，2131====y y x x 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围（ ）A.191≤≤a B.291≤≤a C.131≤≤a D. 231≤≤a3.若1>b 且a 是正有理数，，32=+-a a bb 则a a b b --的值是（ ） A ．22B ．3C ．10D ．32 4.若，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222201611...411311211S 则S 的值为（ ） A ． 20162013 B ．20162015 C ．40322015 D ． 40322017 二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分）5.若关于x 的方程0342=-+x ax 有唯一实数解，则a 的值为________.6.已知，1223=++c b a 且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23_________.7.已知函数，322--=x x y 则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为________8.如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin ________.三、解答题（共4题，满分48分）9.（10分）已知ABC ∆的两边AC AB 、的长是关于x 的一元二次方程()0655222=++++-k k x k x 两个实数根，第三边长为5。

（1）当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出此时△ABC 的周长．10.（12分）如图，在梯形ABCD 中，DC AB //，︒=∠90BCD ，且AB=2，BC=3，3tan =∠ADC .（1）求证：DC=BC ；（2）E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且，，BF DE FBC EDC =∠=∠试判断ECF ∆的形状，并证明你的结论。

2016年淮南市高三数学一模文科试题一、选择题1.已知全集{}1,2,3U =,{}1,2B =,且{}1A B ⋂=,则满足条件的A 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2．复数2＋i 1－2i的虚部是( )A ．1 B.－1 C ．－i D ．i 3. 下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（ ）A.0=mB.0=xC.1=xD.1=m4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来图形的形状是（ ）5. 经过抛物线x 2＝4 y 的焦点和双曲线x 217－y 28＝1的右焦点的直线方程为( )A ．x ＋48y －3＝0B ．x ＋80y －5＝0C ．x ＋3y －3＝0D ．x ＋5y －5＝06．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37. 数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2016等于( )A ．1008B ．2016C ．504D ．08．O 是平面上一定点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足(),AB AC OP OA ABACλ→→→→→→=++[)0,λ∈+∞则P 点的轨迹一定经过∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 9. 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )10. 设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A.B.13C.12D.11. 如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是（ ）A.B. 1π+C.; D.C 1B 1A 1CBA12.已知函数3()3f x x ax =-，若()f x 存在唯一的零点0x ，则a 的取值范围是（ ） A. (0,)+∞； B. [0,)+∞； C. (,0)-∞； D. (,0]-∞ 二、填空题13．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是 。

2016年淮南市高三数学一模文科试题1.已知全集{}1,2,3U =,{}1,2B =，且{}1A B ⋂=,则满足条件的A 的个数为（ ) A.0 B 。

1 C 。

2 D 。

32．复数错误!的虚部是 ( ）A ．1B 。

－1C ．－iD ．i3。

下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数x 的奇偶性：是 否其中判断框内的条件是（ )输入xx m =除以2的余数输出“x 是奇数” 开始 输出“x 是偶数”结束A．0=m B. 0=x C. 1=x D。

1=m 4。

用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是( )5。

经过抛物线x2＝4 y的焦点和双曲线错误!－错误!＝1的右焦点的直线方程为（)A．x＋48y－3＝0 B．x＋80y－5＝0C．x＋3y－3＝0 D．x＋5y－5＝06．函数f（x）＝2sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示,则ω，φ的值分别是（）A．2，－错误!B．2，－错误!C．4，－π6D．4，错误!7。

数列｛a n}的通项公式a n＝n cos错误!，其前n项和为S n,则S2016等于( )A．1008 B．2016(),ABAC OP OA ABACλ→→→→→→=++C ．504D ．08．O 是平面上一定点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足[)0,λ∈+∞ 则P 点的轨迹一定经过∆ABC的（ ）A 。

外心B 。

内心C 。

重心 D.垂心 9． 函数y=－x ·cosx 的部分图象是( ）10。

设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=,则C的离心率为（ )A 。

B.13C.12D 。

11。

如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭)，其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC A 处，内壁P 处有一粒米，（ ）A.B.1π+C 。

AB QO xyA B CE FO第一中学自主招生考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）1. 若M ＝3x 2－8xy ＋9y 2－4x ＋6y ＋13(x ，，y 是实数)，则M 的值一定是（ ）． （A ） 零 （B ） 负数 （C ） 正数 （D ）整数2.已知sin α＜cos α，那么锐角α的取值范围是 （ ）（A ）300 ＜α＜450 （B ） 00 ＜α＜450 （C ） 450 ＜α＜600 （D ） 00 ＜α＜900 3．已知实数a 满足2008a -2009a -a ，那么a －20082值是 （ ） （A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（ ）． A .43-（B ）6- （C ）43（D ）6 5.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是 图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．A .13- （B ）12- （C ）－1 （D ）－26.矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合， 设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）．A .73757375...881616B C D7．若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限（D ）第三、四象限8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么AC 的长等于( ) （A ） 12（B ） 16（C ） 3（D ） 82 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9.已知012=--x x ，那么代数式123+-x x 的值是_____．10.已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为______． 11.已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________． 12．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x ＝321x x x -…2007x ＝321x x x -…2007x ＝…＝321x x x …20072006x x -＝1，则2000x 的值是___________． 13．对于正数x ，规定f （x ）＝ x1x+， 计算f （1001）＋ f （991）＋ f （981）＋ …＋ f （13）＋ f （12）＋ f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋f（98）＋f（99）＋f（100）＝__________．BA C M NPEF Q DG 14.如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是________．15.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．三、解答题：16. （本小题10分） 某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．17．（本小题13分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、 N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．18．（本小题13分）如图，已知点P 是抛物线2114y x =+上的任意一点，记点P 到x 轴距离为1d ，点P 与点(0,2F ）的距离为2d（1）证明1d ＝2d；（2）若直线PF 交此抛物线于另一点Q (异于P 点)， 试判断以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．19．（本小题14分）如图，已知∆ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1． （1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值； （2）若AD x S Sy ==，1，求y 关于x 的函数关系式 及自变量x 的取值范围； （3）是否存在点D ，使得S S 114>成立？ 若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题10分）已知42++=m m y ，若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、22一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．答案一、选择题：CBAABDAB 二、填空题：9.2；103131≤≤-z ；11_（13，0）12. 1，或253±-；13.__9921；14. 211-<<-a15. _3＜r ≤4或r ＝2.4三、解答题：16.（1）100(x ＋1)2＝100(x ＋1)＋24 . x ＝0.2 ＝20％.（2） 2月份的销售额：100×1.22＝144万元. ．17、延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ，∴ DNANPN MN =．∵ AD ∥CE ， ∴ DN CQ PN PQ =．∴ +PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +＝DN CQ AN +． 又 =OQ DN 31=OG DG ，∴ OQ ＝3DN ． ∴ CQ ＝OQ －OC ＝3DN －OC ＝3DN －AD ，AN ＝AD －DN ， 于是，AN ＋CQ ＝2DN ，∴ +PN MN =PN PQ DNCQAN +＝2，即 MN ＋PQ ＝2PN ． 18．（1）证明：设点),(00y x P 是2114y x =+上的任意一点，则200104x y =+>，∴10d y =．由勾股定理得2d ＝PF =20044x y =-，∴201d y d ===．（2）解：①以PQ 为直径的圆与x 轴相切.取PQ 的中点M ，过点P 、M 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为'P 、C 、'Q ， 由（1）知，','PP PF QQ QF ==，∴''PP QQ PF QF PQ +=+=. 而MC 是梯形''PQQ P 的中位线，∴MC ＝21(PP ’＋QQ ’)＝21(PF ＋QF )＝21PQ ． ∴以PQ 为直径的圆与x 轴相切. 19、解：（1） DE BC D AB //，为的中点，21==∆∆∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．∴==S S AD AB ADE ∆()214S S AE EC ADE ∆11==， ∴411=S S ． （2） ∵ AD ＝x ，y SS ＝1，∴ x xa AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． BACMN P EFQDGO又∵ 222ax AB AD S S ADE ＝＝△⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 22axS ∴ 221a ax x S S +-=， 即y ＝－x a21＋x a 1自变量x 的取值范围是：0＜x ＜a ．（3）不存在点D ，使得S S 114>成立． 理由：假设存在点D ，使得S S 114>成立，那么S S y 11414>>，即． ∴－21ax 2＋a 1x ＞41，∴（a 1x －21）2＜0 ∵（a 1x －21）2≥ ∴x 不存在，即不存在点D ，使得S S 114>成立．20.（1）设224k m m =++（k 为非负整数），则有0422=-++k m m ，由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）， 即22)4(41p k =--（p 为非负整数），得,15)2)(2(=-+p k p k 显然：p k p k ->+22，所以21521k p k p +=-=⎧⎨⎩或2523k p k p +=-=⎧⎨⎩，解得7=p 或1=p ，所以12p m -±=，得：1,0,4,34321-==-==m m m m ，所以1,4,3-=-==c b a ．（2）因为222222a b a b c a b c ++=+++-，即操作前后，这三个数的平方和不变， 而2223(4)(1)2008+-+-≠．所以，对c b a 、、进行若干次操作后，不能得到2008．（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

2016-2017年中考数学一模试卷（淮南市附答案）2017年安徽省淮南市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1．若（x+2）（x�1）=x2+mx+n，则m+n=（） A．1 B．�2 C．�1 D．2 2．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（） A．5.5×106千米 B．5.5×107千米 C．55×106千米 D．0.55×108千米 3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC 绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C 上，则∠B′的大小为（） A．42° B．48° C．52° D．58° 5．若关于x的一元二次方程方程（k�1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k ＞5 6．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF 的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（） A．26° B．64° C．52° D．128° 7．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC 有交点时，b的取值范围是（） A．�1≤b≤1 B．�≤b≤1 C．�≤b≤ D．�1≤b≤ 8．如图，已知点A（�8，0），B（2，0），点C 在直线y=�上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分） 9．不等式组的解集是． 10．分解因式：x3�2x2+x= ． 11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费元． 12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于． 13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=． 14．如图所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为． 15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是．三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分） 16．计算：|�3|+ tan30°��10． 17．先化简，再求值：（�x�1）÷ ，选一个你喜欢的数代入求值． 18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名．（2）把条形统计图补充完整．（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ 20．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= （n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集． 21．如图，以△ABC的BC 边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB． 22．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD�DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；（2）求点R运动的路程长；（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．2017年安徽省淮南市XX中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1．若（x+2）（x�1）=x2+mx+n，则m+n=（） A．1 B．�2 C．�1 D．2 【考点】多项式乘多项式．【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．【解答】解：∵原式=x2+x�2=x2+mx+n，∴m=1，n=�2．∴m+n=1�2=�1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 2．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（） A．5.5×106千米B．5.5×107千米 C．55×106千米 D．0.55×108千米【考点】科学记数法―表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：5500万=5.5×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，第三层左边有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC 绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C 上，则∠B′的大小为（） A．42° B．48° C．52° D．58° 【考点】旋转的性质．【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°�∠ACA′=42°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°�∠ACA′=42°．故选A．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质． 5．若关于x的一元二次方程方程（k�1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k�1）x2+4x+1=0有实数根，∴ ，解得：k≤5且k≠1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 6．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF 等于（） A．26° B．64° C．52° D．128° 【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线及角平分线的性质解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴∠BEF=180°�52°=128°；∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=64°；∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；角平分线分得相等的两角． 7．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A （1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（） A．�1≤b≤1 B．�≤b≤1 C．�≤b≤ D．�1≤b≤ 【考点】一次函数的性质．【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【解答】解：将A（1，1）代入直线中，可得 +b=1，解得b= ；将B（3，1）代入直线中，可得 +b=1，解得b=�；将C（2，2）代入直线中，可得1+b=2，解得b=1．故b的取值范围是�≤b≤1．故选B．【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x 的增大而减小，函数从左到右下降． 8．如图，已知点A（�8，0），B（2，0），点C在直线y=�上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．【解答】解：如图，①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（�8，10），②当∠B 为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），③若∠C为直角则点C在以线段AB为直径、AB中点E（�3，0）为圆心的圆与直线y=�的交点上．过点E作x轴的垂线与直线的交点为F（�3，），则EF= ∵直线y=�与x轴的交点M为（，0），∴EM= ，FM= = ∵E 到直线y=�的距离d= =5 ∴以线段AB为直径、E（�3，0）为圆心的圆与直线y=�恰好有一个交点．所以直线y=�上有一点C满足∠C=90°．综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，故选：C．【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分）9．不等式组的解集是x＜1 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 10．分解因式：x3�2x2+x= x（x�1）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x3�2x2+x=x（x2�2x+1）=x（x�1）2．故答案为：x（x�1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费4m+3n 元．【考点】列代数式．【分析】先求出买m本笔记本的钱数和买n支圆珠笔的钱数，再把两者相加即可．【解答】解：每本笔记本4元，妈妈买了m本笔记本花费4m元，每支圆珠笔3元，n支圆珠笔花费3n，共花费（4m+3n）元．故答案为：4m+3n．【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式． 12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD 等于130°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A=115° ∴∠C=180°�∠A=65° ∴∠BOD=2∠C=130°．故答案为：130°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC 交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴ ， =（）2，∵E是边AD的中点，∴DE= AD= BC，∴ = ，∴△DEF的面积= S△DEC=1，∴ = ，∴S△BCF=4；故答案为：4．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方． 14．如图所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为 2 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC= ，根据矩形的面积列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥OA于E，设D（m，），∴OE=m．DE= ，∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA=2m，OC= ，∵矩形OABC 的面积为8，∴OA•OC=2m• =8，∴k=2，故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键． 15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是①②③．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的性质．【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=67.5°，∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，故①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误．故答案为①②③．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分） 16．计算：|�3|+ tan30°��10．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】将tan30°= 、10=1代入原式，再根据实数的运算即可求出结论．【解答】解：|�3|+ tan30°��10，=3+ × �2 �1， =3+1�2 �1，=3�2 ．【点评】本题考查了实数的运算、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算的运算顺序是解题的关键． 17．先化简，再求值：（�x�1）÷ ，选一个你喜欢的数代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．【解答】解：原式=[ �（x+1）]• =[ �（x+1）]• = • =1�（x�1） =2�x．当x=0时，原式=2．【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键． 18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD．【解答】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．【点评】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有1000 名．（2）把条形统计图补充完整．（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；（2）剩少量的人数是；1000�400�250�150=200，补图如下；（3）18000× =3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= （n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．【解答】解：（1）∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴ = ，∴ = ，∴CD=10，∴点C坐标（�2，10），B（0，6），A（3，0），∴ 解得，∴一次函数为y=�2x+6．∵反比例函数y= 经过点C（�2，10），∴n=�20，∴反比例函数解析式为y=�．（2）由解得或，故另一个交点坐标为（5，�4）．（3）由图象可知kx+b≤ 的解集：�2≤x＜0或x≥5．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；（2）先表示出OF=4�r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（4�r）2=（）2，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF�OC=4�3=1，BO=BF+FO=AB+1．然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=（AB+1）2，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，∵点D为CE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BC，∴∠EOD=90°，∵AB=BF，OA=OD，∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，而∠BFA=∠OFD，∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O切线；（2）解：OF=CF�OC=4�r，OD=r，DF= ，在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4�r）2=（）2，解得r1=3，r2=1（舍去）；∴半径r=3，∴OA=3，OF=CF�OC=4�3=1，BO=BF+FO=AB+1．在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，∴AB2+32=（AB+1）2，∴AB=4，OB=5，∴sinB= = ．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义． 22．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C 运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD�DC于点Q，以PQ 为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；（2）求点R运动的路程长；（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）当点Q在线段AD上时，如图1，根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形，则QR=AP=t；（2）如图2，当点Q在线段AD上运动时，点R的运动的路程长为AR，当点Q在线段CD上运动时，点R的运动的路程长为CR，分别求长并相加即可；（3）分两种情况：①当0＜t≤ 时，四边形APRQ与△ACD 重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，分别计算即可；（4）分两种情况：①当∠BRQ=90°时，如图6，根据BQ=2RQ 列式可得：t= ；②当∠BQR=90°时，如图7，根据BR=2RQ列式可得：t= ．【解答】解：（1）由题意得：AP=t，当点Q在线段AD上时，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵PQ∥BC，∴∠PQA=∠B=60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PA=AQ=PQ，∵△PQR 是等边三角形，∴PQ=PR=RQ，∴AP=PR=RQ=AQ，∴四边形APRQ是菱形，∴QR=AP=t；（2）当点Q在线段AD上运动时，如图2，点R的运动的路程长为AR，由（1）得：四边形APRQ是菱形，∴AR⊥PQ，∵PQ∥BC，∴AR⊥BC，∴RC= BC= ×4=2，由勾股定理得：AR= = =2 ；当点Q在线段CD 上运动时，如图2，点R的运动的路程长为CR，∴AR+CR=2 +2，答：点R运动的路程长为（2 +2）cm；（3）当R在CD上时，如图3，∵PR∥AD，∴△CPR∽△CAD，∴ ，∴ ， 4t=8�2t， t= ，①当0＜t≤ 时，四边形APRQ与△ACD重实用精品文献资料分享叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，如图4，过P作PE⊥AB于E，∴PE=AP•sin60°= t，∴S=AQ•PE= t2，②当＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，如图5，在Rt△PCF中，sin∠PCF= ，∴PF=PC•sin30°= （4�t）=2� t，∴FR=t�（2�t）= t�2，∴tan60°= ，∴FM= ×（ t�2），∴S=S 菱形APRQ�S△FMR= t2�FR•FM= �（ t�2）× ×（ t�2），∴S=�+3 �2 ；综上所述，当点Q在线段AD上时，S与t之间的函数关系式为： S= ；（4）①当∠BRQ=90°时，如图6，∵四边形APRQ 是菱形，∴AP=AQ=RQ=t，∴BQ=4�t，∵∠AQP=∠PQR=60°，∴∠RQB=180°�60°60°=60°，∴∠RBQ=30°，∴BQ=2RQ，4�t=2t， 3t=4， t= ；②当∠BQR=90°时，如图7，同理得四边形CPQR是菱形，∴PC=RQ=RC=4�t，∴BR=t，∵∠CRP=∠PRQ=60°，∴∠QRB=60°，∴∠QBR=30°，∴BR=2RQ，∴t=2（4�t）， t= ，综上所述，以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值是或．【点评】本题是四边形和三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识，熟练掌握菱形和等边三角形的性质与判定是关键，利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题．。