两个案例分析

二元一次方程组的应用（一）提出问题，导入新课1、问题1 解二元一次方程组问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。

由题意得 26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。

由题意得 x=3（x－26）（二）精选讲例，探求新知例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。

已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

（三）变式训练，激活学生思维问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

问题2 已知某电脑公司有a型、b型、c型3种型号的电脑，其价格分别为a型6000元/台、b型4000元/台、c型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。

小红的方案：她认为可以购进a型和b型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。

（四）课堂练习，巩固新知1、a、b两地相距36千米，甲从a地出发步行到b地，乙从b地出发步行到a地，两人同时出发，4小时候相遇。

若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。

2、某班借来一批图书，分借给同学阅览，如果每人借6本，那么会有一个同学没书可借，如果每人借5本，那么还剩5本书没人借，问该班有多少人，有多少书。

（五）拓展1、变题训练问题2中，若学校要购买a、b、c3种型号的电脑，有如何安排？2、某中学新建一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进、出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。

安全检查中，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

⑴问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生。

⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。

假设这栋大楼每间教师最多有45名学生，问建造的这4道门是否符合安全规定。

分析：1、本课的配题注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手选题，有开放型题、变式题，有数学思想的渗透，从易到难，由浅入深，应该说配题的设置具有一定的挑战性，能够起到激活学生思维的作用。

2、本课的教学容量太大且选题具有一定的难度，对于基础好的学生也很难能够在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务；对于基础差的学生来说，由于太多的题不会做，课堂的时间等于空耗。

3、由于时间紧，不能给学生留有充分的思考空间和时间，学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。

所以常常出现习题做了很多，但是在遇见题还是有困难，习题的功能没有发挥.修改：1、可以结合学生的实际情况，分层次配题。

对于基础差的学生习题的难度再降低一些，使他们会用二元一次方程组解决最基本的实际问题。

对于基础好的学生，可以删除（二）（四）两组题，使他们能有更多的时间去探究问题、去迎接挑战。

2、将学生分成不同的学习小组，能力强、弱搭配。

在上述习题中选出部分更容易激起学生对数学的兴趣，更适合学生探究的习题，充分发挥习题的功能，使学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力。

对于“实际问题与二元一次方程组”，不等同于一般例题内容的教学，而是应该以探究学习的方式完成。

从教材设置的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题。

对于这些内容的教学，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，适时地追问，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案。

应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。

所以教学中不能盲目地扩大习题量，而是要充分发挥习题的功能，给学生留有充分的思考时间与空间，引导学生更多的参与数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，使每一位学生都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

圆的内接四边形一、教学案例实录教学过程：1、习旧引新：⑴在⊙O 上，任到三个点A 、B 、C，然后顺次连接，得到的是什么图形？这个图形与⊙O 有什么关系？⑵由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢( 类比)？2、概念学习：⑴什么叫圆的内接四边形？⑵如图1，说明四边形ABCD 与⊙O 的关系。

3、探讨性质：⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形---- 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形ABCD 。

( 教师适当指导)⑶量出可试题的所有值( 圆的半径和四边形的边、内角、对角线、周长、面积)，并观察这些量之间的关系。

⑷改变圆的半径大小，这些量有无变化？由(3) 观察得出的某些关系有无变化？⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由(3) 观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢？( 让学生回答)4、性质的证明及巩固练习：⑴证明猜想已知：如图1，四边形ABCD 内接于⊙O 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°。

⑵完善性质①若将线段BC 延长到E( 如图2)，那么，∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢？②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑶练习①已知：在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=50°，∠D-∠B=40°，求∠B，∠C，∠D 的度数。

②已知：如图3，以等腰△ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC于点E，D，连结DE，求证：DE∥BC。

( 演示作业本)5、例题讲解：引例已知：如图4，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，它与△ABC 的外接圆交于点D 。

求证：DB=DC 。

( 引例由学生证明并板演)教师先评价学生的板演情况，然后提出，若将已知中的“AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“AD 是△ABC的外角∠EAC的平分线”，又该如何证明?引出例题。

例已知：如图5，AD是△ABC的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC 。

6、小结：为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象，让学生组成小组，从概念、性质、方法、特殊性进行讨论，然后对讨论的结果进行归纳。

⑴本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。

⑵我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质，在这一过程中用到了许多数学方法( 实验、观察、类比、分析、归纳、猜想等)，同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们的数学实践能力与创新能力。

7、作业：如图6，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，以AC 为弦的⊙O 分别交BC，AB 于D、E，连结DE 。

求证：△BDE 是等腰直角三角形。

二、对教学案例的分析这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教学的范例，其中许多环节还需要进一步改进完善。

但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况，一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1、突出了数学课堂教学中的探索性关于圆的内接四边形性质的引出，在本教学案例上没有像教材那样直接给出定理，然后证明；而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画，量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论。

关于圆内接四边形性质的证明，没有采用教师给学生演示定理证明，而是引导学生证明猜想，并做了进一步的完善。

这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。

这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实践能力。

同时，也向学生渗透了实践---- 认识---- 再实践---- 再认识的辩证观点。

2、引入了数学开放题本教学案例在增大数学课堂教学的探索性，计算机技术进入数学课堂的同时，在学生作业中还增加了开放题( 作业2)，为学生创造了更为广阔的思维空间，对此应大力提倡。

目前，世界各国在数学教育改革中都十分强调高层次思维能力的培养，这些高层次思维能力包括了推理、交流、概括和解决问题等方面的能力。

要提高学生这种高层次的思维，在数学课堂教学中引进开放性问题是十分有益的。

我国的数学题一直是化归型的，即将结论化归为条件，所求的对象化归为已知的结果。

这种只考查逻辑连接的能力固然重要，并且永远是主要部分，但是，它不能是惟一的。

单一的题型已经严惩阻碍了学生数学创新能力的培养。

在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题。

如教材中有这样一个平面几何题“证明：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。

”这是一个常规性题目，我们可以把它发行为“画一个四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。

我们还可用计算机来演示一个形状不断变化的四边形，让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四边形，在学生完成猜想和证明过程后，我们进而可提出如下问题：“要使顺次连接四条边的中点所得的四边形是菱形，那么对原来的四边形应有哪些新的要求？如果要使所得的四边形是正方形，还需要有什么新的要求？”通过这些改造，常规题便具有了开放题的形式，例题的功能也可更充分地发挥。

4、学生学习方式被确定为“发现学习”在学习理论上，按不同的学习方式，可分为接受学习和发现学习。

所谓接受学习，是指学习者将别人的经验变成自己的经验的时候，所学习的内容是以定论或确定的形式通过传授者的传授，不需要自己任何方式的独立发现；发现学习则是由学习者自己发现问题和解决问题的一种学习方式，在课堂教学中则主要是指发现学习。

尽管发现学习效率比接受学习的效率低，但却十分有利于培养学生发现与创新的意识，鉴于初中学生的身心与教学内容特点，发现学习应是培养创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。