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临界 极值问题

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临界 极值问题相遇追击问题习题、汽车正在以 10m/s 的速度在平直的公路上前进，在它的正前方x 处有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的运动，汽车立即关闭油门做a = - 6m/s 2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x 的大小为（ ） A ．9.67m B ．3.33m C ．3m D ．7m 习题：一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v ＝8m/s 的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s ，警车发动起来，以加速度a ＝2m/s 2做匀加速运动，试问：(1)警车要经多长时间才能追上违章的货车？(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？画多个矢量三角形求极值习题、轻质细杆两端固定着质量均为m 的A 、B 两小球，用两根不可伸长的轻质细线（两细线与细杆均等长）系住两球并悬挂于O 点。

现对B 球施加一拉力F ，使OA 保持竖直方向，如图所示。

则拉力F 的最小值是（ ）A 、mg 21B 、m g 23C 、mgD 、mg 3牛顿运动定律中的临界极值问题习题、如图所示，物块m 与车厢M 的后壁间的动摩擦因数为μ，当该车在水平外力作用F 作用下向右做加速运动时，物块m 恰好沿车厢后壁匀速下滑。

设水平地面光滑，则水平外力F 的大小为( )A ．（M+m ）gB ．（M+m ）μgC ．（M+m ）gμD ．12（M+m ）μg习题、如图所示，一质量为m 1的半圆形槽内壁光滑，放在光滑水平面上，槽中放一个质量为m 2的小球。

现用一个水平外力F 推槽，系统稳定后小球距槽底的高度为圆形槽半径的一半，则F 的大小为（ ）A 、g m m )(21+B 、2g m m )(21+C 、3g m m )(21+D 、2g m m )(21+习题、如图，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上。

A ，B 质量分别为m A =6kg ，m B =2kg ，A ，B 之间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N ，此后逐渐增加，在增大到45N 的过程中，则（ ） A ．当拉力F ＜12N 时，两物体均保持静止状态B ．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N 时，开始相对滑动C ．两物体间从受力开始就有相对运动D ．两物体间始终没有相对运动F曲线运动中的临界极值问题习题、如右图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )A 、433m/sB 、833m/s C 、 2 m/s D 、 4 m/s习题、一阶梯如右图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A 、 6m/s < v ≤ 22m/sB 、 22m/s < v ≤ 3.5m/sC 、 6m/s < v < 22m/sD 、 2m/s < v < 6m/s 习题、（14安徽）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2.则ω的最大值是( )A 、 5 rad/sB 、 3 rad/sC 、1 rad/sD 、0.5 rad/s万有引力中的临界极值问题练习、某球状行星具有均匀的质量密度ρ，当行星自转周期为下列哪个值时，其赤道上的物体将要飞离球面( )A.G ρπ3 B. GρπC. 43G πD. 34G π练习、（11福建）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。

若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常数G ，半径为R 的球体体积公式334R V π=，则可估算月球的（ ）A ．密度B ．质量C ．半径D ．自转周期机械能中的临界极值问题习题：在光滑的水平地面上静置一个质量为M 倾角为θ的斜劈，在斜劈上有一个质量为m 的光滑物块，现用水平推力推动斜劈水平向右运动，并使物块与斜劈始终保持相对静止，如右图所示，下列叙述中正确的是（ ） A ．在斜劈起动t 秒内，推力F 对斜劈做的功是21θtan )(2·gt m M +B ．在斜劈起动t 秒内，斜劈对物块的弹力所做的功是21θ222tan ·t mgC ．在斜劈起动t 秒内，斜劈对物块的弹力与物块所受重力的合力所做功的平均功率是21θtan ·mgtD ．在斜劈起动t 秒末，合力对斜劈的瞬时功率为θ22tan ·t Mg习题、长度为L 的线，一端固定于Ｏ点，另一端拴一小球，先将线拉直呈水平，使小球位于Ｐ点，如图所示。

然后释放小球，当小球下行到最低点时，悬线遇到在Ｏ点正下方的水平地固定着的钉子Ｋ，不计任何阻力，若要小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则Ｋ点与Ｏ点之间的距离可能为（ ） A ．L 54 B ．2LC ．3LD ．4L习题：如图所示,在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽,它的末端水平,上端离地高H,一个小球从上端无初速滚下.若小球的水平射程有最大值,则圆弧槽的半径是多少？静电场 的临界极值问题习题：如图所示，带电平行金属板A 、B ，板间的电势差为U ，A 板带正电，B 板中央有一小孔。

一带电的微粒，带电荷量为q ,质量为m ，自孔的正上方距板高h 处自由落下，若微粒恰能落至A 、B 板的正中央C 点，则( )A.微粒在下落过程中动能逐渐增加，重力势能逐渐减小B.微粒下落过程中重力做功为mg (h +2d)，电场力做功为-qU /2 C.微粒落入电场中，电势能逐渐增大，其增加量为qU /2 D.若微粒从距B 板高2h 处自由下落，则恰好能达到A 板习题：如图所示，电路中电源电动势为E ，内阻不计，水平放置的平行金属板A 、B 间的距离为d ，板长为L ，在A 板的左端且非常靠近极板A 的位置，有一质量为m 、电荷量为－q 的小液滴以初速度v 0水平向右射入两板间．(重力加速度用g 表示)则：(1)若使液滴恰能沿v 0方向射出电场，电动势E 1应为多大？(2)若使液滴恰能从B 板右端边缘射出电场，电动势E 2应为多大？带电粒子在磁场中运动的临界极值问题习题、在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如右图，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(2＋1)r .圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过( )A. qBr mB. 2qBr mC. ()m qBr12+D.()mqBr12-习题：如图所示，有一垂直于纸面向外的磁感应强度为B 的有界匀强磁场（边界上有磁场），其边界为一边长为L 的三角形，A 、B 、C 为三角形的顶点。

今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子（不计重力），以速度v ＝3qBL4m从AB 边上某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC 边上某点Q 射出。

若从P 点射入的该粒子能从Q 点射出，则（ ）A ．|PB |≤2＋34LB ．|PB |≤1＋34LC ．|QB |≤34L D ．|QB |≤12L练习：一带电量为＋q 、质量为m 的小球从倾角为θ的光滑的斜面上由静止开始下滑。

斜面处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向如图所示。

求： （1）小球在斜面上滑行时的速度的最大值 （2）小球在斜面上滑行的时间 （3）小球在斜面上滑行的位移习题：如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b 、c和d ，外筒的外半径为r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B 。

在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。

一质量为ｍ、带电量为＋q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初速为零。

如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则：（不计重力，整个装置在真空中） (1)两电极之间的电压U 应是多少？(2)如果在圆筒之外的磁场的外边界为圆，则磁场的最小面积为多少？a cdb习题、如图所示，一足够长的“n”形导体框架，宽度为L ，其所在平面与水平面垂直，电阻可以忽略不计．设匀强磁场与导体框架的平面垂直，磁感应强度为B ．有一根导体棒ab 跨放在框架上，由静止释放导体棒沿框架竖直滑下，且始终保持水平，它与框架间摩擦力为f ，如图所示，导体棒质量为m ，有效电阻R ，则ab 中感应电流的方向是（ ）A. b a →B. a b →C. 不存在D. 无法确定 ab 下滑过程中，加速度大小的变化是（ ） A ．由小变大 B ．由大变小 C ．时大时小 D ．不变ab 下滑的最大速度等于（ ）A. 22)(L B R f mg -B. 22L B mgRC. 22)(L B R f mg +D. 22LB fR ab 以最大速度下滑时消耗的电功率等于（ ）A. 222)(L B R f m g -B. 2222L B R g mC. 222)(L B R f mg + D. 222LB Rf习题、竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图，抛物线方程是y ＝x 2，轨道下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y ＝a 的直线(图中虚线所示)，一个小金属环从抛物线上y ＝b (b >a )处以速度v 沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是( )DA ．mgbB ．12mv 2C ．mg (b －a )D ．mg (b －a )＋122习题：（11上海）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m ，两导轨间距L =0.75 m ，导轨倾角为30°，导轨上端ab 接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T 的匀强磁场垂直轨道平面向上。

阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg 的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab 处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热0.1r Q J =。

(取210/g m s =)求： (1)金属棒在此过程中克服安培力的功W 安 (2)金属棒下滑速度2/v m s =时的加速度a(3)为求金属棒下滑的最大速度m v ，有同学解答如下：由动能定理21-=2m W W mv 重安，……。

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临界和极值问题-课件

临界和极值问题-课件

第三章
牛顿运动定律
6 图象法 临界和极值问题
1.图象法
固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上 套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力 F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时 间变化规律如图3-6-1所示，取重力加速度 g=10m/s2.求：
(1)小环的质量m；
(2)细杆与地面间的倾角α.
图3-6-1
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 2:41:26 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
由图得：
a v 0.5m/s2，
前2s有：F1-mgsinα=ma，2t s后有：
F2=mgsinα，代入数据可解得：m=1kg，
α=30°.
点评：图象能形象地表达、直观地描述物 理规律，能鲜明地表示物理量之间的依赖关 系．若能巧妙地利用图象解题，往往可达到事半 功倍之效．在运动学中，图象法的应用更为广 泛．
地面上有一质量为M的重物，
用力F向上提它，当F较小时重物不动，F大于
某一值F0时，重物向上加速运动，其加速度与 力F的关系如图3-6-2所示，试求：
（1）F0的值. （2）重物加速度为 零时作用力F为多少？ （3）图线反向延长 线交a轴于a0，a0数值为多大？
图3-6-2
(1)当F≤F0时，物体仍静止，而F ＞Mg时，物体加速运动.故F0=Mg. (2)当重物加速度为零时，F≤Mg.
高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题

2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题

2
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)

2
(2)


解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4

s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
物理临界极值问题归纳总结

物理临界极值问题归纳总结

物理临界极值问题归纳总结在物理学中，临界极值问题是一类重要而常见的问题，涉及到各种自然现象和物理过程。

在本文中，我们将对一些典型的临界极值问题进行归纳总结，探讨其背后的物理原理和应用。

1. 能量最小问题当一个物体在受到外力作用下移动时，其可能存在最小能量的位置。

例如，在沿着一条曲线从A点到B点的过程中，求物体在这条曲线上，哪个位置可以实现最小的势能状态。

这种求解问题可以使用变分法或者利用物理原理进行分析。

2. 速度最大问题速度最大问题在机械运动学中经常出现。

例如，一个物体自由下落，求其在离地面一定高度时的速度达到最大值。

这类问题可以通过求解速度函数的导数为零的点，找到极值点，并验证其是否是最大值。

3. 加速度最大问题加速度最大问题与速度最大问题类似，但是关注的是物体的加速度达到最大值的情况。

例如，在自由下落的过程中，求物体离地面一定高度时其加速度达到最大值。

可以通过求解加速度函数的导数为零的点来找到极值点。

4. 碰撞问题碰撞问题是临界极值问题中的一个重要分支，涉及到两个或多个物体之间的相互作用。

例如，求两个物体碰撞后的速度以及碰撞瞬间的能量损失。

这类问题可以通过守恒定律和碰撞动量定律来分析，从而得到系统的临界极值情况。

5. 光线折射问题光的折射现象也涉及到一种临界极值问题。

例如，光线从一个介质进入另一个介质时，求解光线的入射角和折射角之间的关系。

这类问题可以利用斯涅尔定律和临界角的概念来解决。

6. 流体力学中的临界极值问题流体力学研究中也存在临界极值问题。

例如，在管道中液体流动速度达到最大值的问题，或者通过调整管道中的形状，使得流体的流量达到最大值。

这类问题可以通过应用伯努利方程和连续性方程来解决。

通过对上述几类典型的临界极值问题进行总结与归纳，我们可以看到它们在物理学研究和应用中的重要性。

在实际问题中，临界极值问题的解决可以帮助我们了解自然现象背后的物理规律，并且为工程设计和科学研究提供有力支持。