平面向量的概念及其线性运算-PPT课件

的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难

当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东

探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2

3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别

返回
返回
1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
返回
2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.

【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。

解析：如图所示，A CA BB C 所以 AC 10 2 ，方向为西南方向．
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M
M A M B M C M A M A M B M A M C 3 M A (A B A C )3 M A A M 0
基础达标
1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角 线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中 所示的向量中，与向量AE相等的向量是 B O ，与 向量BF共线的向量是 A O ，与向量CF的模相等的 向量是 C O D E B F B O C O A O D O A E D E .
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故②不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确． ③④正确．
题型二 平面向量的线性运算 【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、 AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.

04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.