空间中向量的概念和运算

空间向量知识点总结公式一、空间向量的定义在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，c1+c2）。

2. 空间向量的减法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，c1-c2）。

3. 空间向量的数乘运算若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。

4. 空间向量的数量积数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量积为a1a2+b1b2+c1c2。

5. 空间向量的向量积向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。

6. 空间向量的混合积定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。

三、空间向量的坐标表示空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。

1. 点坐标表示点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。

设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。

2. 参数方程表示参数方程表示指的是以一个点为起点，以一个方向向量为方向，通过参数t来表示。

设点P（x0，y0，z0）是向量的起点，向量v=（a，b，c）是方向向量，那么向量的参数方程为X=x0+at，Y=y0+bt，Z=z0+ct。

四、空间向量的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，空间向量常常用于描述物体在三维空间中的运动和位置，如速度、加速度等。

空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。

本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。

基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。

表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。

坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。

y。

z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。

点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。

运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。

减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。

数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。

例如，$\vec{A} = (x。

y。

z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。

ky。

kz)$。

总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。

它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。

空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。

空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。

下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。

2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。

(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。

(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。

(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。

3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。

(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。

(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。

(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。

4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。

(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。

(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。

5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。

(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。

(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。

6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。

(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。

(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。

7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。

(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。

(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。

3．1空间中向量的概念和运算第一课时 空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→.3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律)(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [自主解答]如图，(1)∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→ ＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若P Q ―→＝x BA ―→＋y BC ―→＋z BP ―→，则x ，y ，z 为何值？解：∵P Q ―→＝PB ―→＋BC ―→＋C Q ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12CD ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12BA ―→＝12BA ―→＋BC ―→－BP ―→，∴x ＝12，y ＝1，z ＝－1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ―→＋BA 1―→； (2) AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→；(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM ―→＝12BB 1―→.又AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→. 向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→， CG ―→＝23CD ―→.判断EH ―→与FG ―→是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的形状．[自主解答] 根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→， BD ―→＝AD ―→－AB ―→， 又∵AH ―→＝12AD ―→，∴AE ―→＝12AB ―→.∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，∴FG ―→＝23(CD ―→－CB ―→)＝23BD ―→.②由①②得，EH ―→＝34FG ―→.∴EH ―→与FG ―→共线．∴EH ∥FG ―→，且|EH ―→|≠|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |. ∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为： (1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ； (3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？ 解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点， ∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→， AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝12CD ―→，CF ―→＝12CB ―→，∴FG ―→＝12(CD ―→－CB ―→)＝12BD ―→.②由①②，得EH ―→＝FG ―→， ∴EH ―→∥FG ―→且|EH ―→|＝|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |. ∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E ―→＝2ED 1―→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→.∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.所以E ，F ，B 三点共线．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→， MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→. ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→. ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思] 要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量MN ―→可以用平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解] 因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′， 所以AM ―→＝kAC ′―→＝k AC ―→＋kAA ′―→，又AN ―→＝AB ―→＋BN ―→＝AB ―→＋k BC ―→＝AB ―→＋k (AC ―→－AB ―→)＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→， 所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→－k AC ―→－kAA ′―→＝(1－k )AB ―→－kAA ′―→. 因为AB ―→与AA ′―→不共线，由共面向量定理，可知MN ―→，AB ―→，AA ′―→共面． 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′， 所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→， ∴AB ―→＝DC ―→.∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( ) A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向 解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确． 答案：D3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式： ①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→；②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→；④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→中，运算结果为向量AC 1―→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→； ②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1―→＋D 1C 1―→＝AC 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→； ④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→. 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有DA ―→＋CD ―→－CB ―→等于________． 解析：由向量加(减)法的三角形法则可知DA ―→＋CD ―→－CB ―→＝DA ―→＋BD ―→＝BA ―→. 答案：BA ―→5．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB ―→－CB ―→＝AC ―→； ②AA ′―→＝CC ′―→；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝AC ′―→. 其中正确的有________．解析：①AB ―→－CB ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，正确；②显然正确；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋(BB ′―→＋C ′C ―→)＝AC ―→＋0≠AC ′―→，错误．答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知AB ―→＝2DC ―→，∵F 是AB 的中点， ∴AF ―→＝12AB ―→＝DC ―→，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ―→＝FC ―→.∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴EE 1―→＝AE 1―→－AE ―→＝12AA 1―→－12AD ―→＝12CC 1―→－12FC ―→，又CC 1―→与FC ―→不共线，根据共面向量定理可知EE 1―→，CC 1―→，FC ―→共面． ∵EE 1不在平面FCC 1内， ∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ． AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG ―→－AB ―→＋AD ―→等于( )A.32 DB ―→ B ．3MG ―→ C ．3GM ―→D ．2MG ―→解析：MG ―→－AB ―→＋AD ―→＝MG ―→－(AB ―→－AD ―→) ＝MG ―→－DB ―→＝MG ―→＋BD ―→ ＝MG ―→＋2MG ―→＝3MG ―→. 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ―→，CD ―→共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB ―→，CD ―→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案：D 二、填空题5．化简：AB ―→－AC ―→＋BC ―→－BD ―→－DA ―→＝________. 解析：原式＝(AB ―→－AC ―→)＋(BC ―→－BD ―→)－DA ―→＝CB ―→＋DC ―→－DA ―→＝DB ―→－DA ―→＝AB ―→. 答案：AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝a －2c ，CD ―→＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF ―→＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点， 连接EG ，FG ，则EF ―→＝EG ―→＋GF ―→ ＝12AB ―→＋12CD ―→ ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ； ④43a －b －c . 其中与MN ―→平行的向量是________(只填相应序号即可)．解析：由已知得MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝－23a ＋12b ＋12c .所以MN ―→＝16(－4a ＋3b ＋3c )＝－12⎝⎛⎭⎫43a －b －c ，故②④适合． 答案：②④ 三、解答题9.如图，H 为四棱锥P -ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵AB ―→＝PB ―→－PA ―→ 且 AB ―→＝DC ―→， ∴DC ―→＝PB ―→－PA ―→. ∵PC ―→＝PD ―→＋DC ―→， ∴PC ―→＝PD ―→＋PB ―→－PA ―→ ＝－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→. ∵PH HC ＝12，∴PH ―→＝13PC ―→＝13(－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→)＝－13PA ―→＋13PB ―→＋13PD .又∵AH ―→＝PH ―→－PA ―→， ∴AH ―→＝－43PA ―→＋13PB ―→＋13PD ―→.∵AGAH ＝m ，∴AG ―→＝m AH ―→＝－4m 3PA ―→＋m 3PB ―→＋m 3PD ―→.∵BG ―→＝－AB ―→＋AG ―→＝PA ―→－PB ―→＋AG ―→， ∴BG ―→＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3PA ―→＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB ―→＋m 3PD ―→. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形； (2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点， ∴AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→，FC 1―→＝FB 1―→＋B 1C 1―→＝12BB 1―→＋B 1C 1―→.又AD ―→＝B 1C 1―→，DD 1―→＝BB 1―→， ∴AE ―→＝FC 1―→，即AE 綊FC 1， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，又AE ―→＝AD ―→＋ 12DD 1―→，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋12BB 1―→， ∴A 1D 1―→＝x (AD ―→＋12DD 1―→)＋y (AB ―→＋12BB 1―→)即(x －1)A 1D 1―→＋y AB ―→＋12(x ＋y )BB 1―→＝0.∵A 1D 1―→，AB ―→，BB 1―→不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可以使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，∴A1D1不平行于平面AEC1F.第二课时空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数量积的性质：[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c成立吗？提示：不一定有b＝c.当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时不一定有b＝c.2．已知向量a，b，对于|a·b|＝|a|·|b|成立吗？提示：|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)EF ―→·DC ―→； (4)AB ―→·CD ―→.[自主解答] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)EF ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→|·|DC ―→|cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos 120°＝－14.(4)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0.空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA ＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→) ＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→＋OB ―→－2OC ―→)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答] ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→，∴|AD ―→|2＝AD ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|CD ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2BC ―→·CD ―→＋2AB ―→·CD ―→.①∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB ―→|＝|BC ―→|＝|CD ―→|＝2.② 又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB ―→·BC ―→＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD ―→·BC ―→＝0.④把②③④代入①可得|AD ―→|2＝4＋4＋4＋2AB ―→·CD ―→＝12＋2|AB ―→|·|CD ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉 ＝12＋8cos 〈AB ―→，CD ―→〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF . ∴〈AB ―→，DC ―→〉＝〈DF ―→，DC ―→〉＝60°. ∴〈AB ―→，CD ―→〉＝120°.代入⑤式得到|AD ―→|2＝12＋8cos 120°＝8， ∴|AD ―→|＝2 2.即A ，D 两点间的距离为2 2.求两点间的距离或线段长度的方法如下： (1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离．3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长． 解：∴PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答] 设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0.于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中， OB ＝OC ，AB ＝AC ， ∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OC ―→|cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|cos ∠AOB ＝0， ∴OA ⊥BC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思] 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD ―→的模，但向量BD ―→的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解] ∵∠ACD ＝90°， ∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉． ∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②a ·b a2＝ba ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A -BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA ―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA ―→ 2＋12BA ―→·AD ―→＋AD ―→2＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0. 答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝OA ―→·BC ―→|OA ―→|·|BC ―→|＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)|OA ―→|·|BC ―→|＝|OA ―→||OC ―→|cos π3－|OA ―→||OB ―→|cosπ3|OA ―→|·|BC ―→|＝0. 答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________. 解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝ 3.答案： 36．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)BC ―→·ED 1―→； (2)BF ―→·AB 1―→.解：如图所示，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC ―→·ED 1―→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ―→·AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不．正确的命题的个数为( ) ①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2， ∴a ·a ＝|a |，故①正确．m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确． a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确． a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ， 故④不一定正确． 答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝32. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝14. 答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144 解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→，∴PC ―→2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→|·|BD ―→|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ′―→·BC ′―→＝________.解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′―→， BC ′―→〉＝0，又|AD ′―→|＝|BC ′―→|＝2，所以AD ′―→·BC ′―→＝2·2·1＝2.答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：由已知OA ―→·OB ―→＝OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→＝0，且OG ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→3， 故OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)2 ＝13(|OA ―→|2＋|OB ―→|2＋|OC ―→|2) ＝13(1＋4＋9)＝143. 答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴AB ―→·CD ―→＝(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)·CD ―→＝AC ―→·CD ―→＋CD ―→2＋DB ―→·CD ―→＝0＋12＋0＝1，又|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1.∴cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→| AB ―→|·|CD ―→|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→.∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长． 解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→·BC ―→〉＝π－〈BA ―→·BC ―→〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|.∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。

数学公式知识：空间向量的基本概念与运算法则空间向量的基本概念与运算法则空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量，通常用符号a 表示。

空间向量可以用三个坐标轴方向上的数值表示。

例如，表示向量a的三个分量分别为ax, ay和az，则a = (ax, ay, az)。

空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数乘和数量积。

向量加法向量加法是指将两个向量a和b相加得到一个新向量c的过程，表示为c = a + b。

向量加法的结果是两个向量的和向量，其大小等于两个向量相加的长度，方向由两个向量之间的角度和方向共同决定。

向量减法向量减法是指将两个向量a和b相减得到一个新向量c的过程，表示为c = a - b。

向量减法的结果是两个向量的差向量，其大小等于两个向量之间的距离，方向由两个向量之间的角度和方向共同决定。

数乘数乘是指一个向量a与一个标量k相乘得到一个新向量b的过程，表示为b = ka。

数乘的结果是将向量a的大小乘以标量k，得到一个新的向量b。

如果k为负数，则向量b方向与向量a相反。

数量积数量积是指两个向量a和b的乘积，表示为a·b，其结果是一个标量。

数量积的定义式为：a·b = axbx + ayby + azbz，其中ax, ay 和az是向量a的三个分量，bx, by和bz是向量b的三个分量。

数量积的结果是两个向量之间的夹角的余弦值，可以用于计算两个向量的夹角。

总结空间向量具有大小和方向的特性，可以用三个分量表示。

向量的加法、减法、数乘和数量积是空间向量的基本运算法则。

向量加法和减法的结果是新的向量，数乘的结果是原向量的缩放，数量积的结果是一个标量，用于计算两个向量之间的夹角。

在物理和工程领域，空间向量的运算法则有着广泛的应用。

空间向量的概念与运算空间向量是指在空间中有大小和方向的量。

它在物理学、几何学和工程学等领域具有重要的应用。

空间向量的概念和运算是研究空间中物体位置和运动的基础。

一、空间向量的概念空间向量由大小和方向来确定。

空间中的向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

例如，一个位移向量可以表示为⃗d，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。

空间向量的大小也称为向量的模或长度，通常使用两点之间的距离来计算。

二、空间向量的运算1. 向量的加法空间中的两个向量可以进行加法运算。

向量的加法可以表示为：⃗a + ⃗b = ⃗c其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗c是它们的和向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

即：⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a(⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c)2. 向量的减法空间中的两个向量可以进行减法运算。

向量的减法可以表示为：⃗a - ⃗b = ⃗d其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗d是它们的差向量。

向量的减法可以通过向量的加法来实现，即：⃗a - ⃗b = ⃗a + (-⃗b)3. 向量的数量积空间中的两个向量可以进行数量积运算。

向量的数量积可以表示为：⃗a ⋅ ⃗b = abcosθ其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，a和b分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角。

向量的数量积满足交换律和分配律。

即：⃗a ⋅ ⃗b = ⃗b ⋅ ⃗a⃗a ⋅(⃗b + ⃗c) = ⃗a ⋅ ⃗b + ⃗a ⋅ ⃗c4. 向量的矢量积空间中的两个向量可以进行矢量积运算。

向量的矢量积可以表示为：⃗a × ⃗b = |⃗a||⃗b|sinθ⃗n其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，|⃗a|和|⃗b|分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角，⃗n是法向量。

向量的矢量积满足反交换律和分配律。

即：⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a⃗a ×(⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c以上是对空间向量的概念与运算进行的简要介绍。

空间向量的概念和运算空间向量是三维空间中的矢量概念，具有大小和方向。

在数学和物理学中，空间向量用于描述物体在三维空间中的位移、速度和加速度等物理量。

本文将介绍空间向量的概念以及其常见的运算方法。

一、空间向量的概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，在三维坐标系中用坐标表示。

设空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)空间向量具有以下特点：1. 大小：空间向量的大小等于有向线段的长度，可以通过两点之间的距离公式求得。

2. 方向：空间向量的方向由起点指向终点，可以通过计算两点坐标差得到。

二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法，具体如下：1. 空间向量的加法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)向量的加法满足交换律和结合律，即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 空间向量的减法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)向量的减法可以看作是加法的逆运算，即：A -B = A + (-B)3. 数量乘法设空间向量A(x, y, z)和标量k，数量乘法即将向量的每个分量乘以标量，得到新的向量：kA = (kx, ky, kz)数量乘法满足结合律和分配律，即：k(A + B) = kA + kB(k1 + k2)A = k1A + k2Ak1(k2A) = (k1k2)A空间向量的运算可以通过向量的坐标进行计算，也可以通过向量的几何属性进行推导。

通过运算可以得到向量的长度、点积、叉积等操作。

三、空间向量的应用空间向量在物理力学、工程力学、电磁学等学科中有广泛的应用。

空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。

2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。

（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。

（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。

（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。

（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。

2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。

3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。

（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。

三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。

（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。

（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。

2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。

空间向量的基本概念和运算空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的数学工具。

它是研究几何和物理问题时不可或缺的基本工具之一。

在本文中，我们将介绍空间向量的基本概念和运算。

一、空间向量的定义和表示空间向量是空间中的一个有向线段，由起点和终点确定。

根据终点减去起点的坐标差得到的坐标集合，表示了这个向量的大小和方向。

一般而言，我们用字母加箭头上标来表示空间向量，例如向量A可以表示为向量A—>。

二、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、数乘和内积。

1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量端点相连后得到的向量。

具体而言，给定两个向量A—>和B—>，它们的和向量C—>可以表示为C—> = A—> + B—>。

向量的加法满足交换律和结合律。

2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘后得到的新的向量。

给定一个向量A—>和一个实数k，它们的数乘kA—>可以表示为kA—>。

向量的数乘满足分配律。

3. 向量的内积向量的内积也称点乘，它是两个向量的数量积，得到的是一个标量。

给定两个向量A—>和B—>，它们的内积可以表示为A•B = ||A|| ||B||cosθ，其中||A||和||B||分别表示向量A—>和B—>的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

内积具有交换律和分配律。

三、空间向量的基本性质空间向量具有很多重要的性质，这些性质在解决实际问题时起到了重要的作用。

1. 平行向量的性质如果两个向量A—>和B—>是平行的，则它们的模长相等且方向相同；若A—>和B—>的夹角为0度或180度，则它们互为平行向量。

2. 垂直向量的性质如果两个向量A—>和B—>垂直，则它们的内积为0，即A•B = 0。

3. 正交向量的性质如果两个非零向量A—>和B—>的内积为0，则称它们互为正交向量或垂直向量。