高中数学选修2-3第二章章节总结

高中数学选修 2-3第二章总结一、知梳理条件概率与事件的独立性〔1〕条件概率:一般地，假设有两个事件A 和B ，在事件B 生的条件下考事件A 生的概率，称此概率B 已生的条件下A 的条件概率，P(A ︱B).一般地，假设P 〔B 〕>0，事件B 已生的条件下A 生的条件概率是P(AB)P(AB) P(AB)P(AB)P(B)P(B)〔2〕事件的独立性:A,B 两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B), 称事件A 与事件B 相互独立 A B〕.事件〔或 是否生事件B 〔或A 〕生的概率没有影响，的两个事件叫做相互独立事件 假设A 与 B 是相互独立事件，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同生的概率：P(AB)P(A)P(B)两个相互独立事件同生的概率，等于每个事件生的概率的 一般地，如果事件A 1,A 2,L ,A n 相互独立，那么n 个事件同生的概率，等于每个事件生的概率的，即P(A 1A 2L A n ) P(A 1)P(A 2)LP(A n )〔3〕独立重复性:独立重复的定：指在同条件下行的，各次之相互独立的一种独立重复的概率公式： 一般地，如果在1次中某事件生的概率是 P ，那么在n 次独立重复中个事件恰好生k 次的概率P n (k)C n k P k (1 P)nk ．它是(1 nP)P 展开式的第k1离散型随机量的二分布:在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在n 次独立重复中个事件生的次数 ξ是一个随机量． 如果在一次中某事件生的概率是P ，那么在n 次独立重复中个事件恰好生k 次的概率是P n ( k) C n kp k q nk，〔k ＝0,1,2,⋯，n ，q1p 〕．于是得到随机量 ξ的概率分布如下：ξ 01⋯ k ⋯n PC n 0p 0q nC n 1p 1qn1⋯ C n k p k qnk⋯C n n p n q 0由于C n k p kq nk恰好是二展开式(q p)n C n 0p 0q nC n 1p 1q n 1C n k p k q nkC n n p n q 0中的各的，所以称的随机量ξ服从二分布，作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 参数，并C n kp k q nk＝b(k ；n ，p)．2.离散型随机量〔1〕离散型随机量:随着果化而化的量称随机量．随机量常用字母 X,Y ，，，⋯表示．在此基之上所有取可以一一列出的随机量，称离散型随机量. 〔2〕离散型随机量分布列:离散型随机量ξ可能取得x1，x2，⋯，x3，⋯，ξ取每一个xi 〔i=1， 2，⋯〕的概率P(x i )p i ，称表 ξx1 x2 ⋯ xi ⋯ PP P ⋯P ⋯12i随机量的概率分布，称分布列离散型随机量分布列的两个性：任何随机事件生的概率都足 :0 P(A) 1，并且不可能事件的概率0，必然事件的概率1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：⑴P i≥0，i＝1，2，⋯；⑵P1+P2+⋯=1．于离散型随机量在某一范内取的概率等于它取个范内各个的概率的和即P(x k)P(x k)P(x k1)〔3〕离散型随机量的数学期望与方差:均或数学期望:一般地，假设离散型随机量ξ的概率分布ξx1x2⋯x n⋯P p1p2⋯p n⋯称E x1p1x2p2⋯x n p n⋯ξ的均或数学期望，称期望．均或数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平平均数、均:一般地，在有限取离散型随机量ξ的概率分布中，令p1p2⋯p n，有p1p2p n 1(x1x2x n)1⋯，E⋯，所以ξ的数学期望又称平均数、均n n均或期望的一个性:假设a b(a、b是常数)，ξ是随机量，η也是随机量，它的分布列ξx1x⋯xn⋯2ηax1b ax2b⋯ax n b⋯P p1p2⋯p n⋯于是E(ax1b)p1(ax2b)p2⋯(ax n b)p n⋯＝a(x1p1x2p2⋯x n p n⋯)b(p1p2⋯p n⋯)＝aE b，由此，我得到了期望的一个性:E(a b)aE b假设ξ:B〔n,p〕，Eξ=np明如下：∵P(k)C n k p k(1p)n k C n k p k q n k，E0×C n0p0q n＋1×C1n p1q n1＋2×C n2p2q n2＋⋯＋k×C n k p k q nk＋⋯＋n×C n n p n q0．又∵kC n k k n!n(n1)!1)]!nC n k11，k!(nk)!(k1)![(n1)(k∴Enp(C n01p0q n1＋C n11p1q n2＋⋯＋C n k11p k1q(n1)(k1)＋⋯＋C n n11p n1q0)np(p q)n1np 故假设ξ～B(n，p)，E np．ξ01 3．常用的分布〔1〕两点分布随机量X的分布列是P1p p 像上面的分布列称两点分布列．EX1p,DX p(1p)〔2〕二分布:在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在n次独立重复中个事件生的次数ξ是一个随机量．如果在一次中某事件生的概率是P，那么在n次独立重复中个事件恰好生k次的概率是P n(k)C n k p k q n k，〔k＝0,1,2,⋯，n，q1p〕．于是得到随机量ξ的概率分布如下：ξ01⋯k⋯nP C n0p0q n C n1p1q n1⋯C n k p k q nk⋯C n n p n q0称的随机量ξ服从二分布，作ξ～B(n，p)其中n，p参数，并C n k p k q nk＝b(k；n，p)．EX np,DX np(1p)〔3〕超几何分布一般地，在含有M件次品的N件品中，任取n件，其中恰有X件次品数，事件{X=k｝生的概率P(X k)C M k C N nk M,k0,1,2,L,m,其中m min{M,n}，且n N,M N,n,M,N N．称分布列C N nX01⋯mP C M0C N n M C M1C N n1M⋯C M m C N nm M C N n C N n C N n超几何分布列．如果随机量X的分布列超几何分布列，称随机量X服从超几何分布.EX nM,DX nM(1M)N n N N N N14．正分布体密度曲:本容量越大，所分数越多，各的率就越接近于体在相各取的概率．想本容量无限增大，分的距无限小，那么率分布直方就会无限接近于一条光滑曲,条曲叫做体密度曲．频率/组距总体密度曲线单位Oa b它反映了体在各个范内取的概率．根据条曲，可求出体在区(a，b)内取的概率等于体密度曲，直x=a，x=b及x所形的面．察体密度曲的形状，它具有“两低，中高，左右称〞的特征，具有种特征的体1(x)2e22(,)密度曲一般可用下面函数的象来表示或近似表示：,(x),x2式中的数、(0)是参数，分表示体的平均数与准差，,(x)的象正分布密度曲,称正曲．一般地，如果于任何数a b，随机量X足P(a X B)b,(x)dx, a称X的分布正分布．正分布完全由参数和确定，因此正分布常作N(,2)．如果随机量X服从正分布，X～N(,2).说明，一个随机量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用果之和，它就服从或近似服从正分布．〔1〕正分布N( ,2)〕是由均μ和准差σ唯一决定的分布通固定其中一个，均与准差于正曲的影响〔2〕通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的根本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质〔3〕正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与 x 轴不相交②曲线关于直线x=μ对称③当x=μ时，曲线位于最高点④当x ＜μ时，曲线上升〔增函数〕；当 x ＞μ时，曲线下降〔减函数〕并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖〞，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高〞．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原那么，采用比照教学1x 2〔4〕．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是e2，f(x)2〔-∞＜x ＜+∞〕其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N 〔0，1〕在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题二、典型习题讲解1．人忘记了 号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复， 试求以下事件的概率：1〕第3次拨号才接通 ；2〕拨号不超过3次而接通解：设A i{第i 次拨号接通}，i1,2,3〔1〕第3 次才接通 可表示为A 1A 2A 3于是所求概率为P(A 1A 2A 3)9 8 1 1;10 9 8 10〔2〕拨号不超过3次而接通 可表示为： A 1 A 1A 2 A 1A 2A 3于是所求概率为P(A 1A 1A 2A 1A 2A 3)P(A 1)P(A 1A 2)P(A 1A 2A 3)19 1 9 8 1 3.10 10 9 10 9 8 102．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是1. 3〔1〕求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； 〔2〕求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：〔1〕因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P(11)(1 1)1 4.333271〔2〕易知~B(6, ).12.D61(11) 4.∴E 63 3 3 33．奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字 2，2个小球上标有数字 5，现摇出3个小球，规定所得奖金〔元〕为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为 元，当摇出的 3个小球均标有数字 2时， 6；当摇出的3个小球中有 2个标有数字 2，1个标有数字 5时，9 ；当摇出的 3 个小球有 1 2， 2 个标有数字 5时，12个标有数字所以P(6) C 837 P(9)C 82C 21 7P( 12)C 81C 22 1 E6(79 7 12 139)C 103 15C 10315C 1031515 15 155答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是39元54某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 ，数学为，英语为，问一次考试中〔Ⅰ〕三科成绩均未获得第一名的概率是多少〔Ⅱ〕恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C ，那么P(A)0.9,P(B) 0.8,P(C)[1 P(A)][1P(B)][1P(C)]〔Ⅰ〕P(ABC)P(A) P(B) P(C) (1 0.9)(1 0.8)(10.85)答：三科成绩均未获得第一名的概率是〔Ⅱ〕〔P(ABCABC ABC)〕P(ABC) P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A) P(B)P(C)[1 P(A)]P(B)P(C) P(A)[1P(B)]P(C)P(A)P(B)[1P(C)](1 0.9)(1 0.8)(1 0.85)答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是5如图，A,B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量〔I 〕设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为 x ，当x 6时，那么保证信息畅通 求线路信息畅通的概率；〔II 〕求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望解：〔I 〕11 412 3 6,P(x6) 1 C 21 C 21 1C 63412 4 2 23 7, P(x517)420 13 4 2 2 4 8, P(x38)2023 4 9, P(x9) 212010P(x6)1 1 3 1 34 420 104〔II 〕1124,P(x4)13,1131225,P(x5)1020∴线路通过信息量的数学期望131139145678101020 4 4 203答：〔I 〕线路信息畅通的概率是 〔II 〕线路通过信息量的数学期望是46三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为1 , 3 , 3 ,将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路2 4 4〔Ⅰ〕在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少〔Ⅱ〕三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大请画出此时电路图，并说明理由解：记“三个元件 T 1,T 2,T 3正常工作〞分别为事件A 1,A 2,A 3，那么P(A 1)1,P(A 2)3,P(A 3)3.2 44〔Ⅰ〕不发生故障的事件为(A 2 A 3)A 1∴不发生故障的概率为P 1 P[(A 2 A 3)A 1] P(A 1A 3)P(A 1)[1 P(A 2) P(A 3)] P(A 1)[1 1 1 1 15 4 ]2 324〔Ⅱ〕如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下：图1中发生故障事件为 (A 1 A 2)A 3∴不发生故障概率为P 2P[(A 1A 2)A 3]P(A 1A 2) P(A 3)[1P(A 1)P(A 2)]P(A 3)21P 1P 232图2不发生故障事件为(AA 3)A 2 ，同理不发生故障概率为P 3 P 2P11要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：〔 1〕其中至少有一件废品的概率；〔 2〕其中至多有一件废品的概率解：设事件A “从甲机床抽得的一件是废品〞； B “从乙机床抽得的一件是废品〞 那么P(A)1〕至少有一件废品的概率（ 2〕至多有一件废品的概率P(AB) 1P(AB)1P(A)P(B)1PP(AB A B AB)8 甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为 ，被甲或乙解出的概率为 ，〔1〕求该题被乙独立解出的概率；〔2〕求解出该题的人数的数学期望和方差解：〔1〕记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2P(A B)1P(AB)1(1P1)(1P)PP2PP2211P22那么P2即P2那么P(A)P10.6,P(B)P2(2)P(0)P(A)P(B)P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)P(2)P(A)P(B)的概率分布为:E012D(0 1.4)2(1 1.4)2(2 1.4)2012或利用D E(2)(E)2PE发生，该公司9某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内事件要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金解：设保险公司要求顾客交x元保险金，假设以表示公司每年的收益额，那么是一个随机变量，其分布列为：x xaP1p p因此，公司每年收益的期望值为E x(1p)(x a)p xap为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E，即xap，故可得x a(p0.1)即顾客交的保险金为a(p 0.1)时，可使公司期望获益10有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，那么这批食品不能出厂每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是求这批产品不能出厂的概率(保存三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保存三位有效数字)解：(1)这批食品不能出厂的概率是：5C514(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P C1314五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P2C413由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P P1P2C14311 高三〔1〕班、高三〔2〕班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛比赛规那么是：①按“单打、双打、单打〞顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛已知每盘比赛双方胜出的概率均为1.〔Ⅰ〕根据比赛规那么，高三〔1〕班代表队共可排出多少种不同的出场阵2容〔Ⅱ〕高三〔1〕班代表队连胜两盘的概率是多少解：〔I〕参加单打的队员有A32种方法参加双打的队员有C21种方法所以，高三〔1〕班出场阵容共有A2C112〔种〕32〔II〕高三〔1〕班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，所以，连胜两盘的概率为111113.222228袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率摸出2个或3个白球(2)至少摸出一个黑球解：〔Ⅰ〕设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件C52C323C52C31A,B，那么P(A),P(B)C847C84∵A,B为两个互斥事件∴P(AB)6即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为P(A)P(B)7〔Ⅱ〕设摸出的4个球中全是白球为事件CC541C的对立事件，那么P(C)至少摸出一个黑球为事件C8414113其概率为114143 7 6 7。

章末总结知识点一条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择恰当的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB 的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．例1坛子里放着7个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．知识点二独立事件的概率1．互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解．2．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立． 例2 已知诸葛亮解出问题概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？知识点三 n 次独立重复试验与二项分布事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率计算及二项分布的应用是高考重点考查的内容，在解答题中多与随机变量的分布列、均值综合考查．解题时应注意：恰有k 次发生和指定k 次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为C k n p k (1－p )n －k，后者的概率为p k (1－p )n －k .例3 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额为超过15万元的概率．知识点四 期望与方差求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．例4 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率．(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．例5设在10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，记X表示每次取出的次品件数．(1)求X的概率分布表；(2)求X的期望和方差．知识点五正态分布正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．例6设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．章末总结答案重点解读例1解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A27＝42.根据分步乘法计数原理n(A)＝A14×A16＝24.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1242＝27.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2747＝12.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1224＝12.例2 解 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：1－P (A ·B ·C )＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P (D )，所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮．例3 解 (1)设A 表示资助总额为零这个事件，则P (A )＝⎝⎛⎭⎫126＝164.(2)设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则P (B )＝15×⎝⎛⎭⎫126＋6×⎝⎛⎭⎫126＋⎝⎛⎭⎫126＝1132. 例4 解 (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A 、B 、C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P ＝1－(1－34)(1－38)(1－23)＝9196.(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分， 则ξ～B (10，9196)，∴E (ξ)＝10×9196＝45548(分)．而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184(分)．例5 解 (1)X 的可能取值为0,1,2,3. X ＝0，表示取出的5件产品全是正品．P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝112；X ＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品．P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝512；X ＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品．P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝512；X ＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品．P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝112.∴X 的概率分布表为X 0 1 2 3P 112512512112(2)E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32，V(X)＝112×(0－32)2＋512×(1－32)2＋512×(2－32)2＋112×(3－32)2＝712.例6解由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。

随机变量及其分布列一、本章知识框图：二、知识点1、随机变量：随着_________变化而变化的_______,常用________________________表示2、离散型随机变量：所有取值可以_______________的随机变量。

3、离散型随机变量的分布列（有几种表现形式） （1）表格法：（2）解析法：（3）图像法：4、离散型随机变量的分布列的性质：ni p x X P i i ,...2,1)(,===（1）P i ≥0,i=1,2,3,…，n （2）5、离散型随机变量的均值（1）定义： （2）性质： 6、方差（1）定义：D （X ）=（2）性质：7、二项分布的期望： 二项分布的方差： 两点分布的期望： 两点分布的方差： 三、四种常见分布 1.两点分布X 0 1 P1-pp若随机变量X 的分布列具有上表的形式，就称X 服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率. 2、二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n ，并且P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k(其中k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p )．nii 1p1.==∑n n i i p x p x p x p x X E +++++=......)(2211__________)(=+b aX E显然P (ξ＝k )≥0(k ＝0,1,2，…，n )，∑k ＝0nC k n p k q n －k＝1.称这样的随机变量ξ服从参数n 和p 的二项分布，记为ξ～B (n ，p )． 3、超几何分布______________)(件次品，则恰有件，其中件产品中，任取件次品的在含有==k X P X n N M *,,,,且,__________其中NN M n N M N n m ∈≤≤= 说明：超几何分布解决的问题涉及的背景往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等. 4.正态分布 (1)定义：如果对于任何实数a,b(a ＜b),随机变量X 满足P(a<X ≤b)= ___________________则称随机变量X 服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ,σ2).(2)正态曲线的特征：①曲线位于_____上方，与x 轴不相交； ②曲线是___峰的，它关于直线_____对称； ③曲线在x=___处达到峰值 ④曲线与x 轴之间的面积为___；______是________,是________,是2σσμ⑤当σ一定时，曲线的位置由__确定，曲线随着μ的变化而________，如图①； ⑥当μ一定时，曲线的____由σ确定，σ越小，曲线越“___”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散,如图②.(3)3σ原则：正态分布在三个特殊区间取值的概率 P(μ-σ<X ≤μ+σ)=________; P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=________; P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)=_________. 四、几种事件的概率 (1)古典概型的概率：P (A )＝m n ＝A 所含的基本事件数基本事件的总数.(2)几何概型的概率：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.(3)互斥事件有一个发生的概率：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(4)条件概率：P(B|A)＝P AB P A(5)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．(6)独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.点拨（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，某事件发生的概率均相等.（2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二:其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.（2）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且能清楚地看到每一个值的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.（3）正态分布下的概率计算常见的有两类：1. 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.2. 利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或围与正态变量的μ,σ进行对比联系，确定它们属于(μ-σ,μ+σ］,(μ-2σ,μ+2σ］,(μ-3σ,μ+3σ］中的哪一个.典例分析考点一随机变量的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．考点二离散型随机变量的分布列【例2】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是 .现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布；(3)求甲取到白球的概率．考点三超几何分布【例3】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．考点四条件概率【例4】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？考点五相互独立事件发生的概率【例5】在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A 处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为考点六独立重复试验与二项分布【例】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

高中数学选修2-3题型总结（重点）本书重点：排列组合、概率第一章 计数原理 第二章 概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m nA =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m≤n, 注：一般地nA =1，0！=1，nn A =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为n A nn =(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mnC 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．【了解】组合数的基本性质：（1）m n n mnCC -=；（2）11--+=n n m nm n CC C；（3）kn k n C C k n =--11；（4）n nk kn n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn mn m k k n C C C --=。

数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。