2.1.3参数方程与普通方程的互化(教学设计)

参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。

2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。

3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。

2. 参数方程与普通方程的互化方法。

3. 典型例题解析。

三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。

2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。

2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。

3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。

5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。

3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。

七、课时安排本节课计划用2课时完成。

八、教学资源1. 多媒体课件。

2. 练习题及答案。

3. 课堂测试题及答案。

九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。

2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。

3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。

十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。

六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。

参数方程与普通方程的互化教学教案参数方程与普通方程的互化教学教案第03时3.1.3参数方程与普通方程的互化学习目标1．明确参数方程与普通方程互化的必要性.2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.学习过程一、学前准备复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2. 写出圆的参数方程，圆呢？二、新导学探究新知（预习教材P24～P26，找出疑惑之处）问题１：方程表示什么图形？问题2：上节例2中求出点的参数方程是，那么点的轨迹是什么？小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.应用示例例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：（１）（为参数）（２）（为参数）例2 .将椭圆普通方程按以下要求化为参数方程：（1）设反馈练习1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1））2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程：１） .2）已知圆的方程，选择适当的参数将它化为参数方程.三、总结提升本节小结1. 消去参数的常用方法有：１）代入法２）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.2.互化中必须使的取值范围保持一致.3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）A．很好 B．较好 C．一般 D．较差二、当堂检测1．曲线的一种参数方程是（）.2．在曲线上的点为（）A．(2,7) B． C． D．(1,0)3. 曲线的轨迹是（）A．一条直线 B．一条射线C．一个圆 D．一条线段4．方程表示的曲线是（）A．余弦曲线 B．与x轴平行的线段C．直线 D．与y轴平行的线段后作业. 1. 已知圆方程，选择适当的参数将它化为参数方程.2.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）（2）3.（选做）化下列普通方程为参数方程：反思小结：几何体的表面积与体积学案1 集合的概念与运算一、前准备：【自主梳理】1．侧面积公式：，，，，，．2．体积公式： = ，，，．3．球：，．4．简单的组合体：⑴正方体和球正方体的边长为，则其外接球的半径为．正方体的边长为，则其内切球的半径为．⑵正四面体和球正四面的边长为，则其外接球的半径为．【自我检测】1．若一个球的体积为，则它的表面积为_______．2．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是．3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为，则圆锥的体积为．4．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径 _____________________．5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是．6．如图，已知正三棱柱的底面边长为2 ，高位5 ，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．二、堂活动：【例1】题：（1）一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm 和25π cm ，则(1)圆台的高为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为．（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .（3）三棱柱的一个侧面面积为，此侧面所对的棱与此面的距离为，则此棱柱的体积为．（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC ＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是．【例2】如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证： //平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=2，BD= 。

参数方程与普通方程互化教学目标：1、知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法2、过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重点难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化教学难点：参数方程与普通方程的等价性教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、前置作业1、你能直接说出由参数方程表示的动点M的轨迹吗？2、将下列曲线的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线3、从上题转化过程中，你能归纳出其一般步骤吗？采用了什么处理手法？二、教学过程1、展示前置作业，学生小组合作、探究前置作业中的问题。

2、学生分组展示探究成果。

1）在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2)写出圆222x y r+=的参数方程学生展示前置作业问题1解：由11x=≥有1x=-，代入1y=-23(1)y x x=-+≥，这是以（1，1）为端点的一条射线。

注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。

否则，互化就是不等价的.12(1)()2x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数)(sin4cos5为参数θθθ⎩⎨⎧==yx1.1xty⎧=⎪⎨=-⎪⎩是参数）小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.探究新知（预习教材P 24～P 26，找出疑惑之处）[读教材·填要点]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是 的不同形式，一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使保持一致．学生展示前置作业问题2强调注意三角函数法：利用一些三角函数恒等式来消去参数，注意等价变形小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数。

参数方程及普通方程的互化教学设计一、教学目标1.了解参数方程和普通方程的基本概念；2.掌握参数方程与普通方程的互相转化方法；3.能够根据给定条件将参数方程转化为普通方程，或将普通方程转化为参数方程；4.运用所学知识解决问题。

二、教学资源1.教材《高中数学(上)》；2.教学PPT；3.课件与练习作业。

三、教学步骤步骤一：导入（10分钟）1.引入参数方程和普通方程的概念，并给出一些实际生活中的例子，如小车的运动轨迹等；2.引导学生讨论参数方程和普通方程的异同点，并总结出两者的特点。

步骤二：参数方程转化为普通方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析参数方程转化为普通方程的基本思路；2.介绍常见的参数方程转化为普通方程的方法，如消元法、平方相加法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。

步骤三：普通方程转化为参数方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析普通方程转化为参数方程的基本思路；2.介绍常见的普通方程转化为参数方程的方法，如参数代换法、平方差法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。

步骤四：综合应用（30分钟）1.给出一个综合应用的问题，要求学生将其转化为参数方程或普通方程，并解决问题；2.学生分组讨论解决方案，并展示他们的思路和答案；3.教师进行点评，总结问题解决的方法和技巧。

步骤五：拓展与延伸（10分钟）1.引导学生思考参数方程和普通方程的应用领域，并给出一些实际生活中的例子；2.鼓励学生拓展和延伸所学知识，尝试解决更复杂的问题。

四、教学互动方式1.导入环节可以采用提问和小组讨论的方式，激发学生的主动参与；2.参数方程和普通方程转化的讲解可以结合PPT和示例演练进行，提高学生的学习效果和兴趣；3.综合应用环节可以采用小组讨论和展示的形式，增强学生的团队协作精神和解决问题的能力；4.拓展与延伸环节可以鼓励学生自主学习和思考，进行个人或小组报告。

五、教学评估1.在课堂中通过提问、演示和讨论的形式进行即时评估，了解学生对所学知识的掌握情况；2.布置课后作业，检验学生是否能够独立解决参数方程与普通方程的转化问题；3.结合小组展示的内容，综合评价学生在解决综合应用问题中的表现。

第2课时 参数方程和普通方程的互化课标解读1.了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．3．掌握参数方程化为普通方程的方法.参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f ty ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －a t ＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b 2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，(1－k 21＋k 2)2＋(2k 1＋k2)2＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θy ＝1－2sin 2θcos 2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2t ＋1ty ＝b2t －1t(a ，b 为大于零的常数，t 为参数)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ两式平方相加，得x 2＋y 2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x ≤2,0≤y ≤2.所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0.∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 所以方程x －y ＝0(12≤x ≤1)表示一条线段．(3)∵x ＝a 2(t ＋1t)，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2(t ＋1t)，两边平方可得x 2＝a 24(t 2＋2＋1t2)①由y ＝b 2(t －1t )两边平方可得y 2＝b 24(t 2－2＋1t 2)②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．普通方程化为参数方程曲线的普通方程为x －123＋y ＋225＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程．【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ，(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)； (2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求：(1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？ 【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ.∴sin θ－k cos θ＝k －3即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3.(φ由tan φ＝－k 确定)∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k 2. 依题意，得|k －31＋k2|≤1， ∴(k －31＋k 2)2≤1，解得k ≥43. 所以y ＋2x ＋1的取值范围是[43，＋∞)．(教材第26页习题2.1第4题)把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．(2013·广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【命题意图】 本题考查了极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．利用普通方程过渡，三种方程的互化体现了转化与化归思想的应用，同时也考查函数与方程思想的应用，这个过程用计算串联起来，考查考生的运算求解能力．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2xx 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t【答案】 D3．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ.(θ为参数)．故选D.【答案】 D4．(2013·郑州模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．【解析】 消去α得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.【答案】 ρ＝4sin θ(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1，(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24. 【答案】 A3．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 由x 2＋y －1＝0，知x ∈R ，y ≤1. 排除A 、C 、D ，只有B 符合． 【答案】 B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由于圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝－4＋sin θ，(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．【解析】 设M (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝－4＋sin θ上任意一点，∴|OM |＝3＋cos θ2＋－4＋sin θ2＝26＋6cos θ－8sin θ＝26＋10sin θ＋φ(φ由tan φ＝－34确定)当sin(θ＋φ)＝1时，|OM |取最大值6. 【答案】 66．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8.∴|AB |＝4－42＋8＋82＝16.【答案】 16三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3t ＋1t ，(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程．【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y3(y ≥6)．代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．8．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝25，cos φ＝15确定)．∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1. ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．9．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(233，π2)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．①设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； ②判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 ①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . ②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．教师备选10．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求．。

参数方程化为普通方程教案一、教学目标1. 理解参数方程与普通方程的概念及它们之间的关系。

2. 学会将简单的参数方程化为普通方程的方法。

3. 能够运用普通方程解决实际问题。

二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。

2. 参数方程化为普通方程的方法。

3. 普通方程的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的转化方法。

2. 难点：普通方程在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生了解参数方程与普通方程的概念。

2. 新课导入：讲解参数方程与普通方程的定义，让学生理解它们之间的关系。

3. 课堂讲解：讲解参数方程化为普通方程的方法，并通过示例进行演示。

4. 课堂练习：让学生独立完成一些简单的参数方程化为普通方程的练习题。

5. 讨论与拓展：引导学生讨论参数方程化为普通方程的过程中可能遇到的问题，并讲解解决方法。

引导学生思考普通方程在实际问题中的应用。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调参数方程与普通方程的转化方法及其在实际问题中的应用。

7. 布置作业：让学生课后完成一些相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对参数方程与普通方程转化的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，让学生分享自己在生活中遇到的普通方程应用实例，评估学生对知识的理解和运用能力。

七、教学反思根据学生的学习情况，对教学方法和内容进行调整，以提高学生的学习效果。

在教学中，注重培养学生的动手能力、思考能力和创新能力，提高他们对参数方程与普通方程转化的运用能力。

八、课时安排本节课计划课时为45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件。

2. 练习题。

十、教学拓展1. 引导学生进一步学习更复杂的参数方程化为普通方程的方法。

2. 探讨参数方程与普通方程在其他学科领域的应用。