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曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高二数学选修4-4教案07圆锥曲线的参数方程一、数学构建1．圆的参数方程：（1）圆222r y x =+的参数方程为 为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin r y cos r x （2）圆22020r )y y ()x x (=-+-的参数方程为 为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r y y cos r x x 00 2．椭圆的参数方程：（1）椭圆）（0b a 1b y a x 2222>>=+的参数方程为 为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin b y cos a x （1）椭圆）（0b a 1b )y y (a )x x (220220>>=-+-的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin b y y cos a x x 00 3．双曲线的参数方程：（1）双曲线1b y a x 2222=-的参数方程为 为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=cot b y sec a x （1）椭圆1b )y y (a )x x (220220=---的参数方程为 为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=cot b y y sec a x x 00 上述圆、椭圆、双曲线的参数方程中，参数ϕ的几何意义为离心角。
4．抛物线px 2y 2=的参数方程为为参数）（t pt 2y pt 2x 2⎩⎨⎧== 其中t 的几何意义是抛物线px 2y 2=上除顶点外的点与原点连线的斜率的倒数。
二、知识运用【例1】点P 在圆41)2y (x 22=-+上移动，点Q 在椭圆4y 4x 22=+上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q 坐标。
解 设Q （2cosa ，sina ）、O ′（0，2），则328328)32a (sin 3)2a (sin a cos 4|Q 'O |2222≤++-=-+=。
2132|Q 'O |≤∴，当且仅当35a cos 32a sin ±=-=，时取等号。
213221|Q 'O |21|Q 'O ||'PO ||PQ |+≤+=+≤Θ，∴|PQ|的最大值是213221+，相应的点Q 坐标为），（32532-±。
人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程课程设计一、课程目标1.理解圆锥曲线的概念和性质；2.掌握圆锥曲线的参数方程的求解方法；3.能够应用参数方程解决一些实际问题；4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念和性质•圆锥曲线的定义；•圆锥曲线的化简；•圆锥曲线的基本性质。
2. 圆锥曲线的参数方程的求解方法•讨论圆锥曲线参数方程的形式和特点；•推导圆锥曲线的参数方程；•分析和解决一些实际问题。
三、教学重难点1. 教学重点•圆锥曲线的概念和性质；•圆锥曲线的参数方程的求解方法；•圆锥曲线参数方程的应用。
2. 教学难点•圆锥曲线参数方程的求解方法；•圆锥曲线参数方程的应用。
四、教学方法1. 教学方式•讲授；•演示；•实践。
2. 教学手段•黑板；•计算器；•PPT。
五、教学过程设计1. 圆锥曲线的概念和性质课堂讲授1.圆锥曲线的定性定义及其种类；2.圆锥曲线的定量定义及其方程；3.圆锥曲线的化简；4.圆锥曲线的基本性质。
2. 圆锥曲线的参数方程的求解方法课堂讲授1.圆锥曲线参数方程的形式和特点；2.推导圆锥曲线的参数方程；3.圆锥曲线参数方程的分类讨论。
课堂演示1.用计算器绘制圆锥曲线的参数方程；2.讨论圆锥曲线参数的取值和图形的变化。
3. 圆锥曲线参数方程的应用课堂实践1.用参数方程求圆锥曲线上的点和切线；2.用参数方程解决实际问题。
六、教学评价教学效果的考核方法1.课堂测验；2.作业考核。
教学效果的评价标准1.理解和掌握圆锥曲线的概念和性质；2.能够熟练求解圆锥曲线的参数方程；3.能够应用圆锥曲线的参数方程解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
七、教学反思圆锥曲线的参数方程是高中数学的重点知识之一，具有一定的难度。
教学时要在理论讲授的基础上加强实践，让学生通过具体的例子来加深对参数方程的理解。
此外，教师还需注重引导学生分析问题、解决问题的思维能力，培养学生综合运用所学知识的能力。
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
人教版高中选修4-4二圆锥曲线的参数方程课程设计一、课程设计背景及意义本次课程设计是为了帮助高中选修4学科的学生更深入地学习二圆锥曲线的参数方程，并能够在实践中灵活应用。
在高中数学教学中，二圆锥曲线是一个非常重要的知识点，是建立高中数学基础的一部分。
掌握二圆锥曲线的参数方程可以帮助学生更好地理解二圆锥曲线的性质和图像，同时也是高中数学考试和数学竞赛中的重点内容。
二、课程设计目标1.掌握二圆锥曲线的基本概念和性质；2.理解二圆锥曲线的参数方程；3.学会在实践中应用二圆锥曲线的参数方程。
三、课程设计内容和方法3.1 课程内容本次课程设计主要包括以下内容：1.二圆锥曲线的基本概念和性质；2.二圆锥曲线的参数方程；3.应用二圆锥曲线的参数方程绘制图像；4.实际问题中的应用。
3.2 课程方法本课程将采用以下教学方法：1.讲授理论知识，重点讲解二圆锥曲线的基本概念、性质和参数方程；2.示范绘制二圆锥曲线的图像，并引导学生进行实践操作；3.让学生进行练习和自主探究，巩固和提高理解能力；4.引导学生通过练习和实践来应用知识，解决实际问题。
四、课程设计步骤4.1 第一步：学习二圆锥曲线的基本概念和性质1.引导学生了解二圆锥曲线的概念和分类；2.讲解二圆锥曲线的性质，如对称性、切线和法线等。
4.2 第二步：理解二圆锥曲线的参数方程1.引导学生逐步理解二圆锥曲线的参数方程及其原理；2.讲解二圆锥曲线的各种形式的参数方程，并进行比较。
4.3 第三步：应用二圆锥曲线的参数方程绘制图像1.示范绘制各种形式的二圆锥曲线；2.引导学生进行实践操作，并提供相关练习题供学生练习。
4.4 第四步：实际问题中的应用1.引导学生进行实际问题解析，如抛物线、双曲线等相关问题；2.让学生在实验室中进行实践操作，实现对参数方程的应用。
五、课程设计评价本课程设计以实践应用为主要教学内容，采用了多种教学方法和手段，能够有效帮助学生掌握二圆锥曲线的参数方程的知识和技能，操作简单、易于理解和掌握，能够提高学生的学习兴趣，并激发他们学习数学的热情。
人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计1. 教学目标1.掌握圆锥曲线的参数方程概念及其特点。
2.能够根据已知条件列出圆锥曲线的参数方程。
3.能够利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图，并对结果进行分析。
2. 教学内容•圆锥曲线的参数方程概念及其特点•列出圆锥曲线的参数方程的方法•利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析3. 教学重点1.掌握圆锥曲线的参数方程概念及其特点。
2.列出圆锥曲线的参数方程的方法。
4. 教学难点利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析。
5. 教学准备•多媒体教学设备•运算符计算器6. 教学过程a. 圆锥曲线的参数方程概念及其特点1.引入圆锥曲线的定义及其种类2.引入参数方程的概念及其特点3.讲解圆锥曲线的参数方程及其特点b. 列出圆锥曲线的参数方程的方法1.引入列出圆锥曲线参数方程的前提条件2.详细讲解列出圆锥曲线参数方程的步骤及方法3.通过例题进行演示c. 利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析1.讲解利用计算器画出圆锥曲线参数方程的方法及步骤2.通过例题进行演示3.就所得图像进行分析，加深对圆锥曲线参数方程的理解7. 教学作业1.完成课堂练习。
2.搜索相关问题及解答，对学习内容进行拓展。
3.整理课堂笔记。
8. 教学评估1.课堂参与度及表现2.课堂练习3.教学反馈及总结9. 教学反思针对利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析这一难点，可以在课前要求学生提前预习并自己画图、分析，课上让学生进行展示和分享。
同时，在课堂上要多次演示实例，加深学生对知识点的理解。
可以通过评估课堂笔记的方法，促进学生在复习巩固时对知识点的回顾和再次理解。
人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计教学目标1.理解圆锥曲线的参数方程的含义；2.了解圆锥曲线的三种基本形式的参数方程；3.掌握利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质。
教学内容本课将围绕圆锥曲线的参数方程展开，主要内容如下：1.圆锥曲线的参数方程的定义和含义；2.圆锥曲线的三种基本形式的参数方程：–椭圆的参数方程；–双曲线的参数方程；–抛物线的参数方程；3.利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质，包括：–求解圆锥曲线的方程；–研究圆锥曲线的对称性；–求解圆锥曲线的极点、极径和极线；–研究圆锥曲线的渐近线；–讨论圆锥曲线的切线和法线。
教学过程步骤1：引入介绍圆锥曲线的概念和图形，引出圆锥曲线的参数方程。
步骤2：讲解讲解圆锥曲线的参数方程的定义和含义，以及圆锥曲线的三种基本形式的参数方程。
步骤3：演示在黑板上演示圆锥曲线的三种基本形式的参数方程的图形，并解释图形的性质。
步骤4：练习让学生自己求解圆锥曲线的参数方程，并绘制图形，检验答案的正确性。
步骤5：归纳概括圆锥曲线的参数方程的求解方法和常见的图形特征。
步骤6：总结总结本节课的主要内容和思想，强调重点和难点。
教学手段本节课的教学手段主要包括黑板、多媒体和练习题。
教学评价通过本节课的教学，学生应该能够理解圆锥曲线的参数方程的含义，了解圆锥曲线的三种基本形式的参数方程，并能够利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质。
在教学评价中，可以通过提问和考试等方式对学生的掌握程度进行评价。
参考资料1.《高中数学课程标准实验教科书选修4》；2.《人教版高中数学选修4》；3.《高中数学教学参考书》。
焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：2222y 1,b ax +=练习：已知椭圆4922y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。
(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600,∴x ＝acos θ＝3cos60°＝23，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。
从而，点M 的坐标为)3,23(。
正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4922y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝93316。
所以点M 的坐标为(31316,93316)。
另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。
代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。
例1 求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
解：如图，设椭圆1by a x 2222=+的内接矩形在第一象限的顶点是A )sin cos (ααb a ，)20(πα<<，矩形的面积和周长分别是S 、L 。
ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，当且仅当4a π=时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ϕϕ=⎧⎨=⎩53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
第四课时 圆锥曲线参数方程的应用一、教学目标：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题三、教学模式：讲练结合，探析归纳四、教学过程：（一）、复习引入：通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：例1、双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
答案：（0，），（0，）。
学生练习。
例2、方程{t t t t x y e ee e --=+=-（t 为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。
【θ=4π时四边形OAPB 的最大值，此时点P 为（，2）。
】（三）、巩固训练1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
3、抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
第二讲 参数方程 2.2 圆锥曲线的参数方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义、体会参数方程的应用，会选择适当的参数写出曲线的参数方程，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识． （二）学习目标1．借助于圆的参数方程，理解椭圆的参数方程及其应用． 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题． （三）学习重点1．椭圆的参数方程及其应用． 2．双曲线、抛物线的参数方程．3．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性． （四）学习难点1．椭圆参数方程的参数几何意义的理解．2．利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题． 3．选择适当的圆锥曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第27页至第33页，填空：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）,参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角．双曲线的参数方程的推导：双曲线12222=-b y a x )0(>>b a 参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）抛物线的参数方程：抛物线)0(22>=p px y 参数方程⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）,t 为以抛物线上一点),(y x 与其顶点连线斜率的倒数． （2）写一写：圆锥曲线上点的坐标怎么设置？2．预习自测（1）参数方程)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线为( )【知识点】椭圆的参数方程【解题过程】消去参数得椭圆的普通方程为1422=+y x ，所以选B【思路点拨】消去参数化为普通方程来判定 【答案】B（2）椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 5y x (θ为参数)的焦距为( )A ．21B ．29C ．221D ．229【知识点】椭圆的参数方程、椭圆的性质【解题过程】消去参数得椭圆的普通方程为142522=+y x ，所以21,4,25222===c b a ，故焦距2122=c【思路点拨】消去参数化为普通方程求解 【答案】C（3）圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)的焦点坐标是________．【知识点】抛物线的参数方程【解题过程】消去参数得曲线的普通方程为x y 42=，所以为抛物线，根据抛物线的定义得焦点坐标为(1，0)【思路点拨】消去参数化为普通方程求解 【答案】(1，0)． （4）曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝2t －2t(t 为参数)的顶点坐标是________．【知识点】双曲线的参数方程 【解题过程】方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y 2＝t －1t ，两式平方相减，得x 2－y 24＝4，即x 24－y 216＝1，∴曲线是焦点在x 轴上的双曲线，顶点坐标为(±2,0)． 【思路点拨】消去参数化为普通方程求解 【答案】(±2,0) (二)课堂设计 1．知识回顾（1）写出圆方程的标准式和对应的参数方程．圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数），圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．问题探究探究一 结合旧知，类比探究椭圆参数方程★ ●活动① 归纳提炼公式上一节我们学习了圆的参数方程以及参数方程中参数的意义，那么椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程是什么呢，参数方程中的参数有何意义？如右图，以原点O 为圆心，分别以b a ,（a ＞b ＞0）为半径作两个同心圆，设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B ，过点A 作Ox AN ⊥，垂足为N ，过点B 作AN BM ⊥，垂足为M .设ϕ=∠xOA ，由三角函数的定义有：)sin ,cos (),sin ,cos (ϕϕϕϕb b B a a A设),(y x M ，依题意可得：)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 当OA 绕原点旋转一周时，就可以得到点M 的轨迹方程了。
