《等差数列前n项和公式》教案

《等差数列前n项和公式》微课教案----天津市木斋中学王珏教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）《必修5》“§2.3等差数列前n项和”第一课时。

一、教学目标设计《课程标准》指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前n项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。

考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前n项和公式，并会对公式进行简单的应用。

故结合《课标》的要求，我将本节微课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前n项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前n项和公式,并用其解决一些简单的问题。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。

因此，本节课设计了如下的课堂结构。

知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题——展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。

欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。

问题一：这一组求和的数有何特征？设计意图：复习回顾等差数列定义及通项公式和性质，为后面推导等差数列前n项和公式作铺垫。

问题二：显然，我们可以采用连加的方法把它算出来，但计算量非常大。

那么谁有更为简洁的方法？设计意图：引出高斯算法。

此时，学生兴趣高涨，会有学生很快回答采用高斯的首尾配对的方法来求和，并给出答案。

教师简单讲述德国数学家高斯的故事，进一步体现数学的人文价值。

同时课题的引入已经水到渠成。

正式引入并板书本节课题——等差数列前n项和.(二)探究发现阶段1、“倒序相加法”的提出虽然学生能很快计算出上述问题的结果，但是学生对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设置了下面问题。

问题三：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？设计意图：对学生来说，他们可能认为这个问题比计算100层更为容易，但要引导学生这是求奇数项和的问题，显然不能正好凑成整数对，说明不能简单模仿偶数项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数项的情况求和。

问题四：那么有无更好的方法，可以避免对项数的讨论？学生交流讨论，教师给予一定指导并点评，同时引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

（如下图）借助几何图形之直观性，获得算法：221)211(21⨯+=S设计意图：几何直观能启迪思路，帮助理解，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想，而且使学生在真正意义上理解了“倒序相加法”。

2、对公式的探究有了前面的铺垫，我很快提出问题五：如何求?321=++++n （设n S n +++= 321） 设计意图：在教师的指导下，让学生经历从特殊到一般的过程，从求确定的前n 个正整数之和到求一般项数的前n 个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。

此时引导学生得出： n S n ++++= 3211)2()1(++-+-+= n n n S n)1()1()1()1(2n n n n n S n +=++++++=∴ 2)1(+=∴n n S n 问题六：在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、尾项及项数n 来表示,且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与尾项的和,这能给我们求一般等差数列前n 项和带来怎样的启发呢?2121（教师在提出探究性问题的过程中板书：如果已知等差数列的首项为1a ，尾项为n a ，项数为n ，则求其前n 项和，并给出等差数列的前n 项和定义.）此时学生顺水推舟，容易得出如下过程： 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即n n a a a a S ++++= 321. (1)把项的次序反过来, n S 又可以写成121a a a a S n n n n ++++=-- . (2)把(1)、(2)两边分别相加,nn n n n a a a a a a S )()()(21121+++++=-再根据等差数列性质 =+=+=+--23121n n n a a a a a a 可以得到)()()()(21111n nn n n n a a n a a a a a a S +=++++++=.由此得到等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式：2)(1n n a a n S +=(公式一) 问题七：上述求和公式中涉及到n a a n ,,1三个元素，是否还可以用基本量1a ,d ，n 来表示nS 呢？设计意图：推出等差数列的前n 项和公式二。

思路1：用d n a a n )1(1-+=代入公式1. 思路2：换个角度看问题，即：dn n na d n na d n a d a a S n 2)1()]1(21[])1([)(11111-+=-+++=-+++++=d n n na S n 2)1(1-+=∴.(公式2) 为使学生迅速记忆公式，教学时，可以引导学生联想梯形的面积公式（见下图），帮助学生理解和记忆，从而将数与形有机进行结合。

)补成平行四边形()(1na a s n n+=3、对公式的理解问题八：比较两个公式，说说它们从哪些角度反映了等差数列的性质？设计意图：为了让学生认识两个公式本身的结构特征，以便学生在做题过程中能够恰当地选择公式，进而揭露公式的本质。

要求学生互相讨论并共享他们讨论的结果，教师给予点评和小结：（1）两个公式的共同点是需知1a 和n ，不同点是前者还需知n a ，后者需知d ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

（2）前者反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在的性质。

后者反映了等差数列的前n 项与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较，这为学习第二课时做下铺垫。

(三)巩固应用阶段例1：某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m ）是：7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500,这位运动员7天共跑了多少米？设计意图：本题是让学生所学的知识在基础题体现；是数学生活的刻意强化，与本节课引入的实例前呼后应，一进一出，使整堂课浑然一体，让学生再次领悟数学在现实生活中的应用。

例2：等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？可以先让学生阅读题目，从中提取出有用的信息，构建等差数列模型，然后教师引导学生写出这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差自己选择前n 项和公式进行求解。

（由一个学生板演，教师巡视并对个别学生进行指导，然后师生共同点评，规范做题步骤。

）设计意图：渗透数学应用意识，本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，同时注意得到的项数n 必须是正整数，使学生体会运用数学建模解决实际应用问题的方法，体现了方程的思想。

（四）演练反馈,提升能力练习1：《课堂导用》的基础自测练习2：根据下列各题中的条件，求等差数列{}n a 的前n 项和n S .（1）8,18,481==-=n a a ； （2）32,7.0,5.141===n a d a .设计意图：选择本节练习1的2个小题，目的是为了让学生熟悉公式，同时也考查了学生对公式的选择是否合适。

（五）总结反思，深化认识1.推导等差数列前 n 项和公式的方法-----倒序相加法。

2.公式的应用中的数学思想-----方程思想。

3.公式中五个量,、、、、1n n S n a d a 已知其中三个量，可以求其余两个-----知三求二。

（六）布置作业，任务延伸A 必做题：课本46P 2题(1)、(2)、(3)、(4)； 4题B 选做题：在等差数列中，（1）已知,36151252=+++a a a a 求16S ； （2）已知,106=a 求11S .设计意图：必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。

根据我校学生的特点，为了促进学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我设计了选做题，以达到分层教学的目的。