精选山东省济南市槐荫区九年级数学下册第3章圆3.7切线长定理同步练习新版北师大版

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步练习题（附答案）1．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°2．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3C．2D．33．如图，P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交P A，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，P为⊙O外一点，P A，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交P A，PB于点C，D．若P A＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P5．已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA＝4cm，MB＝3cm，则M到AB的距离是（）A．cm B．cm C．cm D．cm6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3C．3D．7．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF＝BG②CG＝CH③AB+CD＝AD+BC④BG＜CG．A．1B．2C．3D．48．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°9．已知P为⊙O外一点，P A，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA＝（）A．35°、145°B．110°、70°C．55°、125°D．110°10．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF 的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④11．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）A．①②B．②③④C．①③④D．①②④12．如图△ABC内接于⊙O，P A，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）A．B．C．D．13．如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB 于点E，则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为．14．如图，P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若P A＝10cm，则△PEF的周长是cm，若∠P＝35°，则∠AOB＝（度），∠EOF＝（度）．15．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．16．如图，四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H．（1）请探索四边形ABCD四边AB、BC、CD、AD之间的关系；（2）圆的外切平行四边形是形；（3）圆的外切矩形是形；（4）若AB：BC：CD：DA＝1：3：4：x，且四边形ABCD的周长为20cm，则x＝，AD＝．17．如图，AB为⊙O直径，P A、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥P A，PQ交OC的延长线于点Q．（1）求证：OQ＝PQ；（2）连BC并延长交PQ于点D，P A＝AB，且CQ＝6，求BD的长．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）求证：AO2＝AE•AD；（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．19．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．20．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．21．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．参考答案1．解：∵P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，即∠P AE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，∵∠P＝40°，∴∠P AE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．故选：D．2．解：∵P A，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交P A，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，P A＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴P A+PB＝2，∴P A＝PB＝，链接P A和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝P A＝PB＝．故选：A．3．解：∵P A，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交P A，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，P A＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝P A＝PB＝2P A＝3r，∴P A＝r，则的值是：＝．故选：D．4．解：∵P A、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴P A＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2P A，即△PCD的周长＝2P A＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥P A，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．故选：C．5．解：如图，∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB＝∠O2BA＝90°，∵O1A＝O1M，O2B＝O2M，∴∠O1AM＝∠O1MA，∠O2BM＝∠O2MB，∴∠BAM+∠AMO1＝90°，∠ABM+∠BMO2＝90°，∴∠AMB＝∠BMO2+∠AMO1＝90°，∴AM⊥BM，∵MA＝4cm，MB＝3cm，∴由勾股定理得，AB＝5cm，由三角形的面积公式，M到AB的距离是＝cm，故选：B．6．解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6∴OP＝AB＝3，∵OQ＝2，∴PQ＝＝，故选：D．7．解：如图，连接OE、OF、OH、OG．①∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，∴BF＝BG、AF＝AE，只有当点F是边AB的中点时，AF＝BF＝BG，否则，等式AF＝BG不成立；故本选项不一定正确；②根据题意，知，CG、CH都是⊙O的切线，∴CG＝CH．故本选项正确；③根据题意，知AF＝AE，DH＝DE，BF＝BG，CG＝CH，则AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE，即AB+CD＝AD+BC．故本选项正确；④当点G是边BC的中点时，BG＝CG．故本选项错误；综上所述，正确的说法有2个；故选：B．8．解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：A．9．解：如图；连接OA、OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠BOA＝180°﹣∠P＝110°，∴∠AEB＝∠AOB＝55°；∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝125°，①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA＝∠AEB＝55°；②当C′点在劣弧AB上运动时，∠BC′A＝∠AFB＝125°；故选：C．10．解：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE∴DE∥OF故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE∴AB+CD＝BC故②正确；∵OD＝OF∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了．故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC故④正确．故正确的是：①②④．故选：C．11．解：连接OD，DE，EB，CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，∵OC＝OC∴Rt△CDO≌Rt△CBO，∴∠COD＝∠COB，∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，∴AD∥OC，故①正确；∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，又∵BE⊥GF，∴FB＝GB，由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，∴∠BCE＝∠GBA，而∠CFE＝∠ABF+∠F AB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠F AB（等弧所对的圆周角相等），∴∠AGB＝∠CFE，∴△ABG∽△CEF，∴CE•GB＝AB•CF，又∵FB＝GB，∴CE•FB＝AB•CF故④正确．因此正确的结论有：①②④．故选：D．12．解：连接OA，OB．则OA⊥AP，OB⊥PB，∴在四边形APBO中，∠P+∠AOB＝180°，又∵∠AOB＝2∠ACB，∠ABC＝2∠P，设∠ACB＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣4∠P，∴∠AOB＝360°﹣8∠P，∴∠P+∠AOB＝∠P+（360°﹣8∠P）＝180°，∴∠P＝，∴∠ACB＝180﹣4×＝，∴∠ACB的弧度数为．故选：A．13．解：根据切线长定理得，BE＝EF，DF＝DC＝AD＝AB＝BC．设EF＝x，DF＝y，则在直角△AED中，AE＝y﹣x，AD＝CD＝y，DE＝x+y．根据勾股定理可得：（y﹣x）2+y2＝（x+y）2，∴y＝4x，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x＝6：7，故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为：6：7．故答案为：6：7．14．解：∵P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴P A＝PB＝10cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝P A+PB＝20（cm）；∵P A、PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣35°＝145°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝72.5°，∠EOF＝72.5°．故答案为20；145；72.5．15．解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．16．解：（1）∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H，∴AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AH+DH+CF+BF＝DG+CG+AE+BE，即AD+BC＝AB+DC；（2）由（1）得，圆的外切四边形对边和相等，则圆的外切平行四边形是：菱形；故答案为：菱；（3）由（1）得，圆的外切四边形对边和相等，则圆的外切矩形是正方形；故答案为：正方；（4）∵AB：BC：CD：DA＝1：3：4：x，AD+BC＝AB+DC，∴1+4＝3+x，则x＝2，∵四边形ABCD的周长为20cm，∴20÷（1+3+4+2）＝2，∴AD＝2×2＝4（cm）．故答案为：2，4cm．17．（1）证明：连接OP．∵P A、PC分别与⊙O相切于点A，C，∴P A＝PC，OA⊥P A，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OP A≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥P A，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）设OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍弃），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四边形OBDP是平行四边形，∴BD＝OP＝4．18．（1）证明：根据切线长定理可知：∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ADO，∴＝，即AO2＝AE•AD；（2）解：在Rt△AOD中，OD＝＝3（cm），∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD即5×EO＝4×3，∴EO＝（cm），∵OE是⊙O的半径，∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．19．解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，∵DE与⊙O相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，解得：x＝，即BC＝；②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC+CG＝5，∴AE：EG＝4：5，在Rt△ABG中，AG＝＝3，∴EG＝AG＝．20．（1）证明：连接BD．由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，∴OE垂直平分BD．又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD．∴AD∥OE．即OE∥AC．又O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴BE＝EC，∴EB＝EC＝ED．（4分）（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，∴∠C＝∠CDE，∴∠DEC＝180°﹣2∠C．①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F满足条件．在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F 即为所求．这是因为：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，∴△DEF∽△DCE．∴DE2＝DF•DC．即（BC）2＝DF•DC∴BC2＝4DF•DC．（6分）②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF•DC．（7分）③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分）21．证明：（1）连接OB，∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴P A＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，在Rt△POA和Rt△POB中，∵，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴∠POA＝∠POB，∵∠POB＝2∠PCB，∴∠POA＝2∠PCB；（2）过B作BE⊥PC于E，∵PB＝P A＝4，OB＝OA＝3，∴PO＝5，∴PO•BE＝OB•PB，∴BE＝，由勾股定理得：OE＝＝，∴CE＝OC+OE＝3+＝，在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．。

初中数学试卷桑水出品北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测一、选择题1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．38答案：B解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．30答案：D解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30．故选：D．分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案．3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化答案：A解析：解答：如图：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故选：A．分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11答案：D解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．故选：D．分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：D解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．6.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．16答案：A解析：解答：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC）=25-2×9=7．故选A．分析：根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-（BG+EH+BC），据此即可求解．7.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A．4 B．8 C．4√3 D．8√3答案：B解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°答案：D解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．9.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案：C解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为360度可解．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=23，那么∠AOB等于（）A．90° B．100° C．110° D．120°答案：D解析：解答：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=23：4= 3：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．分析：由切线长定理知△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP= 3：2，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值．11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC•PO答案：D解析：解答：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：PA2=PC•（PO+OC），因此D错误．故选D．分析：由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．12.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，12（90°+∠P） B．7，90°+12C．10，90°-12∠P D．10，90°+12∠P答案：C解析：解答：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=12∠AOB，∴∠AOB=180°-∠P，∴∠COD=90°-12∠P．故选：C．分析：根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=12∠AOB．A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，∴MN=12（AB+CD），根据切线长定理得：DE=DH，CF=CH，并且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=12（AB+CD），∴CD=MN，而MN=8，∴CD=8．故选C．分析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为E、H、N、中位线为MN，根据中位线定理可以得到上下底之和，然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线，由此即可解决问题．14.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9 B．7 C．11 D．8答案：C解析：解答：如图：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．故选：C．分析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE 的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．15.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞BC．故选A，分析：连接OF，则OF是梯形的高，则AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不能同时成立，据此即可证得．二、填空题16.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm.答案：5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．17.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为答案：16解析：解答：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．故答案为16．分析：由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．18.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan 12∠APB的值是答案：2 3解析：解答：连接PO，AO，∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴∠APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长=3r，∴PA=PB=1.5r，∴tan 12∠APB=AO: PA =r :1.5r =23，故答案为：2 3．分析：利用切线长定理得出PA=PB=1.5r，再结合锐角三角函数关系得出答案．19.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为答案：8cm解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=4cm，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是答案：14解析：解答：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，故答案为：14．分析：由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题21.已知四边形ABCD外切于⊙O，四边形ABCD的面积为24，周长24，求⊙O的半径．答案：2解析：解答：设四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为：F，G，M，E，连接FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形ABCD的面积为：1 2×EO×AD+12OM×DC+12GO×BC+12FO×AB=12EO（AD+AB+BC+DC）=12EO×24=24，解得：EO=2．故r=2．分析：利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径．22.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.答案：2解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为：2．分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解．23.如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径.答案：3解析：解答：连接OA、OB，则OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠P=90°，∴∠AOB=90°，∴四边形APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是3，故答案为：3．分析：连接OA、OB，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，由切线的性质及切线长定理可得：PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，再由已知∠P=90°，所以得到四边形APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即PA的长．24.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，求∠CPD.答案：60°解析：解答：∵PA=6，⊙O的半径为2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠CPD=60°，故答案为：60°．分析：根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4，∠OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°，即可得出答案．25.如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.答案：2解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．故答案为：2．分析：先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根据OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四边形ODCE是正方形，最后设OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．。

适用精选文件资料分享九年级数学下 3.7 切线长定理课时练习（北师大有答案和解说）北师大版数学九年级下册第 3 章第 7 节切线长定理同步检测一、选择题 1. 如图，一圆内切四边形 ABCD，且 BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A ．32 B．34 C．36 D．38 答案： B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（ 7+10）=34．应选： B．解析：依据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2. 以以以下图， P 为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点C、D，若 PA=15，则△ PCD的周长为（） A ．15 B．12 C．20 D．30 答案： D 解析：解答：∵P为⊙O外一点， PA、PB分别切⊙O于 A、B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA、PB于点 C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP，∵PA=15，∴△ PCD的周长为： PA+PB=30．应选： D．解析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，从而求出答案． 3. 如图，△ ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是此中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形（△ AMN），则剪下的△ AMN的周长为（） A ．20cmB．15cmC．10cm D．随直线 MN的变化而变化答案： A 解析：解答：如图：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点 D是此中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F 分别是⊙O 的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．应选：A．解析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，从而得出答案． 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（）A ．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形 ABCD，∴AD+BC=AB+CD，∵AB=10，BC=7，CD=8，∴AD+7=10+8，解得：AD=11．应选： D．解析：依据圆外切四边形的性质对边和相等从而得出 AD的长． 5. 圆外切等腰梯形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A ．4 B．8 C．12 D．16 答案： D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．应选： D．解析：直接利用圆外切四边形对边和相等，从而求出即可． 6. 如图，⊙O是△ ABC的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、 AC上的点，且 DE为⊙O的切线，若△ ABC的周长为 25，BC的长是 9，则△ ADE的周长是（） A ．7 B．8 C．9 D．16 答案： A 解析：解答：∵ AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI=BG， CI=CH，DG=DF，EF=EH．∴BG+CH=BI+CI=BC=9，∴△ ADE 的周长 =AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC 的周长 - （BG+EH+BC）=25- 2×9=7．应选 A．解析：依据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，△ ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长 -（BG+EH+BC），据此即可求解． 7. 如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B．假如∠ APB=60°， PA=8，那么弦AB的长是（）A ．4 B．8 C．4 D．8 答案：B 解析：解答：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠ P=60°，∴△ PAB是等边三角形，即 AB=PA=8，应选 B．解析：依据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．8. 如图，PA、PB分别是⊙O 的切线， A、B 为切点， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°答案： D 解析：解答：依据切线的性质定理得∠ PAC=90°，∴∠ PAB=90° - ∠BAC=90° - 35°=55°．依据切线长定理得 PA=PB，所以∠ PBA=∠PAB=55°，所以∠ P=70°．应选 D．解析：依据切线长定理得等腰△ PAB，运用内角和定理求解． 9. 如图， AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠ A=70°，则∠ BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案： C 解析：解答：∵AB、AC是⊙O的两条切线， B、C是切点，∴∠ B=∠C=90°，∠BOC=180° - ∠A=110°．应选 C．解析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，切点是 A、B．假如 OP=4，PA= ，那么∠ AOB等于（） A ．90° B．100° C．110° D．120°答案： D 解析：解答：∵△ APO≌△ BPO（HL），∴∠ AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2 ：4= ：2，∴∠ AOP=60°．∴∠ AOB=120°．应选 D．解析：由切线长定理知△ APO≌△ BPO，得∠ AOP=∠BOP．可求得 sin ∠AOP=：2，所以可知∠ AOP=60°，从而求得∠ AOB的值． 11. 如图， PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，OP交⊙O于 C，以下结论中，错误的选项是（）A．∠ 1=∠2 B． PA=PBC．AB⊥OPD． =PC?PO答案： D 解析：解答：连接 OA、OB，AB，∵PA切⊙O于 A，PB切⊙O于 B，由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB，∴△ ABP是等腰三角形，∵∠ 1=∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故 A，B，C正确，依据切割线定理知： =PC? （PO+OC），所以 D错误．应选 D．解析：由切线长定理可判断出 A、B选项均正确．易知△ ABP是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的特色，可求出 AB⊥OP，故 C 正确．而 D选项明显不切合切割线定理，所以 D错误． 12. 如图， P为⊙O外一点， PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点 E，分别交 PA，PB于点 C，D．若 PA=5，则△ PCD的周长和∠ COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+ C．10，90° - ∠P D． 10，90°+ ∠P 答案： C 解析：解答：∵ PA、PB切⊙ O于 A、B，CD切⊙O于 E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△ PCD 的周长 =PD+DE+PC+CE=2PA，即△ PCD的周长 =2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△ AOC≌△ EOC（ SAS），△ EOD≌△ BOD（ SAS），∴∠ AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠ COD=∠AOB，∴∠ AOB=180°- ∠P，∴∠ COD=90°- ∠P．应选： C．解析：依据切线长定理，即可获得 PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长 =2PA；连接 OA、OE、OB依据切线性质，∠ P+∠AOB=180°，再依据 CD为切线可知∠ COD=∠AOB． 13. 圆外切等腰梯形的中位线等于8，则一腰长等于（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：解答：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，∴MN= （AB+CD），依据切线长定理得： DE=DH，CF=CH，而且等腰梯形和圆都是轴对称图形，∴CD=DH+CH=DE+CF=（AB+CD），∴CD=MN，而 MN=8，∴CD=8．应选 C．解析：如图，设圆的外切梯形ABCD，切点分别为 E、H、N、中位线为 MN，依据中位线定理可以获得上下底之和，此后利用切线长定理可以获得一腰长等于中位线，由此即可解决问题． 14. 如图，⊙O为△ ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点 D，E分别为 BC，AC上的点，且 DE为⊙O的切线，则△ CDE 的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 答案： C 解析：解答：如图：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M，CM=x，依据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-，xAN=AP=10-x．则有9-x+10-x=8 ，解得：x=5.5 ．所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．应选：C．解析：设 AB，AC，BC和圆的切点分别是 P，N，M．依据切线长定理得到 NC=MC，QE=DQ．所以三角形 CDE的周长即是 CM+CN的值，再进一步依据切线长定原由三角形 ABC的三边进行求解即可． 15. 已知四边形 ABCD是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与 AB、AD、CD分别相切于点 E、F、G，圆心 O在 BC上，则 AB+CD与 BC的大小关系是（）A．大于 B ．等于 C．小于 D．不可以确立答案：A解析：解答：连接OF，∵AD是切线，∴OF⊥AD，又∵ AD∥BC，∴AB≥OF，CD≥OF，又∵ AD＜BC，∴AB≥OF，CD≥OF最多有一个成立．∴AB+CD＞2OF，∵BC=2OF，∴AB+CD＞ BC．应选 A，解析：连接 OF，则 OF是梯形的高，则 AB≥OF，CD≥OF，而两个式子不可以同时成立，据此即可证得．二、填空题 16. 如图，PA、PB分别切圆 O于 A、B，并与圆 O的切线，分别订交于 C、D，已知△ PCD的周长等于 10cm，则 PA=cm. 答案： 5解析：解答：如图，设DC与⊙O的切点为 E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得： DE=DA，CE=CB；则△ PCD的周长 =PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为： 5．解析：因为 DA、DC、BC都是⊙O的切线，可依据切线长定理，将△PCD的周长变换为PA、PB的长，然后再进行求解． 17. 如图， PA、PB、DE分别切⊙O 于 A、B、C，DE分别交 PA，PB于 D、E，已知 P 到⊙O的切线长为 8cm，那么△ PDE的周长为答案： 16 解析：解答：∵ PA、 PB、DE分别切⊙O 于 A、 B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△ PDE的周长为16．故答案为16．解析：因为PA、PB、DE都是⊙O的切线，可依据切线长定理将切线PA、PB的长转变成△PDE的周长．18. 如图，PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，若⊙O的半径为 r ，△ PCD的周长等于 3r ，则 tan ∠APB的值是答案：解析：解答：连接 PO，AO，∵PA，PB切⊙O于 A，B 两点， CD切⊙O于点 E，交 PA，PB于 C，D，∴∠ APO=∠BPO，AC=EC，DE=BD，PA=PB，∴PA+PB=△PCD的周长 =3r ，∴，∴tan ∠APB=AO: PA=r :1.5r = ，故答案为：．解析：利用切线长定理得出，再联合锐角三角函数关系得出答案． 19. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB，BC分别相切于点 D、E，过劣弧 DE（不包含端点 D，E）上任一点 P 作⊙O的切线MN与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙O的半径为 4cm，则 Rt△MBN的周长为答案： 8cm 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O是 Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ ABC=90°，∴∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形 ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形 ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切 AB于 D，切 BC于 E，切 MN于 P，NP与 NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM， NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．解析：连接 OD、OE，求出∠ ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=4cm，依据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN得出 BD+BE，求出即可． 20.如图，已知以直角梯形ABCD的腰 CD为直径的半圆 O与梯形上底 AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰 AB为 5，则该梯形的周长是答案：14 解析：解答：依据切线长定理，得 AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是 5×2+4=14，故答案为：14．解析：由切线长定理可知： AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．三、计算题 21. 已知四边形 ABCD外切于⊙ O，四边形 ABCD的面积为24，周长 24，求⊙O的半径．答案： 2 解析：解答：设四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，切点分别为： F，G，M，E，连接 FO，AO，OG，CO，OM，DO，OE，四边形 ABCD的面积为：×EO×AD+OM×DC+GO×BC+ FO×AB = EO（AD+AB+BC+DC）= EO×24 =24，解得：EO=2．故 r=2 ．分析：利用切线的性质从而利用三角形面积求法得出⊙O 的半径． 22. 如图，AB为⊙O的直径，点 C在 AB的延长线上， CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若 AD=2，∠ DAC=∠DCA，求 CE. 答案： 2 解析：解答：∵CD、CE分别与⊙O相切于点 D、E，∴CD=CE，∵∠ DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，∵AD=2，∴CE=2．故答案为： 2．解析：由条件可得 AD=CD，再由切线长定理可得： CD=CE，所以 AD=CE，问题得解． 23. 如图，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∠P=90°，PA=3，求⊙O的半径 .答案：3解析：解答：连接OA、OB，则 OA=OB（⊙O的半径），∵PA、PB分别切⊙O于点 A、B，∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，已知∠ P=90°，∴∠ AOB=90°，∴四边形 APBO为正方形，∴OA=OB=PA=3，则⊙O的半径长是 3，故答案为： 3．解析：连接OA、OB，已知 PA、PB分别切⊙O于点 A、B，由切线的性质及切线长定理可得： PA=PB，∠ OAP=∠OBP=90°，再由已知∠ P=90°，所以得到四边形 APBO为正方形，从而得⊙O的半径长即 PA的长．24. 如图，P是⊙O的直径 AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点 C、D．若 PA=6，⊙O的半径为 2，求∠ CPD. 答案： 60°解析：解答：∵ PA=6，⊙O的半径为 2，∴PB=PA-AB=6-4=2，∴OP=4，∵PC、PD切⊙O于点 C、D．∴∠ OPC=∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin ∠OPC=2: 4 =0.5 ，∴∠OPC=30°，∴∠ CPD=60°，故答案为： 60°．解析：依据切线的性质定理和切线长定理求出 OP=4，∠ OPC=∠OPD，再利用解直角三角形的知识求出∠ OPC=30°，即可得出答案． 25. 如图，⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，且∠ ACB=90°，∠ A，∠ B，∠C所对的边长挨次为3，4，5，求⊙O的半径 . 答案：2 解析：解答：连接OD、OE，∵⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD， OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ ACB=90°，∴四边形ODCE 是正方形，设 OD=r，则 CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r ，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r ，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r ，r=2 ，则⊙O的半径是 2．故答案为： 2．解析：先连接 OD、OE依据⊙O与△ ABC中 AB、AC的延长线及 BC边相切，得出 AF=AD，BE=BF，CE=CD，再依据 OD⊥AD，OE⊥BC，∠ ACB=90°，得出四边形 ODCE是正方形，最后设 OD=r，列出 5+3-r=4+r ，求出 r=2 即可．。

解：（1）∵PA，PB 是☉O 的切线，∴PA = PB. ∵直线 EF 是☉O 的切线，∴EB = EQ，FQ = FA. ∴△PEF 的周长 = PE + PF + EF = PE + PF + EQ + FQ = PE + PF + EB + FA = PA + PB = 2PA = 24 （cm）.
2
3. （例 3）如图，求作△ABC 的内心 O（三角形三条角平分
线的交点，即内切圆的圆心）. （1）若∠ABC = 60°，∠C = 40°，则∠BOC = 130° ；
（2）若∠A = 70°，则∠BOC = 125°
；
（3）若∠A = α°，则∠BOC =
90 + α °
2
（结果用含α的
表达式表示）.
课程标准
第三章 圆
第11课* 切线长定理
目录
新课学习 重难易错 三级检测
新课学习
两 轴对称 OP
两 PA，PB 是☉O 的切线
相等
PA = PB
1. （例 1）如图，P 是☉O 外的一点，PA，PB 分别与☉O 相切于点 A，B，C 是 AB 上的任意一点，过点 C 的切 线分别交 PA，PB 于点 D，E. 若 PA = 4，求△PED 的周长.
解：∵PA，PB 分别与☉O 相切于点 A，B，∴PA = PB = 4. ∵过点 C 的切线分别交 PA，PB 于点 D，E， ∴DC = DA，EC = EB. ∴△PED 的周长 = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE = PD + DA + EB + PE = PA + PB = 4 + 4 = 8.