切线长定理—巩固练习

第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

第 2 章 对称图形 —— 圆第 4 课时 切线长定理知识点 切线长定理的应用1． 如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线 ，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4． 已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为 线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。

切线长定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于()A．21B．20C．19D．18第2题图第3题图第4题图3.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有()A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点5．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°6．（2015•东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，AD 平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB 为直径的半⊙O 切CD 于点E，F 为弧BE 上一动点，过F 点的直线MN 为半⊙O 的切线，MN 交BC 于M，交CD 于N，则△MCN 的周长为（）A．9B．10C．3D．2二、填空题7．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P ＝20°，则∠A ＝___________°．P O CB A 第7题图第8题图8．如图，巳知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC，CD 与⊙O 相切，切点为D．若CD=，则线段BC 的长度等于．9．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设 CD、 CE的长分别为x、y，线段ED 的长为z，则z（x+y）=.10．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图(2)中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(2)边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm;(3)边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm，这两个圆的圆心距是________cm.11．（2016•徐州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=．12．如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是度．三、解答题13.如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD 的周长为18cm，∠APB=60°，求⊙O的半径．14.如图（1）所示，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C分别为切点，∠BAC＝30°．(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．图（1）15.（2016•武汉校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D（1）如图1，求证：BD=ED；（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC=6，sin∠BAC=，求OE的长．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】②④错误.2．【答案】D；【解析】∵AD=AF,BD=BE,CE=CF，∴周长=821218⨯+⨯=，故选D.3.【答案】C；【解析】∠PAB=∠PBA=∠POA=∠ACB，有3个.4.【答案】D；【解析】点O是△DEF的外接圆的圆心（即外心），是三条边的垂直平分线的交点，故选D.5．【答案】C；6．【答案】A；【解析】解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O切线，∵CD和MN为⊙O切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=4.5，∴CB=CE=4.5，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．二、填空题7．【答案】∠A＝35°；【解析】由PC与⊙O相切于点C，得∠PCO＝90°，而∠P＝20°，所以∠POC ＝70°；因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO；又∠A＋∠ACO＝∠POC＝70°，故∠A＝35°．8．【答案】1；【解析】连结OD，∵CD与⊙O相切，切点为D，∴∠ODC=90°，设⊙O的半径为r,则OC=2r，在Rt△ODC中，有勾股定理得r=1，BC=r=1.9．【答案】8π；【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N 的半径分别为R，r，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R 2﹣r 2）•2π，=4•2π，=8π．故答案为：8π．10．【答案】(1)22；(2)33；(3)22；1．【解析】图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22cm.（2）等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r 的最小值是33cm.（3）r 的最小值是22cm，圆心距是1cm.11.【答案】125.【解析】∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC ﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．故答案为125．12.【答案】99．【解析】∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB=EC，又∵∠E=46°，∴∠ECB=∠EBC=67°，∴∠BCD=180°﹣（∠BCE+∠DCF）=180°﹣99°=81°；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°﹣81°=99°．三、解答题13.【答案与解析】连接OA，OP，则OA⊥PA，根据题意可得：CA=CE，DE=DB，PA=PB，∵PC+CE=DE+PD=18，∴PC+CA+DB+PD=18，∴PA=×18=9（cm），∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠APB=30°，在Rt△AOP中，PO=2AO，AO＞0，故OA2+92=（2AO）2，解得：OA=2，故⊙O的半径为：3cm．14.【答案与解析】(1)PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB．∴∠BAP＝90°∴∠BAC＝30°．∴∠CAP＝90°-∠BAC＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．(2)连接BC，如图（2），则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，图（2）∴BC＝1．由勾股定理又求得AC＝3，由(1)知PA＝PC＝3．15.【答案与解析】解：（1）证明：连接BE．∵是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．∵∠DBC=∠CAD．∴∠DBC=∠BAD．∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴∠DBE=∠DEB．∴BD=ED．（2）如图2所示；连接OB．∵AD是直径，A平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BD=FC=3．∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC=，BF=3，∴OB=5．∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，∴OF==4．∴DF=1．在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．∴BD=．∴DE=．使用OE=5﹣．。

专题2.9 切线长定理 三角形的内切圆（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）A ．8B ．2C ．42D ．23．如图，在ABC ∆中，52AB AC BC +=,AD BC ⊥于D ，⊙O 为ABC ∆的内切圆，设⊙O 的半径为R ，AD 的长为h ，则Rh的值为（ ）A ．12B ．27C ．13D ．344．如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在AD ，DC 上，现将⊙DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．22D ．225．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：⊙BAD CAD ∠=∠；⊙若60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；⊙若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；⊙BD DE =．其中一定正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°，∠C ＝65°，点D 是BC 的中点，则∠OAD 的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°7．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的O 上，若直径,30AD BC D ⊥∠=︒，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．22C 3D ．38．如图，已知AT 切O 于点T ，点B 在O 上，且60BOT ∠=︒，连结AB 并延长交O 于点C ，O 的半径为2，设AT m =，⊙当m 23BOC ∆是等腰直角三角形； ⊙若2m =，则62AC ⊙当23m =AB 与O 相切．以上列选项正确的有（ ） A ．⊙B ．⊙C ．⊙⊙D ．⊙⊙9．如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若⊙ADC ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．2B ．2C 52D 7210．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 5AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3二、填空题11．如图，P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点．若60APB ∠=︒，则AOP ∠的大小为______．12．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，若⊙BDE +⊙CFE =110°，则⊙A 的度数是________︒．13．如图，矩形ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()4,3，⊙M 是AOC △的内切圆，点N ，点P 分别是⊙M ，x 轴上的动点，则BP PN +的最小值是______．14．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，若⊙BOC ＝118°，则⊙AOD ＝__．15．如图，在平面直角坐标系中，点()0,6A ，点()8,0B ，I 是OAB 的内心，则（1）AB=______；（2）点I关于x轴对称的点的坐标是______．16．如图，点I是⊙ABC的内心，连接AI并延长交⊙ABC的外接圆于点D，若⊙ACB＝70°，则⊙DBI＝_____°．17．如图，已知O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC m=．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的O的两切线互相垂直，则ACP∠的最大值等于__．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．三、解答题19．已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，⊙为ABC 的内心，且⊙在ABC的边 BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、． （1）若5,4,3a b c ===，求ABC 内切圆半径r ； （2）求证：2b c aAE AF +-==．20．已知关于x 的方程x 2﹣（k ＋1）x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个直角三角形两直角边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若直角三角形的内切圆半径为12，求k 值．21．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，过点D 作O 的切线交BC 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ，且DE BE ⊥，过点A 作O 的切线交EF 于点G ，连接AC ．(1) 求证：AD 平分GAC ∠；(2) 若AD =5，AB =9，求线段DE 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，⊙ABC =90°，以AB 的中点O 为圆心，AB 为直径的圆交AC 于D ，E 是BC 的中点，DE 交BA 的延长线于F ．(1) 求证：FD 是圆O 的切线； (2) 若BC =4，FB =8，求AB 的长．23．在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点P ，16ABC ∠=︒． (1)如图⊙，若52BAD =︒∠，求APC ∠和CDB ∠的大小；(2)如图⊙，若CD AB ⊥，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ，求E ∠的大小．24．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，⊙E 是ABC 中⊙A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：⊙BGC 是ABC 中⊙BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，⊙BGC 是ABC 中⊙A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．参考答案1．B 【分析】⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，得出正方形CDIF 推出CD=CF =1，根据切线长定理得出AD=AE ，BE=BF ，CF=CD ，求出AD+BF=AE+BE=AB =6，即可求出答案．解：如图，⊙I 切AB 于E ，切BC 于F ，切AC 于D ，连接IE ，IF ，ID ，则⊙CDI =⊙C =⊙CFI =90°，ID=IF =1，⊙四边形CDIF是正方形，⊙CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，⊙直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，⊙AB=6=AE+BE=BF+AD，即⊙ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．2．C【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到⊙CPO=90°，⊙COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．解：如图所示，连接CP，⊙OA，OB都是圆C的切线，⊙AOB=90°，P为切点，⊙⊙CPO=90°，⊙COP=45°，⊙⊙PCO=⊙COP=45°，⊙CP=OP=4，⊙2242=+=，OC CP OP故选C．【点拨】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．3．B【分析】O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,，利用ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++求出7142R h =，进一步得出结论． 解：如图，令O 分别与ABC ∆的三边切于P ，Q ，T ，连接OA OB OC OP OQ OT ,,,,,⊙,,OP AB OQ AC OT BC ⊥⊥⊥⊙ABC OAB OAC OBC S S S S ∆∆∆∆=++=111222AB OP AC OQ BC OT ⋅+⋅⋅+⋅⋅ =111222AB R AC R BC R ⋅+⋅⋅+⋅⋅ 1()2R AB AC BC =++ 又⊙52AB AC BC +=⊙17()2524ABC S R BC BC R BC ∆=+=⋅ 又⊙,AD BC AD h ⊥=⊙1122ABC S BC AD h BC ∆=⋅⋅=⋅⋅ ⊙7142R BC h BC ⋅=⋅⋅ ⊙7142R h = ⊙122774Rh == 故选：B ．【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．4．C【分析】延长FO 交AB 于点G ，根据折叠对称可以知道OF ⊙CD ，所以OG ⊙AB ，即点G 是切点，OD 交EF 于点H ，点H 是切点．结合图形可知OG =OH =HD =EH ，等于⊙O 的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．解：如图：延长FO 交AB 于点G ，则点G 是切点，OD 交EF 于点H ，则点H 是切点，⊙ABCD 是正方形，点O 在对角线BD 上，⊙DF =DE ，OF ⊙DC ，⊙GF ⊙DC ，⊙OG ⊙AB ，⊙OG =OH =HD =HE =AE ，且都等于圆的半径．在等腰直角三角形DEH 中，DE =2，⊙EH =DH 2AE ．⊙AD =AE +DE 2+2．故选C ．【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．5．D【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；连接BE ，CE ，可得⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），从而得到⊙CBE +⊙BCE =60°，进而得到⊙BEC =120°，故⊙正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()12BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到⊙DBE =⊙BED ，故⊙正确；即可求解．解：⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，故⊙正确；如图，连接BE ，CE ，⊙点E 是ABC 的内心，⊙⊙ABC =2⊙CBE ，⊙ACB =2⊙BCE ，⊙⊙ABC +⊙ACB =2（⊙CBE +⊙BCE ），⊙⊙BAC =60°，⊙⊙ABC +⊙ACB =120°，⊙⊙CBE +⊙BCE =60°，⊙⊙BEC =120°，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙BD CD =,⊙点G 为BC 的中点，⊙线段AD 经过圆心O ，⊙90BGD ∠=︒成立，故⊙正确；⊙点E 是ABC 的内心，⊙11,22BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ⊙⊙BED =⊙BAD +⊙ABE ，⊙()12BED BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙CBD =⊙CAD ，⊙⊙DBE =⊙CBE +⊙CBD =⊙CBE +⊙CAD ，⊙()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠， ⊙⊙DBE =⊙BED ，⊙BD DE =，故⊙正确；⊙正确的有4个．故选：D【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．6．B【分析】连接OB ，根据圆周角定理求出⊙AOB ，得到⊙OAB 的度数，根据三角形内角和定理求出⊙BAC ，根据圆周角定理求出⊙BAD ，结合图形计算，得到答案．解：连接OB ，由圆周角定理得，⊙AOB=2⊙C=130°，⊙OA=OB ，⊙⊙OAB=12×（180°-130°）=25°，⊙⊙ABC=45°，⊙C=65°，⊙⊙BAC=180°-45°-65°=70°，⊙点D 是BC 的中点，⊙⊙BAD=⊙CAD=35°，⊙⊙OAD=⊙BAD -⊙OAB=10°，故选：B ．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．7．D【分析】AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，由题意得==30DCO D ∠∠︒，根据三角形内角和定理得120COD ∠=︒，即60COE ∠=︒，可得30OCE ∠=︒，根据直角三角形的性质得112EO OC ==，在Rt CEO 中，根据勾股定理得3CE 解：如图所示，令AD BC ⊥交BC 于点E ，连接OC ，⊙=2OC OD =，=30D ∠︒，⊙==30DCO D ∠∠︒，⊙180=1803030=120COD DCO D ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒︒，即180=180120=60COE COD ∠=︒-∠︒-︒︒，⊙180=180609030OCE COE OEC ∠=︒-∠-∠︒-︒-︒=︒,⊙112EO OC ==， 在Rt CEO 中，根据勾股定理得，2222213CE CO OE -=-=⊙直径AD BC ⊥，⊙BE CE =，即223BC CE ==故选：D ．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握这些知识点．8．C【分析】根据题目所给条件，结合圆的性质，证明90∠=︒ABO 即可判断⊙⊙，根据等腰直角三角形的性质并结合圆的性质，应用勾股定理即可判断⊙解：如图，连接TB 、OA ，TB 、OA 相较于点G当23AT m ==2333tan 2AT AOT OT ∠===⊙30AOT ∠=︒⊙OA 垂直平分TB⊙30AOT AOB OAT OAB ∠=∠=︒∠=∠，又⊙AT 与O 相切⊙90ATO ∠=︒⊙60BOT ∠=︒⊙30ATB ∠=︒⊙60OAT OAB ∠=∠=︒⊙90AOB OAB ∠+∠=︒⊙90∠=︒ABO⊙AB 与O 相切则⊙错误；⊙正确；当2AT m ==时，OT AT =⊙AB 与O 相切45AOT OAT ∠=∠=︒∴60BOT ∠=︒∵604515AOB BOT AOT ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴30ATB AT BT ∠=︒=∵，()1180752BAT ATB ∠=︒-∠=︒∴ 754530OAB BAT TAO ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴153045OBC AOB OAB ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴22222222BC OC OB =+=+∴作OE BC ⊥，则122OE CE BE BC ====22222222OA AT OT ++=∵()22222226AE OA OE --∴62AC AE CE =+=∴故⊙正确；故选：C【点拨】本题主要考查圆的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，掌握以上知识，并正确做出辅助线是解题的关键．9．A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．易求出75CBD CDB ∠=∠=︒，30BCD ∠=︒．再由切线的性质，即可求出60OCD ∠=︒，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO ∠=︒，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．解：如图，连接OC 、OD ，作OE AB ⊥于点E ．⊙BC CD =，⊙CBD CDB ∠=∠，⊙105ADC ∠=︒，⊙75CBD CDB ∠=∠=︒，⊙18027530BCD ∠=︒-⨯︒=︒．由题意可知OC BC ⊥，即90OCB ∠=︒，⊙903060OCD OCB BCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙OD =OC ，⊙三角形OCD 为等边三角形．⊙60ODC ∠=︒，3OC OD CD ===．⊙1056045ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙三角形OED 为等腰直角三角形， ⊙22323DE === ⊙322232AD DE ===故选：A ．【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．B【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，利用垂径定理得到OD ⊙AB ，则AD ＝BD ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断AC 和CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC CD =，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是可得到BC 的长．解：如图，连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊙AB 于E ，OF ⊙CE 于F ，⊙D 为AB 的中点，⊙OD ⊙AB ，⊙AD ＝BD ＝12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD 22541OB BD --=，⊙将BC 沿BC 折叠，⊙AC 和CD 所在的圆为等圆，⊙AC CD =，⊙AC ＝DC ，⊙AE ＝DE ＝1，⊙⊙ODE ＝⊙OFE ＝⊙DEF ＝90°，⊙四边形ODEF 是矩形，⊙DE ＝OD ＝1，⊙四边形ODEF 是正方形，⊙OF ＝EF ＝1，在Rt △OCF 中，CF 22512OC OF ，⊙CE ＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，⊙BC 223332+=故选：B ．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．11．60°##60度【分析】先由切线的性质及切线长定理求出90,30PAO APO ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 解： P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点190,2PAO APO PAB ∴∠=︒∠=∠ 90APO AOP ∴∠+∠=︒60APB ∠=︒30APO ∴∠=︒60AOP ∴∠=︒故答案为：60°．【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．12．40【分析】根据切线长定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理推出⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，得到2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，据此求解即可．解：⊙⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 的切点分别为D ，E ，F ，⊙BD =BE ，CE =CF ，⊙⊙BDE =⊙BED ，⊙CFE =⊙CEF ，⊙⊙BDE +⊙BED +⊙B =180°，⊙CFE +⊙CEF +⊙C =180°，即2⊙BDE +⊙B =180°，2⊙CFE +⊙C =180°，⊙2(⊙BDE +⊙CFE )+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙BDE +⊙CFE =110°，⊙2×110°+⊙B +⊙C =360°，⊙⊙B +⊙C =140°，⊙⊙A =180°-(⊙B +⊙C )= 40°．故答案为：40．【点拨】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．13．4【分析】作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接MB ′，交⊙M 于点N ，交x 轴于点P ，此时BP +PN 取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算．解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，过点M作MQ⊙x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊙MQ，⊙点B与点B′关于x轴对称，⊙PB+PN=PB′+PN，当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．在Rt△ABC中，AC22OA OC，由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，⊙S△AOC=12（3r+4r+5r）=12×3×4，解得r=1，⊙ME=MN=1，⊙QB′=4-1=3，QM=3+1=4，⊙MB′=5，⊙PB′+PN=5-1=4，即PB+PN最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键．14．62°【分析】先根据切线长定理得到⊙1＝12⊙ABC，⊙2＝12⊙BCD，⊙3＝12⊙ADC，⊙4＝12⊙BAD，再利用三角形内角和计算出⊙1+⊙2＝62°，则⊙ABC +⊙BCD ＝124°，然后利用四边形内角和得出⊙BAD +⊙ADC ＝236°，再求⊙3+⊙4＝118°即可．解：⊙圆O 是四边形ABCD 的内切圆，⊙OA 平分ABC ，OC 平分⊙BCD ，OD 平分⊙ADC ，OA 平分⊙BAD ，⊙⊙1＝12⊙ABC ，⊙2＝12⊙BCD ，⊙3＝12⊙ADC ，⊙4＝12⊙BAD ，⊙⊙1+⊙2＝180°﹣⊙BOC ＝180°﹣118°＝62°，⊙⊙ABC +⊙BCD ＝2（⊙1+⊙2）＝2×62°＝124°，⊙⊙BAD +⊙ADC ＝360°﹣（⊙ABC +⊙BCD ）＝360°﹣124°＝236°，⊙⊙3+⊙4＝12（⊙BAD +⊙ADC ）＝12×236°＝118°， ⊙⊙AOD ＝180°﹣（⊙3+⊙4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．15． 10 （2，-2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根据I 是OAB 的内心，利用OM =ON ，BM =BE ，AE =AN ，得出AE +BE =6-x +8-x =10，求解即可．解：（1）⊙点()0,6A ，点()8,0B ，⊙OA =6，OB =8，在Rt △OAB 中，AB 22226810OA OB ++；（2）连接OI ，BI ，AI ，过I 作IM ⊙OB ，IN ⊙OA ，IE ⊙AB ，⊙I 是OAB 的内心，⊙OM=ON，BM=BE，AE=AN，设OM=ON=x，则BM=BE=8-x，AN=AE=6-x，⊙AE+BE=6-x+8-x=10，解得：x=OM=ON=2，⊙I的坐标为（2，2），⊙点I关于x轴对称的点的坐标是（2，-2）．【点拨】本题考查了勾股定理及三角形的内心，解题的关键是灵活运用性质解决实际问题．16．55【分析】由三角形的内心的性质可得⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得⊙BID＝⊙DBI，由三角形内角和定理可求解．解：⊙点I是⊙ABC的内心，⊙⊙BAD＝⊙CAD，⊙ABI＝⊙CBI，⊙⊙CAD＝⊙CBD，⊙⊙BAD＝⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙BAD+⊙ABI，⊙IBD＝⊙CBI+⊙CBD，⊙⊙BID＝⊙DBI，⊙⊙ACB＝70°，⊙⊙ADB＝70°，⊙⊙BID＝⊙DBI＝180702︒︒-＝55°故答案为：55．【点拨】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明⊙BID=⊙DBI是本题的关键．17．45︒【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得2=，以OOP m为圆心，2m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时⊙ACP 有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊙PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得⊙OPC是等腰直角三角形，即可证得⊙ACP的最大值为45°．解：PM、PN是过P所作的O的两切线且互相垂直，∴∠=︒，MON90∴四边形PMON是正方形，根据勾股定理求得2OP m=，∴点在以O2m长为半径作大圆O上，P以O为圆心，2m长为半径作大圆O，然后过C点作大O的切线，切点即为∠有最大值，如图所示，P点，此时ACPPC是大圆O的切线，∴⊥，OP PC2=，2OC m=，OP m222PC OC OP m∴-，∴=，OP PC∴，∠=︒45ACP∴∠的最大值等于45︒，ACP故答案为45︒．【点拨】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．18．4【分析】由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，进而求解．解：⊙O 的面积为2π222BD =，则＝AC ，由正方形的性质，知点C 是点A 关于BD 的对称点，过点C 作CA ′⊙BD ，且使CA ′＝1，连接AA ′交BD 于点N ，取NM ＝1，连接AM 、CM ，则点M 、N 为所求点，理由：⊙A ′C ⊙MN ，且A ′C ＝MN ，则四边形MCA ′N 为平行四边形，则A ′N ＝CM ＝AM ，故⊙AMN 的周长＝AM +AN +MN ＝AA ′+1为最小，则A ′A 22(22)1=+=3，则⊙AMN 的周长的最小值为3+1＝4，故答案为：4．【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M 、N 的位置是本题解题的关键．19．（1）1；（2）见分析【分析】（1）先得到⊙ABC 为直角三角形，再根据面积相等求出⊙ABC 内切圆的半径；（2）利用切线的判定与性质以及切线长定理得出AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，进而求出即可．解：（1）⊙5,4,3a b c ===，⊙⊙ABC 是直角三角形， 设⊙ABC 内切圆的半径为r ，由⊙ABC 的面积可得：()12AB BC AC r ⨯++=12AC AB ⨯⨯， 即()13452r ⨯++=1342⨯⨯， 解得：r=1，⊙⊙ABC 的内切圆半径为1；（2）⊙I 为⊙ABC 的内心，且I 在⊙ABC 的边BC ，AC ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，⊙D 、E 、F 分别是⊙I 的三边切点，⊙AF=AE ，BF=BD ，CD=EC ，设AE=AF=x ，则EC=b -x ，BF=c -x ，故BC=a=b -x+c -x ，整理得出：x=2b c a +-， 即AE=AF=2b c a +-． 【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，利用切线长定理得出是解题关键．20．（1）k ≥32；（2）22+ 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式⊙0，且两根的和与积都是正数，得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．（2）根据切线性质得出直角三角形的内切圆半径与直角三角形三边的关系：2a b c r +-=，再结合勾股定理和根与系数的关系可求k 的值． 解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则⊙221(1)4(1)234k k k =+-+=-，方程有两个实数根，∴⊙0，即230k -，∴综上可知32k ， ∴当32k ，方程有两个实数根； （2）如图，设直角三角形两直角边为BC =a ，AC =b ，斜边为AB =c ，其内切圆半径r ，⊙AB 、AC 、BC 是圆的切线，⊙90OEC OFC ∠=∠=︒，又⊙OE OF r ==，90C ∠=︒，⊙四边形OECF 是正方形，⊙==CE CF r ，又⊙AG AF =，BG BE =，⊙AC BC AB CE CF +=++，即2b a c r +=+，⊙12r =， ⊙1c a b =+-，即：又⊙222=c a b +，⊙222(-1)a b a b ++=，化简得：22()10ab a b -++=，又121a b x x k +=+=+，2121(1)4ab x x k ==+，⊙212(1)2(1)104k k +-++=，解得22=k 3222k =（舍去）， k ∴的值为22【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，根的判别式，根与系数的关系，解决本题的关键是首先利用判别式是非负数确定k 的取值范围，然后利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理以及内切圆的半径公式，把问题转化为解方程求得k 的值．21．(1)见分析1014【分析】（1）根据切线长定理得到GA ＝GD ，则⊙GAD ＝⊙GDA ，根据圆周角定理推出AC ⊙DE ，则⊙CAD ＝⊙GDA ，进而得到⊙GAD ＝⊙CAD ，据此即可得解；（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝12AC，则OH＝12BC，设OH＝x，则DH＝92−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH1014(1)证明：⊙GA、GD是⊙O的切线，⊙GA＝GD，⊙⊙GAD＝⊙GDA，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙AC⊙BE，⊙DE⊙BE，⊙AC⊙DE，⊙⊙CAD＝⊙GDA，⊙⊙GAD＝⊙CAD，⊙AD平分⊙GAC；(2)解：连接OD，交AC于点H，⊙DE是⊙O的切线，⊙OD⊙DE，⊙⊙ODE＝90°，由（1）知，AC⊙DE，⊙OD⊙AC，⊙AH＝CH＝12AC，⊙AHD＝⊙CHD＝90°，⊙OA＝OB，⊙OH是△ABC的中位线，⊙OH ＝12BC ， ⊙AB ＝9，⊙OD ＝92， 设OH ＝x ，则DH ＝92−x ，BC ＝2x ， ⊙2222814AC AB BC x --＝＝，⊙222814AH x -（）＝，⊙22814AH x -＝， ⊙222AH AD DH -＝，AD ＝5，⊙222819542x x ⎛⎫ -⎝--⎪⎭＝， ⊙x ＝3118， ⊙AH 28110144x -= ⊙⊙HCE ＝180°−⊙ACB ＝90°＝⊙ODE ＝⊙CHD ，⊙四边形CHDE 是矩形，⊙DE ＝CH ＝AH 1014 【点拨】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．22．(1)见分析171【分析】（1）连接OD ，BD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒根据直角三角形斜边上的中线可得BE ED =，进而根据,OBD ODB EBD EDB ∠=∠∠=∠，等量代换可得90ODE ∠=︒，即可证明FD 是圆O 的切线；（2）利用勾股定理求得EF 的长，进而根据切线长定理求得ED ，即可求得FD ，在Rt ODF 中，勾股定理建立方程求得半径，进而求得AB 的长．解：(1)连接OD ，BD ，AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒．OB OD =． OBD ODB ∴∠=∠． E 是BC 的中点，BE ED ∴=．EBD EDB ∴∠=∠．90ABC ∠=︒，90OBD EBD ∴∠+∠=︒． 90ODB EDB ∴∠+∠=． 即90ODE ∠=︒．OD 是半径，FD ∴是圆O 的切线；(2)如图，连接OD ，90,ABC E ∠=︒为BC 的中点，BC =4，FB =8， 2BE ∴=，BC 是O 的切线， ,EF BC 是O 的切线， 2ED EB ∴==．在Rt FBE △中，2,8BE FB ==，2282217EF ∴+=2172FD EF ED ∴=-=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，在Rt OFD 中，8,,172OF BF OB r OD r DF =-=-==，222OF OD DF ∴=+，即()()22282172r r -=+，解得171r -= 171AB ∴=．【点拨】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理解直角三角形，切线长定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．23．(1)68APC ∠=︒；74CDB ∠=︒(2)58°【分析】（1）由同弧所对圆周角相等求得C ∠，进而求得APC ∠；连接AC ，求得BAC ∠，进而由同弧所对的圆周角相等求得CDB ∠．（2）连接OD ，求得PCB ∠，进而求得其所对圆心角BOD ∠，再由三角心外角和内角的关系求得E ∠．(1)解：⊙=BD BD⊙52C BAD ∠=∠=︒⊙68APC C ABC ∠=∠+∠=︒如图，连接AC ，⊙AB 为O 直径⊙90ACB ∠=︒⊙18074BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒⊙=BC BC⊙74CDB BAC ∠=∠=︒(2)解：如图，连接OD⊙CD AB ⊥⊙90CPB ∠=︒⊙9074PCB PBC ∠=︒-∠=︒⊙在O 中，2BOD BCD ∠=∠⊙148BOD ∠=︒⊙DE 是O 的切线⊙OD DE ⊥即90ODE ∠=︒⊙90=58E BOD ∠=∠-︒︒.【点拨】本题考查圆与三角形的综合问题，熟练掌握三角形和圆的相关性质定理是解题的关键．24．(1)12α(2)见分析(3)FG ＝2 【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知⊙A =⊙ACD -⊙ABC ，⊙E =⊙ECD -⊙EBC =12ACD ∠-12ABC ∠，由此可知⊙E =12A ∠=12α； （2）根据圆内接四边形的性质可知⊙DCB ＋⊙BAD ＝180°，可知⊙BAD ＝⊙DCE ，根据圆周角的定理可知⊙ACD ＝⊙DCE ，进而证得⊙ABF ＝⊙CBF ，根据“好角”的定义即可得出结论；（3）连接CF，根据“好角”的定义可知⊙G＝12⊙A，即⊙G＝12⊙BFC，由外角定理可知⊙G＝⊙GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得CF即可求得结果．(1)解：由题意得，⊙ABE=⊙CBE=12ABC∠，⊙ACE=⊙ECD=12ACD∠，⊙⊙ACD=⊙A+⊙ABC，⊙ECD=⊙E+⊙EBC，⊙⊙A=⊙ACD-⊙ABC，⊙E=⊙ECD-⊙EBC=12ACD∠-12ABC∠，⊙⊙E=12A∠=12α；(2)如图，⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙DCB＋⊙BAD＝180°，又⊙⊙DCB＋⊙DCE＝180°，⊙⊙BAD＝⊙DCE，⊙点D是优弧ACB的中点，⊙AD BD=，⊙⊙ACD＝⊙BAD，⊙⊙ACD＝⊙DCE，⊙CG是⊙ABC的外角平分线，⊙直径BF⊙弦AC⊙⊙AF CF=，⊙⊙ABF＝⊙CBF，⊙BG是⊙ABC的平分线，⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙BAC的“好角”；(3)如图3，连接CF⊙⊙⊙A＝45°，⊙⊙BFC＝45°．⊙BG过圆心O⊙⊙⊙BCF＝90°．⊙⊙BGC是⊙ABC中⊙A的“好角”，⊙⊙G＝12⊙A⊙⊙ ⊙A＝⊙BFC；⊙⊙G＝12⊙BFC⊙⊙⊙G＝⊙GCF ⊙⊙FG＝CF⊙⊙cos⊙BFC＝CF BF，⊙CF＝cos45°×BF2＝2，⊙FG＝2【点拨】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。