高中数学必修4第二章平面向量课件-向量的概念及表示

用有向线段表示向量的步骤
12/13/2021
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在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为 1，画出下列向量．
(1)|O→A|＝3，点 A 在点 O 正西方向； (2)|O→B|＝3 2，点 B 在点 O 北偏西 45°方向； (3)|B→C|＝6，点 C 在点 B 正东方向．
【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等， 则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零 向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两 个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线 的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行， 故④不正确． 【答案】 D
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( × ) (2)向量就是有向线段．( × ) (3)向量A→B与向量B→A是相等向量．( × ) (4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平 行．( × ) (5)零向量是最小的向量．( × )
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如图所示的▱ABCD，O→A＝a，O→B＝b.
(1)与O→A的模相等的向量有多少个？ (2)与O→A的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与O→A、A→B共线的向量．
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解：(1)与O→A的模相等的向量有O→C，A→O，C→O三个向量． (2)与O→A的模相等且方向相反的向量为O→C，A→O. (3)与O→A共线的向量有A→O，A→C，O→C，C→O，C→A；与A→B共线的 向量有D→C，C→D，B→A.

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练习：
在质量、重力、速度、加速度、身
高、面积、体积这些量中，哪些是
数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
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在下列结论中，哪些是正确的？
练习
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1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
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1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共不线一向定量一定在一条直线上吗？
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大小记为┃a┃
6
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我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表
示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向
量也叫 自由向量
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
（ 2） BCFE
（ 3 ） 虽 然 O A //B C ， 且 | O A | = | B C | ，
但 是 它 们 方 向 相 反 ， 故 这 两 个 向 量 不 相 等 .
OABC 13
例金2太：阳教在育网图中的4×5方格纸中有一个向量
AB ， 品质来自专业
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分别以图中的格点为起点和终点作向量，

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第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
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第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
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第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
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第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
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第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
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第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理