工程数学本 工程数学复习

第一章 线性代数基本知识一、内积定义：设α=[1a ,…, n a ]，β=[1b ,…, n b ]都是n 维复向量，记<α,β>=∑=ni ii ba 1，其中i b 表示对i b 取共轭，称<α,β>为向量α与β的内积。

二、向量正交：对于向量α、β，若<α,β>=0，则称α与β正交，记作α⊥β。

三、Ax=b 的解的结构：(1) n 个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n 个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A 与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n 时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n 时有无穷多解;若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 与增广矩阵B=[A b]的秩相等为r ，且r<n ，而1α,…, r n -α是对应齐次线性方程组的基础解系，η是Ax=b 的任意一个特解，那么Ax=b 的一般解为： x=η+1k 1α+…+ r n k -r n -α，其中1k ,…, r n k -是任意实数。

四、特征值、特征向量、几何重数、代数重数设A =[ij a ]是n 阶方阵，若有数λ和非零向量x ，使Ax=λx 成立，则称λ为A 的特征值，非零向量x 为A 的属于特征值λ的特征向量。

齐次线性方程组(A-j λI )x=0的解空间的维数称为特征值j λ的几何重数。

代数重数指的是特征值作为特征多项式的根的重数。

几何重数指的是特征值对应的线性无关的特征向量的个数。

五、若λ(≠0)∈S p (A)，则)(11-∈A S p λ。

设λ是可逆方阵A 的特征值，证明0≠λ，且1-λ是1-A 的特征值。

证明：因A 可逆，故0≠A ，所以0≠λ。

设0≠x 是A 的属于特征值λ的特征向量，则有x Ax λ=。

于是，由0≠λ得Ax x λ1=.用1-A 左乘上式的两边，得x x A 11--=λ.由0≠x 知1-λ是1-A 的特征值。

工程数学（一）一、、计算下列行列式： 1、29092280923521534215 =100028092100034215 =10002809206123 =61230002、D n =n 333333333233331 解：D n =n 333333333233331 (把第三列的-1倍加到其余各列) =3n 3030003100302=3n 0030000100002=6(n -3)! (n 3) 二、已知X=AX+B ，其中A= 101111010, B=350211，求X解：(E -A)X=B X=(E -A)-1BE -A= 100010001- 101111010= 201101011,(E -A)-1= 11012312031X= 11012312031 350211=1102133133063931 三、求向量组 1=(1,-2,3,-1,2), 2=(3,-1,5,-3,-1), 3=(5,0,7,-5,-4), 4=(2,1,2,-2,-3)的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组线性表示出其它向量。

解：令A=( 1T , 2T , 3T , 4T )=~34122531275310122531~242000004840510502531000000000000121025311, 2,为一极大线性无关组，且 3= - 1+2 2, 4=- 1+ 2四、求方程组0x x 0x 0x x 41241的一个基础解系。

解：A= 100100101001~ 200000101001~100000100001 同解方程组是： 0x x x 0x 0x 43321 所以基础解系是：0100五、已知线性方程组 2x x 3x 3x 4x 5b x 6x 2x 2x 0x 3x x x 2x 3ax x x x x 5432154325432154321，问a,b 为何值时,方程组有解?并求其通解。

《工程数学》复习资料一、填空1、A 、B 均为3阶方阵，2=A ，2-=B ，则=A B ；2、设D=1234234134124123， 则12223242234A A A A +++=________； 3、设α=（1，3，-5），β=（0，-3，5），如果向量x 满足12,2x αβ+= 则x =__________________；4、1124A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值为 5、 321,,X X X 相互独立，且都服从2=λ的泊松分布，)(21321X X X Y ++=， 则=)(2Y E .6、设X 1, X 2, n X , 是取自标准正态总体N()1,0的样本,则∑=ni iX 12∽______.7、向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是8、X ～N (3 ,21.0),则)3.0|3(|<-X P ＝ (其中)3(Φ＝0.9987). 9、X ～x x f 21)(=，(20≤≤x )，则=≤<-)231(X P . 10、设X ～),(p n B ,若2.7,12==DX EX 则n =______, p =______. 11、总体X ～μ(N ,)2σ(2σ未知)，今有样本观察数据：16=n ，8.2=x ，1=*S ，则总体均值μ的信度为95％的置信区间为( )，(13.2)15(025.0=t ，保留两位小数).12、设X 服从参数为λ的指数分布，若方差4)(=X D ，则λ= 13、设X 服从参数为λ的泊松分布，且1(0)P X e -==，则λ= 二、选择题1、齐次线性方程组2000x y z x y z x y z λλ-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解.则λ必须满足 ( )(A) 14λλ≠-≠且 (B) 1λ=- (C) 4λ= (D) 14λλ=-=或 2、设s ααα,,,21 是秩为r 的n 维向量组，则（ ）（A ）该向量组中任意r+1个向量（若有的话）线性相关；（B ）该向量组中任意r 个向量线性无关；（C ）该向量组存在唯一的极大线性无关组；（D ）r<s .3、若矩阵111121231A λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的秩为2，则λ=（ ） (A) 0 (B) 2 (C)-1 (D) 14、6.0)(=B P ，3.0)(=AB P ，则=)|(B A P （ ）.)(A 0. 4； )(B 0.75； )(C 0.6；)(D 0.5.5、设随机变量X 和Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则（ ）.)(A 0)(=Y D ；)(B Y X ,独立； )(C Y X ,不相关；)(D 0)()(=-Y D X D .6. 设总体X ～)4,1(N ,1621,,,X X X 是取自总体X 的样本，X 为样本均值，则下列结论成立的是（ ）.)(A X ～)41,1(N ；)(B X ～0(N ，)1；)(C X ～1(N ，)161， )(D 以上都不对.7．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）（A ） B=O （B ） 00==A B 或 （C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=-8、设样本4321,,,X X X X 是取自正态总体X ，2σμ==DX EX 为已知，而未知，则下列随机变量中 不能作为统计量的是（ ）(A) ∑==4141i i X X , (B) μ241-+X X , (C) 2412)(1X XK i i-=∑=σ ,(D) 2412)(31X X S i i -=∑= .9、设总体X ～N (μ,2σ) ，1X ,2X ,…,n X 是来自X 的简单随机样本，则下列结论( )成立. A. X ～N (μ,2σ)； B.X ～N (μn ,2σn )； C. X ～N (μ,n /2σ)； D. 以上都不对 .10、设 X ～),(p n B ，若期望6.1)(=X E ，方差28.1)(=X D ，则参数p n ,的值为（ ）(A) 8.0,2==p n (B) 4.0,4==p n )(C 2.0,8==p n (D) 1.0,16==p n11、设离散型随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则数学期望)(2X E ＝（ ）(A) λ (B) 2λ（Ｃ）2λλ- (D) 2λλ+ 三、计算题1、求n 阶行列式........................ba a aab a aaaba aa a b的值；2、求矩阵223110221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵；3、设总体X ～)10(,)1()(<<+=x x a x f a .求参数a 的极大似然估计.4、某种机械零件直径(m m )的方差2205.0=σ，今对一批零件抽查6件，得直径数据为：10.50，10.48，10.51，10.50，10.52，10.46.问这批零件直径的均值能否认为是10.52(α＝0.05).5、计算行列式aa a a a a a a a a a a D 3333222211111=6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+7、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）8、抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据(单位:g )：495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 . 问能否认为该批罐头食品的平均净重为500g (α＝0.05). 9．设离散型随机变量X ～),2(p B ，若概率95)1(=≥X P ，求： （1）参数p 的值；（2）)2(=X P ；（3）)(X D 10、事件A 在一次试验中发生的概率为23，求在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率。

工程数学 复习题 填空题1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E ．5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．单项选择题1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．A. 若AC AB =，且0≠A ，则C B =B. 2222)(B AB A B A ++=+C. A B B A '-'='-)(D. 0=AB ，且0≠A ，则0=B2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的．A. 向量组中含有零向量B. 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C. 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D. 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1004. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A. 至少有一人没射中 B. 二人都没射中C. 至少有一人射中D. 两人都射中5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．A. 5.0)0(=ΦB. 1)()(=Φ+-Φx xC. )()(a a Φ=-ΦD. 1)(2)(-Φ=<a a x P 6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． A. 321x x x ++ B. 321525252x x x ++C.321515151x x x ++ D. 321535151x x x ++ 7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A 是否可逆？若A 可逆，求B A 1-．2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511求此线性方程组的全部解．3．用配方法将二次型32212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

《工程数学》期末复习题库工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ． D ．5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．nx /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分）1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 3．设互不相容，且，则 ． 4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )四、证明题（本题6分）4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．工程数学（本）11春模拟试卷参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 二、填空题（每小题3分，共15分）1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．)1,0(nN三、（每小题16分，共64分） 1．解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ………6分 利用初等行变换得10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1002001110101112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………16分 7-2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为： 124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数． ……16分3．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 ……16分 4．解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N ……5分因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα……10分所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα. ……16分四、（本题6分）证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵． ……6分《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B . 不是行满秩矩阵C .D . 正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A . 256B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321515151x x x ++ B . 321x x x ++C . 321535151x x x ++D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立． A . I AA =-1 B . A A =' C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值．应该填写：AX X λ=3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.34．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ=6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.39．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

（06春-12春）复习资料总结一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 若0351021011=---x ，则=x （A ）． A. 3 B. 2 C. 3- D. 2-2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）． A 1 B 2 C 3 D 43. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）A.BA AB = B. B A AB ''=')( C. B A B A '+'='+)( D. AB AB =')(4. 若A B ,满足（B），则A 与B 是相互独立．A. )()()(A B P A P B P = B. )()()(B P A P AB P = C. )()()(B P A P B A P -=- D. )()()(B A P B P A P = 5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ D ）成立．A. )]([)(X E X E X D -=B. 22)]([)()(X E X E X D +=C. )()(2X E X D =D. 22)]([)()(X E X E X D -=6．若A 是对称矩阵，则等式（ B ）成立． A. I AA =-1 B. A A =' C. 1-='A A D. A A =-17．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（D ）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B. 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C. 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A. r A n ()=B. A O ≠C. r A n ()<D. A 的行向量线性相关 4. 若条件（ C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件．A. ∅=AB 或A B U +=B. 0)(=AB P 或()1P A B +=C. ∅=AB 且A B U +=D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3131i iX X ，则下列各式中（C ）不是统计量． A.XB.∑=31i iX C. ∑=-312)(31i i X μ D. ∑=-312)(31i i X X10．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( A )．A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ B ）． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（ A ）．A. )()(b A r A r M= B. A 不是行满秩矩阵 C. r A n ()< D. r A n ()= 13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．A.256 B. 103 C. 203 D. 25914．设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估计．A.321515151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 321525252x x x ++15．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A）．A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a17．下列命题中不正确的是（ D ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I=-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量18．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ A ）．A ．P AB P A P B ()()()+=+ B ．P B P A ()()=-1C ．P A P A B ()()=D ．P AB P A P B ()()()=19．设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（C ）．A ．55-xB ．5/15-x C ．n x /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．2. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则_____=k -1.3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P．0.64. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.0521~X ，那么=)(X E 2.4． 5. 设1021,,,x x x Λ是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i ix )104,(μN ．6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，若存在数?和非零n 维向量X ，使得 AX X λ= ，则称X 为A 相应于特征值?的特征向量．8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3．9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20．10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = 0.3．13．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-=27 ． 14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ˆ()E θθ= ．15．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是1，-1，2，-2 ．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量． 17．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()=0．18．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= np ． 19．若样本n x x x ,,,21Λ来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，则~x )1,0(n N ．三、计算题（每小题16分，共64分） 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解： （1）1111021121110211423532211=---=---=---=A （2）利用初等行变换得→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112. 当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由此可知当λ≠3时，方程组无解。

〔06春-12春〕复习资料总结一、单项选择题〔每一小题3分，此题共15分〕1. 假如0351021011=---x ，如此=x 〔A 〕． A.3 B. 2 C.3- D.2-2. 2维向量组4321,,,αααα，如此),,,(4321ααααr 至多是〔B 〕． A 1 B 2C 3 D 43.设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔C 〕A.BA AB = B.B A AB ''=')( C.B A B A '+'='+)( D.AB AB =')(4. 假如满足〔B 〕，如此与是相互独立．A.)()()(A B P A P B P = B.)()()(B P A P AB P = C.)()()(B P A P B A P -=- D.)()()(B A P B P A P =5. 假如随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，如此等式〔D 〕成立．A.)]([)(X E X E X D -=B.22)]([)()(X E X E X D +=C.)()(2X E X D =D.22)]([)()(X E X E X D -= 6．假如是对称矩阵，如此等式〔 B 〕成立． A.IAA =-1 B.A A =' C. 1-='A A D.A A =-17．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473〔D 〕． A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B.7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D.7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦8．假如〔A 〕成立，如此元线性方程组AX O =有唯一解．A. B.A O ≠ C.D.A 的行向量线性相关4. 假如条件〔 C 〕成立，如此随机事件，互为对立事件．A.∅=AB 或A B U += B.0)(=AB P 或()1P A B +=C.∅=AB 且A B U += D.0)(=AB P 且1)(=+B A P9．对来自正态总体〔未知〕的一个样本，记∑==3131i i X X ，如此如下各式中〔C 〕不是统计量． A.XB.∑=31i iX C.∑=-312)(31i i X μ D.∑=-312)(31i i X X 10．设B A ,都是n 阶方阵，如此如下命题正确的答案是( A )．A ．AB A B =B ．222()2A B A AB B -=-+C ．AB BA =D ．假如AB O =，如此A O =或B O =11．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是〔 B 〕． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12．n 元线性方程组有解的充分必要条件是〔 A 〕． A.)()(b A r A r = B.不是行满秩矩阵 C.D.13. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，如此两球都是红球的概率是〔D 〕． A.256B.103 C.203 D.25914．设是来自正态总体N (,)μσ2的样本，如此〔C 〕是μ无偏估计．A.321515151x x x ++ B.321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D.321525252x x x ++15．设B A ,为n 阶矩阵，如此如下等式成立的是〔 A〕．A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．111)(---+=+B A B AD ．111)(---=B A AB16．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是(B)，其中0≠ia ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a a C ．0321=+-a a a D ．0321=++-a a a17．如下命题中不正确的答案是〔 D 〕． A ．A 与A '有一样的特征多项式B ．假如λ是A 的特征值，如此O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量C ．假如λ=0是A 的一个特征值，如此O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量18．假如事件与互斥，如此如下等式中正确的答案是〔 A 〕．A ．B ．C ．D ．19．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，如此检验假设5:0=μH 采用统计量U =〔C 〕．A ．55-x B ．5/15-x C ．nx /15- D ．15-x二、填空题〔每一小题3分，共15分〕1.设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，如此='--11)(A B B A )(1'-．2.向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，如此_____=k -1.3. 2.0)(,8.0)(==AB P A P ，如此=-)(B A P4.随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E ．5.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，如此~101101∑=i ix )104,(μN ．word 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，如此13()A B -'-=8．7．设A 为n 阶方阵，假如存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，如此称X 为A 相应于特征值λ的特征向量．8．假如5.0)(,8.0)(==B A P A P ，如此=)(AB P ．9．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D20．10．不含未知参数的样本函数称为统计量 11．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，如此13A B -'-=-18．12．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如此a =．13．设为随机变量，3)(=X D ，此时 27．14．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，如此有ˆ()E θθ=． 15．设22112112214A x x =-+，如此0A =的根是1，-1，2，-2．16．设4元线性方程组AX =B 有解且r 〔A 〕=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的根底解系含有 3 个解向量． 17．设互不相容，且，如此0．18．设随机变量X ~ B 〔n ，p 〕，如此E 〔X 〕= np ． 19．假如样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n i i x n x 11，如此~x )1,0(n N ．三、计算题〔每一小题16分，共64分〕 1设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求〔1〕A ，〔2〕1-A ．解：〔1〕1111021121110211423532211=---=---=---=A 〔2〕利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥112100011210001511112100011210001511→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110922010721001511100201010721001511即 A -=-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12017215112.当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形110121214323152110120113101132---+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥λλ→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥110120113100003101210113100003λλ 由此可知当时，方程组无解。

工程数学（本)期末复习提要 中央电大师范部数学教研室开放教育土木工程本科专业与水利水电工程本科专业的“工程数学（本）”课程的内容包括《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编,中央电大出版社出版)两本教材的全部内容。

在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考。

第1章:n 阶行列式⒈理解n 阶行列式的递归定义。

⒉掌握利用性质计算行列式的方法。

性质1 nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=性质2 nnn n in i i jn j j n nn n n jn j j in i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2121211121121212111211-= 性质３ nnn n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 性质４ nnn n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a21211121121211121121221111211+=+++性质5nnn n jn j j in i i n nn n n jn j j jn in j i j i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a212121112112121221111211=+++ 性质6 ),,2,1(,2211212111211n i A a A a A a a a a a a a a a a in in i i i i nnn n in i i n=+++= 性质７);,,2,1,(,02211k i n k i A a A a A a kn in k i k i ≠==+++ ⒊知道克莱姆法则。