2016年12月西南大学网络与继续教育学院〈工程数学〉【0931】 A卷大作业答案

(9)泰勒级数法(10)其他特殊方法。

若求一个极限，一般的思路步骤流程图如下：2、为何把定积分的牛顿——莱布尼兹公式称为“微积分学基本定理”，它有何重大意义？参考答案：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且这即为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

下面就是该公式的证明全过程:对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:b∫a*f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。

为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:Φ(x)= x∫a*f(t)dt研究这个函数Φ(x)的性质:（1）定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系 '(x)=f(x)。

证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt显然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)·Δx当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0ΔΦ/Δx=f(x)可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。

(2)b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数。

证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以F(a)=C于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：机械电子工程、车辆工程、电气工程及其自动化 2017年6月课程名称【编号】：高等数学【0917】 A卷大作业满分：100 分
（一）计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）
1. 求.
2. 求不定积分.
3. 求定积分.
4. 求函数的导数.
5. 求函数的极值.
6. 求函数的二阶偏导数及.
7.计算函数的全微分.
8.求微分方程的通解.
9. 计算，其中是抛物线及直线所围成的闭区域.
（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
1. 证明方程在区间（-1，0）内有且只有一个实根. （一）计算题1．答：
2.答：
3.答：
4.答：
5.答：
6.答：
7.答：
8.答：
9.答：
（二）证明题
1.答：
>0。

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季课程名称【编号】：离散数学【0004】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义. 设R 是实数集合，f : (0,1) → R, xx x f 111)(--=, 证明f 是双射.答：任意给定两个集合A 和B ，若存在对应法则f ，使得对于任意x ∈ A ，均存在唯一的y ∈B 与它对应，则称f 是集合A 到B 的一个映射，或称其为A 到B 的一个函数，记为f:A →B 。

对于任意R ×R ，若，于是，进而且。

由此可得，，因而，故f 是单射。

对于任意R ×R ，取，容易得知。

由上可知，f 是双射。

2. 设R 是集合A 上的关系，请给出R 的传递闭包t (R )的定义. 下图给出的是集合A = {1，2，3，4，5}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.3. 请给出谓词逻辑的研究对象，并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化. 答：研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化4.解释命题公式真值表的含义，并利用真值表求命题公式()())()(pqrrqp→→↔→→的主合取范式.5. 给出叶赋权m叉树的定义，并求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.答：定义：对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3=5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5=10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8=15, 得10, 15；最后组合10+15=25。

所求的最优2叉树树如下：123 4 5二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1题必做，满分30分；第2-3题选作一题，满分30分；第4-5题选作一题，满分40分.。

西南大学网络与继续教育学院课程试题类别：网教（网教/成教）专业：土木工程20匚年星月1、桁架计算的结点法所选分离体包含几个结点匚任意个匚最多两个匚最少两个C单个22、固定较支座有儿个约束反力分童c A・3个匚2个2匚4个匚1个3、从一个无多余约束的儿何不变体系上去除二元体后得到的新体系是匚几何瞬变体系匚几何可变体系匚有多余约束的几何不变体系匚无多余约朿的几何不变体系▽4、两刚片用三根延长线交于一点的链杆相连组成匚C.有两个多余约束的儿何不变体系c有一个自由度和一个多余约束的可变体系c无多余约朿的几何不变体系5、定向滑动支座有几个约束反力分量C 1个匚3个匚2个"*C 4个6、结构的刚度是指C结构保持原有平衡形式的能力C结构抵抗破坏的能力C结构抵抗失稳的能力C结构抵抗变形的能力97、桁架计算的截面法所选分离体包含儿个结点匚E.最少两个匸C单个c最多两个匚任意个8、对结构进行强度计算的目的，是为了保证结构C不发生刚体运动匚既经济又安全c美观实用匚不致发生过大的变形9、可动较支座有几个约束反力分量C 2个匸匚4个匚3个匚2个10、固定支座（固定端）有儿个约束反力分量匚4个C 2个匚3个7匚1个判断题11＞改变荷载值的大小，三较拱的合理拱轴线不变。

匚 A.V ▽匚B.x12、多余约束是体系中不需要的约束。

C A.V匚B.X 913、复较是连接三个或三个以上刚片的狡匚 A.V a匚B.x14、结构发生了变形必然会引起位移，结构有位移必然有变形发生。

C A.VC B.X 915、如果梁的截面刚度是截面位置的函数，则它的位移不能用图乘法计算。

匚 A.V V匚B.x16、一根连杆相当于一个约束。

C A.V 9匚B.x17、单较是联接两个刚片的较。

匸 A.V 9匸B.x18、连接四个刚片的复较相当于四个约束。

E A.V匚 B.x 919、虚功原理屮的力状态和位移状态都是虚设的。

匚A.V20、带拉杆三钱拱中拉杆的拉力等于无拉杆三钱拱的水平推力。

a4 = a1+3a2-a3 a5 = -a2 +a3三、求解方程组12341234123431231/2 x x x xx x x xx x x x--+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩.写出此方程组的增广矩阵,用初等行变换来解：1 -1 -1 1 01 -1 1 -3 11 -1 -23 -1/2 第2行减去第1行,第3行减去第1行～1 -1 -1 1 00 0 2 -4 10 0 -1 2 -1/2 第1行减去第3行,第2行加上第3行乘以2,第3行乘以-1～1 -1 0 -1 1/20 0 0 0 00 0 1 -2 1/2 交换第2行和第3行～1 -1 0 -1 1/20 0 1 -2 1/20 0 0 0 0显然(1/2,0,1/2,0)^T是方程组的特解,而增广矩阵的秩为2,所以基础解系中有4-2即2个向量,分别为(1,1,0,0)^T和(1,0,2,1)^T那么方程组的解为：c1*(1,1,0,0)^T +c2*(1,0,2,1)^T +(1/2,0,1/2,0)^T,c1c2为任意常数四、某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25％、35﹪、40﹪，各车间产品的次品率分别为5％、4﹪、2﹪。

求全厂产品的次品率。

解：由概率公式得出五、设二维随机变量(,)X Y的联合概率分布为YX1 2 30 0.1 0.1 0.31 0.25 0 0.25求（1）{0}P X=；（2）{2}P Y≤；（3）{1,2}P X Y<≤；（4）{2}P X Y+=.- 2 -。

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：机电一体化技术、车辆工程、电力系统自动化技术、软件工程 2016年12月课程名称【编号】：高等数学【0917】 A卷大作业满分：100 分（一）计算题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）1. 求.2.求不定积分.3. 求定积分.4. 求函数的微分.5. 求函数的极值.6. 计算抛物线与直线所围图形的面积.7. 求函数的全微分.8. 求三元函数的偏导数.9. 求解微分方程（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）1. 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. （一）计算题1、解：2、解：3、解：⎰⎰---=11xx xdedxxe⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰--11dxexe xx()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎰--110xdee x⎪⎭⎫⎝⎛+-=--11xee()[]111-+-=--ee121--=e4、解：因为'23')(xexy=xx exex232223+=)23(22xex x+=所以dxxexdxydy x)23(22'+==5、解：f（x）=（x2-1）3+1f`(x) =3(x2-1)2 2x=6x(x+1)2(x-1)2令f`(x) =0得x=0，-1，1而x<-1,f'(x)<0,函数单调递减-1<x<0,f'(x)<0,函数单调递减0<x<1,f'(x)>0,函数单调递增x>1,f'(x)>0,函数单调递增所以函数在x=0处取得极小值为f(0)=06、解：面积微元:所求面积:7、解：8、解：把y和z看作常数,对x求导得把x和z看作常数,对y求导得把x和y看作常数,对z 求导得9、解：原方程变形为（齐次方程）令则故原方程变为即分离变量得两边积分得或回代便得所给方程的通解为（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）证：设()155+-=xxxf，则()x f在[0,1]上连续，且()10=f，()31-=f，由介值定理，存在()1,0∈x使()0=xf，即为方程的小于1的正实根.设另有()1,01∈x，1xx≠，使()01=xf因为()xf在1,xx之间满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ（在1,xx之间），使得()0'=ξf，但()()()()1,015'4∈<-=xxxf，导致矛盾，故x为唯一实根.。

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教 专业：数学与应用数学(数学教育) 2021年 12月 课程名称【编号】：概率论【0264】 A 卷 大作业 满分：100分一、简算题（本题需要给出计算过程，计算结果保留小数点后3位）（共五个小题，每小题10分，满分50分）： 1、一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，求 ：（1）“第一卷出现在旁边”的概率；（2）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率.2、设随机变量X 的概率密度为)0,0(,100)(>><<⎩⎨⎧=k b x kx x p b其他且750.)(=X E ，求k 、b 的值。

3、()41=A P ，()51=B P ，()31=B A P ，求()B A P .解：4、一机器生产的某型号螺栓长度为ξ（单位：cm ）服从正态分布)06.0,05.10(2N ，按规定螺栓长度在范围12.005.10±内为合格，（1）求一螺栓不合格的概率；（2）现抽取了这台机器生产的三个螺栓，求它们均合格的概率。

5、设二维随机变量),(ηξ 具有联合概率密度为其他xy x x Ay x f 32100<<<<⎩⎨⎧=,),(，求：（1）常数；（2）)(2<ηP 。

二、 （15分）设连续型随机变量ξ的分布函数为22001sin 0)(ππ>≤≤<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x xA x F求（1）常数A ，并求ξ的密度函数；（2）)6(πξ<P ；（3）ξη2=的密度函数。

三、（15分）设ηξ,的联合密度函数为()其他1042><<⎩⎨⎧=x y x xy x p ,,（1）求ηξ,的边际密度函数；（2）ηξ,是否相互独立？为什么？（3）求条件密度函数)(y x p .四、（10分）设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，即0210>===-λλξλ...,,,,!)(k e k k P k，（1）求出ξ的特征函数)(t ϕ；（2）利用ξ的特征函数证明：λξ=E .五、（10分）某计算机系统有120个终端，每个终端有10% 时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，利用中心极限定理求出有15个或更多终端在使用的概率。