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《组合数学》课程简介06191350 组合数学 3Combinatorics 3－0预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数面向对象：三、四年级本科生内容简介：《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。
通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。
推荐教材或主要参考书：《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003《组合数学》教学大纲06191350 组合数学 3Combinatorics 3－0预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：《组合数学》是一门应用广泛的学科。
它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。
本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。
通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。
二、主要内容及学时分配：（1）引言2学时（2）排列与组合8学时（3）母函数与递推关系12学时（4）容斥原理3学时（5）反演公式3学时（6）鸽巢原理3学时（7）Pólya计数定理5学时（8）区组设计6学时（9）编码理论6学时三、教学方式：课堂讲授四、相关教学环节安排：五、考试方式及要求：笔试六、推荐教材或主要参考书：《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003七、有关说明：。
1组合数学Combinatorics5神奇的序列5-1 Catalan 数清华大学马昱春•一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?1，2，3, 412341入，2 入，2出，1出3入，3出，4入，4出•一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n ，有多少个不同的出栈序列?第一次为空时进行分步？1234第一次为空时有k 个元素出栈，即1出栈的序号;将1~n 的序列分成两个序列，其中一个是1~k -1共k -1个元素另外一个是k +1~n ，共n -k 个元素设f (n )是n 个元素的出栈序列数f (n )=f (k -1)*f (n -k )k =1~nf (n ) = f (0)*f (n -1) + f (1)*f (n -2) + .......+ f (n -2)*f (1) + f (n -1)*f (0)二叉树•n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？•根肯定会占用一个结点，设T(i, j)表示根的左子树含i个结点，右子树含j个结点•除了根之外剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0)，。
•设问题的解为f(n)，f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)•假设f(0) = 1，那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。
Catalan数•1751年欧拉在与哥德巴赫的通信中提出一个问题：–正n边形化分为不重叠的三角形有多少种方法？C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + .......+ C(n-2)*C(1) + C(0)*C(n-2)回顾历史•1758年，Johann Segner给出了欧拉问题的递推关系•1838年，研究热潮–Gabriel Lame给出完整证明和简洁表达式–Eugène Charles Catalan在研究汉诺塔时探讨了相关问题, 解决了括号表达式的问题.–……–1900 Eugen Netto在著作中将该数归功于Catalan.历史回顾•1988年以及1999年的文献研究表明实际上最初发现Catalan数的也不是Euler，–1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候，推出了Catalan数。
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
组合数学引论第二版课程设计
一、课程介绍
本课程是针对高等数学、离散数学、计算机科学及其他相关领域的
本科生开设的选修课程。
本课程将介绍组合数学的基本内容和方法，
具体包括排列组合、二项式定理、容斥原理、离散概率等相关知识点。
二、课程目标
本课程旨在培养学生对组合数学基本概念和方法的掌握能力，能够
运用组合数学方法解决实际问题，并对学生未来的学习和研究提供必
要的基础。
三、教学内容
1. 排列组合
•排列组合的概念和基本性质
•重复排列、重复组合
•二项式定理
2. 容斥原理
•容斥原理的概念、基本形式和应用
•带权容斥原理
3. 离散概率
•随机事件和概率的概念
1。
数学科学系
数学与应用数学专业第二学士学位培养方案
一、培养目标
本着通识教育基础上的“厚基础，宽专业”的办学理念，培养具有扎实的数学基础知识和较强的数学应用能力的复合型人才。
使学生受到严格的科学思维训练，掌握数学学科的基本思想方法并有敏锐的应用意识。
二、基本要求
数学与应用数学专业本科二学位毕业生应达到如下知识、能力和素质的要求：
在学习并掌握微分方程、测度与积分、复分析、概率论(1)四门核心基础课程后，选修数学与应用数学方向的其他核心课程，参加相应的科研训练。
要求初步了解数学与应用数学方向基础知识和发展状况，具备开展自学、文献调研、论文写作、学术报告等各方面的综合能力。
三、学制与学位授予
学制：第二学士学位学制二年，按学分制管理。
授予学位：理学第二学士学位。
四、学分要求
选本专业为第二学位的学生必须修满培养方案规定的40学分，其中课程30学分，综合论文训练10学分。
五、课程设置
1.专业必修课程 15学分
30420023 微分方程(1) 3学分
30420334 测度与积分4学分
40420624 概率论(1) 4学分先修测度与积分30420464 复分析4学分
2.专业选修课 15学分
30420384 抽象代数4学分
40420614 泛函分析(1) 4学分
40420664 偏微分方程4学分先修微分方程(1) 40420644 微分几何4学分
30420444 统计推断4学分先修概率论(1) 30420433 线性回归3学分
40420054 数值分析4学分
40420534数学规划4学分
3．综合论文训练 10学分
综合论文训练10学分。
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013课内学时：48 开课学期: 秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023课内学时：48 开课学期:春秋 任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计任课教师：周之英课程编号：60240033课内学时：48 春开课学期:【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；8、 分布式系统对象模型：CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的设计）等 课程名称：专家系统任课教师：艾海舟 【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240043春 课内学时：48 开课学期:任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统; 搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人 工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063课内学时：48 春 任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC 机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
清华领军计划数学范围清华领军计划是清华大学为了加强学科建设而推出的一项计划。
其中，数学是清华领军计划中的重要学科之一。
在数学领域，清华大学希望推广的内容很广泛，以下是数学领域清华领军计划的数学范围：1. 数学分析：包括实分析、复分析、泛函分析等领域。
实分析是计算分析的基础，有利于理解整体分析和概率论。
复分析是分析的一种推广形式，对于研究乘性和应用数学具有重要影响。
泛函分析是无限维向量空间的研究，研究一些集合的函数和无穷维空间中的线性算子的性质。
2. 代数与几何：包括代数几何、代数学、拓扑学等领域。
代数几何是代数学和几何学的交叉学科，研究以方程式组成的算术结构和几何对象之间的关系。
代数学是代数结构的研究，研究簇、代数群、李代数等方向。
拓扑学是研究空间、同时自然变形、一定程度不变性等问题的一门学科。
3. 应用数学：包括计算机数学、运筹学、控制论等领域。
计算机数学是计算机科学和数学学科的交叉学科，主要研究数理逻辑和形式化语言、自动推理、计算机证明等。
运筹学是一种优化技术，将统计学、计算机科学、数学和工程学所研究的数学方法应用于生产管理、系统仿真、工作安排等。
控制论是一门跨学科的工程学科，其研究对象是动态系统，用数学方法研究如何控制动态系统的行为。
4. 数学物理：包括微分方程、偏微分方程、统计物理等领域。
微分方程和偏微分方程是数学物理学的重要内容，以研究物理、化学、工程等应用问题而兴起。
统计物理学是研究物理系统大量宏观量和微观量之间的关系和规律的一门学科。
5. 数学教育：包括中小学数学教育、大学数学教育等领域。
数学教育的研究方向主要包括教育方法、教育方法、教育评价等。
到大学阶段，数学教育的主要研究领域涉及课程设计、教学方法、考试评价、学生成绩分析等。
此外，清华领军计划的数学范围也包括数学基础学科、组合数学和概率统计学等领域。
随着科技与加速变化，数学的应用和研究领域也在不断扩展，清华领军计划是为了跟进数学这一领域中不断创新发展的趋势。
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《组合数学》课程教学大纲【课程名称】组合数学（Combinatorics）【课程代码】08012004【适应专业】数学与应用数学【授课对象】普通本科【课程简介】组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
本课程主要介绍组合数学涉及的基本计数问题、鸽巢原理、容斥原理、递推关系与母函数、生成函数、Polya计数理论等基本内容。
【教学目标】通过组合数学的学习，使学生了解和掌握组合数学的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用做好准备。
【参考学时】72学时【参考书目】1．卢开澄，卢华明编著：《组合数学(第4版)，北京：清华大学出版社，2006年2．姜建国，岳建国编著：《组合数学》(第2版)，西安：西安电子科技大学出版社，2007年3．李乔编著：《组合学讲义》，北京：高等教育出版社，2008年4．布鲁迪(Brualdi R.A.)编著：《组合数学》(原书第4版)，北京：机械工业出版社，2005年【教学内容】●第一单元基本计数问题●§1加法原理与乘法原理§2排列与组合§3多重集合的排列与组合§4二项式系数§5集合的分划与第二类Stirling数§6正整数的分拆§7分配问题综述●基本要求：1．理解并掌握多重集合的排列与组合问题中一些结论及其证明过程，第二类Stirling 数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法；2．掌握几种组合恒等式的证明方法，理解Ferrers图的含义及其应用于正整数的无序分拆的意义；3．理解并熟练掌握八种分配问题的计数方法；4．熟练利用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。
●重点、难点：八种基本的计数问题的求解方法；第二类Stirling数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法，以及用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。
Combinatorics第章排列与组合第一章马昱春MA Yuchunmyc@1内容回顾•全排列生成算法(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法•全排列：P是[1,n]的一个全排列。
P=P 1P 2…P n •序号：先于此排列的排列的个数。
–字典序中将先于此排列的排列按前缀分类，得到排列的序号n-1(n-i)!小的数的个数i=1,2,,n-1∑k i (n i)! k i ：P i 的右边比P i 小的数的个数i 1,2,…,n 1i=1•中介数：每个排列对应的中介数即k 1k 2…k n-1–递增/递减进位制数–记录排列的结构全排列序号中介数对应2–全排列，序号，中介数一一对应字典序下的对应关系n-1排列：P=P 1P 2…P n序号：∑k i (n-i)! i=1中介数：k 1k 2…k n-11230(00)()↑1321(01)↑ (321)n!-1=5 (21)………………()↑=2*2!+1*1!=5共有n!个排列0到(n!-1)0到(n!-1)个中介数3中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数•给定一个排列求后面或者前面的某个排列给定个排列求后面或者前面的某个排列–“原排列”→“原中介数”→“新中介数”“新排列”→新排列递增/递减进位制数加减法序号(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法0 123 (00)↑ 123 (00)↑ 123 (00)↓ 123 (00)↓1 132 (01)↑ 213 (01)↑ 132 (01)↓ 132 (01)↓2213(10)132(10)312(02)312(02)2 213 (10)↑ 132 (10)↑ 312 (02)↓ 312 (02)↓3 231 (11)↑ 231 (11)↑ 213 (10)↓ 321 (10)↓4 312 (20)↑ 312 (20)↑ 231 (11)↓ 231 (11)↓5321(21)321(21)321(12)213(12)5 321 (21)↑ 321 (21)↑ 321 (12)↓ 213 (12)↓对中介数的不同解释算法构成了不同的排列顺序4常用排列生成工具_p,•C++标准程序库中有两个函数next permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列#include algorithm•#include<algorithm>bool next_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev permutation(iterator start iterator end);–The next_permutation() function attempts to transform thegiven range of elements [start,end) into the nextgiven range of elements[start end)into the nextlexicographically greater permutation of elements. If itsucceeds, it returns true, otherwise, it returns false.•/blog/stl_next_permutation.html5•Matlab中也支持排列的生成–用命令perms得到排列,用法：perms(vector) 给出向量vector的所有排列，例如perms([2 3 5]) 运行结果：5 3 2，5 2 3，3 5 2，3 2 5结果532523352325，2 3 5，2 5 3–此函数值只能适用于n < 15的情况下。
第一周第一节什么事组合数学？场景：带有电脑的场景（环境待选）需要的设备：电脑开始老师从画面外走到场景中开始讲。
老师原文：大家好，我是清华大学计算机系的马昱春老师，从今天开始我和大家一起去学习一门数学课，组合数学，这门课是清华大学计算机系的一门研究生理论课程，大家肯定会有这样的疑问，从小到大，学到研究生了，学了10几年数学了，从数数开始，学到高等数学，微积分，学到线性代数，现如今怎么又蹦出个组合数学来呢？不如这样吧，我们来上网查一下，什么是组合数学？当讲到“不如这样吧，我们来上网查一下，什么是组合数学？”时候老师走到电脑旁边进行搜索。
（搜索部分录屏）查完转身继续说下面的内容。
第一周第二节最精巧的排列——幻方场景：（环境待选）道具：幻方，图片打印（此图打印制作一个幻方模型）老师以玩幻方开始讲述幻方。
（对幻方的概念进行一下简单的解释，讲完美幻方的故事...）由故事带入主题，讲历史。
当讲到“据传说，大禹在4000多年前(2200B.C.)就观察到神龟背上的幻方”可以讲一下这张图（图打印出来）讲解继续讲解“幻方问题”“例:幻方”“存在性问题”“幻方的构造”“幻方的发展”讲到“贾宪三角”拿出下图讲解。
第一周第三节苦难的羊皮纸卷——西方组合学的发展场景：需要有桌子的场景，可以是老师站在桌子后面；也可以是老师坐在桌子（此时为小茶几）旁边（环境待选）道具：档案袋当老师讲到“阿基米德手稿”的时候，从档案袋里拿出手稿的打印文件，说：“这张就是当年阿基米德羊皮纸重写本的复印件...”老师原文：2003科学家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基米德的这篇论文, 结论是这篇论文解决的是组合数学问题。
在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少种不同的拼法。
这在现在被称为tiling问题。
当今数学家借助计算机得出的答案是17152种拼法，这在当时是相当困难的。
第一周第四节组合数学啊，你一直都在我身边场景：（环境待选）道具：安卓系统手机、密码锁开场特写老师手中把玩的密码锁，然后老师开始讲述二战时期Thomas Tutte的故事开场设计：“我手中的密码锁就是一个组合数学的成果，利用不同的排列组合来第二次世界大战的提前结束也是因为组合数学，你相信吗？”...进行正文主题从历史开始讲起或者从二战的故事开始讲。
清华大学计算机研究生课程表收藏计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课内学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课内学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课内学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课内学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课内学时：32 开课学期：秋任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课内学时：48 开课学期：春任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
