清华大学组合数学8

组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。

组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。

在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。

组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。

组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。

组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。

排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。

排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。

集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。

例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。

在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。

例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。

在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。

在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。

生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。

总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。

清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。

课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。

课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课内学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023 课内学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课内学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。

课程名称：专家系统课程编号：60240043 课内学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。

课程名称：人工智能课程编号：60240052 课内学时：32 开课学期：秋任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课内学时：48 开课学期：春任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013课内学时：48 开课学期: 秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023课内学时：48 开课学期:春秋 任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计任课教师：周之英课程编号：60240033课内学时：48 春开课学期:【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；8、 分布式系统对象模型：CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的设计）等 课程名称：专家系统任课教师：艾海舟 【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。

课程名称：人工智能课程编号：60240043春 课内学时：48 开课学期:任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统; 搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人 工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063课内学时：48 春 任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC 机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。

证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。

由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。

2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。

由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。

当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。

∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。

∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。

∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。

4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。

77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。

即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。

解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为ri。

∴0≤ri≤n-1如果存在i ，使得ri=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。

清华大学计算机研究生课程表收藏计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课内学时： 48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023 课内学时： 48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：周之英【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。

课程名称：专家系统课程编号：60240043 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等内容。

课程名称：人工智能课程编号：60240052 课内学时： 32 开课学期：秋任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课内学时： 48 开课学期：春任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

Combinatorics第章排列与组合第一章马昱春MA Yuchunmyc@1内容回顾•全排列生成算法(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法•全排列：P是[1,n]的一个全排列。

P=P 1P 2…P n •序号：先于此排列的排列的个数。

–字典序中将先于此排列的排列按前缀分类，得到排列的序号n-1(n-i)!小的数的个数i=1,2,,n-1∑k i (n i)! k i ：P i 的右边比P i 小的数的个数i 1,2,…,n 1i=1•中介数：每个排列对应的中介数即k 1k 2…k n-1–递增/递减进位制数–记录排列的结构全排列序号中介数对应2–全排列，序号，中介数一一对应字典序下的对应关系n-1排列：P=P 1P 2…P n序号：∑k i (n-i)! i=1中介数：k 1k 2…k n-11230(00)()↑1321(01)↑ (321)n!-1=5 (21)………………()↑=2*2!+1*1!=5共有n!个排列0到(n!-1)0到(n!-1)个中介数3中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数•给定一个排列求后面或者前面的某个排列给定个排列求后面或者前面的某个排列–“原排列”→“原中介数”→“新中介数”“新排列”→新排列递增/递减进位制数加减法序号(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法0 123 (00)↑ 123 (00)↑ 123 (00)↓ 123 (00)↓1 132 (01)↑ 213 (01)↑ 132 (01)↓ 132 (01)↓2213(10)132(10)312(02)312(02)2 213 (10)↑ 132 (10)↑ 312 (02)↓ 312 (02)↓3 231 (11)↑ 231 (11)↑ 213 (10)↓ 321 (10)↓4 312 (20)↑ 312 (20)↑ 231 (11)↓ 231 (11)↓5321(21)321(21)321(12)213(12)5 321 (21)↑ 321 (21)↑ 321 (12)↓ 213 (12)↓对中介数的不同解释算法构成了不同的排列顺序4常用排列生成工具_p,•C++标准程序库中有两个函数next permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列#include algorithm•#include<algorithm>bool next_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev permutation(iterator start iterator end);–The next_permutation() function attempts to transform thegiven range of elements [start,end) into the nextgiven range of elements[start end)into the nextlexicographically greater permutation of elements. If itsucceeds, it returns true, otherwise, it returns false.•/blog/stl_next_permutation.html5•Matlab中也支持排列的生成–用命令perms得到排列,用法：perms(vector) 给出向量vector的所有排列，例如perms([2 3 5]) 运行结果：5 3 2，5 2 3，3 5 2，3 2 5结果532523352325，2 3 5，2 5 3–此函数值只能适用于n < 15的情况下。

北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}139,{Z 1}x A x B x x =<≤=∈≥∣∣，则A B =I （ ） A ．(1,2] B ．{1,2} C ．[1,2] D ．{1}2．已知复数12i2iz +=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12-B ．2i +C ．i -D ．i3．已知a b <，则（ ） A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b <4．已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =-，()21f x =，12min π4x x -=，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在ABC V 中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r.若DE xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y R ∈，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．136．若α是第二象限角，且()1tan π2α-=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C D ．7．已知数列{}n a 为无穷项等比数列，n S 为其前n 项和，10a >，则“{}n S 存在最小项”是“20S ≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 10．数列 a n 满足431n a -=-，411n a -=，2n n a a =，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数T ，*N n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*N n ∀∈，都有22n S =-二、填空题11．若()2log 10x +≤，则实数x 的取值范围是．12．已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是.（写一个即可）13．在矩形ABCD 中，||2,||1AB AD ==u u u r u u u r，且点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，则()AE AF AC +⋅=u u u r u u u r u u u r．14．已知函数()cos 2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是.15．已知平面内点集{}()12,,,1n A P P P n =⋅⋅⋅>，A 中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合{}(){}1,2,,,0,1,2,,i j i j i m B PP m n m i PP PP i n =∀∈≠<≤=u u u u r u u u u r u u u rL u L ，{},1,2,,i i j M P PP B i n =∈=u u u u L r. 给出以下四个结论：①若2n =，则A M =； ②若n 为奇数，则A M ≠； ③若n 为偶数，则A M =；④若{}12,,,k j j i i j i P P P P P B P ⊆u u u u r u u u u r u u u u r L ，则5k ≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．在等差数列 a n 中，25a =，3620a a +=． (1)求数列 a n 的通项公式：(2)设12n n n a b a =+，其中*N n ∈，求数列 b n 的前n 项和n S ． 17．已知函数()2πsin 22cos 6π6f x a x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中a ＞0．且()f x 的图象与直线=3y -的两个相邻交点的距离等于π． (1)求函数()f x 的解析式及最小正周期：(2)若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上恰有两个不同解，求实数m 的取值范围．18．在ABC V 中，sin 2sin b A B =． (1)求A ∠；(2)若ABC V 的面积为再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =②：b c =③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知函数()e 1x x af x x +=--． (1)求证：对R a ∀∈．曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线恒过定点； (2)当2a >时，判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由．20．设函数()()()2121ln 142f x ax a x x =-++-+．其中0a >．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)当12a =时．对于(]122,x x m ∀∈,，不等式()()21124f x f x ≤-恒成立，求m 的取值范围． 21．已知无穷数列 a n ， b n 各项都是正整数，定义集合：{},1,2,a n n j D n a b j +=≤=L ，{},1,2,b n n j D n b a j +=≤=L ；(1)已知21n a n =-，32n b n =-，直接写出集合,a b D D ；(2)若()11,2,n n a b n -==L ，11a =，a b D D =∅I ，求证： a n 中有无穷多个1； (3)若 a n ， b n 均为等差数列，且a D ，b D 均为无限集，求证：a b D D =．。

清华大学计算机全套教程（值得收藏）要观看视频，请点击下列网址后，“进入课程”后，再点”视频讲解”本科课程微型计算机技术/courses/jsj/GD_jsj_001b/index.htm 数据结构/courses/jsj/GD_jsj_002b/index.htm 人工智能导论/courses/jsj/GD_jsj_003b/index.htm 信号处理原理/courses/jsj/GD_jsj_004b/index.htm- 多媒体技术基础/courses/jsj/GD_jsj_005b/index.htm 软件工程/courses/jsj/GD_jsj_006b/index.htm 计算机组成与结构/courses/jsj/GD_jsj_007b/index.htm 编程语言/courses/jsj/GD_jsj_008b/index.htm编译原理/courses/jsj/GD_jsj_009b/index.htm 数据库系统与应用/courses/jsj/GD_jsj_010b/index.htm 理工猫虚拟现实与系统仿真/courses/jsj/GD_jsj_011b/index.htm 离散数学(上)/courses/jsj/GD_jsj_012b/index.h tm数据库系统概率/courses/jsj/GD_jsj_013b/index.htm MPI并行程序设计/courses/jsj/GD_jsj_014b/index.htm 计算机原理/courses/jsj/GD_jsj_015b/index.htm 模式识别/courses/jsj/GD_jsj_016b/index.htm 数字系统设计自动化/courses/jsj/GD_jsj_017b/index.htm 计算机系统结构/courses/jsj/GD_jsj_018b/index.htm 汇编语言程序设计h/courses/jsj/GD_jsj_019b/index.htm 语言程序设计/courses/jsj/GD_jsj_020b/index.htm 研究生课程计算机系统结构/courses/jsj/GD_jsj_021y/index.htm 计算机网络体系结构/courses/jsj/GD_jsj_022y/index.htm 数值分析/courses/jsj/GD_jsj_023y/index.htm 软件工程/courses/jsj/GD_jsj_024y/index.htm 组合数学/courses/jsj/GD_jsj_025y/index.htm 人工智能原理/courses/jsj/GD_jsj_026y/index.htm 计算机图形学/courses/jsj/GD_jsj_027y/index.htm 人工智能原理/courses/jsj/GD_jsj_028y/index.htm 工程数据库设计与应用/courses/jsj/GD_jsj_029y/index.htm宽带网络交换技术/courses/jsj/GD_jsj_030y/index.htm 并行计算/courses/jsj/GD_jsj_031y/index.htm。