1.4.2单位圆与周期性

高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈； （2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在 ，对定义域内的 值，都有 ，则称()f x 为周期函数， 称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 是正弦函数、余弦函数的周期．其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 ．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（ ） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（ ）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（ ） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（ ）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。

§4.2 单位圆与周期性教学目标1．知识与技能（1）会利用单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的周期性；（2）理解周期函数的定义。

2.过程与方法由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，利用单位圆的独特性，充分理解正弦函数和余弦函数的周期性。

同时感受利用单位圆研究三角函数是高中数学中的一种重要方法。

3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

教材分析在直角坐标系的单位圆中，角α的终边与单位圆的交点P的位置随α的变化而变化，由此可看出正弦函数、余弦函数的周期性。

教材在分析了正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化而呈周期性变化后，归纳出了周期函数的概念，并给出了定义。

教材重点研究了正弦函数、余弦函数的周期性，而对一般的周期函数不作研究。

教学重点1．任意角的三角函数两个定义的应用；2.周期函数的概念教学难点1.三角函数定义的灵活应用；2. 理解周期函数的概念教学方法与手段学生对三角函数定义的灵活应用有一定难度，教师应以数形结合为引导，启发学生利用定义解题的关键是求出角α终边与单位圆的交点坐标。

另外，周期函数的概念的理解对学生有较高的要求，建议教师从特殊出发，引导学生自己独立发现规定自变量的任意性的合理性。

教学过程一、复习回顾：1．任意角的三角函数是如何定义的？体现什么数学思想？2．利用单位圆定义任意角的三角函数的正、余弦函数有什么优点？体现什么数学思想？从中可以发现正、余弦函数有什么关系？利用角α终边上一点(5,12)P -分别求sin ,cos ,tan ααα来回答问题1和问题2.（1）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k ->，如何求ααcos ,sin ？（2）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -<，如何求ααcos ,sin ？（3）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -≠，如何求ααcos ,sin ？3．正弦、余弦函数的定义域是什么？你是如何得到三角函数定义域的？4．正弦、余弦函数在四个象限的符号是怎样的？正弦一二为正三四为负，余弦一四为正二三为负。

4.2 单位圆与周期性一、基础过关 1．sin 390°等于( )A.32B ．－32C ．－12D.12 2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.54．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 6．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第______象限． 7．求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为______．8．解三角不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.二、能力提升 9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围是________．11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．12．已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.答案1．D 2.B 3.C4.D5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 6.四7.⎣⎡⎦⎤kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z8．解由⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，2cos x－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，cos x>12，如图所示，由三角函数线可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，2kπ－π3<x<2kπ＋π3(k∈Z).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2kπ≤x<2kπ＋π3，k∈Z.故不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋π3，k∈Z}．9．C10.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π11．解依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x＋1>01－2cos x>01－2cos x≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x>－12cos x<12cos x≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是(2kπ＋π3，2kπ＋π2)∪(2kπ＋π2，2kπ＋76π)，k∈Z. 12．证明∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．13．证明如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x 轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2，则sin α＝M1P1，sin β＝M2P2，α－β＝P1P2，∴α－β＝P1P2>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。