2020年陕西西安高三三模数学试卷(理科)
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12020年陕西西安高三三模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
A.B.C.D.1.已知全集，集合，，则（ ）．
A.B.C.D.2.若复数满足，其中为虚数单位，为的共轭复数，则的虚部为（ ）．
A.B.C.D.3.已知向量，向量，则的值为（ ）．
4.在某次测量中得到的样本数据如下：，，，，，，，，，．若样本
数据恰好是样本数据每个都加后所得数据，则，两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）．
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.标准差
5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎
《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”在某种玩法中，用表示
解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下
个环所需的最少移动次数为（ ）．
A.
B.
C.
D.为偶数为奇数
6.已知，，（注：为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）．
2A.
B.
C.D.
7.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）．
A.
B.
C.D.
8.函数的大致图象是（ ）．
A.
B.
C.
3
D.
9.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，图
中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）．
A.
B.
C.D.10.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（ ）．
A.B.
C.D.
11.已知是双曲线：的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）．
A.
B.
C.D.
412.定义域和值域均为 （常数）的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（ ）．
A.B.
C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为，乙不输的概率为，则两人下成和棋的概率为 ．
14.设等差数列 的前项和为 ，若 ，则 ．
15.函数的最小正周期是 ．
16.如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
5（1）
（2）17.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分
布直方图．频率组距分数求高一参赛学生的成绩的众数、中位数．求高一参赛学生的平均成绩．
（
1）
（2）18.在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求的值．
设外接圆半径为，且，求的取值范围．
（
1）
（2
）19.如图，菱形中，，为中点，将沿折起使得平面平面
，与相交于点，是棱上的一点且满足．
图求证：平面．
求二面角的余弦值．
（1）
（2）20.已知函数．
证明．
若对恒成立，求实数的取值范围．
6【答案】
解析:
∵，
∴，
∴，所以．
解析:
由已知得：
．
∴，虚部为．（1）
（2）21.已知椭圆的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆
左焦点为，已知．
求椭圆的方程．
若直线与椭圆交于不同两点、，且定点满足
，求实数的取值范围．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）
（2）22.在平面直角坐标系中，直线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线的极坐标方程为：．
写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程．
设直线与曲线相交于，两点，设，若，求直线的斜率．
（1）
（2）23.已知函数，，且．
若函数的最小值为，试证明点在定直线上．
若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
B1.
A2.
7故选．
解析:
由题意可得，
因此，．
故选．
解析:
依题意
．
故应选．
解析:
因为，所以，
又，且，所以，
又，且，所以，
因为，，
又因为，所以，所以，
所以．
故选．
解析:
，则，则倾斜角为，
故选．C3.
D4.
C5.
B6.
B7.
D8.
8解析:
函数是偶函数，排除选项，；
当时，，对应点在第四象限，排除．
故选．
解析:
连接，
由题意，，，则．
∵是的中点，
∴，
故点的坐标可为．
设抛物线的标准方程为，把点代入可得，
解得，则抛物线中焦点到准线的距离为．
故选．
解析:
函数，
其中，其图象关于直线对称，
所以，，所以．
故选．
解析:
方法一：
如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．B9.
D10.
，
B11.
9xy
O
由双曲线方程可得，，，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，解得．
．
则．
故选：．
方法二：
设点，则①，
又，
∴②，
由①②得，
即，
∴．
故选．
解析:
方程，由图（）可知有三个不同值，，，而且，，
，由图（）知是减函数，所以有三个解．
故选．
解析:
设甲胜的概率为，乙胜的概率为，和棋的概率为，则，，两式相加
得，又，所以．C12.
13.
14.
10（1）解析:
在等差数列 中，设公差为 ，
由 ，可得 ，
即 ，
即 ，
所以
．
解析:
由题得，所以函数的最小正周期为．
解析:
设圆锥形容器的底面面积为，
则未倒置前液面的面积为 ，
所以水的体积为 ，
设倒置后液面面积为 ，
则 ，
所以 ，
所以水的体积为 ，
解得 ．
解析:
用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，
得出众数为，
又因为第一个小矩形的面积为，15.
16.
（1），．
（2）．17.
11（2）
（1）
（2）
（1）
（2）设第二个小矩形底边的一部分长为，
则，解得，
所以中位数为．
依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：
，
所以参赛学生的平均成绩为分．
解析:
由条件可得，
所以，
即，
因为，所以，
又因为，解得．
∵，，
∴，可得：，
由余弦定理可得：
，
∵，∴，
所以的取值范围为．
解析:
由题意知，，
∴，
又，∴，
又平面，平面，
∴平面．
∵平面平面，（1）．
（2）．18.
（1）证明见解析．
（2）．19.
12（1）
（2）平面平面，，
∴平面，∴，
以为坐标原点，，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设菱形的边长为，
则点，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
故二面角的余弦值为．
故答案为：．
解析:
，
∵，故，
∴，
∴．
设，，（1）证明见解析．
（2）．20.
13（1）
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，
符合题意，
当时，得，
即，
∴，即，
∴时，，单调递减，
不合题意．
综上，的取值范围为．
解析:
∵设椭圆右焦点为，
由椭圆对称性得，
∴．
又，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
由消去整理得：，
∵直线与椭圆交于不同的两点、，
∴，
整理得．
设，，
则，
又设中点的坐标为，
∴，
．（1）．
（2）．21.
14（1）
（2）
（1）∵．
∴，即，
∴，
∴，
解得．
∴实数的取值范围．
解析:
曲线的极坐标方程为，
所以，
∴曲线的直角坐标方程为，
直线的参数方程为（为参数，）．
把直线的参数方程带入得，
设此方程两根为，，
∵定点在圆外且在直线上，
所以，
∴，
∴，，
可得，
∴，所以直线的斜率为．
解析:
，
∵最小值为，
∴，
又，（1），（为参数，）．
（2）．22.
（1）证明见解析．
（2）．23.
