2020年陕西西安长安区高三一模数学试卷(理科)
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12020年陕西西安长安区高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
A.B.C.D.1.集合，，则（ ）．
A.B.C.D..2.设复数满足，则（ ）．
3.已知数据，，，，是西安普通职工个人的年收入，设这个数据的
中位数为，平均数为，方差为，如果再加上中国首富的年收入，则这个数据中，下列说
法正确的是（ ）．
A.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
B.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
4.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子
自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的
天数是（ ）．
A.
B.
C.
D.
25.定义运算，将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）．A.
B.
C.D.
6.在 中，角，，所对应的边长分别为，，，面积为，若 ，则
（ ）．A.
B.C.D.
7.已知直线与抛物线相交于、两点，若线段的中点为，则直线的方程是（
）．
A.
B.C.D.
8.已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数、，都有 ，记， ， ，则（ ）．
A.B.
C.D.
9.在中，，，是的内心，若，
则（ ）．
3A.
B.
C.D.
10.设、，且关于、的不等式在区域上恒成立，则的最大值与最小值之积为（ ）．
A.B.
C.D.11.在三棱锥中，，，，点在平面
内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）．
A.
B.
C.D.12.已知函数，若存在，，，，满足，则的值为（ ）．
A.B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，，则的值为 ．
14.
4若双曲线的渐近线与圆有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为 .
15.的展开式中，的系数为 ．
16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十
字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来．若正四棱
柱的高为，底面正方形的边长为，现将鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小
值为 .（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）
（2）17.设数列为单调递增的等差数列，，且，，依次成等比数列．
求数列的通项公式．若，求数列的前项和为．
（1）18.小王开了一家网店，销售的商品中有一种每袋标准重量为克的茶叶，为了诚信经营，小王很关
心商品的重量，他随机抽查了袋该茶叶作为样本进行检测，通过检测其实际重量分别为：
经计算样本平均数，样本标准差，其中（，
，，，）
为抽取的第袋茶叶的实际重量，试回答以下问题：
请根据题中个样本数据在下图中将样本频率分布表及样本频率分布直方图填充完整（不需书
写计算过程）．
51
2（2）分组频数频率频率/组距
袋茶叶重量频率分布表
每袋茶叶的重量/g频率组距
袋茶叶重量的频率分布直方图顾客小郑在小王的网店里买了袋该茶叶，由于工作繁忙，小王没有检测这袋茶叶的重量就
邮寄给小郑了．小郑对这次交易很重视，收到茶叶后一定会检测一下重量，若小郑发现这袋茶叶中至
少有袋的重量不高于克则会给小王“差评”．已知该茶叶在装袋的过程中，每袋茶叶的实际重量
，且每袋的重量相互独立．用样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计
值，假设茶叶在运输过程中重量不变．请问这次交易中小王收到小郑的“差评”（因为重量问题的“差评”）的概率是多少?
顾客小郑收到的袋茶叶中，重量在范围内的茶叶的袋数的数学期望值是多少？
附：若，则，，，，．
19.已知，在五面体中，四边形是等腰梯形，
，，，，平面平面．
6（1）
（2
）证明：平面．
求二面角的余弦值．
（1）
（2）20.已知、是曲线：的左、右焦点，垂直于轴的直线与曲线交于
，两点，的周长的最大值为，此时．
求曲线的方程．
已知点，直线交曲线与两点、，如果轴平分，求证：直线过定点．
（1）
（2）
（3）21.已知函数，其中．
讨论函数的单调性．
若对于任意的、，，恒有，求实数的取值范围．
设，，求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线的极坐标方程
为，设直线经过定点，且与曲线交于、两点．求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程．
求证：不论为何值时，为定值．
（1）
（2）23.设、、均为正数，且，求证：
．
．
7【答案】
解析:
，，
故．
解析:
由，
得 ，
则 ，
故选．
解析:
∵数据，，，，是上海普通职工个人的年收入，
而为世界首富的年收入，
则会远大于，，，，，
故这个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大，
故选：．
解析:
孩子已经出生的天数为：．
解析:
，向右平移后得到．C1.
D2.
A3.
B4.
D5.
8所以函数图象的对称轴为，．
当时，．
故选．
解析:
三角形面积公式 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
由 ．
解得： ．
故选：．
解析:
若直线无斜率，则，关于轴对称，
故的中点纵坐标为，不符合题意，
设直线的斜率为，则的方程为，
即，
代入可得：，
即，
∵的中点纵坐标为，
∴，即，
∴直线的方程为：．
故选．
解析:
∵是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，，都有
，A6.
C7.
B8.
9
∴函数 是上的增函数，
∵，，，
∴．
∴．
故选：．
解析:
设中点为，以为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示：
xy
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，
∴内心在线段上，设内切圆的半径为，则，
∴，又，
∴，解得或（舍），
∴，又，，，
∴，，，
∵，
∴，解得，
∴．
故选：．
解析:B9.
C10.
10令，
∵恒成立，
即函数在可行域要求的条件下，恒成立．
当直线过点或点或，
或时，有：．
点形成的图形是图中的菱形．
设，得，
平移直线，
由图象知当直线，经过时，直线的截距最大，
当经过点时，直线的截距最小．
即最大值为，
最小值为不等式，
∴的最大值和最小值为．
故选．
解析:
取中点，连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，．
∵，，
∴为二面角的平面角．
过 作平面，连接，则为的中点，D11.
11∴，
∴．
∴，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
以平面内过点平行于的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，设，则．
，．，，．
∴．
∴当时，取得最大值．
故选：．
解析:
∵函数，
∴函数的图象关于点对称，
结合图象知：、、满足，
∴函数与的图象恰有个交点，且这个交点关于对称，
除去点，C12.
12故有．
故选．
解析:
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍）或．
解析:
双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心为，半径为，
渐近线与圆有公共点，即有，
即为，
即，即为，
即有，又，
则，
故答案为：．
解析:
的展开式的通项公式为，，，，，，
，
而的展开式的通项公式为，其中
，故有或或,13.
14.
15.
13（1）
（2）
（1）故的系数为.
故答案为：．
解析:
将鲁班锁的两个相邻正四棱柱放入球中，
则球心到一个顶点的距离为：
，
∴，
故球体容器表面积的最小值为．
解析:
∵，且，，依次成等比数列，
∴，即：，
∵，∴，∴．
，
∴．
解析:
分组频数频率频率/组距16.
球
（1）．
（2）．17.
（1）画图见解析．1
2（2）.
．18.
