高中常见数列的公式及经典例题

⾼中常见数列的公式及经典例题

⾼中常见数列的公式及经典例题等差数列1．等差数列：⼀般地，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它前⼀项的差等于同⼀个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常⽤字母“d ”表⽰）

2．等差数列的通项公式：

d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))

3．有⼏种⽅法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m

n a

a m n -- 4．等差中项：,,2

b a b

a A ?+=

成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式 6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=

（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d

a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是⼀个常数项为零的⼆次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种⽅法:

（1） 利⽤n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最⼤值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值

当n a <0，d>0，前n 项和有最⼩值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值

（2） 利⽤n S ：由n )2d a (n 2d

S 12n -+=⼆次函数配⽅法求得最值时n 的

值

等⽐数列1．等⽐数列：如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列就叫做等⽐数列.这个常数叫做等⽐数列的公⽐；公⽐通常⽤字母q 表⽰（q ≠0），即：1

-n n

a a =q （q ≠0） 2.等⽐数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ，

)

0(1≠??=-q a q a a m n m n

3．｛n a ｝成等⽐数列?

n

n a a 1

+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等⽐数列的必要⾮充分条件4．既是等差⼜是等⽐数列的数列：⾮零常数列． 5．等⽐中项：G 为a 与b 的等⽐中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.

6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?

7．判断等⽐数列的⽅法：定义法，中项法，通项公式法 8．等⽐数列的增减性：

当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;

当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等⽐数列前n 项和

等⽐数列的前n 项和公式：

∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q

q a a S n n --=11 ②

当q=1时，1na S n =

当已知1a , q, n 时⽤公式①；当已知1a , q, n a 时，⽤公式②.

数列通项公式的求法

⼀、定义法

直接利⽤等差数列或等⽐数列的定义求通项的⽅法叫定义法，这种⽅法适应于已知数列类型的题⽬．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等⽐数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=?

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=??+

…………② 由①②得：5

3

1=a ，53=d

∴n n a n 5

3

53)1(53=?-+=

点评：利⽤定义法求数列通项时要注意不⽤错定义，设法求出⾸项与公差（公⽐）后再写出通项。 ⼆、公式法

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可⽤公式??≥-==-2

1

11n S S n S a n n n 求解。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满⾜1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=?-==a a S a

当2≥n 时，有,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-

,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-].)1(2[3

2

3

])2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满⾜上式，所以])1(2[32

12---+=n n n a

点评：利⽤公式≥?-=?=-211n S S n S a n n

n n 求解时，要注意对n 分类

讨论，但若能合写时⼀定要合并． 三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等⽐数列问题，有时也⽤到⼀些特殊的转化⽅法与特殊数列。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利⽤累加法(逐差相加法)求解。(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。P24（styyj ）

例3. 已知数列{}n a 满⾜211=a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。 解：由条件知：11

1)1(1121+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-=n n ，代⼊上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--++-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --++-+-+-=

所以na a n 1

11-=-

211=

a ，nn a n 1231121-=-+=∴ 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，

利⽤累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满⾜a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项

1

___

n a ?=?

12

n n =≥ P24（styyj ）

例4. 已知数列{}n a 满⾜32

1=a ，n n a n n

a 1

1+=+，求n a 。 解：由条件知

1

1+=

+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-=n n ，代⼊上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-n n a a a a a a a a n

n 1

433221-=n a a n 11=? ⼜32

1=a ，n

a n 32=

∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得： 由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n an f a ，，12)1(a f a =依次向前代⼊，得

1)1()2()1(a f n f n f a n --=，

简记为111))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0

1

=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模

式。 （3）

递推式：()n f pa a n n +=+1 解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

例5．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代⼊递推式，得[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

+-=-=∴1332

3A B B A A ?

==11B A

1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,⼜61=b ，故n n n b 32361?=?=-代⼊（１）得132--?=n a n n

说明：（1）若)(n f 为n 的⼆次式，则可设C

Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由

1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相

减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之. 例6．已知31=a ，n n a n n a 231

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231

32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-+---?+---=

3437

52633134

8531n n n n n --=

=---。

类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq

t -=

1，再利⽤

换元法转化为等⽐数列求解。(2006.重庆.14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项

n a P24（styyj ）

例7. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则

4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .