数列求和公式的常见题型及解题方法

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

常见的裂项技巧

类型一：等差型

①)11(1)(1knnkknn

特别注意nnnnknnnnk111)1(1,1;111)1(1,1

②1111()(1)(1)211knknknkn

如：)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的21）

类型二：无理型

①)(11nknknkn

如：111nnnn

类型三：指数型

①11(1)11()()nnnnnaaakakakak

如：11211(2)(2)22nnnnnkkkk

类型四：通项裂项为“”型

如：①21111111nnnnnnn

②131222(1)(11)1nnnnnnnnnn

本类模型典型标志在通项中含有(1)n乘以一个分式.

二、典型例题

类型一：等差型

例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知nS是等差数列na的前n项和，0na，315S，公差1d，且___________.从①21a为11a与31a等比中项，②等比数列nb的公比为3q，1124,baba这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列na存在并作答.

(1)求数列na的通项公式；

(2)设数列11nnaa的前n项和为nT，求证：16nT.

【答案】(1)选择条件见解析，21nan(2)证明见解析

(1)若选①，21a为11a与31a的等比中项，

则2132111aaa，由na为等差数列，315S，得2315a，∴25a，

把25a代入上式，可得4616dd，解得2d或4d（舍）

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专题20 常见数列的求和问题

一、例题选讲

题型一 公式法

若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(Ⅰ)当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.

例1,(2019通州,海门,启东期末)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．

【答案】62

【解析】设公比为q，因为a1＝2，a3＝a2＋4，所以2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1，因为{an}为正项数列，所以q＝2，所以S5＝2（1－25）1－2＝62.

例2,(2019镇江期末) 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a6a3＝－12，则S6S3＝________．

【答案】 12

【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝a6a3＝－12.易得S6＝S3(1＋q3)，所以S6S3＝1＋q3＝1－12＝12.

例3,(2019苏锡常镇调研)已知等比数列的前n项和为，若，则＝ ．

【答案】.37

【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以2422aqa，故24q．由于1q，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812qqqqqqaqqaSS

nanS622aa128SSna622aa

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题型二,分组求和法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差,等比数列，或者常数列等特色数列.再分布求和..

例4,数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于________．

【答案】n2＋1－12n.

【解析】Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋14＋18＋…＋12n＝n2＋121－12n1－12＝n2＋1－12n.

- 1 - 数列求和的若干常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。

一、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例1．数列{an}的前n项和12nnaS，数列{bn}满)(,311Nnbabbnnn .

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：（Ⅰ）由12,,1211nnnnaSNnaS，

两式相减得：,2211nnnaaa01.,211nnnaaNnaa知同，

,21nnaa同定义知}{na是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）,22,211111nnnnnnnnbbbba

,2,2,2234123012bbbbbb

,221nnnbb等式左、右两边分别相加得：

,2221213222112101nnnnbb nTnnn2)2222()22()22()22()22(12101210

=.12222121nnnn

已知等差数列na的首项为1，前10项的和为145，求：.242naaa

解析：首先由3145291010110ddaS 则：

6223221)21(232)222(322323)1(1224221nnnaaaandnaannnnnnn

数列求和专题讲义

一、知识梳理

1．等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.

2．等比数列的前n项和公式：Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.

3．一些常见数列的前n项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1).(4)12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.

注意：数列求和的常用方法

(1)公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式求和．

(2)分组转化法：把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

常见的裂项公式

①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝12)121121(nn；③1n＋n＋1＝n＋1－n.

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．

(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( )

(2)当n≥2时，1n2－1＝12)111(nn.( )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )

(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( )