2021年1月中学生标准学术能力测试THUSSAT数学试题含答案

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1.已知集合 $A=\{4,5,6\}$，$B=\{3,5,7\}$，则 $A\capB$ 为XXXB。

$\{5\}$C。

$\{4,6\}$D。

$\{3,4,5,6,7\}$分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得$A\cap B=\{5\}$。

改写】给定集合 $A=\{4,5,6\}$ 和 $B=\{3,5,7\}$，求它们的交集 $A\cap B$。

根据定义，$A\cap B$ 是包含 $A$ 和$B$ 共有元素的集合，因此 $A\cap B=\{5\}$。

2.函数 $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 的定义域是A。

$[-3,+\infty)$B。

$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$C。

$[-3,-2)$D。

$[-3,2)\cup(2,+\infty)$分析】根据函数解析式，列不等式组$\begin{cases}x+2\neq 0\\ x+3\geq 0\end{cases}$，求解即可。

改写】考虑函数 $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 的定义域。

由于分母 $x+2$ 不能为 $0$，因此 $x\neq -2$。

又因为分子$x+3$ 需要非负，即 $x+3\geq 0$，解得 $x\geq -3$。

综上，函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-3,-2)\cup(-2,+\infty)$。

3.$\log_3 18-\log_3 2=$A。

$1$B。

$2$C。

$3$D。

$4$分析】利用对数的运算性质计算即可得答案。

改写】计算 $\log_3 18-\log_3 2$。

根据对数的定义，$\log_3 18=2$，$\log_3 2=\dfrac{1}{\log_2 3}$，因此 $\log_3 18-\log_3 2=2-\dfrac{1}{\log_2 3}=2$。

一、单项选择题：本题共8符合题目要求的．1． 已知R ∈m ，集合=A ，若C AB =则=mA ．−32． 已知数列a n }{满足a 1A ．+−n 21213． 复数z 满足+=z 2i )(A ．−34． 在直三棱柱−ABC A 1A ．7 5． 设x a a x +=+n1201)(A ．66． 若不等式A ．5 7． 已知==a b 2e ,ln e23A ．>>a b c8． 已知>+−x y x y ,0,33A ．15．若,αγβγ，则αβ．若,,mn m n αβ，则αβγ⊥，则⊥⊥αγβγ,，则αβx 2E F ,，5．12PE PF ⋅=−25258=12)分成长度相等的四段D ．3 则+++ααβtan 2tan )(D ．8当∈x 2,4][时，=f x )(C 上一点，线段PF 2的中垂的离心率为 ． 动直线=≠x a a 0)(与函数l 1与函数g x )(的图象+x 817)恒成立，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列a n }{的前n 项和为=S a n ,11，当≥n 2时，⎝⎭ ⎪=−⎛⎫S a S nn n 212．（1）求证：数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1是等差数列，并求S n 的表达式；（2）设+=n b n S n n212，数列b n }{的前n 项和为T n ，不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，求正整数m 的最小值．18．（12分）如图所示，在∆ABC 中，=AB D 1,是BC 上的点，∠=∠BAD DAC 21． （1）若∠=πBAC 2，求证：−=AD AC 21； （2）若1BD DC =4，求∆ABC 面积的最大值．19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体−ABCD A BC D 1111的顶点A 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为61，沿正方体的侧棱爬行的概率为32．（1）若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．（第19题图）（第18题图）20．（12分）如图所示，已知∆ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且=BNNC 3．以MN 为折痕将∆BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面⊥DMC 平面ABC ，连接DA DC ,．（1）若E 是线段DM 的中点，求证：NE 平面DAC ；（2）求二面角−−D AC B 的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线=−y x M 1,0,12)(，A ，B 是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于C ，D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．（1）求⋅CDCM DM 的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数=+−−xf x x a x1ln 2)(有两个零点<x x x x ,1212)(． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：<x x 112； （3）求证：−<<−x x x x 212122．（第20题图）（第21题图）中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．135 15．216．，⎝⎦⎥ −∞⎛⎤21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）当≥n 2时，数列a n }{的前n 项和为S n ，满足⎝⎭⎪=−⎛⎫S a S n n n 212， 即⎝⎭ ⎪=−−=−−+⎛⎫−−−S S S S S S S S S n n n n n n n n n 22211111122)(， 整理可得=−−−S S S S n n n n 211 ········································································ 1分 11S =，则=−S S S S 22112，即=−S S 2122，可得=S 312 ······························· 2分由=−S S S S 22323，即=−S S 332133，可得,,=S 513以此类推可知，对任意的N *∈>n S n ,0，在等式=−−−S S S S n n n n 211两边同时除以−S S n n 1可得−=−S S n n 2111······················· 4分所以数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1为等差数列，且其首项为=S 111，公差为2 ································· 5分 ∴=+−=−S n n n 121211)(，因此， −=n S n 211 ············································ 6分 （2）解：()()⎝⎭⎝⎭+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪==+=+−⎛⎫⎛⎫n n n n n b n S n n 214212148212111111112 ， ⎝⎭+ ⎪∴=+−⎛⎫n T n n 4821111 ············································································ 8分 不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，则−+≥m m 33022，即≥+m 69或≤m 69····································································· 9分 因此，满足条件的正整数m 的最小值为3 ······················································ 10分 18．（12分）（1）证明：由∠=∠=∠πBAC BAD DAC 22,1，知∠=∠=ππBAD DAC 63,，=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ππ∆∆S S S AB AD AD AC AB AC ABC ABD ACD 26232,sin sin 111，即+⋅=AD AC AC 2，两边同除以⋅AD AC，得−=AD AC21······················································ 5分 （2）设∠=αBAD ，则∠=αDAC 2，∆ABD 中，由正弦定理，得∠=αBDA AB BDsin sin ①，∆ACD 中，由正弦定理，得∠=αCDA AC DCsin sin 2 ②，②÷①，结合∠=∠=BDA CDA DC BD sin sin ,4，得=αAC cos 2···················· 7分 =⋅⋅===−⋅−∆αααααααS AB AC ABCsin 33tan 4tan sin 1sin 33sin 4sin 23++=−⋅=−ααααααα1tan 1tan 3tan 4tan tan 3tan tan 2223 ···································· 9分设=∈αt tan (，即求函数+=∈−ty t t t 1,323(的最大值， ()()++'==−+−−−−++t t y t t t t t t t 113313233222222322)()()()()(，∈−t 32)(时，'>y 0，函数单调递增；∈t 3,32)(时，'<y 0，函数单调递减，当=−t 32时，函数有最大值，=y max∴∆ABC··························································· 12分 19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n 次在底面ABCD 的概率为P n ，由题意可得，==+−+P P P P n n n 333,121211)(···················································· 3分 ⎝⎭⎩⎭ ⎪⎨⎬−=−−−⎛⎫⎧⎫+P P P n n n 2322,11111是等比数列，首项为61，公比为−31， ⎝⎭⎝⎭⎪⎪−=−=+−⎛⎫⎛⎫−−P P n n n n 263263,11111111························································ 5分（2）X =0,1,2，X =2时，蚂蚁第3次、第5次都在C 处，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P X 6636366363366661822221121211212211111)( ·············································································································· 7分X =1时，蚂蚁第3次在C 处或第5次在C 处， 设蚂蚁第3次在C 处的概率为P 1，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P 6636366366666331822211212112115152111·············································································································· 8分 设蚂蚁第5次在C 处的概率为P 2，设蚂蚁不过点C 且第3次在D 1的概率为P 3，设蚂蚁不过点C 且第3次在B 1的概率为P 4，设蚂蚁不过点C 且第3次在A 的概率为P 5，由对称性知，=P P 34，=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6663635443111212133，=⨯⨯⨯+⨯⨯=P 636333276121222115，得=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P P P 63665422212117235 ··················································· 11分 ∴==+=P X P P 271512)(， ==−=−==P X P X P X 54011241)()()(， XX 的数学期望=⨯=+⨯=+⨯==E X P X P X P X 270011228)()()()( ············ 12分20．（12分）（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，=BN NC 3，∴==EF NG AM 21，且EFNG ，四边形EFGN 是平行四边形．由,NEFG NE ⊄平面DAC ，⊂FG 平面DAC ，∴NE 平面DAC ······················································································ 5分（2）解法1：以点A 为原点，AB ，AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系····································································· 6分 设==AB AC 2，则⎝⎭⎪⎛⎫A M N 220,0,0,,1,0,0,,,013)()(，设D x y z ,,,)(，因为平面⊥DMC 平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，∴+=x y21 ①，由题意可知，==∴−++=DM DN x y z 1,11222)( ②， ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−+=⎛⎫⎛⎫x y z 222139222③，由①②③解得，⎝⎭ ⎪ ⎪==−=∴−⎛⎫x y z D 777777,,,,,8282 ·························· 8分 82211816211,,,,,AD CD ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭777777，设平面ACD 的法向量为(,,n x y z =)，00AD n CD n ⋅=⋅=⎩⎪⎨⎪⎧，即⎩⎪−+=⎨⎪−+=⎧x y x y 48040，取===−x y z 0,4 ······················ 11分 取平面ABC 的法向量(0,0,1m =)．设二面角−−D AC B 的平面角为θ， 则43cos cos ,9m n m nm n⋅===θ， 所以，二面角−−D AC B 的余弦值为9··················································· 12分 解法2：如图，过点B 作直线 MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即⊥DH 平面ABC ····················································································· 6分设=AB 2，则==∠=πBM BN MBN 41,，由余弦定理，得=MN 2，∠=∠−∠=⋅+⋅=IMH IMB HMB 10510510cos cos )(，∠==IMH MH MI cos 7．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，由三垂线定理知，⊥DO AC ，∴∠DOH 是二面角−−D AC B 的平面角 ········································································ 9分 由=HO CH AM CM，解得===HO DH 77,8，∠==HO DOH DH 4tan，得∠=DOH 9cos ，所以，二面角−−D AC B的余弦值为9·················································· 12分 21．（12分）（1）设点C x y D x y ,,,1122)()(，设直线l 的方程为=+≠y kx k 10)(，代入抛物线=−y x 12，得−−=x kx 202（*），⎝⎭⎪ ⎪===⎛⎫CD CM DM 2,2 ·········· 4分（2）⎝⎭⎪−−−⎛⎫k C x x D x x Q ,1,,1,,01112222)()(，设T m n ,)(， 由（*）式，知+==−x x k x x ,21212 ······························································ 5分 直线AC 的方程为=−+y x x 111)()(，直线BD 的方程为=+−y x x 112)()(，解得−+−+−+===++−−−−x x x x x x x y x x x x x x x x 222,212321212112121212)()(，所以点P 的坐标为⎝⎭−+−+ ⎪+⎛⎫−−x x x x x x x x 22,2321211212)( ··············································· 7分 ()1212231,,,x x x x TP m n TQ m n −−⎛⎫+⎛⎫=−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−+−+x x x x k 222121，TP TQ m m n n ⎛⎫⋅=−−−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎛⎫−−x x x x 1231212)()(()⎝⎭−+−+−+ ⎪=−−−+−++⎛⎫−−x x k k x x x x m m n n x x x x x x 22212321212112122212)( ⎝⎭−+−+ ⎪=−−+++−⎛⎫x x k x x m m n n k n 222121212122 21x x k −=±+82，22TP TQ m n n ∴⋅=++++±++−+−k k km n m 822212 ··············································· 10分 当m n TP TQ ==⋅20,,1为定值45， 所以存在定点T 的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫20,1 ·································································· 12分 22．（12分）（1）()f x x '=+=−+−+x x x x x 22ln 21ln 223)( ···················································· 1分又因为函数=−+g x x x 21ln 3)()(递增，且=g 10)(，'>⇔>f x x 01)(， ∴f x )(在0,1)(递减，在+∞1,)[递增 ···························································· 2分 当=−<f a 120)(，即>a 2时，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−−=+>⎛⎫⎛⎫a a a a f a a a a 1ln ln 0111122， =+−>−+>−−=>−−−−−+a a a a f a a a a a a a a a a a a 01ln 111112222)()()()(， ∴f x )(在⎝⎭⎪⎛⎫a a ,1,1,1)(上各有一个零点 ························································· 3分 当≤a 2时，f x )(的最小值为f 1)(，且=−≥f a 120)(，∴f x )(在+∞0,)(内至多只有一个零点，综上，实数a 的取值范围是>a 2 ·································································· 4分 （2）设 ⎪=−>⎛⎫F x f x f x ,11)()(，则 ⎝⎭⎪'='+'=−−+⎛⎫−−x x x x F x f x f x x x x 21ln 111212322)()()()( ⎣⎦⎢⎥⎣⎦=−−−=−−+⎡⎤⎡⎤+−x x x x x x x x x x x 12ln 221ln 2113233)()( 当>x 1时，<−x x ln 1，−−+−=+−=−++>x x x x x x x x x 22112120332)()()()(， ∴−>+−>+x x x x x x x 22111ln 3)()()(，∴F x )(在+∞1,)(上递增，当>x 1时，>=F x F 10)()(，即当>x 1时，⎝⎭⎪>⎛⎫x f x f 1)( ······································································ 6分 又因为函数f x )(有两个零点<x x x x ,1212)(，由（1）知，<<<<<x x x 01,011212， ⎝⎭⎪∴=>⎛⎫x f x f x f 1212)()(， 又()f x 在0,1)(递减，∴<x x 121， 即<x x 112 ································································································ 8分 （3）设⎝⎭⎪=−+−=−−⎛⎫x x G x f x x a x x x 1ln 12)()(， =−−==−−−+−+++'x x x G x x x x x x x x x x 211ln 21ln 121ln 2221322)()()(， ='G 101)(，当≠x 1时，⎣⎦−⎢⎥=+++⎡⎤−'x x G x x x x x 121ln 1212)()()(， 显然−+++>x x x x 1210ln 2)(∴G x 1)(在0,1)(递减，+∞1,)(递增，∴≥=G x G 1011)()(， 即>+−=xf x x a h x 11)()(，设h x 1)(的零点为<−=x x x x x x ,,343443)(， 由图象可知<<<x x x x 3124，∴−<x x 21 ·················································································· 10分 设⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=−=−−⎛⎫⎛⎫−x x x x x f x x a x x 1ln 11ln 111222)(， 设=−−xG x x 1ln 12)(， 易得≤G x 02)(恒成立，即<+−=xf x x a h x 1222)()(，设h x 2)(的零点为<−=x x x x x x ,,56566522)(，由图象可知，<<<x x x x 1562，∴<<<x x x x 15622222，∴−>x x 2122∴−<<−x x x x 212122 ····································································· 12分。

2021届中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期1月测试（一卷）数学（理）试题一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,xB y y x ==∈N ，则 RA B ⋂中元素个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据集合的定义求得B ，再由集合运算法则计算． 【详解】由已知{1,2,4,8,}B =，{3,5}RAB =，有2个元素．故选：B ．2．已知双曲线22115x y m m -=--，则下列说法正确的是（ ）．A ．焦点为(0,B ．焦点为()2,0±C ．焦距是4D ．焦距是2【答案】C【分析】根据方程22115x y m m -=--表示双曲线，得到()()150m m -->，再由1540m m -+-=-<确定焦点位置即可.【详解】因为方程22115x y m m -=--表示双曲线，所以()()150m m -->， 又1540m m -+-=-<， 所以10,50m m -<-<，所以2154c m m =-+-=，即2c =， 所以焦点为()0,2±，焦距是4， 故选：C3．已知复数z 满足i2i iz a -=+（i 是虚数单位），a ∈R ，且z =a 的值为（ ）． A ．3-B ．1C ．1-或1D ．3-或1【分析】由复数综合运算求得z ，再由模求得参数a ． 【详解】由题意2(2)22(1)z i a i i ai i i a i =++=++=-++，所以z ==，解得1a =或3-．故选：D ．4．已知2=a ，1=b ，向量a 与b 的夹角为120°，若ka b +与2a b -垂直，则k 的值为（ ）． A ．1- B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】由ka b +与2a b -的数量积为0可求得k ． 【详解】因为ka b +与2a b -，所以()ka b +⋅(2)a b -=2222(12)22(12)21cos12021ka k a b b k k +-⋅-=⨯+-⨯⨯⨯︒-⨯0=，解得：12k =． 故选：D ．5．若[],0,1a b ∈，则“21a b +≤”是“54a b +≤”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】21a b +≤，则21a b ≤-，代入+a b 即可证明成立；反之举例1a =，14b =可证明不成立，从而推出结果. 【详解】解：21a b +≤，则221551244a b b b b ⎛⎫+≤-+=--+≤ ⎪⎝⎭成立；若1a =，14b =，则54a b +≤，但21a b +>不满足21a b +≤； 所以[],0,1a b ∈，则“21a b +≤”是“54a b +≤”充分不必要条件.6．已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⋅-=-+⋅-=-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知函数()33f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()()0f x t t f x t ≥+≠+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）． A ．[)4,+∞B ．(]0,4C ．(],4-∞-D ．[)4,0-【分析】根据函数的解析式，把不等式的恒成立化简为2233330x t xt t t ++-≥恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由函数()33f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()()0f x t t f x t ≥+≠+恒成立，即33()3()3x t x t x x t +-+≥-+，即3223333333x x t xt t x t x x t +++--≥-+， 所以2233330x t xt t t ++-≥恒成立，则满足()()22342034343480t t t t t t t >⎧⎪⎨∆=-⋅⋅-=-+≤⎪⎩，解得4t ≥，所以实数t 的取值范围是[)4,+∞. 故选：A. 8．二项式()()25121x x +-的展开式中含4x 项的系数为（ ）．A ．280B ．200C ．120D ．40【答案】D【分析】把()21x +，()521x -按照二项式定理展开，从而得出展开式中含4x 项的系数. 【详解】()()()251423552532545551232(2)(2)(211)22x x x C x C C C x C x x x x +⎡⎤++-+⋅⋅-=--⋅+⎣⋅⎦故展开式中含4x 项的系数为142332555222240C C C -+⋅⋅=⋅- 故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于把()()251,21x x +-按照二项式定理展开，从而得出含4x 项的系数. 9．已知ππ22βα-<-<，sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=则πsin 6α⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）． A．BC．±D．【答案】B【分析】根据sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=，两式平方相加得到()54sin 3αβ+-=，根据ππ22βα-<-<，得到6παβ=-代入2sin cos αβ+=.【详解】因为sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=，所以两式平方相加得()54sin 3αβ+-=，即()1sin 2αβ-=-， 又因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=-，即6πβα=+，6παβ=-，将6παβ=-代入2sin cos αβ+=得2sin cos 6πββ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin β=，所以πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故选：B10．已知正六棱锥V ABCDEF -，P 是侧棱VC 上一点（不含端点），记直线PB 与直线DE 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P CD F --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ<【答案】B【分析】通过明确异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.【详解】解：如图，设点V 在底面上的射影为O 点，连接OC ，PB ,作PG VO //，则PG ⊥平面ABC ，所以PB 与平面ABC 所成的角为PBG ∠， 即PBG β=∠，根据线面角最小定理知βα<，作GM CD ⊥，则二面角P CD F --的平面角为PMG ∠，即PMG γ=∠，根据tan tan PG PGGM GBγβ=>=，所以γβ>. 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题. 11．函数())sin π01f x x x =≤≤，()()g x x f x =⋅，直线()01x m m =<<先后与()f x ，()g x ，x 轴交于A ，B ，C ，直线1x m =-先后与()f x ，()g x ，x 轴交于1A ，1B ，1C ，则（ ）． A ．11AB A B = B ．112AB A B = C ．11AB B C = D ．112AB B C =【答案】C【分析】由题意求出111,,,,,A B C A B C 的坐标，再求出1111,,A B B B C A ，即可得出正确答案.【详解】由题意可得((()sin ,,sin ,,0A m m B m m m C m ππ，()(()(()1111sin 1,1,sin 1,1,0A m m B m m m C m ππ-----()111sin ,2sin 1AB m m B A m m ππ∴=-=--()111sin 11sin B C m m m m AB ππ=--=-=故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先求出坐标，再由距离公式结合诱导公式得出11B C AB =.12．已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，1AB BC ==，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则（ ）．A ．有且仅有一点P 使二面角B lC --取得最小值 B ．有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最小值 C ．有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最大值D ．有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最大值 【答案】D【分析】作出二面角B l C --的平面角，设A 直线l 距离为d ，求出二面角平面角的正切值，根据基本不等式得最大值，再同上函数的性质确定最小值的有无． 【详解】解：如图，过A 作AD l ⊥于D ，因为BC 垂直于圆O 所在平面，l 是平面内的直线，因此BC l ⊥， 而ADBC A =，,AD BC ⊂平面ACD ，所以l ⊥平面ACD ，又因为,CD BD ⊂平面ACD ，所以,l CD l BD ⊥⊥，所以BDC ∠是二面角B l C --的平面角，又BC 垂直于圆O 所在平面，AD 是此平面内的直线，所以BC AD ⊥， 设AD d =，则1tan BDA d ∠=，2tan ADC d∠=， 所以221tan tan 1tan tan()221tan tan 1CDA BDA d d CDB CDA BDA CDA BDA d d d-∠-∠∠=∠-∠====+∠⋅∠++，当A 与P 不使命，所以0d ≠，即0d >，则1tan 22CDB d d∠=≤=+，当且仅当2d d=，即d =等号成立， 由对勾函数性质知2y d d =+在上是减函数，0d →时，2y d d=+→+∞， 所以tan CDB ∠在d =CDB ∠取得最大值，而tan CDB ∠无最小值，即CDB ∠无最小值，由对称性在平面O 的另一侧也有一个点P ，使得CDB ∠取得最大值．因此这样的点有两个， 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角的最值，解题关键是作出二面角的平面角，在直角三角形中利用正切函数求得角的正切值，从而用基本不等式求最值．二、填空题13．若函数()log ,2log 4,02a a x x f x x x ≥⎧=⎨--<<⎩存在最大，则实数a 的取值范围是______．【答案】20,2⎛ ⎝⎦【分析】由对数函数的性质得出01a <<，再讨论2x ≥，02x <<得出log 2log 24a a ≥--，从而得出实数a 的取值范围.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =在[)2,+∞上单调递增，无最值，不满足题意，故01a <<当2x ≥时，函数()log a f x x =在[)2,+∞上单调递减，()(2)log 2a f x f = 当02x <<时，()log 4a f x x =--在()0,2上单调递增，()(2)log 24a f x f <=--，此时无最大值则log 2log 24a a ≥--，即2log 22log a a a -≥-=，即2122,02a a ≥<≤ 故实数a 的取值范围是20,2⎛⎝⎦故答案为：20,2⎛ ⎝⎦【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对数函数的单调性分别得出2x ≥，02x <<时，()f x 的范围，进而由log 2log 24a a ≥--得出实数a 的取值范围.14．现将大小和形状相同的4个黑色球和4个红色球排成一排，从左边第一个球开始数，不管数几个球，黑球数不少于红球数的排法有______种． 【答案】14【分析】根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的排法种数，即可得出结果． 【详解】根据题意，将8个球的位置从左至右依次记为1、2、3、4、5、6、7、8号位置.当前4个位置均排黑球时，后面4个位置也均为红球，共1种排法；当前4个位置有3个黑球时，则必有1个红球，红球所在位置可以是2、3、4号位置，有3种不同排法，后面4个位置有1个黑球，3红球，其中黑球可以在5、6、7号位置，有3种不同排法，故共有339⨯=种不同排法；当前4个位置有2个黑球时，则必有2个红球，此时黑球位置可以是1、2位置，也可以说是1、3号位置，有2种不同排法，后面4个位置也有2个黑球，2红球，也有2种不同排法，故共有224⨯=种不同排法. 综上，共有19414++=种不同排法. 故答案为：14【点睛】本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于分前4个位置均排黑球，后面4个位置也均为红球时；当前4个位置有3个黑球，1个红球，后面4个位置有1个黑球，3红球时；当前4个位置有2个黑球时，2个红球，后面4个位置有2个黑球，2红球三种情况讨论求解.15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．)3π8+ 【分析】依题意画出直观图，再根据圆锥及棱锥的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图得到如下直观图：该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，且圆锥的半径1r =，高3h =，四棱锥的底面是边长为2的正方形，故该组合体的体积()2211131323π8233V π=⨯⨯⨯+⨯⨯=+故答案为：()3π8+ 16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______． 【答案】32【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ，设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以2c e a ===，故答案为：2【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．三、解答题17．已知函数()()2cos cos0f x x x x ωωωω=+>，周期是π2．（1）求()f x 的解析式，以及π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 的值域； （2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()π1sin 462f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，32⎤⎥⎣⎦；（2）3,22⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）利用三角恒等变换减函数转化为()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据周期是π2．求得其解析式，然后利用正弦函数的性质求解； （2）利用图象变换得到()5πsin 226g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤，转化当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()11g x m g x -<<+恒成立，由()()max min 11g x m g x -<<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦求解.【详解】（1）()2cos cosf x x x x ωωω=+，()12cos 2122x x ωω=++， π1sin 262x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由2ππ22T ω==，解得2ω=， 所以函数()π1sin 462f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以ππ4π4663x -≤+≤，所以1π13sin 42622x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 在π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域是32⎤⎥⎣⎦． （2）由题意得()5πsin 226g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤， 所以当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()11g x m g x -<<+恒成立，所以只需()()max min 11g x m g x -<<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，转化为求()g x 的最大值与最小值， 当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π5π5π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()()max 150222g x g ==+=，()min π1213g x g ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而()max312g x -=⎡⎤⎣⎦，()min 12g x +=⎡⎤⎣⎦，即322m <<． 所以m 的取值范围是3,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若1122,x D x D ∀∈∀∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()min max f x g x >； 若1122,x D x D ∃∈∃∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()max min f x g x >； 若1122,x D x D ∃∈∀∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()max max f x g x >； 若1122,x D x D ∀∈∃∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()mi min ax f x g x >；若1122,x D x D ∀∈∃∈， ()()12f x g x =成立，则 ()f x 的值域是()g x 的子集； 18．如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面CDEF ，//EF CD ，2AB =，2ED =，1EF =，90EDA ∠≠︒．（1）证明：平面ADE ⊥平面ABCD ； （2）若CF 与平面ABCD 15，求这个多面体的体积V ． 【答案】（1）证明见解析；（253． 【分析】（1）过点A 在平面ADE 内做DE 的垂线，垂足为P ，结合面面垂直的性质可证AP CD ⊥，又知四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，即证CD ⊥平面ADE ，面面垂直的判定定理可证明平面ADE ⊥平面ABCD ．（2）在平面ADE 内，过点E 作AD 的垂线，垂足为M ，过F 作//FH EM ，交平面ABCD 于H ，连接CH ，可证明FH ⊥平面ABCD ，又CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为155，可求出3EM FH ==，将所求多面体分为四棱锥F ABCD -以及三棱锥F ADE -，代入数值计算即可求出多面体的体积.【详解】解：（1）证明：过点A 在平面ADE 内做DE 的垂线，垂足为P ． 因为平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF DE =，所以AP ⊥平面CDEF ，所以AP CD ⊥． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．∵90EDA ∠≠︒，又AP AD A ⋂=，从而CD ⊥平面ADE ， 而CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADE ⊥平面ABCD ． （2）在平面ADE 内，过点E 作AD 的垂线，垂足为M ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，所以EM ⊥平面ABCD ，过F 作//FH EM ，交平面ABCD 于H ，连接CH ， ∴FH ⊥平面ABCD ，∴CH 是FC 在平面ABCD 内的射影． ∴FCH ∠为CF 与平面ABCD 所成角； ∵CD ⊥平面ADE ，ED ⊂平面ADE ， ∴CD ED ⊥，即90EDC ∠=︒．由2CD AB ==，2ED =，1EF =，得5CF =．∵CF 与平面ABCD 所成角的正弦值为155， 所以15535FH == 因为//EF CD ，EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，所以3EM FH ==，又2ED =，所以60EDA ∠=︒，从而ADE 是正三角形，可得12222ADE S =⨯⨯⨯=△ 因为CD ⊥平面ADE ，//EF CD ，所以EF ⊥平面ADE ，所以这个多面体的体积114133F ABCD F ADE V V V --=+=⨯=四棱锥三棱锥 【点睛】思路点睛：不规则的几何体的体积经常拆分成规则的三棱锥、四棱锥或其他比较规则的几何体,求体积之和或差.19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，满足1n n S a =-，设()12n n n b S a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ． （1）求n T ；（2）设n n n c S T =+，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求证：12222121111n nT T T R R R ++++++<． 【答案】（1）1212n n -+；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据n n S a ，的递推关系，先求出{}n a 的通项公式，由1n n S a =-，可得1n n S a +=，可求和得出答案.(2)由条件可得得2n c n =，求出n R ，从而得到()()()222222212121112111n n n n T n R n n n n n n +++=<=-+++，从而可证明结论. 【详解】解：（1）111S a =-得112a =， ()()111111n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，所以112n n a a +=，可得{}n a 为等比数列， 所以1111222n n n a -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭． 由1n n S a =-，可得1n n S a +=()12122312n n n n T b b b S a S a S a +=+++=++++++()112211222n n n n T S a S a S a a a +=++++++-+1112222122n n n a n +=-⨯+=-+．（2）因为1n n n n n c S T a T =+=-+， 由（1）代入可得11121222n n n c n n =-+-+=，则()()2212n n n R n n +⨯==+，()()()()()222222222221211211121111n n n n n n T n R n n n n n n n n ++-++=<==-++++， 则()()12222222222121111111111122311n n T T T R R R n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫+++<-+-++-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦所以()122222121111111n n T T T R R R n ++++++<-<+． 【点睛】本题考查：求数列的通项公式和前n 项和以及利用放缩法结合裂项相消法求和证明数列不等式，解答本题的关键是由条件得出()()()222222212121112111n n n n T n R n n n n n n +++=<=-+++，属于中档题. 20．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，弦AB 经过点2F ，若222AF F B =，13tan 4AF B ∠=，且12F F B △的面积为2． （1）求椭圆的方程；（2）若直线()()112y k x k =-≤≤，与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，求MN PQ的取值范围．【答案】（1）22194x y +=；（2）,53⎡⎢⎣⎦． 【分析】（1）设()22220AF F B k k ==>，得到122AF a k =-，12F B a k =-，在1AF B △中，利用余弦定理可得3a k =，进而得到1290F AF ∠=︒，然后在12Rt AF F中，利用勾股定理得到c =．然后由12F F B △的面积为2求解；（2）联立()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理写出线段MN 的垂直平分线方程，令0x =，得到与y 轴的交点，然后利用距离公式和弦长公式建立MN PQ模型求解.【详解】（1）设()22220AF F B k k ==>， 则122AF a k =-，12F B a k =-， 在1AF B △中，由余弦定理得()()()()()2224322222225k a k a k a k a k =-+----⋅，整理得222390a ak k --=，解得3a k =(负值舍)， 所以14AF k =，15F B k =，3AB k =， 所以1290F AF ∠=︒， 在12Rt AF F 中，2221212AF AF F F +=，即()()()222422k k c +=，解得c =．又因为1212222AF F BF F S AF S F B==△△，故12122AF F BF F S S =△△，122121142422AF F S AF AF k k k =⋅=⋅⋅=△，故244k =， 即1k =，c =3a =，2b =，所以椭圆C 的方程是22194x y +=．（2）由()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则有21221849k x x k+=+，212293649k x x k -=+，()121228249k y y k x x k -+=+-=+， 所以线段MN 的中点坐标为22294,4949k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段MN 的垂直平分线方程为2224194949k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，则2549ky k=+， 于是线段MN 的垂直平分线与y 轴的交点250,49k Q k ⎛⎫⎪+⎝⎭，又点()0,P k -，所以()2229154949k k k PQ k k k+=+=++．又12MN x x =-=，于是MN PQ====因为[]1,2k ∈，所以221193,1202k k ⎡⎤+∈⎢⎥+⎣⎦，所以MN PQ的取值范围为⎣⎦． 【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ==(k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．21．设a 为正实数，函数()ax f x ae =存在零点()1212,x x x x <，且存在极值点与0x ．（1）当1a =时，求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）求a 的取值范围，并证明：10233x x +>．【答案】（1）1122y e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）0a <<，证明见解析． 【分析】（1）求导()2axf x a e '=，再求得()1f '，()1f ，写出切线方程；（2）由()ax f x '=()21ax g x a =-，根据ax e eax ≥，得到()32321g x ea x ≥-，由0g ⎛⎫>，()010g =-<，得到()g x 存在唯一正根t ，根据()g x 与()f x '同号，得到()f x 定有极小值点0x t =，由()00g x =，得到0ax ae =，再根据()ax f x ae =存在零点()1212,x x x x <求解；由1ax ae=2ax a e =，将两式相除得到()102a x x e -=1x e x ≥+，转()10x x -<证明. 【详解】（1）()2axf x a e '=，则()211122af a e e '=-=-， 当1x =时，()111af ae e =-=-，所以切点坐标为()1,1e -，则切线方程为()1112y e x e ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即1122y e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （2）∵()2axf x a e '==()21axg x a =-， ∵0a >，∴()g x 在()0,∞+单调递增， 记()xp x e ex =-，()01xp x e e x '=-=⇒=，当1x >时，()0p x '>，()p x 单调递增；当01x ≤<时，()0p x '<，()p x 单调递减，∴()()110p x p e e ≥=-=，有x e ex ≥，故有ax e eax ≥．∴())3232121g x a eax ea x ≥-=-，可得0g ⎛⎫>， 又∵()010g =-<，∴()g x 存在唯一正根t ，使得()0g t =，且在()0,t 上()0g x <，在(),t +∞上()0g x >， 在()0,x t ∈时，()0f x '<，在(),x t ∈+∞时，()0f x '>， 且()0f t '=，即()f x '存在唯一正根t ， 故()f x 定有极小值点0x t =， 由()00g x =，可知()00210ax g x a=-=，∴0ax ae =，又∵()ax f x ae =存在零点()1212,x x x x <，∴()000ax f x ae ===<，即012ax >，∴31022220111ax a e a e =->-=，可得0a <<，由题可得1ax ae=2ax a e =，将两式相除可得()102a x x e -= 记()1xr x e x =--，令()101xr x e x '=-=⇒=，当0x >时，()0r x '>，()r x 单调递增； 当0x <时，()0r x '<，()r x 单调递减， 则()()00010r x r e ≥=--=，即1x e x ≥+，∴()()()10101021a x x ea x x a a x x -=≥+->+-，∵0a >，()10x x -<∵27216e >>，∴273282e >⇒>，()()101032x x x x +-<-<，∵0122x x ≤+，∴()01013222x x x x +-<+， 即有10233x x +>．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 作任意一条直线与圆22:1O x y +=交于P ，Q 两点．（1）写出1C 的普通方程； （2）问PA QB PBQA+是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）(()2212x y -+-=；（2）是，定值为2． 【分析】（1）根据参数方程1x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消去参数θ 得到普通方程；（2）由（1）中1C 的普通方程，令0y =，得到A ，B 的坐标，再根据P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上，设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，分别用两点间的距离求得,,,PA PB QA QB 求解即可.【详解】（1）由参数方程1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得cos 1sin θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1C的普通方程为(()2212x y -+-=．（2）(()2212x y -+-=，令0y =，可得)1,0A-，)1,0B，因为P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上， 所以设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，则PA ==，=同理可得，PB =所以1PA PB==，同理可得，1QB QB ==，所以PA QB PB QA+= 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上，设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，简化运算而得解.23．已知函数()124f x x x =++-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）已知实数a ，b ，c 满足0a >，0b >，0c >，22249323a b cb c a++=，求证：对任意x ∈R ，不等式()23f x a b c ≥++恒成立． 【答案】（1）(]7,1,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）化简函数()f x 为分段函数，结合分段条件，分类讨论，即可求解；（2）由22249323a b c b c a++=，根据柯西不等式，得到()()232323a b c a b c ++≥++，结合函数()f x 的最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤-时，334x -+≥，可得13x ≤-，∴1x ≤-， 当12x -<<时，54x -+≥，可得1x ≤，∴11x -<≤， 当2x ≥时，334x -≥，可得73x ≥，∴73x ≥， 综上所述，不等式()4f x ≥的解集为(]7,1,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为22249323a b c b c a++=，由柯西不等式，得：()222222323a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ()223a b c ≥++因为0a >，0b >，0c >，所以233a b c ++≤，而()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩，可得最小值为3，当且仅当2x =时取到，综上可知，对任意x ∈R 有不等式()23f x a b c ≥++恒成立． 【点睛】求解含绝对值不等式的基本解法：1、运用零点分区间讨论法，结合分类讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的不等式，结合不等式的解法进行求解；2、利用绝对值的几何意义求解，结合绝对值的在数轴上的几何意义进行求解，体现数形结合法的应用；3、将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

中学生标准学术能力测试诊断性测试2020 年1 月测试理科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A BC B A A C CD C D二．填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．13．2 314．8 1715．3 −1 216． 2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．解：（1）由题意得OP=2 ，则cos =，…………………2 分=−1 ，sin 32 23cos(+) =−sin=−．………………………………5 分2 22 21 3 1 3 1(2) ()=−+−−+=f x sin x cos x cos x sin x cos 2x2 2 2 2 2，………8 分故T2==．………10 分2−由2k −2x 2k，知单调递增区间为, ()k k k Z2．………12 分第1页共8 页EFGBGDG18．解：（1）如图，取 的中点，连接、ABEF在菱形 中， ∵，BAF = 60BBEF∴是正三角形，∴ ， ………………………………1 分 同理，在菱形CDFE 中，可证 ， ， …………2 分EF ⊥ BGEF ⊥ DG且 DGBG 均 在 面 BDG 内 ∴ EF ⊥ 平 面 BDG ，AGECBD 面BDGEF ⊥ BD∴ ………………4 分FD又∵，CD / /EF∴．…………………5 分CD ⊥ BD（2）由（1）知，就是二面角的平面角，BGDB − EF − D（第 18 题图）即，BGD = 60 BG = GD = 又3 ，所以 是正三角形，故有 ， ………………………………7 分BDGBD = 3如图，取的中点，连接，则，DG O BO BO ⊥ DGEF ⊥ BO又由（1）得 ，又因为 DG,DG 平面CDEF ,EF平面CDEFB所以，平面，且，BO ⊥CDFE3 BO =2又，BD ⊥ CDA在直角中，，BC = 7ECBDC1 7 3 7所以，………9 分S=7 4 −=BCE2 4 4GO FD BCE h设到平面的距离为，则（第18 题图）1 1 3 3 3V−=BO S= 4 =B DCE DCE3 3 24 2，1 1 3 7 3V−=h S=h=D BCE BCE3 34 2 2 21，所以，…………………………11 分h=7第2页共8 页h 2 7BD BCE=BD7故直线与平面所成角正弦值为．…………………………12 分（建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）19．解：（1）由a3 +9是a，a的等差中项得1 5 a1 +a5 =2a3 +18，……………………1 分所以a1 +a3 +a5 =3a3 +18 =42，解得a=，…………………………3 分3 8 由8 1a+a=，得+ 2 =，解得q2 =4或q2 =，1 5 34 8q34q 42因为q 1，所以q=2．…………………………5 分所以a=2n．…………………………6 分n2nb=（2）法1：由（1）可得n n n2 1 2 1−++1 −，n N* ．2n2n( 2n−1 −2n−1)+1b==n n n n n n n2 −1 + 2 −1 ( 2 −1 + 2 −1)( 2 −1 − 2 −1)+1 +1 +1n n−−n +1 −nn−−n+1 −2 ( 2 1 2 1) 2 ( 2 1 2 1)=== 2 −1 − 2 −1n+1 n2 −1−2 +1 −2n n+1 n, ……9 分b+b+1 2=−−−．……12 分2n+1 1 1 2n+1 1法2：2，n N* ．nb=由（1）可得n n n2 1 2 1−++1 −我们用数学归纳法证明．2，不等式成立；…………………………7 分（1）当n=1时，b==−3 1 311 + 3（2）假设n=k（k N* ）时不等式成立，即第3页共8 页b+b++−．k 11 2 2 1那么，当n=k+1时，k+1 2b+b+ 2 −1+k+11 2 k+1 k+1 k+22 −1 + 2 −1=k+1 −+2 12 ( 2 −1 − 2 −1)k+1 k+1 k+2( 2 1 2 1)( 2 1 2 1)k+1 −+k+2 −k+1 −−k+2 −k+1 −+k+2 −k+1 −−k+2 −……………………9 分2 ( 2 −1 − 2 −1)k+1 k+1 k+2=k+1 −+=k+2 −2 1 2 1，……………………11 分−2k+1即当n=k+1时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式 1 2 2 1b+b++−，对任意n N* ．成立．……12 分n120．解：（1）由已知可得0,F p2p，0，，E −p22P 2,，p2 PF，2 22 p 2 p++=+−4 2 422p p，p=2 ，抛物线C 的方程为x2 =4y．……………………4 分（2）由（1）得P(2,1)，E(0,−1)，易求得Q(1,0)．……………………5 分由题意得，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为x=my+1，联立方程组x=my+1x4y2 =整理得()m2 y2 +2m−4 y+1=0, =16-16m0,m 1. 设点()()M x y N x y，1,1,2,24 −2m 1y+y=, y y=, …………………………7 分1 2 2 1 2 2m m第4页共8 页y+y 4 −2m 1 1=, +=4 −2m,1 2y y 1 y y1 2 1 2MN,yy=(y−y)=, ,11 2 12y +1y 1 2)=+， 1 …………………………9 分, ,y 1 2 32设OMP在OP边上的高为h , ONP在OP边上的高为h,M NSSOMPONP =12OP h h x−y2M== 11M1 h x−2yOP hN 22N2()()m−2 y+12m−4 y+2()()= 1= 1()()−2 +12 −4+2m ym y22=()4 −2m y1()4 −2m y2−2−2=1y11y1++1y21y2y1y2−−22…………………………10 分y y 1 2==1 1 , .y y 2 32 2SOMP SONP1 2的取值范围是，…………………………12 分2 321．解：（1）()(2) 1f x=x+e x−，…………………………1 分f 1(−)=−，f(−1)=0，…………………………2 分1 1e1−e所以切线方程为y=(x+1)．…………………………3 分e1−e（2）由（1）知f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为()y=x+1 ．e第5页共8 页设1−eS x) =(x+1)（e1− 1e构造()()()()F x f x x x e=−+1 =+1 x−e e1 ，F(x)=(x+2)e x−，eF(x)=(x+3)e x．所以F(x)在(−,−3)上单调递减，在(−3,+)上单调递增．………………………5 分1 1 ' 1又()F−=，所以F(x)在(−,−1)上单调F−=−−＜，()=−，' (1)0'3 0 lim F xe e x →−3e1−e递减，在(−1,+)上单调递增．所以()()()()()F x F−1 =0 f x S x=x+1 ．当e且仅当x=−1时取“=”1−e+方程()x 1 =be 的根eb=−．又b=s(x )=f(x )s(x)，由s(x)在R上x111−e1 1 1单调递减，所以x x． (7)分1 1另一方面，f(x)在点(1, 2e−2)处的切线方程为y=(3e−1)x−e−1．设t(x) =(3e−1)x−e−1构造G(x)=f(x)−t(x)=(x+1)(e x−1)−(3e−1)x+e+1=(x+1)ex−3ex+e．G x=x+e−e，G(x)=(x+3)ex．()(2) 3x所以G(x)在在(−,−3)上单调递减，在(−3,+)上单调递增．……………………9 分1又(−)=−−＜，()G 3 3e0' =−，G()=，所以G(x)在(−,1)上单调递 ' lim G x3e' 1 0e3x →−减，在(1,+)上单调递增．所以G(x )G(1)=0 f(x )t(x)=(3e−1)x−e−1 ，当且仅当x=−1时取“=”…………………………10 分方程t(x)=(3e−1)x−e−1=b的根'x2 =e+1+b3e−1 ,又b=t(x' )=f(x )t(x)，由2 2 2第6页共8 页b+e+1 ebt x在R上单调递增，所以' x−x x−x=1++()x x．所以' '2 22 1 2 13e−1 e−1，得证．……………12 分（二）选考题：共10 分．请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．【选修4−4：坐标系与参数方程】（10 分）解：（1）当0时，极坐标方程两边同乘以得sin+cos= 23在直角坐标系下，x=cos, y=sin , =x2 +y2 .故化成直角坐标系方程()y+x x+y=x+y，不包括点(0, 0)………………3 分2 2 2 2 2当=0时，(0, 0)满足原极坐标方程，…………………………4 分综上，所求的直角坐标方程为()y+x x2 +y2 =2 x2 +y2 …………………………5 分（2 ）由题意得，直线l的普通方程为x+y+3 =0 ．设曲线 C 上的动点(2cos,a sin（) R)，因为曲线C上所有点均在直线l 的右上方，所以对R 恒有2 c os+a sin+3 0，…………………………7 分即()a++−，其中t an 2 ,a0.2 4 s in3 =所以a2 +4 3, …………………9 分a解得0 a 5. …………………………10 分23．【选修4−5：不等式选讲】（10 分）解：(1)因为x 0, y 0, z 0, 所以由柯西不等式得2 2 2x y zy z z x x y x y z ()()()()2 +3 +2 +3 +2 +3 ++++.2…3 分+++2y3z2z3x2x3y又因为x+y+z=1.所以x2 y2 z2 x+y+z x+y+z12 2()() ++== 2 +3 2 +3 2 +3 2 +3 +2 +3 +2 +3 5 ++ 5y z z x x y y z z x x y x y z()()()()…………………5 分16x+16y+16z2 (2) = 2 + 2 +24 x 4 y 4 z2第7页共8 页由均值不等式4 x+4 y+4 z2 2 223 2 2 2 ,当且仅当x=y=z2 时“=”成立………7 分34 x+y+z2x+y+z=1.++=++=−+=−+当且仅当 12x2y2z 2 x y2z 2 1 z2z2z2z 2 z=时取2 2 2 2 3()()2 2 “=”…………………9 分++=，当且仅当 1 14 x 4 y 4 z 3 4 6 x=y=，z=时等号成立，所以332 2 2 224 216x+16y+16z的最小值为6．…………………10 分2第8页共8 页。

中学生标准学术能力诊断性测试2021年1月测试英语试卷本试卷共150分，考试时间100分钟。

第一部分阅读理解（共两节，满分60分）第一节（共15小题；每小题3分，满分45分）AWe’re all familiar with the “hop on hop off” buses that tour around big cities. It seems there’s now a new option coming that’s bigger and better than those that have gone before. Next year, expedition company Adventures Overland is set to launch a new “hop on hop off” bus service that will travel 20,000km from India to England. The vehicle, which will have space for 20 people, is set to cross 18 countries in 70 days and passengers will be able to stop off in cities along the way.People looking to book the trip will be able to choose if they want to take the entire journey, or one of the four legs (Southeast Asia, China, Central Asia, Europe). If you take the route that begins in Delhi, the bus will travel to Thailand, before going up to China, then onto Russia and European cities such as Warsaw, Prague and Brussels — before finishing in London.Adventure Overland’s bus route was partly inspired by the Hippie Trail buses that crossed the world in the 50s and 60s. Despite being the “longest bus journey in the world”, guests are bound to be comfortable with features such as business class seats, Wi-Fi, in-seat phone charging points, private lockers and individual entertainment systems with AUX and USB ports. Anyone looking to book the great voyage must be willing to part with a considerable amount of money. Tickets for the journey are priced at £15,300 and the first departure is currently set for May 2021. “The best time to do this journey is between April and June, because that’s when the weather is favorable to start the journey from India through to Myanmar, and to cross the high mountains of China and Kyrgyzstan,” Adventures Overland co-founder Tushar Agarwal told CNN. “There are a lot of people, travelers, who want to experience these overland journeys, but they don’t want to drive.”1．Where can be the destination of the bus service?A．China. B．Thailand. C．England. D．Russia. 2．Which of the following is Not the feature of the “hop on hop off” buses?A．Comfortable seats. B．Private lockers.C．Accessible Internet. D．Computer games. 3．When is the best time to take the journey?A．January. B．May. C．July. D．October.BWe never knew why my father took over storytelling for his three little girls, but we always suspected it was to save us from Sleeping Beauty. Walt Disney’s masterwork hit the big suburban screens in 1959 with a message for girls as vivid as its widescreen Technirama: If you’re pretty enough, a prince will rescue you.My father invented a series of bedtime stories featuring three princesses who happened to be just our ages and even looked like us. For some reason, the grownups were never around when danger struck. So, night after night, it was up to the three sisters to save the village, which they always managed to do just about the time that one of us fell asleep.It did occur to us that this village was either highly unfortunate or its adults incredibly clumsy that somuch fell to these little girls. We also saw that our parents wanted us to be strong. These girls didn’t need tobe rescued. They were alert, wise, and bold. That was enough.But how to carry this storyline into life was not obvious. In my early experience, women were justbeginning to be admitted to what had been men-only colleges, and teaching jobs followed. I loved to tell mynetwork about the welcome dinner for new graduate students in vast, candlelit Gothic hall. I sat next to thedean of the graduate school, whose first words to me were: “I don’t know why the graduate school is nowadmitting women. You’ll all just get married, have babies, and your education will be wasted.” After a fewdays to recover, I began telling friends this story and found their laughter and support encouraging. Soon, Ihad accumulated many such stories.Then, one of them hit hard. A colleague I trusted urged me, seriously, to quit teaching, because “If youdon’t leave political science, you will lose everything feminine about you.” I laughed. While losing someoneelse’s idea of femininity might have seemed a great loss, losing weakness surely was not! The power of thatpromise supported me. I taught political science for seven more years with a great sense of appreciation forthe opportunity, until taking up journalism, which I loved more.Still waiting for a prince? Be one.4．Why did father invent bedtime stories for his three little girls?A．To help them fall asleep. B．To make their life colorful.C．To encourage them to be strong. D．To make them interested in stories.5．What’s the dean’s attitude toward women?A．Positive. B．Objective. C．Prejudiced. D．Ambiguous.6．Which of the following might the author most agree with?第1页共8页第2页共8页A．Women can work better than men.B．At no time should women be labeled as weak.C．It is a waste of time for women to go to college.D．Women should give up everything to be feminine.7．Which saying can best describe this passage?A．Great minds think alike.B．Judge not a book by its cover.C．Failure is the mother of success.D．A friend in need is a friend indeed.CWith reports suggesting a second wave of coronavirus (新冠病毒) may be on its way (or here already), it makes sense to give yourselves a check if we’re still doing all the right things. Washing hands is one of those things that we were hopefully already doing, but realized in the wake of the pandemic that we could always be doing it more and for longer. But what about washing our food? Given the news that there have been outbreaks in food factories and processing plants—from Bernard Matthews to Mr. Kipling locations—it does make sense to think about it.Although the government have confirmed that the chance of catching coronavirus from food and food packa ging is “very unlikely”, washing food before eating is a part of good habit that can reduce that small risk. Sally Bloomfield, chair of the scientific advisory board of the International Scientific Forum on Home Hygiene tells people, “Because the items you pick off the shelves in the supermarket will have been touched by other people, there is a chance that the packaging may have become harmful via their hands. Washing your shopping is not a question of whether it is necessary, it’s about minimizing risk—and if someone in the home is at increased risk of infection, this becomes more important.”Dr. Perpetua Emeagi, a lecturer in Human Biology and Biological Sciences at Liverpool Hope Universi ty, says, “If someone with COVID-19 asked you if you wanted a bite of their sandwich, you clearly wouldn’t go anywhere near it.” And the same caution has to be taken with everything you bring home from the supermarket, as you simply don’t know who’s been handling it before you. Imagine a scene where someone with COVID-19 has sneezed into their hands before entering the store and picking up a tin of beans. The same person changes his mind, puts the tin of beans back on the shelf, only for you to come and place it in your basket shortly afterwards. On the science side, she continues, “Officially, Public Health England tells us that the amount of infectious virus on any surface is likely to have decreased significantly by 24 hours, and even more so by 48 hours. But there’s also some evidence to suggest the virus could survive for up to seven days outside the human body. Surfaces like cardboard and plastic—common supermarket packaging products—are known to effectively harbor COVID-19. And my advice would be this: wash or wipe down everything you bring home thoroughly before either putting in your cupboards or consuming it.”8．Why did the author mention coronavirus in the first paragraph?A．To lead to the topic. B．To attract young readers.C．To give some evidence. D．To relate the latest event.9．Which of the following is TRUE according to paragraph 2?A．People can by no means catch a virus from food.B．Washing food before eating is a positive and necessary action.C．The items you pick from the supermarket can have a lot of viruses.D．The government has confirmed that there is no need to wash food before eating.10．What does the underlined word mean in paragraph 3?A．Cause. B．Destroy. C．Carry. D．Protect. 11．Which of the following can be the best title of the passage?A．Is it necessary to wash food before eating?B．How can we stop the spread of coronavirus?C．What are the best ways to pick up groceries?D．What should we do if we were infected with coronavirus?DScientists believe that birds in North America are shrinking because of rising temperatures associated with climate change. A study published in the peer-reviewed Ecology Letters found not only that birds’ bodies are shrinking, but also that their legs are getting shorter and wings are getting longer.David Willard, study co-author, measured 70,716 North American migratory birds of 52 different species from 1978 to 2016. For nearly 40 years, scientists and researchers woke up at about 3: 30 a.m. to collect and measure birds that crashed into the museum’s windows during the spring or fall migration period, according to the Field Museum. “It started as a very casual study—someone mentioned that birds sometimes run into McCormick Place, and I was curious, so I went for a walk around the building one morning,” Willard said in the museum’s press release. “I found some dead birds and I brought them back to the museum.”Willard discovered that over time the birds’ mass decreased by about 2.6% and leg length decrease d by about 2.4%. He also found that their wing length increased by about 1.3%. Scientists also measured temperature, precipitation, vegetation and other factors. They found that warmer temperatures were associated with a smaller body size.Co-author Benjamin Winger, who also studies the evolution and ecology of birds at University of Michigan, told The Washington Post that warmer temperatures have had an “almost universal effect” on shrinking other animals. The findings were consistent with a 2017 study that researched the breeding of wild zebra finches across a range of temperatures. Scientists found that a hotter climate during breeding periods produced smaller birds.Authors of the most recent study, however, also noted that other complications of climate change, such as food limitation and environmental pollution, could have something to do with body size reduction. 12．What happened to the birds in North America?A．They lack food. B．They suffer from drought.C．Their body sizes decrease. D．They die of climate change.13．Why did Willard walk around McCormick Place?A．To see how the birds migrate. B．To find out the reason of the birds’ death.C．To make causal observations. D．To check if there are dead birds.14．What do we know about a zebra finch according to the passage?A．It’s a bird affected by warm temperature.B．It’s a kind of zebra that lives in the wild.C．It’s a bird whose wing length has increased by 1.3%.D．It’s a kind of zebra of a small size.15．Which of the following has no connection with birds’ shrinking?A．Food limitation. B．Temperature.C．Vegetation. D．Environmental pollution.第二节（共5小题；每小题3分，满分15分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}{}22,4,10,10,24,25A a a B a a =−−=−+−−，且{}10AB =−，则A ．{}8,2,10A =−−C ．2a =或20B ．{}10,78,25B =−−D ．{}800,16,10,82,25AB =−−2． 已知函数()233,3log ,>3x x x f x x x ⎧−≤=⎨⎩，若0x ∃∈R ，使得()20104f x m m ≤+成立，则实数m 的取值范围为 A ．91,44⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ C ．91,,44⎛⎤⎡⎫−∞−−+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．5,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ D ．[)5,0,2⎛⎤−∞−+∞ ⎥⎝⎦3． 已知21sin 75απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么31tan 14απ⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．15−B ．±C D ．4． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +−=，则数列{}n b 的前2024项和为 A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．202420255． 已知点()()()72,6,2,3,0,1,,62A B C D ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则与向量2AB CD +同方向的单位向量为A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭6． 已知圆()22:20>0M x y ax a+−=的圆心到直线22x y +=距离是，则圆M 与圆()()22:211N x y −++=的位置关系是A ．外离B ．相交C ．内含D ．内切 7． 已知213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为4096，则展开式中6x 的系数为A ．15B ．1215C ．2430D ．818． 设a ∈R ，若复数23i2ia +−（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线y x =−上，则a =A ．2−B ．10−C ．25 D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分. 9． 下列说法正确的是A ．不等式2451>0x x −+的解集是1><14x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 B ．不等式2260x x −−≤的解集是322x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或C ．若不等式2821<0ax ax ++恒成立，则a 的取值范围是∅D ．若关于x 的不等式223<0x px +−的解集是(),1q ，则p q +的值为12−10．已知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是A ．若,m n αβ⊥⊥且αβ，则m n C ．若,,mn n ααβ⊂，则m β B ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D ．若,,,mn n m ααββ⊥⊥⊄，则m β11．设椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点分别为12,F F P 、是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．125PF PF +=B ．离心率3e 5=C ．12PF F ∆面积的最大值为12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆()()22434x y −+−=相切12．已知函数()3,1log ,>1kx k x f x x x −≤⎧=⎨⎩，下列关于函数()()2y ff x =−的零点个数的判断，其中正确的是A ．当>0k 时，有2个零点 C ．当>0k 时，有1个零点B ．当<0k 时，至少有2个零点 D ．当<0k 时，可能有4个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量,x y 满足约束条件21024020x y x y y +−≤⎧⎪−+≥⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值是 ．14．在平面直角坐标系中，已知点()()1,22,4,A B E F −−、、是直线3y x =+上的两个动点，且32EF =AE BF ⋅的最小值为 ．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511SS = ． 16．若,a b 是两个夹角为120的单位向量，则向量53a b −在向量a b +方向上的投影向量为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3tan 24C =−．（1）求cos C ；（2）若4c =，求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）设数列{}n a 满足：112,244n n a a a n +==+−． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}3n n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）已知过点()1,0的动直线l 与圆221:40C x y x +−=相交于不同的两点,A B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．20．（12分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以[)[)[)[)[)[)[)10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80分组的频率分布直方图如图所示，年薪在[)50,60的毕业生人数比年薪在[)10,20的毕业生人数多22人．（第20题图）（1）求直方图中x ，y 的值；（2）①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．21．（12分）已知函数()22exx ax af x −+=，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 的极大值恒为正数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为12F F 、，点A在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）求A 点坐标；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅的最大值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若122S S =，求点M 的坐标．10 20 30 40 50 60 70 80 毕业生年薪情况（单位：万元）中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．1858−15．64545116．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）22tan 3tan 21tan 4C C C ==−− ········································································· 2分解得tan 3C =，故cos 10C =·································································· 4分（2）2222cos 1625a b c ab C ab +=+=+≥ ·············································· 6分解得809ab +≤·················································································· 8分 由（1）知sinC =12 1018．（12分）（1）对于2n ≥时，()()1412824n n n a n a n a n +++=+=+ ······································ 2分 112,416a a =+⨯=，432,324n n n n a n a n +=⨯=⨯− ··································································· 3分 经验算，1a 符合上述结果，故324nn a n =⨯− ················································· 4分 （2）设33643nnnn n b n a n n =+=+⨯−⨯，则()()1816143216nnn n n S n ⨯−+=+−⨯− ························································· 6分设43nn T n =⨯，123438312343n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，23413438312343n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ····················································· 7分作差得到123124343434343n n n T n +=−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯ ······························ 8分故()()1161323213313n n n n T n n ++−⨯−=+⨯=−⨯+− ·········································· 10分 ()()18161216nn nn n S T⨯−+=+−−故()21183362132255n n n n n S n +=++⨯−−⨯− ················································ 12分 19．（12分）（1）圆1C 的方程可变形为()2224x y −+= ···························································· 2分 故1C 的圆心坐标为()2,0，半径为2······························································· 4分 （2）设(),M M M x y ，因为点M 是AB 的中点，1C M AB ∴⊥，11 61218由此可得22320M M M x x y −++=··································································· 10分 故轨迹方程为223124M M x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，轨迹是以圆心为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：10100.005100.0110100.019100.02100.0271x y +⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=，故0.019x y +=························································································· 1分 200102001022y x ⨯−⨯=，故0.011y x −= ························································································· 2分 解得0.004,0.015x y == ············································································ 3分 （2）①学院毕业生年薪在[)30,80区间的人数比例为：()0.020.0270.0150.010.005++++1077%⨯=，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率()0.0050.010.015100.3P =++⨯=， 故随机变量3~4,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()()4010.30.2401P ξ==−= ·································································· 6分 ()()314110.30.30.4116P C ξ==⨯−⨯= ························································ 7分 ()()2224210.30.30.2646P C ξ==⨯−⨯= ······················································ 8分 ()()334310.30.30.0756P C ξ==⨯−⨯= ······················································· 9分()440.30.0081P ξ=== ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望()0.34 1.2E ξ=⨯= ······························································· 12分21．（12分） （1）()()()()()2224e e 2242e e x x xx x a x ax a x a x af x −−−+−++−'== ······················· 2分当1a =时，()2252exx x f x −+−'=，()02f '=− ············································ 4分 又()01f =，故曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为21y x =−+ ············ 5分（2）()()()()2242220e e x xx a x a x a x f x −++−−+−'===，解得知122,2a x x ==··················································································· 7分 若()>4,a f x 在(),2,,2a ⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭递减，2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ······································· 8分极大值2>02e a a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭··············································································· 9分 若=4a ，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分 若()<4,a f x 在(),,2,2a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭递减，,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ····································· 11分 极大值()282>0ea f −=············································································ 12分 综上，()f x 的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆22:14x E y +=的左，右焦点分别为())12,F F ，设()12,,A m n AF AF ⊥，故()12,,0AF AF m nm n ⋅=−−−= ··············· 1分即223m n += ··························································································· 2分 221433333 4（2）设P 点坐标为(),0p ，则可得Q 点坐标为(2p ································· 5分()(22,022232OP OQ p p p p ⎛⋅==−+=−−+ ⎝⎭ ················· 7分当2p =时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎛ ⎝⎭，点O 到线段AB 的距离1h =····································································· 9分若122S S =，则点M 到线段AB 的距离应为2h =故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为3±或1± ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎛ ⎝⎭或⎛±⎝⎭ ·············································· 12分。

2021年高三1月月考数学试题 含答案xx.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设集合M ＝{x |x ＋3x －2<0}，N ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，则集合M ∩N ＝________． 2. 复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|， 3. 则实数a 的取值范围是_______．4. 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，月产量分5. 别为1200、6000、xx 辆．为检验该公司的产品6. 质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，7. 则型号A 的轿车应抽取________辆．8. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，9. 现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的 10. 概率是__________．11. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值 12. 是________．13. 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列 14. {a n }是递增数列”的_________条件．15. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V 1，该正方体的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.16. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120º，AB ＝AC ＝2， 17. D 为BC 边上的点，且→AD ·→BC ＝0，→CE ＝2→EB ， 18. 则→AD ·→AE ＝_______.19. 对任意的实数b ，直线y ＝－x ＋b 都不是曲线y ＝x 3－3ax 的切线，则实数的取值范围是________． 20. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝121. (a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 22. 则该椭圆的离心率为 ．23. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (0＜x ≤10)|6－12x | (x ＞10)，若a ,b ,c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ABCDE24. 则a ＋b ＋c 的取值范围为 ．25. 若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是___________．26. 若实数a ,b ,c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 长度的最大值是__________．27. 定义：若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间(m ,n )⊆D (m ＜n )，使得当x ∈(m ,n )时，f (x )的取值范围恰为(m ,n )，则称函数f (x )是D 上的“正函数”． 已知函数f (x )＝a x (a ＞1)为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．28. 在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos2B ．29. （Ⅰ）若f (B )＝2，求角B ；30. （Ⅱ）若f (B )－m ＜2恒成立，求实数m 的取值范围．31. 正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ． 32. （1）求证：AB ∥平面CDE ； 33. （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．34. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l 1、l 2的距离分别为4米、8米，河岸线l 1与该养殖区的最近点D 的距离为1米，l 2与该养殖区的最近点B 的距离为2米．35. （1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得∠BAD ＝60º，请据此算出养殖区的面积S ，并求出直线AD 与直线l 1所成角的正切值；36. （2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试求养殖区面积S 的最小值，并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值．37. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,3)，离心率为12，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ． 38. （1）求椭圆C 的方程；39. （2）若直线l 交y 轴于点M ，且→MA ＝λ→AF ，→MB ＝μ→BF ，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；40. （3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（图甲） （图乙）1l 1l 2l 2l AABBCCDD41. 设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋···＋a n )2．42. （1）求数列{a n }的通项公式；43. （2）若b n ＝3n ＋(－1)n −1·λ·2an (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N *，都有b n ＋1＞b n ． 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.58. 已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ,n ∈R )在x ＝1处取到极值2．59. （1）求f (x )的解析式；60. （2）设函数g (x )＝ax －ln x ，若对任意的x 1∈[12, 2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2, e ](e 为自然对数的底)，使得g (x 2)＝f (x 1)，求实数a 的取值范围．附加题1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20，2.（Ⅰ）求实数a ,b ,c ,d 的值；3. （Ⅱ）求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程．4.5.6.7.8.9. 10. 11. 12. 13. 14.15. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．16. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．17. （1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？18. （2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.AC 1B 1 A F班级___________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………19. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. 20. （1）设抛掷5次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望E (X )； 21. （2）求恰好得到n (n ∈N *)分的概率．高三数学试卷参考答案xx.11、(1,2)2、(－1,1)3、64、355、636、充要 7、168、19、(－∞,13)10、2－1 11、(25,34)12、5413、5＋ 2 14、(1, e 1e)15、解：(Ⅰ) f (B )＝4sin B cos 2(π4－B2)＋cos2B ＝2sin B (1＋sin B )＋1―2sin 2B ＝2sin B ＋1＝2 ∴sin B ＝12 又∵0＜B ＜π ∴B ＝π6或5π6．(Ⅱ) ∵f (B )－m ＜2恒成立∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立 ∴2sin B ＜1＋m ∵0＜B ＜π，∴2sin B 的最大值为2，∴1＋m ＞2 ∴m ＞1． 16、证明：（1）正方形ABCD 中，， 又平面CDE ，平面CDE ，所以平面CDE ． （2）因为，且， 所以， 又且，， 所以， 又， 所以．17、解：（1）设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得， 解得， 所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=；（5分） （2）设与所成夹角为，， 则与所成夹角为 ， 对菱形的边长“算两次”得，解得， 所以，养殖区的面积，由得，【要修改为：列表求最值】经检验得，当时，养殖区的面积． 答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．（15分） 18、解：（1）x 24＋y 23＝1 （2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0)∵→MA ＝ →AF ∴(x 1,y 1－y 0)＝ (1－x 1,－y 1) ∴ ＝x 11－x 1，同理， ＝x 21－x 2∴ ＋ ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 2x 1x 2－x 1－x 2＋1∵⎩⎨⎧l ：y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0∴(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3∴x 1＋x 2－2x 1x 2＝8k 24k 2＋3－2×4k 2－124k 2＋3＝244k 2＋3，x 1x 2－x 1－x 2＋1＝4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝－94k 2＋3∴ ＋ ＝－249＝－83（3）当l ⊥x 轴时，易得AE 与BD 的交点为FK 的中点(52,0) 下面证明：BD 过定点P (52,0)B 、D 、P 共线⇔k BP ＝k DP ⇔y 14－52＝y 2x 2－52⇔32y 2＝x 2y 1－52y 1⇔3y 2＝2x 2y 1－5y 1⇔3k (x 2－1)＝2x 2k (x 1－1)－5k (x 1－1)⇔2kx 1x 2－5k (x 1＋x 2)＋8k ＝0⇔2k ·4k 2－124k 2＋3－5k ·8k 24k 2＋3＋8k ＝0⇔2k (4k 2－12)－40k 3＋8k (4k 2＋3)＝0成立．得证．同理，AE 过定点P (52,0)，∴直线AE 与BD 相交于一定点(52,0)． 【注】：书写可证明：k BP －k DP ＝···－···＝·······，证明值为0． 19、证明：(1)在已知式中, 当n ＝1时, a 31＝a 21∵a 1＞0∴a 1＝1 当n ≥2时, a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋···＋a n )2···········① a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n －1＝(a 1＋a 2＋···＋a n －1)2(n ≥2)········② 由①－②得, a 3n ＝a n [2(a 1＋a 2＋···＋a n －1)＋a n ] (n ≥2) ∵a n ＞0 ∴a 2n ＝2(a 1＋a 2＋···＋a n －1)＋a n (n ≥2) ········③ a 2n －1＝2(a 1＋a 2＋···＋a n －2)＋a n －1(n ≥3) ········④ ③－④得, a 2n －a 2n －1＝2a n －1＋a n －a n －1＝a n －1＋a n (n ≥3) ∵a n －1＋a n ＞0, ∴a n －a n －1＝1(n ≥3),∵a 1＝1，a 2＝2∴a 2－a 1＝1∴a n －a n －1＝1(n ≥2) ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1, 可得a n ＝n（2） ∵a n ＝n , ∴b n ＝3n ＋(－1)n −1 ·2n∴b n ＋1－b n ＝3n +1＋(－1)n ·2n +1－[3n ＋(－1)n −1 ·2n ]＝2·3n －3 (－1)n −1·2n ＞0 ∴ (－1)n −1＜(32)n −1········⑤当n ＝2k －1,k ＝1,2,3,···时, ⑤式即为 ＜(32)2k −2········⑥ 依题意, ⑥式对k ＝1,2,3,···都成立, ∴ ＜1当n ＝2k ,k ＝1,2,3,···时, ⑤式即为 ＞－(32)2k −1·········⑦ 依题意, ⑦式对k ＝1,2,3,···都成立 ∴ ＞－32∴－32＜ ＜1又 ≠0, ∴存在整数 ＝－1, 使得对任意n ∈N *, 都有b n ＋1＞b n ．20、解： （1）∵f '(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2∵由f (x )在x ＝1处取到极值2，∴⎩⎨⎧f '(1)＝0f (1)＝2∴－m ＋mn (1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2,∴⎩⎨⎧m ＝4n ＝1，经检验，此时f (x )在x ＝1处取得极值，故f (x )＝4x x 2＋1（2）记f (x )在[12,2]上的值域为A ，函数g (x )在[1e 2,e ]上的值域为B ，由（1）知：f '(x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2∴f (x )在[12,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减， 由f (1)＝2，f (2)＝f (12)＝85，故f (x )的值域A ＝[85,2]依题意g '(x )＝a －1x ∵x ∈[1e 2,e ] ∴1e ≤1x ≤e 2①当a ≤1e 时，g '(x )≤0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递减 ∴B ＝[g (e ),g (1e 2)]，由题意得：[85,2]⊆B ．∵g (e )＝ae －1，g (1e 2)＝a 1e 2＋2，∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e 2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e ＞1e ∴0≤a ≤1e ②当1e ＜a ＜e 2时，e ＞1a ＞1e 2 ∴当x ∈[1e 2,1a )时，g '(x )＜0；当x ∈(1a ,e ]时，g '(x )＞0；∵对任意的y 1∈[85,2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2,e ]，使得g (x 2)＝y 1∵g (e )－g (1e 2)＝ae －a 1e 2－3＝a (e －1e 2)－3∴当3e 2e 3－1＜a ＜e 2时，g (e )＞g (1e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1e 2)≤85g (e )≥2∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e2 无解 当1e ＜a ＜3e 2e 3－1时，g (e )＜g (1e 2) ∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e 2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e ＜3e 2e 3－1 ∴1e ＜a ＜135e当a ＝3e 2e 3－1时，g (e )＝g (1e 2)不成立；③当a ≥e 2时，1a ＜1e 2 ∴g '(x )＞0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递增 ∴B ＝[g (1e 2), g (e )]∵[85,2]⊆B ∴g (e )≥2，g (1e 2)≤85 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ea －1≥2a e 2＋2≤85 ∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e2 无解 综上，0≤a <135e 附加题1、解：（Ⅰ）由题设，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20得⎩⎨⎧c ＝22＋ad ＝0bc ＝－22b ＋d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2； （Ⅱ）取直线y ＝3x 上的两点(0,0)、(1,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y ＝－x ．2、解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2ty ＝1－t(t 为参数)∴x ＋2y ＝4设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝|22sin(θ＋ π4)－4|5≥|22－4|5＝4－225当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sin θ＝cos θ＝22∴P (2,22) 3、解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝ π2． 以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，(2,0,0)从而B (0，0，0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0，0，3)，A 1 A (2,0,3)，C 1(0,2,3)，D (22,22,3)，E (0,22,32)．所以→CA 1＝(2,－2,3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )， →CF ＝(2,－2,x )，→B 1F ＝(2,0,x －3) ，→B 1D ＝(22,22,0) ∴→CF ·→B 1D ＝···＝0，所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F ＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．4、解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )＝C i -55·(12)5(i ＝5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：∴ E ξ＝152（2）令P n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－P n ，“恰好得到n －1分”的概率是P n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－P n ＝12P n －1，即P n －23＝－12( P n －1－23). 于是{P n －23}是以P 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以P n －23＝－16(－12)n −1，即P n ＝13[2＋(－12)n ]. 答：恰好得到n 分的概率是13[2＋(－12)n 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2021年高三数学上学期1月月考试卷文（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．A．①B．①②C．②③D．①②③7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．xx-云南省部分名校xx届高三上学期1月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．∴故选A点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．解答：解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．6．（5分）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中所有的正确结论的序号（）A．①B．①②C．②③D．①②③考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．解答：解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c正确；③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．故选D．点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性，可得 A、B、D不正确，C 正确．解答：解：函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故 D不正确．故选 C．点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△A BC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：由已知可得该几何体是一个以假视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其中底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故棱柱的体积为：8×8=64，棱锥的高为4，故棱柱的体积为：×8×4=，故该几何体的体积V=64﹣=，故选：A点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：首先由三角形面积公式得到S△ABC=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC ﹣2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．解答：解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选C．点评：本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）=﹣f（log2），由f（log2）=1，能求出f（log220）=﹣1．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1．故选：A．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和对数运算法则的合理运用．12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0在B处取最大值，由可得B（），此时z=故Z=x+2y的取值范围为：故答案为：点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用数形结合确定圆心到直线的距离最小时，即可．解答：解：∵|PA|=，∴当OP最小时，|PA|的距离最小，此时圆心到直线的距离d==，此时|PA|的最小为=2，故答案为：2点评：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为13+23+33+43+…+n3=（）2．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．解答：解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2点评：本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．解答：解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；（Ⅱ）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．解答：解．（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣1≠0，∴=而S1=（1﹣a1），∴a1=∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴a n=（）n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=．（2）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，则T n=1•+2•（）2+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n=＜．点评：本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是xx届高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）xx届高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校xx届高三年级男生平均身高为：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171高于全市的平均值170.5；（II）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A，B，C，D，E，其中身高排名在全省前100名为A，B．故总得事件 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，7种，设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A，故P（A）=点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，属于基础题．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意求出四棱锥F﹣ABCD的高，然后求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）要证平面AFC⊥平面CBF．只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可；（3）在线段CF上是存在一点M，取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，MNAO 为平行四边形，即可说明OM∥平面ADF．解答：解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°作FG⊥AB交AB于一点G，则∵平面ABCD⊥平面ABEF∴FG⊥面ABCD（3分）所以（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）点评：本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，常考题型．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f（x）的极值；（2）根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）==，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（0）=，∴a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值（2）由（1）的结论知，f（x）在⇔函数F（x）=f（x）﹣=在∴k≤lnx在请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．解答：解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l距离的最小值为0．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得|x+1|+|x﹣2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．37571 92C3 鋃L34168 8578 蕸y 28726 7036 瀶31851 7C6B 籫:+(A22475 57CB 埋32744 7FE8 翨31767 7C17 簗21666 54A2 咢。