完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学 实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（

）

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- AH B

得AH B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。 其中25%是白色的,

75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝 色衬衫有多少件？（ ）

A、 15

B、 25

C、 35

D 40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为 AH

B,本题设小号和蓝色分别为两个事件 A和B,小号占50%蓝色占75%直接代 入公式

为：100=50+75+10- AH B，得：AH B=35

3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计 师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有 47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有 46人,

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推

其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数

=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

=199— { (x+z+y) +24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只

选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y的值为46人；得本题答案为120.

4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )

A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推

其他部分数字：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数

100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。52= x+12+4+Y= 14+12+4+Y 得到Y= 22人。 不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？( )

5. 某班统计考试成绩，数学得 90分上的有 25 人;语文得 90分以上的有 21 人;两科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人 ?

解：设 A={ 数学成绩 90 分以上的学生 }

B={ 语文成绩 90 分以上的学生 }

那么，集合A U B表示两科中至少有一科在 90分以上的学生，由题意知，

I A I =25， I B I =21， I A U B I =38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求I AQB I,由容斥原理得

I APB I = I A I + I B I - I A U B I =25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A , B,并且会表示 A U B , APB，再利用

容斥原理求解。

6. 某班同学中有 39人打篮球, 37人跑步, 25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、 跑步这两项体育活动的总人数是多少 ?

解：设 A={ 打篮球的同学 };B={ 跑步的同学 }

则 AP B={ 既打篮球又跑步的同学 }

AU B={ 参加打篮球或跑步的同学 }

应用容斥原理 I A U B I = I A I + I B I - I APB I =39+37-25=51（人）

7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有 23人,

参加语文小组的有 27人, 参加外语小组的有 18人;同时参加数学、 语文两个小组的有 4人, 同时参加数学、外语小组的有 7人,同时参加语文、外语小组的有 5 人;三个小组都参加的

有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人 ?

解1 :设A={数学小组的同学}, B={语文小组的同学} , C={外语小组的同学}, AP B={数 学、语文小组的同学}, AP C={参加数学、外语小组的同学 } , BP C={参加语文、外语小组

的同学 }, AP BP C={ 三个小组都参加的同学 }

由题意知：l A I =23, I B I =27,1 C I =18

I APB I =4, I AAC I =7 ,I BAC I =5, I AA BAC I =2

根据容斥原理二得：

I A U BU C I = I A I + I B I + I C I - I AAB I - I AA C|- I BA C|+|A A BAC I

=23+27+18-（4+5+7）+2

=54（人）

山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

解2 :利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不

相交的区域，区域四（即AA BA C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填 2。区

域W表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为 4-2=2（人）。区域W表示仅参加数

学与外语小组的同学的集合，其人数为 7-2=5（人）。区域V表示仅参加语文、外语小组的同

学的集合，其人数为 5-2=3（人）。区域I表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为

23-2-2-5=14（人）。同理可把区域H、川所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域 内，则参加课外小组的人数为 ；

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来 了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

8•某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有 77人能干车工工作，86人 能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人 ？

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是 5人，除去只能干电工工作的人，这个车

间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分， 其总数

为163,然后找出这一公共部分，即 163-95=68

9•某次语文竞赛共有五道题 （满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了 16

分;于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了 25分;王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了 28分， 张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了 21分，李明五个题都对了他得了多少分 ？

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰 好是试题总分的三倍。五人得分总和是 16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是

120七=40。所以李明得 40分。

10.某大学有外语教师 120名，其中教英语的有 50名，教日语的有 45名，教法语的有

40名，有15名既教英语又教日语，有 10名既教英语又教法语，有 8名既教日语又教法语，

有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名 ？

解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课 的外语教师的人数。 至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容

斥原理，至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为 50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三

门课的外语教师的人数为 120-106=14（人）

L对艇门大学汁算机系100名学生竝行河果发现ftin鸟欢迓MBA和足球、香车.其中就人 喜欢看NBA^S人客款君赛卑,52人喜欢看足球客坎看NBA 乂喜欢看參车的有】因人*既客蛊看足厚

及喜欢看赛车的右人*三静赫轉欢希的宥12人丫则貝喜然看足璋的有：

九22人 K2S A U30人 D沂人

2.外诣学校有英语、袪日谄救呻其阶人，翦叩只能戟英囲的有&人，只能教日龄的育石人■陡ft 英*日蔚的有5人，能載法，日带的有3人•陀教英*怯蜡的有电人，三种都能教的有2人•则貝能敕怯语 MWi

他斗人 風5人 人 D.7

fifcfrft对】端人的制査兄示就釋由的与不魯欢餐山的人散比为5,初真欢游冰的与不海狀游

激的人数比为7「阴种活功榔尊欢的疽43人"对这两种活动都不喜吹豹人敷是*

A. IS K27 C26 Q32

4.某个班的全体学生进行短跑、游泳.篮球三个项目的测试・梢4名学生在这三个项目上祁汝冇达 到优弄，其余毎人至少有一个项目达到了优秀.这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

ML跑 ** <*

盘伦•希*・工从

17 18 15 6 6 5 2

求这个班的学生人敷•

A.36 R 37 Q38 D. 39

5.某专业有学生50人■现开设有甲、乙■丙三门必修课.有40人迭修甲课程.36人选修乙课程.30 人选俺丙课程•兼选甲•乙沏门课程的冇28人•廉选卬•丙两门课程的有26人•兼选乙■丙购门谭程的布 24人•甲•乙、内三门课程均透的有20人•何三门课程均未选的有多少人？

九1人 B2人 C3人 D・4人