容斥原理问题经典例题

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容斥原理问题经典例题

在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。

例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？

首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25

＋ 20 ＝ 75 人。

但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。所以要减去重复计算的部分：

既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。

所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。

所以要再加上 3 人。

综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。请问该校参加课外活动的学生共有多少人？

我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋

70 ＝ 280 人。

然后减去重复计算的部分：

既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40

＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。

但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。

因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。

例 3：在一个社区中，有 80 户家庭订阅了报纸，其中 45 户订阅了《日报》，35 户订阅了《晚报》，20 户既订阅了《日报》又订阅了《晚报》。请问这个社区中没有订阅报纸的家庭有多少户？

首先，计算订阅报纸的家庭总数。

订阅《日报》和《晚报》的户数之和为：45 ＋ 35 ＝ 80 户。

但是，其中有 20 户是重复计算的，所以实际订阅报纸的家庭数为：80 20 ＝ 60 户。社区中一共有 80 户家庭，所以没有订阅报纸的家庭数为：80 60 ＝

20 户。

通过以上几个例题，我们可以更加清晰地看到容斥原理在解决实际问题中的应用。它就像是一把神奇的钥匙，帮助我们打开复杂计数问题的大门。

再来看一个稍微复杂一点的例子。

例 4：某公司有 100 名员工，其中会编程的有 60 人，会设计的有

50 人，会营销的有 40 人。既会编程又会设计的有 25 人，既会编程又会营销的有 20 人，既会设计又会营销的有 15 人，三种技能都会的有

10 人。请问至少会一种技能的员工有多少人？不会任何技能的员工有多少人？

我们先计算会编程、设计、营销的人数总和：60 ＋ 50 ＋ 40 ＝ 150

人。

然后减去重复计算的部分：

既会编程又会设计的 25 人多算了一次，既会编程又会营销的 20 人多算了一次，既会设计又会营销的 15 人多算了一次，所以要减去：25

＋ 20 ＋ 15 ＝ 60 人。

但这样又把三种技能都会的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。

因此，至少会一种技能的员工人数为：150 60 ＋ 10 ＝ 100 人。

那么不会任何技能的员工人数就是：100 100 ＝ 0 人。容斥原理的应用不仅仅局限于这些简单的例子，它在很多领域都有着广泛的应用，比如概率统计、集合论等。

例 5：在一次考试中，某班数学及格的有 40 人，语文及格的有 35

人，英语及格的有 30 人。数学和语文都及格的有 20 人，数学和英语都及格的有 15 人，语文和英语都及格的有 10 人，三门都及格的有 5

人。请问至少有一门及格的有多少人？不及格的有多少人？

先计算及格人数的总和：40 ＋ 35 ＋ 30 ＝ 105 人。

减去重复计算的部分：

数学和语文都及格的 20 人多算了一次，数学和英语都及格的 15 人多算了一次，语文和英语都及格的 10 人多算了一次，所以要减去：20

＋ 15 ＋ 10 ＝ 45 人。

但又把三门都及格的 5 人多减了两次，所以要加上 5 人。

因此，至少有一门及格的人数为：105 45 ＋ 5 ＝ 65 人。

全班人数假设为 80 人，那么不及格的人数为：80 65 ＝ 15 人。

通过这些经典例题，相信大家对容斥原理有了更深入的理解和认识。只要我们能够准确地分析问题，找出各个集合之间的关系，运用容斥原理就能轻松地解决计数问题。

希望大家在今后的学习和生活中，能够灵活运用容斥原理，解决更多的实际问题。

容斥原理之重叠问题(二)

7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）

教学目标

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”

读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆

部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆

部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类

的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元

素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．1．先包含——AB

重叠部分AB计算了2次，多加了1次；

2．再排除——ABAB

把多加了1次的重叠部分AB减去．

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，

大圆表示C的元素的个数．

1．先包含：ABC

重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．

有关容斥原理的极值问题

所谓“极值问题”就是通常说的最大值，最小值的问题，题干中通常有“至少”，“至多”等题眼，解决这类问题通常有两种方法，一是极限思想，另一种就是逆向思维。

通过以下几个例题具体看一下：

1. 某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，至少有几个4个活动都参加?

解析: 逆向思维，分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少，由题意可知，分别为11,16,8,6，只有当这四项集合互相没有交集的时候，四项活动都喜欢的人数才最少，因此最少人数为46-11-16-8-6=5

2. 参加某部门招聘考试的共有120人，考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人，88人，92人，76人，72人和70人答对，如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试，那么至少有多少人能通过考试？

解析（极限思想）：要使通过的人最少，那么就是对1道，2道的人最多，并且应该是对2道的人最多（这样消耗的总题目数最多），假设都只对了2道，那120人总共对了240道，而现在对了86+88+92+76+72+70=484，比240多了244道，每个人还可以多4道（这样总人数最少）,244/4=61。

(逆向思维)：先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120-92=28

120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少，就是没通过的人数最多，让错的人都只错4道就错的人最多，总的错的题数为34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

（注意：算出来的值要跟上述的每一题做错的值相比，只有大于上述每一个值，才可以直接拿总数去减）

3. 一次考试共有五道试题，做对第1、2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？

容斥原理之三者容斥问题

浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题

中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?

中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。

三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。

三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有

A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C

这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。

例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人?

中公教育解析：由题意可画图如下：

则有上述公式可知：