初中数学三角形全等之手拉手模型
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初中数学三角形全等之手拉手模型
手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点。
主要结论：
（1）△ABD ≌ △AEC；
（2）∠α + ∠BOC = 180°；
（3）OA 平分 ∠BOC。
基本变形：
共顶点等边三角形模型一
共顶点等边三角形模型二
共顶点正方形模型
共顶点等腰直角三角形模型 典例精讲：
【例题 1】如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边 △ABD 与 △BCE，连结 AE 与 CD，
证明：
（1）△ABE ≌ △DBC；
∵ △ABD 与 △BCE 都是等边三角形，
∴ AB = DB , BE = BC , ∠DBA = ∠CBE = 60°，
∵ ∠DBA + ∠DBE = ∠CBE + ∠DBE = 60° + ∠DBE，
∴ ∠ABE = ∠DBC，
∴ △ABE ≌ △DBC；（SAS）
（2）AE = DC；
由（1）知 △ABE ≌ △DBC，
∴ AE = DC；
（3）AE 与 DC 之间的夹角为 60°；
由（1）知 △ABE ≌ △DBC，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ ∠1 + ∠DGH + ∠3 = 180°，∠2 + ∠AGB + ∠4 = 180°，
又 ∵ ∠DGH = ∠AGB ，∠4 = 60°，
∴ ∠3 = ∠4 = 60°， 即 AE 与 DC 之间的夹角为 60°；
（4）△AGB ≌ △DFB；
由（1）知 △ABE ≌ △DBC，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ AB = DB , ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°，∠3 = ∠5 = 60°，
∴ ∠3 = ∠4 = 60°，
∴ △AGB ≌ △DFB（ASA）；
（5）△EGB ≌ △CFB；
由（1）知 △ABE ≌ △DBC，
∴ ∠1 = ∠2，
由（4）知 ∠3 = ∠4 = ∠5 = 60°，
∵ EB = CB ,
∴ △EGB ≌ △CFB（ASA）；
（6）BH 平分 ∠AHC；
连接 BH，过点 B 分别作 BM⊥AE 于点 M，BN⊥CD 于点 N，垂足分别为 M、N， 由（1）知 △ABE ≌ △DBC，
∴ ∠1 = ∠2，
∵ AB = DB , ∠AMB = ∠DNB = 90°，
∴ △AMB ≌ △DNB，
∴ BM = BN，
∴ BH 平分 ∠AHC；
（7）GF∥AC。
由（4）知 △AGB ≌ △DFB， ∠3 = ∠4 = ∠5 = 60°，
∴ GB = FB，
∴ △GBF 是等边三角形，
∴ ∠2 = ∠3 = 60°，
∴ FG∥AC。
练习：
如图两个等边三角形 △ABD 与 △BCE，连结 AE 与 CD， 证明：
（1）△ABE ≌ △DBC；
（2）AE = DC；
（3）AE 与 DC 之间的夹角为 60°；
（4）AE 与 DC 的交点设为 H, BH 平分 ∠AHC。
