全等三角形之手拉手模型

专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型

（知识讲解）

图一 图二

图三 图四 图五

图六 图七

手拉手模型的定义：

定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）

3、如右图：手拉手模型的重要结论：

结论1：∆𝐀𝐁𝐂≅∆𝐀/𝐁/𝐂/（SAS）

BC=𝐁/𝐂/(左手拉左手等于右手拉右手)

结论2：∠𝐁𝐎𝐁=∠𝐁𝐀𝐁（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等）

结论3：AO平分∠𝐁O𝑪/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）

典型例题讲练：

在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：

（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD和CE的数量关系是

（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：

《三角形证明》题型解读12 全等典型模型：“手拉手”模型

【知识梳理】

（一）“手拉手模型”的基本图形

题型特征：△ABC与△BDE是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上。

解题方法：一定有以下六个结论（三组全等、一个60°、一个等边△、一组平行线）

①△ABE≌△CBD

证明过程：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC，BE=BD，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

②△ABH≌△CBF

证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠4=∠5，∵AB=BC，∠1=∠2，∴△ABH≌△CBF（SAS）

③△BHE≌△BFD

证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，∵BE=BD，∠2=∠3，∴△BHE≌△BFD（SAS）

④∠AGC=60°

证明过程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，在△GFE和△BFD中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD，∴∠3=∠EGF，∵∠AGC=∠EGF，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60°

⑤△BHF是等边三角形

证明过程：∵△BHE≌△BFD（SAS），∴BH=BF，∵∠2=60°，∴△BHF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

⑥HF//AD

证明过程：∵△BHF是等边三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD

（二）“手拉手模型”的变化图形

题型特征：△ABC与△BDE是等边三角形，A、B、D三点不在同一直线上。

图2MN765431HGFEDCBA765431HGFEDCBA解题方法：一定有以下三个结论（一组全等，一个60°、一个角平分线）

①△ABE≌△CBD

证明过程：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD（共角模型），∵AB=BC，BE=BD，

手拉手模型大家都非常熟悉了，从七年级下册全等三角形开始，便一直陪伴我们左右，14-19年这五年的河南中考22题也都一直在考察这个模型，所以对于河南的考生，手拉手模型的重要性不言而喻。该模型基本结论很多，这里不再一一赘述。这里主要讲一下手拉手模型的构造（即我们之前更新过的 “ 鸡爪模型 ” ），16年中考22题的第三问曾对构造进行过考察，而今年也有不少名校的模拟考试也都涉及到了这个问题。 今天我们为大家整理归类常见的手拉手模型的构造及相关结论；无需记忆，需要会推理哦~

关于“手拉手模型”：

入门篇：

【中考专题】全等之手拉手模型，入门必看！

【中考专题】手拉手模型的12个结论，你知道几个？

精讲篇：

【中考专题】手拉手模型（一）—等腰旋转，全等出现

【中考专题】手拉手模型（二）—旋缩变换，相似成双

培优篇：

【中考专题】“鸡爪”模型—构造手拉手旋转

【中考专题】手拉手旋转，从特殊到一般的几点思考

典例篇：

【中考专题】河南中考 类比探究（五年真题+五年B卷） 【中考专题】类比探究，考法浅析

【中考专题】类比探究问题 （2015·烟台）

【中考专题】手拉手模型的构造——以19·枫杨·三模·22题为例

1.左右手的判别：

顶点朝上，左边顶点为左手，右边顶点为右手

2.手拉手模型图

两个顶点相等且共顶点的等腰三角形手拉手（左手拉左手，右手拉右手）

3.手拉手经典结论

①△ABD≌△ACE

②BD=CE，且夹角等于∠BAC（或其补 角）

③AO平分∠BOE（或其外角）

证明：

①∵AB=AC,AD=AE

且∠BAD=∠BAC+∠DAC=

∠EAD+∠DAC=∠CAE

∴ △ABD≌△ACE（SAS） ②∵△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，∠BDA =∠CEA

∵∠BDA +∠DOE =∠CEA+∠DAE

∴∠DOE=∠DAE=∠BAC

③∵△ABD≌△ACE（SAS）

全等三角形之手拉手模型5

一、知识点睛

1、全等型手拉手模型

两等边三角形或等腰直角三角形或两正方形共端点(两个相同图形，有公共顶点且它两邻边相等)，图示如下

2、全等型手拉手模型的常见结论

结论1:△ABC≌△AB'C' BC=B'C'(左手拉左手等于右手拉右手)

结论2：AO平分∠BOC'

二、典型例题

1.（1）熟悉模型：如图（1），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；

（2）运用模型：如图（2），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB的度数．

A D B C

E (1)

B A

C P

(2)

（3）深化模型：如图（3），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．

2. 已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，连接AD，在直线AD的右侧作等腰△ADE ,

AD=AE.

(1) 如图1，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，求证：BD=CE。

(2) 如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，AB＝AC=2，取AC边的中点F，连接EF. 当D点从B点运动到C点过程中，求线段EF长度的最小值，并直接写出它的最大值。

(3) 如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD ＝90°，AB=AD，DC=1，连接AC，已知2230AC，求AB的长。

D A

B C (3)

图2 F A

C D E

B E

C 图1 D A

B 图3 A

B C D

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE．连接BE、CD，点M是BE的中点，连接AM．

（1）观察猜想：如图①，若AB＝AC，线段AM与CD的数量关系是 ，位置关系是 ．

（2）类比探究：在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜360°）至图②的位置，试判断线段AM和CD的数量关系和位置关系，并给出证明；