论小于 的素数个数

黎曼的伟大猜想：素数之魂(上)与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得专门远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。

黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题2021年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。

在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。

距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。

那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学进展产生了深远阻碍。

这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地点，那确实是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。

那个难题确实是“黎曼猜想”。

黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座现在属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。

1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。

作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。

这篇只有短短八页的论文确实是黎曼猜想的“产生地”。

黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就专门感爱好的问题，即素数的分布。

素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。

这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都能够表示成它们的乘积。

从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。

素数的定义简单得能够在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎平常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能完全了解。

黎曼论文的一个重大的成果，确实是发觉了素数分布的隐秘完全蕴藏在一个专门的函数之中——专门是，使那个函数取值为零的一系列专门的点对素数分布的细致规律有着决定性的阻碍。

论小于给定数值的素数个数
欧拉公式给出了计算小于给定整数n的素数数量的公式：
π(n) = \frac{n}{\ln n} + O\left(\frac{n}{(\ln
n)^2}\right)
其中π（n）表示小于或等于n的素数的数量，O表示渐进符号，它表示额外的误差项不超过某个数量级。

这个公式的精确性在n足够大时非常好，但对于较小的n可能并
不准确。

在这种情况下，可以通过简单的枚举方法计算小于n的素数
数量，即从2到n-1逐个测试每个数是否为素数，复杂度为O（n^2）。

另外，使用筛法（如埃式筛法、欧拉筛法等）可以更高效地计算
小于n的素数数量，复杂度为O（n log log n）或O（n log n）。

黎曼猜想到底是什么意思？2018年，89岁⾼龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵⼠举⾏了他最后⼀次公开的数学报告：这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个⽉，⽼爷⼦就溘然长逝。

这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进⾏审查。

哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破⽅向，这在数学史上也层出不穷。

留待学界、时间来检验吧。

但是，黎曼猜想：函数的所有⾮平凡零点的实部都是。

到底说了什么，能让这位耄耋⽼⼈在⽣命的最后⼀刻依然向它发起冲锋；让⼀代代的数学家为之魂系梦绕（⼤数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第⼀件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。

逝者安息，⽣者传承，下⾯就以我们的⽅式尽量数普⼀下黎曼猜想，把⽼爷⼦这份执着传递⼀⼆，把⽆数数学家的这份执着传递⼀⼆。

1 素数⼤于 1 的⾃然数中，除了 1 和该数⾃⾝外，⽆法被其他⾃然数整除的数称为素数（Prime Number），⽐如 2、3、5、7、11、。

我们知道素数是⽆穷的[1]，也可以通过埃拉托斯特尼筛法[2]筛出有限个的素数：但对于素数的整体了解依然⾮常少，素数似乎是完全随机地掺杂在⾃然数当中的⼀样，下⾯是1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧，877、881、883、887 ⼜突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数⼀样多）：别说素数的精确分布了，就是随机抽取⼀个⾜够⼤的⾃然数出来，要检验它是否是素数都需要经过⼀番艰苦的计算。

以研究素数为核⼼的数论，在数学家眼中就是：数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。

----⾼斯你可能会有⼀个疑问，研究素数⼲嘛？可以改善⽣活吗？提⾼寿命吗？粮⾷增产吗？移民⽕星吗？当然可以给出⼀些现实的理由，⽐如流⾏的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的⼀些理论。

但是随着了解的深⼊，我发现对于数学家⽽⾔这些根本不重要，不⾜以构成驱使他们前进的动⼒。

素数（质数）判断的五种方法素数判断是编写程序过程中常见的问题，所以今天我简单梳理一下常用的素数判断方法。

素数的介绍素数定义质数(prime number)又称素数，有无限个。

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。

最小的质数是2。

--------360百科第一种：暴力筛选法思路分析根据素数的定义，我们可以简单地想到：若要判断n是不是素数，我们可以直接写一个循环（i从2到n-1，进行n%i运算，即n能不能被i整除，如被整除即不是素数。

若所有的i 都不能整除，n即为素数）。

代码实现booleanisPrime(int n){for(inti=2;i<n;i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue ;}时间复杂度：O(n)这个时间复杂度乍一看并不乐观，我们就简单优化一下。

booleanisPrime(int n){for( i=2; i<=(int)sqrt(n);i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue;}时间复杂度：O(sqrt(n))优化原理：素数是因子为1和本身，如果num不是素数，则还有其他因子，其中的因子，假如为a,b.其中必有一个大于sqrt(num) ，一个小于sqrt（num）。

所以必有一个小于或等于其平方根的因数，那么验证素数时就只需要验证到其平方根就可以了。

即一个合数一定含有小于它平方根的质因子。

第二种：素数表筛选法素数表的筛选方法一看就知道素数存储在一个表中，然后在表中查找要判断的数。

找到了就是质数，没找到就不是质数。

思路分析如果一个数不能整除比它小的任何素数，那么这个数就是素数对了，这个方法效率不高，看看就知道思路了。

素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。

即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。

根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。

[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。

例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。

29小于7²=49，所以29是一个素数。

目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。

证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。

接下来考虑P(1+ kp)的值。

由于，我们有。

于是P(1 + kp)是p的倍数。

为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。

要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。

应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。

欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。

对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。

当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。

实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。

这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。

实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。

欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。

欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。

13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。

瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。

”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题1．正整数1，2，3，…，n 的倒数的和111123n++++已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n 很大时1111ln 23n n γ++++≈+.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111232022⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10≈≈，ln10 2.30≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 2．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln x x x≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数）（ ）A ．189B ．186C ．145D ．109 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．[]1,1- D ．[]1,0- 4．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13CD 5．数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n n γ++++≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111233456⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln10 2.30≈≈≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．106．欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点1,0A ，()1,2B -，且其“欧拉线”与圆M ：()2223x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上的点到原点的最大距离为3B ．圆M 上不存在三个点到直线10x y --=C ．若点(),x y 在圆M 上，则1y x +的最小值是 D ．若圆M 与圆()222x y a +-=有公共点，则[]3,3a ∈-8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点()0,2A 和点()10B ,为ABC 的顶点，则：“ABC 的欧拉线的方程为1x =”是“点C 的坐标为(2,2)”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}()n ϕ单调递增C ．若p 为质数，则数列{}()n p ϕ为等比数列 D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于582710．瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣11．1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C -，重心12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形C ．欧拉线方程为2430x y +-=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）A ．i e 1π=B ．i 2e π为纯虚数C 12=D ．复数2i e 对应的点位于第三象限13．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,ABC AB AC =，点()1,3B -，点()4,2C -，圆()2200:(3)4,,M x y P x y ++=是“欧拉线”上一点，过P 可作圆的两条线切，切点分别为,D E .则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上存在点N ，使得π6MPN ∠=C ．四边形PDME 面积的最大值为4D ．直线DE 恒过定点14．对于正整数n ，()n ϕ是不大于n 的正整数中与n 互质的数的个数.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：()96ϕ=.则（ ）A ．()2811ϕ=B ．数列(){}3ϕ''为等比数列C ．数列(){}n ϕ不单调D ．()777log 75log 6ϕ=+ 15．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()2,0A 、()0,4B ，其欧拉线方程为20x y +-=，则顶点C 的坐标不可以是（ ） A ．()2,2- B ．()1,1- C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 16．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是3D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a的取值范围是1⎡-+⎣17．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()e x f x =C ．()11xf x x+-= D ．(),01,0x x f x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩三、填空题18．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如221nn F =+（0n =，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：()2log 1n n a m F =-（n =1，2，3，…），m 为常数，n S 表示数列{}2log n a 的前n 项和，若520S =，则5a =______.19．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点坐标分别是(1,0)-，(3,0)，(0,2)则ABC 的欧拉线方程为______．四、双空题20．对正整数n ，函数()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得()441ϕ=______，数列(){}7n n ϕ的前n 项和n S =______．。

素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。

Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。

当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。

由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。

引理证毕。

定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。

证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。

1826年9月17日，黎曼出生于德国汉诺威王国一个叫布雷斯伦茨的小村庄。

之前我们介绍过，大数学家欧拉的父亲是牧师，黎曼的父亲也是当地的一名牧师。

黎曼。

由于英年早逝，黎曼生前公开发表的论文不学习到19岁。

吕内堡中学的校长是一个很好的老师，他注意到黎曼的数学才能，让他随意使用学校的图书馆，甚至允许他不上数学课，还借了本法国数学家勒让德的《数论》让黎曼学习。

这是一本859页的大四开本的大部头著作，于1808年出版，十分难懂。

诉校长：“这是本了不起的书，我已经掌握了它！”准确地答出来了！我已经掌握了它！还是数学有趣！我要去柏林学习数学！研究物理的数学家两年后，黎曼于1849年回到哥廷根，在高斯的指导下完成了博士论文——《单复变量函数的一般理论的基础》。

高斯对黎曼的论文大加赞赏，说：“这是一项重大而有价值的成果。

”要知道，高斯是非常骄傲的，很少夸奖别人——他这辈子夸奖过的人，一只手都能数得过来。

黎曼希望成为哥廷根大学的老师，但在哥廷根执教不仅需要博士学位，而且还需要一张证书——“执教资格证书”。

从取得博士学位和到取得执教资格证书整个过程，花了黎曼五年多的时间，从22岁半到将近28岁。

那么，这段时间里，黎曼在做什么呢？他绝大多数时间居然花在了物理上！他研究电磁学、热学、声学、引力……事实上，要是他能多活二三十年，他很可能会成为19世纪的爱因斯坦！黎曼几何的诞生1854年，黎曼终于获得了“执教资格证书”。

想要在哥廷根大学当老师，首先需要提交一篇论文，然后面对学校的教授们做一个正式的演讲。

黎曼先提交了一篇书面论文，论文的题目为《论用三角级数表示函数的可能性》。

这是一篇里程碑式的论文，它向世界贡献了黎曼积分。

接下来是演讲。

黎曼提供了三个演讲题目，两个是关于数学物理的，另一个是关于几何的。

他希望高斯选择前两个，可没想到，高斯让他讲第三个题目——《论作为几何基础的假设》。

黎曼大吃一惊，他当时正沉迷于物理学研究中，匆匆忙忙准备一番后就上场演讲，却得到了高斯极高的赞美。

论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注Email:**************承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。

我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点：11 1 s s p n -=-∑∏其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。

{注1： 即定义复变函数11()1s s s n pζ-==-∑∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。

{注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。

}利用等式{注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10()s x s x e dx ∞--Γ=⎰，令积分号中的哑变量x nx →即可导出上式。

}可得{注4：111 1111x nxx x x n e ee e e -∞---==-==---∑ }现在考虑积分{注5：按现代数学记号，该积分应记成 1()1s x C x dx e ---⎰或（考虑到一般用z 表示复数）1()1s z C z dz e ---⎰，其中的积分路径C 如下面的图1所示。

}积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的正向边界进行。

{注6：参见下面的图1。

}图1 易得该积分的值为其中我们约定在多值函数中，log()x -的取值对于负的x 为实数。

、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。

np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。

黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。

一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。

可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。

黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。

“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。

黎曼猜想还跟幂律分布有关。

我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,...,n的整数，c为归一化常数，满足:p(l)+p(2)+...+p(n)=c^i~a=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。

黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。

有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。

目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。

黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。

黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题1. 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则( )A. B. C. D.2. 若，则实数x，y满足( )A. B. C. D.3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为( )A. B. C. D.4. 已知，则( )A. B. C. D. 65. 在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为素数即质数，，计算结果取整数( )A. 2172B. 4343C. 869D. 86866. 若的展开式中常数项为，则实数( )A. B. C. D. 27. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：，且，垂足为Q点.若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩均位于之内整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是( )A. 本次成绩不低于80分的人数的占比为B. 本次成绩低于70分的人数的占比为C. 估计本次成绩的平均分不高于85分D. 本次成绩位于的人数是其他人数的3倍10. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是( )A. BC与SDB. AB与SCC. SB与ADD. AC与SB11. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是( )A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象D. 函数在区间上的单调递减区间为12. 阿基米德公元前287年-公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是( )A. B.C. 点P的坐标为D.13. 在正项等比数列中，若，则_____.14. 写出一个同时满足下列条件①②的向量_____.①；②向量与的夹角15. 已知在正四面体中，，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为__________.16. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为_____.17. 如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，求BE，CE；若，求18. 《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜，冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票以频率作为概率求甲、乙两人投票方案不同的概率；若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期望.19. 已知数列满足求数列的通项公式；对任意的，令，求数列的前n项和20. 在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由．当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值．21. 已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．求双曲线C的方程．过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数讨论函数的单调性；若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全集、补集和子集的定义与应用问题，是基础题．根据全集、补集和子集的定义，即可得出M、N之间的关系，从而作出正确的判断．【解答】解：M，N是全集U的非空子集，且，所以，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数相等的充要条件，要求考生会进行复数的平方运算以及理解两个复数相等的充要条件，属于基础题.利用复数相等的概念即可求解.【解答】解：因为，所以，则，即实数x，y满足故选：3.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆台的体积，考查直观想象与数学运算的数学素养，属于基础题.根据圆台的体积公式计算即可.【解答】解：由题意，得圆台的体积为4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于较易题.先化简，再分子分母同时除以，转化为正切计算即可.【解答】解：由，则，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查获取信息、运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算的学科素养，突出了基础性、应用性的考查，要求考生运用所学对数的运算公式解答相关问题，属于基础题.由对数的运算得，再结合题意可得【解答】解：由题意可知：，由对数的性质可得：，即故选6.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，关键是利用展开式的通项公式，属于基础题.的展开式的通项为，令，得，故，解得a值.【解答】解：的展开式的通项为，令，得故，即，解得7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，属于基础题.设，由四边形为平行四边形，得到，最后根据椭圆的范围，即可求出离心率的范围.【解答】解：设，四边形为平行四边形，，，即，，即得，解得故离心率的范围为8.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和利用导数求最值，属于中档题.设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，得，构造，利用导数即可求解.【解答】解：设切点为，，曲线在切点处的切线的斜率为，切线方程为，整理得，所以令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，则的取值范围9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，考查获取信息解决实际问题，考查数据分析，属中档题.根据频率分布直方图解得a，逐项分析即可.【解答】解：本次成绩不低于80分的人数占比为，故A正确；因为，所以，即本次成绩低于70分的人数的占比为，故B正确；因为有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为85分，另有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为95分，剩余党员的平均成绩小于75分，所以估计本次成绩的平均分不高于85分，故C正确；成绩位于的频率为，因为，故D错误.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了异面直线的夹角，通过平移的方法求异面直线的夹角及利用判定定理证明异面直线垂直的应用.根据已知及线面垂直的判定，异面直线所成角的计算即可求得答案.【解答】解：对于A，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，则BC与SD所成角的大小为，故A正确，对于B，因为底面ABCD是正方形，所以，则AB与SC所成的角为，故B错误，对于C，因为，所以SB与AD所成的角为，由题知，所以，故C正确，对于D，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，因为ABCD是正方形，所以因为，平面SBD，平面SBD，所以平面SBD，所以，则AC与SB所成角的大小为，故D正确.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数图象的变换，了解函数中各参数对图象的影响，根据正弦函数与余弦函数的单调性与对称性逐一判断即可.【解答】解：根据函数的图象可知，当时，满足，则，即，因为，所以，对于A项，当时，，故函数的图象不关于直线对称，A项错误;对于B项，当时，，故函数的图象不关于点对称，B项错误;对于C项，因为，将其图象向左平移个单位长度可得函数的图象，故C项正确;对于D项，因为，所以，所以当，即时，单调递减，D项错误.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.联立抛物线与直线方程利用根与系数的关系可求得的值可判断A；求得直线PA和PB的斜率可得到直线PA和PB的方程可判断B；联立两直线方程可得到点P的坐标可判断C；由点P 和点F坐标可得到直线PF的斜率，由点A和点B坐标可得到直线AB的斜率，可判断【解答】解：设，，联立，可得，解得或，不妨设，，则，，故，，，A项正确;又因为，所以，故直线PA的斜率为，直线PA的方程为，即，同理可得直线PB的方程为，，所以，B项正确；联立可得，故点P的坐标为，C项错误；易知点F的坐标为，，所以，D项正确.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查等比数列性质的应用，注意对数运算法则的灵活运用，属于基础题.由等比数列的性质可得，由对数的运算可得要求的式子，代入计算对数的值即可．【解答】解：由题意可得故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的坐标运算，属于基础题.设，得到，令，求解即可.【解答】解：设，得到，令，联立，解得，或，取答案不唯一15.【答案】【解析】【分析】本题考查平面与球的截面问题，要求考生了解正四面体与球的特征，会根据空间中的垂直关系求出截面圆的直径.根据题目条件得到截面为圆，并得到直径AE的大小即可求解.【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，过点P作平面ABC于点E，由正四面体的特征可知，点E为AD上靠近点D的三等分点.因为PA为球O的直径，平面ABC，，所以平面ABC截球O所得截面的直径为因为，所以，故平面ABC截以PA为直径的球所得截面面积为16.【答案】【解析】【分析】本题考查根据不等式恒成立求参数范围，利用导数研究函数最值，数形结合的思想解决问题，属于较难题.将不等不等式进行转化为，利用导数法可证，再进行放缩，，可得答案.【解答】解：由可得，因为，所以令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，即当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号.在同一坐标标系中画出与的图象，如图所示，可知两函数在之间有一个交点，故存在，使得成立，故，故，即实数a的取值范围为故答案为17.【答案】解：在中，由正弦定理可得，，，由余弦定理可得，解得，，，又因为，，在中，由余弦定理可得，所以，因为，又因为，所以【解析】本题考查正弦定理和余弦定理.属于中档题.在中，由正弦定理可解得BE，再根据余弦定理解得CE；根据可得，在中，用余弦定理解得EA，再根据余弦定理可解得，根据，得出的结果.18.【答案】解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为的所有可能取值为3，4，5，6，因为，，所以X的分布列如下：X3456P所以【解析】本题以脱贫攻坚与乡村振兴为情境.要求考生运用所学独立事件的概率与离散型随机变量及其分布等必备知识解答相关问题.主要考查获取信息.运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算与数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.先计算出甲乙投票方案相同的概率，即可求出不相同的概率;得到X所有可能的取值，算出概率后列出分布列，即可求出数学期望.19.【答案】解：当时，当时，可得，所以，，当时，也符合，故；由知，当n为偶数时，当n为奇数时，所以【解析】本题考查数列的通项与分组求和，要求考生掌握求常见数列的通项的方法，能根据数列特征选取恰当的方法求和，属于常考题.分和两种情况求解即可；分类讨论n为偶数与奇数，分组求和即可.20.【答案】解：存在，且取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、，，四边形AHEF是平行四边形，又平面AFC，平面AFC，平面、G分别为AB、BC的中点，是的中位线，，平面AFC，平面AFC，平面又，HG、平面EHG，平面平面平面EHG，平面AFC；设，由，可得，以E为坐标原点，EB、EC、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知，，，，，，设平面AFC的法向量为，则令，得，，所以平面AFC的一个法向量为，设平面AFD的法向量为，则令，得，所以平面AFD的一个法向量为，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量求二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、EG，由平面AFC，平面AFC，可得平面平面AFC，又平面EHG，则平面AFC；建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值，即可得.21.【答案】解：由题意得，解得，所以双曲线C的方程为存在定值，使得，与同向，，，易知的斜率不为0，设：，由消去x整理得：，设，，由交双曲线C左右两支于A、B两点，有，即，则，，由于，可设：，由消去x整理得：，设，，，由此，，故存在定值，使得【解析】考查双曲线的标准方程及圆锥曲线中的探索性问题，属于较难题利用双曲线性质列出关于a和b的方程组，解该方程组，直接写出双曲线的方程；若存在定值，使得，则，设出的方程，分别与双曲线联立，用设而不求法表示出和，求出22.【答案】解：函数的定义域为，当时，，在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.，又，则令，即方程在上有解.令，，则，，则，当时，，在上单调递减，又，则在上恒成立，不合题意;当时，，令，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且，所以当时，当时，则时，，而令，则，令，，则在上单调递减，，则在上单调递减，，即，故存在，使得，故满足题意.综上所述，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中存在性问题以及参数的取值范围问题，分类讨论思想，考查逻辑推理能力，属于较难题．求导，通过分类讨论，解关于导函数的不等式即可求得单调区间；根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可．。

素数分布基本定理作者姓名：弯国强作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学E-mail ：632158@我们可以把自然数列按照某个自然数分段，并把这个分段记为T ，r T 表示第r 个分段。

例如：按照自然数3分段，就是每隔3个数分一段。

1，2，3；4，5，6；7，8，9；…………第1段为1，2，3记为1{1,2,3}T =，……第r 段记为{32,31,3}r T r r r =-- 按照自然数5分段，就是每隔5个数分一段。

1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；………… 第1段为1，2，3，4，5记为1{1,2,3,4,5}T =，……第r 段记为{54,53,52,51,5}r T r r r r r =----我们把第1分段中的全部质数叫基质数。

例如1{1,2,3}T =中的基质数为2，31{1,2,3,4,5}T =中的基质数为2，3，5定理：1设T 是自然数的任一分段，在()21n n + 内，分段r T 中基质数倍数的个数不大于分段1T 中基质数的倍数的个数。

证明：设1{1,2,3,,}T n = ，12,,m p p p 是1T 中的基质数。

集合{1,2i A p i m == 质数的倍数,｝，1A T ⊂，那么由容斥定理我们可以得到，A 中元素的个数为()1111m m m m mi i j i j k i i j i j k i i n n n n p p p p p p p -=<<<=⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑∏ 集合{1,2i B p i m == 质数的倍数,｝，r B T ⊂，设B 中元素的个数为S B 中元素的个数最多为m S当m n p ≠时，由于 12,,m p p p 是不超过n 的所有质数，所以n 至少能被12,,m p p p 之一整除，否则n 为质数，这与m p 是n 中最大的质数矛盾。

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想(前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想,后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想)：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；【哥德巴赫人物】出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。

1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。

来源1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。

他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成 257+199+5，仍然是三个素数之和。

这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。

"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。

但是他也给不出严格的证明。

同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。

事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。

若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数 2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

很多人如果对高等数学和复变函数没有一点儿概念的话，说起黎曼猜想，估计只是认识这几个字而已。

那么，这个黎曼猜想到底说了些什么呢？证明过程肯定很复杂的，我们就先不管它了，至于黎曼猜想的内容原来是这样的。

在自然数序列中，质数（素数）的概念，是小学生都能够理解的，数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。

4，6，8，9等等都不是质数。

由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。

质数的特性，让数学界历来都为它们迷恋不已。

但是质数是没有规律可循的，最早用数学表达式来表达质数的普遍规律，还是瑞士的天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。

在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。

这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。

在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。

其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。

出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。

在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

就是数学界在一百多年前，在研究质数的过程中，黎曼定义出来的黎曼Zeta函数，就是黎曼猜想的主要内容。

现在关键的问题，是当时黎曼认为很显然的定理，没有证明，出现了类似费马猜想的乌龙，让整个数学界前赴后继，却不能证明，但是他们延伸出来的应用，已经遍布整个科学体系的方方面面了。