论小于给定数值的素数个数

《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。

素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。

公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。

哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

首先证明素数公式。

定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。

我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。

我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。

设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。

我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。

对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。

由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。

我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。

显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。

我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。

若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。

现在我们来估计T(m)的上界。

对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。

所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。

由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。

所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。

当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。

所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。

素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。

Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。

当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。

由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。

引理证毕。

定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。

证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。

论小于的素数个数小于n的素数个数记为π(n)，本文将探讨π(n)与n的关系，证明π(n)可近似表示为n/ln(n)。

首先，我们可以利用欧拉筛法求出小于n的所有素数，时间复杂度为O(nloglogn)。

然后，我们考虑使用数学归纳法证明π(n)≈n/ln(n)。

当n=2时，π(2)=1，n/ln(n)=2/ln(2)≈1.44，显然两者相差很大。

但是当n=3时，π(3)=2，n/ln(n)≈1.82，两者的误差已经比较小了。

接下来我们假设当n=k时，π(k)≈k/ln(k)成立，现在要证明当n=k+1时，π(k+1)≈(k+1)/ln(k+1)也成立。

设小于k的素数集合为{p1, p2, ..., pm}，则小于等于k+1的素数集合为{p1, p2, ..., pm, pk+1}。

如果pk+1是k+1的质因子，则k+1=pk+1*q，其中q<=k，因为如果q>k，则k+1>pk+1*k>k，与假设矛盾。

因此，q的范围为[1, k]，即pk+1在{p1, p2, ..., pm}中是新的素数。

根据数学归纳法假设，小于等于k的素数个数为k/ln(k)左右，因此小于等于pk+1的素数个数为pk+1/ln(pk+1)左右。

因此，小于等于k+1的素数个数为π(k+1)≈π(k)+pk+1/ln(pk+1)≈k/ln(k)+pk+1/ln(pk+1)。

我们注意到，ln(pk+1)>=ln(k+1)>=ln(k)，因此pk+1/ln(pk+1)<=1/ln(k)，那么π(k+1)≈k/ln(k)+pk+1/ln(pk+1)<=k/ln(k)+1/ln(k)=(k+1)/ln(k+1)。

同理，我们可以证明π(k+1)>=k/ln(k)+pk+1/ln(k+1)>=k/ln(k)+1/ln(k)=(k+1)/ln(k+1)，因此π(k+1)≈(k+1)/ln(k+1)。

黎曼：一个使理论物理学熠熠生辉的数学大师2009年第6期物理通报物理学史与教育黎曼:一个使理论物理学熠熠生辉的数学大师程民治朱爱国(巢湖学院物理与电子科学系安徽巢湖238000)弗里德里希?伯恩哈德?黎曼(G.F.B.Riemann,1826～1866)是l9世纪时期德国着名的数学家.虽然他的一生由于短暂而着述不多,但篇篇都至关重要.如1854年的就职演说是n维流形和黎曼空问的经典;1857年关于阿贝尔函数的论文,使阿贝尔函数理论得到了系统的表述;1858年关于素数分布的论文则是解析数论的先驱,其中的黎曼猜想更是数学史上脍炙人口的精品.黎曼将微分方程卓有成效地运用于解决物理问题,既使理论物理熠熠生辉,又为微分方程充实了内容;尤其是黎曼非欧几何学的思想精髓,正好符合了现代物理学发展的需要,并表现出无穷的魅力.凡此种种,雄辩地验证了黎曼的思想具有多方面的决定性影响.现对黎曼短暂而辉煌的科学人生,作如下论述.1初生之犊不畏虎黎曼于1826年9月17Et,诞生在德国丹内恩堡附近的布雷塞伦茨(Breselenz)的一个基督教的牧师家庭.1846年春,黎曼考人了哥廷根大学,按照父亲的旨意,起初攻读神学和语言学.但鉴于对数学的痴迷,他不时地抽空去昕大名鼎鼎的数学家高斯(Gauss)的课,而且越听越带劲,还经常萌发出一些新颖的思想.后经得父亲的应允,黎曼改读数学. 1851年l2月16日,智力超群的黎曼,居然仅用几个月的时间完成论文——《复变函数的般理论的基础》,并顺利地通过答辩,取得了博士学位.这篇里程碑式的文章,不仅开创了复变函数的几何理论的新方向,而且为推进拓扑学的发展产生了积极的影响.1854年6月10日,28岁的黎曼,在哥廷根大学面对数学大师高斯,宣读了他的论文《关于作为几何学基础的假设》.当时他虽拘谨,但胸有成竹,毫无难色.其论文所阐述的新思想表明,黎曼在很多方面是一52对高斯所开创的近代微分几何工作的继续和发展, 是当时高斯曾经想做而没有做成的_】j.作为那个时代微分几何的最高权威高斯,怀着异常激动的心情听完了黎曼的讲演,感到十分困惑和震惊,并充分肯定了黎曼这一系列精湛而深刻的创造.这表明黎曼完全达到了一个讲师的标准,而且还预示着哥廷根的一个更加辉煌而灿烂的新时期即将到来.2跻身数学家之列1854年,黎曼在哥廷根大学获得无薪讲师职位后首次开课.第一门课程是"偏微分方程在物理学上的应用",讲述的是他前几年在数学物理上的一些主要成果.第二年,他开设的课程是当时全新的关于阿贝尔函数的着名理论,这一理论显示了黎曼继1851 年提出博士论文之后,在复函数方面又有了新的重大建树.其中最杰出的创造是黎曼面的概念.在他于1857年发表的关于阿贝尔函数的论文中阐述得更加完整和清晰.正是黎曼面这一数学工具的发明,使得处理多值函数的困难迎刃而解,从而进一步加深了人们对阿贝尔积分与阿贝尔函数的认识.在这一个分支上,黎曼的贡献除了给出阿贝尔积分的分类,揭示了黎曼面上能够存在的函数的种类,证明了代数函数可以用超越函数的和来表示之外,更重要的是对雅克比反演问题的研究.这表明黎曼不仅有深刻的揭示概念的能力,而且亦精通算法.黎曼还十分得心应手地运用"狄里克雷原理",处理了他的复函数理论,其中最满意的一个应用是证明了由他提出的"黎曼映照定理".尽管他的证明并不十分严格,但是不仅保形映照的一些特殊结果被得到了,而且黎曼很自然地将由高斯建立的从Z 平面到∞平面的保形映照,推广到了黎曼面上,这就为保形映照理论开辟了新的篇章.1857年,黎曼把他从1855至1856学年的讲义加以充实和完善,撰写成2009年第6期物理通报物理学史与教育4篇学术论文,发表在德国的《数学杂志》上.虽然在19世纪50年代末60年代初,由于"狄里克雷原理"受到过少数数学家和物理学家的质疑,而使黎曼的许多重要成果尤其是他的非欧几何受到了很大的挑战.如韦尔(H.Wey1)在《引力与电力》一文中宣称:"黎曼几何仍然包含着远程几何的最后一个元素——在我看来,这没有任何客观的依据;这只能归咎于它与曲面理论的渊源关系."但数年后, 经过彭加勒(Poincar6)和希尔伯特(Hilbert)等着名数学家的出色工作,很快彻底扭转了这一局面.随着"狄里克雷原理"的复兴,黎曼的成果及其所用的方法很自然地被置于无可辩驳的地位.其中特别是大数学家克莱因(F.Klein),他不仅一如既往地青睐黎曼在复函数上所取得的杰出成就,在黎曼的成果经受考验的时候,克莱因则逆潮流而动,率先在复函数上光复黎曼的几何方法.而且坦率地承认自己的许多工作是在黎曼的基础上获得的.如他宣称在自己的成果中,既可以说爱尔朗根纲要是黎曼流形和伽罗瓦群的融合,也可以说自守函数是黎曼面和伽罗瓦群的交融,而以单值化定理为定点的关于函数论的研究则更是黎曼思想的直接结果.1892年,克莱因还出版了一本专门阐述黎曼思想的小册子,受到了数学界同仁的广泛赞赏.在继复函数理论和黎曼几何之后,数论是黎曼在数学研究中所开创的第三个领域.即他试图利用复数z的∈函数去证明素数定理.虽然这与前面的工作相比较,黎曼在数论上花的精力要小些,但其贡献却同样是伟大而令人叹为观止的.1859年,黎曼发表了他最后一篇着名论文《论小于给定数的素数的个数》.此后,黎曼以非凡睿智才思,提出了5个以他的名字命名,一直吸引着世界各国的数学家为之孜孜以求的猜想.因为黎曼猜想是世界着名的数学难题,它的解决意义十分重大.在举世闻名的希尔伯特23个问题中,黎曼猜想被列为第8个问题,希尔伯特称它为"极重要的黎曼命题"…. 根据希尔伯特的推测,对黎曼猜想和黎曼素数公式进行彻底讨论之后,我们或许就能够去严格解决歌德巴赫(Goldbach)问题,即是否每个偶数都能表为两个素数之和,并且能够进一步着手解决是否存在无限多对差为2的素数问题,甚至能够解决更一般的问题,即线性丢番都方程o++C=0(具有给定的互素整系数)是否总有素数解和Y.黎曼猜想虽然至今未能解决;但是近一个半世纪以来,通过数学家们的顽强努力,还是取得了不少进展.此外,上文所提及的黎曼于1853年底至1854年初所完成的论文《论傅里叶级数》,是黎曼在分析领域所树立起的一面旗帜.其中"黎曼和","黎曼积分","黎曼函数","黎曼方程","黎曼公式"等,都显示了这位现代数学的开拓者对分析学的深刻影响. 鉴于黎曼在数学领域所作出的卓越贡献,狄里克雷于1859年去世后,黎曼晋升为教授.从此,继高斯,狄里克雷之后,黎曼成为哥廷根大学的代表人物.黎曼以其独特的创造性工作开辟了数学发展的新时代,同时保持了德国的数学大国地位,使哥廷根继柏林之后成为世界数学的中心,黎曼也为处于克莱因～希尔伯特时代的哥廷根的再度辉煌,奠定了坚定的基础.由此可见,"黎曼为继承和发展哥廷根传统起到了承上启下的作用."j3黎曼几何的魅力如前所述,1854年6月10日,黎曼曾以《关于作为几何基础的假设》的论文,相当出色地通过了答辩,获得了哥廷根大学讲师的资格.当时这篇惊世之作之所以引起了高斯的密切关注和充分认可,是它继承和发展了高斯所开创的微分几何学,即该论文提出了我们今天所说的黎曼几何.后经另外几位数学家的相继潜心研究,使黎曼几何的理论体系日趋成熟,完善和完美.其简要发展历程是:首先,是由黎曼从长度元表示式ds=∑d.=1出发,定义了"n维流形",即n维弯曲空间的概念,并解决了如何确定n维流形的曲率的方法.其次,在黎曼的影响下,克里斯托菲(E.B.Christoffe1)研究了长度元不变量在坐标变换下的性质,特别是他引入了着名的克里斯托菲符号,使黎曼曲率的表述大为简化;另一方面,对黎曼几何中出现的诸如长度元, 曲率这些对任意坐标变换保持不变量的研究,又引导里奇(G.Rieci—Curbastro)提出了广义张量的概念,并于1892年定义了张量的一般运算和协变微分的规则(他称之为"绝对微分",意指与坐标的选择无关).然后是在1901年,里奇和他的学生勒维一契维一53—2009年第6期物理通报物理学史与教育塔(T.Levi—Civita)合作发表了《绝对微分法及其应用》一文,系统地阐述了张量分析的完备理论.至此,黎曼几何的发展告一段落.正是这种新的几何学——黎曼非欧几何学,12年后帮助爱因斯坦在构建广义相对论的过程中取得成功.爱因斯坦晚年在回首往事时,曾十分感激地说: "上面所提出的数学问题早已专门由黎曼,里奇和勒维一契维塔解决了,全部发展是同高斯的曲面理论有关的,在这理论中第一次系统地使用了广义坐标系,黎曼的贡献最大."4并非纯粹数学家上述可见,黎曼是一位业绩卓着的纯粹数学家.然而耐人寻味的是,他自己却认为,他对物理学的兴趣远大于数学.关于这个问题,在克莱因看来,"两者不矛盾——兴趣在物理学,成果则出在数学."事实正是如此:黎曼当年在哥廷根大学就读时,不仅听取了韦伯在物理研究班所讲授的全部课程,甚至为该讨论班中的实验还耽误了他博士论文写作的进度,而且后来他留校工作时,还当过韦伯的助手,上过物理学课.实际上黎曼以他在物理学上取得的系列成果,佐证了他不仅是一个纯粹的数学家.其一,他于1854年所作的关于讲师的就职演说中曾预言:或者现实的空间是离散的流形,或者在作用于流形的束缚力作用下,必须在流形之外寻找决定度量关系的基础I.很明显,黎曼已经认识到必须把物质,力和空间结合起来研究,质量的分布会影响到物理空间的儿何l3j.这个观点后来又被克利福德(W.K.Clifford)所发展.正因为黎曼几何中所蕴涵的这些闪光的思想,影响了爱因斯坦广义相对论的形成.其二,黎曼写过一些关于热,光,磁,气体理论,流体力学及声学方面的有关论文.他不仅先于麦克斯韦发现电磁过程是以一定速度传播的,从而否定了超距作用的错误结论,而且是率先对冲击波作数学处理的人.在声学方面,一个最重要的贡献是1860 年黎曼的一篇关于声波的论文,在该文中他研究了在压力P依赖于密度f.的情况下声波的无穷小振幅.声波方面的数学化工作又导致了双曲微分方程的一般理论.1861年,黎曼研究了在一个变化着的椭球面内的液体在自身重力作用下的运动,与此相关的一个经典性成果是,他处理了在赤道的干扰下,绕着主轴旋转的椭球的稳定性.黎曼还试图将引力与光统一起来,"将各种作用力统一也是黎曼构造无穷小几何的物理原因"l4j.他论述研究了人耳的数学结构.其三,黎曼在将物理问题抽象出常微分方程,偏微分方程方面所进行的定性研究成果颇丰.他在1858～1859年的论文中,创造性地提出了求解波动方程初值问题的新方法,使对许多复杂的物理学问题的处理大为简化.他还推广了格林定理,并对关于微分方程解的存在性的狄里克雷原理做了一些创造性的发展工作.今天,黎曼几何依然不失昔日的魅力,如今人们将其作为寻求统一场论的数学工具.虽然物理学家离最终的统一理论还有相当远的距离,但他们的创造热情有增无减.足见,将物理问题数学化,是黎曼在物理学领域最为突出的主要贡献.因此,这也就不难理解克莱因说黎曼是"兴趣在物理学,成果则出在数学"这句话的意思了.此外,他还出版过几本数学物理方面的书,如《偏微分方程及其在物理问题上的应用》,《重力,电学和磁学》.前一本书是历史名着,深得物理学家的青睐.1866年6月16日,黎曼因患了胸膜炎经医治无效而悄然去世,享年39岁,犹如一颗耀眼的流星划过天际.但他极其敏锐而深刻的科学洞察力,以及显赫的业绩却令人惊叹不已.我们在为黎曼的英年早逝深表惋惜的同时,还能从他辉煌的科学人生中,获得哪些有益的启示呢?参考文献1袁小明.黎曼——现代数学的开拓者.自然辩证法通讯. 1989,l1(6):57—682克莱因着.朱学贤,叶其孝,等译.古今数学思想(第3 册).上海:上海科学技术出版社,2003,1353MaurinK.TheRiemanLegacy:RiemannianIdeasin MathematicsandPhysics.Dortrecht,Boston:Kluwer AcademicPublishers,1997.XIV4邓明立.阎晨光.黎曼的几何恩想萌芽.自然科学史研究,2006,25(1):66～75。

论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注Email:**************承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。

我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点：11 1 s s p n -=-∑∏其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。

{注1： 即定义复变函数11()1s s s n pζ-==-∑∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。

{注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。

}利用等式{注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10()s x s x e dx ∞--Γ=⎰，令积分号中的哑变量x nx →即可导出上式。

}可得{注4：111 1111x nxx x x n e ee e e -∞---==-==---∑ }现在考虑积分{注5：按现代数学记号，该积分应记成 1()1s x C x dx e ---⎰或（考虑到一般用z 表示复数）1()1s z C z dz e ---⎰，其中的积分路径C 如下面的图1所示。

}积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的正向边界进行。

{注6：参见下面的图1。

}图1 易得该积分的值为其中我们约定在多值函数中，log()x -的取值对于负的x 为实数。

、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。

np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。

黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。

一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。

可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。

黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。

“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。

黎曼猜想还跟幂律分布有关。

我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,...,n的整数，c为归一化常数，满足:p(l)+p(2)+...+p(n)=c^i~a=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。

黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。

有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。

目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。

黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。

黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。

数论中的素数分布定理证明素数是数论中非常重要的概念，它们在数学和密码学等领域有着广泛应用。

素数分布定理是数论中一个重要的结论，它描述了素数在自然数中的分布规律。

本文将通过数学推导，对素数分布定理进行证明。

I. 引言素数是只能被1和自身整除的自然数。

它们是数论中的基本要素，对于整数的因子分解、素因子分解以及算术运算等方面有着重要作用。

素数的分布规律一直是数学家们感兴趣的问题，而素数分布定理则给出了一个近似的描述。

II. 素数分布定理素数分布定理描述了对于给定的自然数n，小于等于n的素数个数π(n)与n的比值的极限为1，即：lim (π(n) / (n / ln(n))) = 1n→∞其中ln(n)是自然对数函数。

这个定理意味着随着自然数n的增加，小于等于n的素数的个数与n的比值逐渐趋近于1。

III. 素数分布定理证明要证明素数分布定理，我们需要引入数论中的一些重要引理和定理。

1. 罗素函数引理罗素函数R(n)定义为小于等于n且与n互质的正整数的个数，即R(n) = π(n)。

根据罗素函数引理，我们有：R(n) = n * Π (1 - 1/p)p | n其中p为n的素因子。

由此，我们可以得到：π(n) = n / Π (1 - 1/p)p | n2. 欧拉定理欧拉定理是数论中一个重要的定理，它描述了对于互质的正整数a 和n，a的欧拉函数值与n满足以下关系：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数个数，也称为欧拉函数。

3. 对数积分数学中存在自然对数函数ln(x)的积分形式表示，称为对数积分。

对数积分定义为：Li(x) = ∫ (1 / ln(t)) dtt = 2 to x根据以上引理和定理，我们可以进行素数分布定理的证明。

IV. 素数分布定理证明步骤1. 首先，我们定义一个新的函数J(x) = ∫ (π(t) / t) dt，其中t从2到x。

这个函数的作用是表示小于等于x的正整数中素数的个数。

素数漫谈——兼谈最大的素数素数是具有这样性质的大于1的正整数P。

除了1和自身P 以外，再找不到其他小于他的正数能整除它。

我们在小学时就知道小于10的素数有：2，3，5，7这四个素数。

在这之后，小于20的素数有：11，13，17，19四个。

在这之后小于30的素数有：23，29两个。

如果你试试找在这之后到40之间的素数，你发现共有两个，它们是：31，37。

你如果看以上的实际例子，你可能会猜想每十个整数间隔，会有两个或四个的素数出现。

让我们看看你的猜想是否正确？从40到50之间我们有：41，43，47三个素数！哎呀！我们的猜想是错了。

实际上，我们是可能找到十个整数间隔，没有一个数是素数。

素数的分布是杂乱无章，像是没有规律可寻，可是数学家却发现它们有许多奇妙的性质。

2500百多年前，希腊有一个叫欧几里得的数学家发现了在正整数的集合里素数的个数是有无穷多。

在他的著名的著作《几何原本》一书里，他证明了算术基本原理：“任何自然数都能唯一的表示成为素数的乘积。

”例如4=2×2，6=2×3，9=3×3，18=2×3×3，10005= 3×5×23×29．因此对于自然数以及乘法运算来说：素数是建立自然数的基本成分，它是不能再分解的最小的基本粒子。

两千多年来，有无数喜欢探索数字世界奥秘的数学家竟为素数而折腰。

我们这里就说古道今，讲一点这方面的故事和最近的一些新结果。

首先我们看小于10的三个素数：3，5，7后面的数和前面的数相差为2，因此我们可以这样写：5=3＋2，7=5＋2=3＋2 ＋2=3＋2×2，我们说3，5，7组成一个等差级数，它们的公差是2，首项是3。

现在请看另外一大串的素数：7，37，67，97，127，157，这是以首项为7，公差为30的等差级数，如果用T表示第n 项，我们可以用公式T=30n-23来表示。

我们再看另外一串的由素数组成的等差级数：199，409，619，829，1039，1249，1459，1669，1879，2089。

欧拉筛选素数法c++全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉筛选素数法是一种高效的算法，用于在一定范围内快速筛选出所有的素数。

它是由瑞士数学家欧拉所提出的，因此得名欧拉筛选素数法。

在本篇文章中，我们将介绍欧拉筛选素数法的原理和实现方法，并附上一个简单的C++代码示例。

欧拉筛选素数法的原理是利用筛法的思想，从2开始不断地筛选掉合数，最终剩下的就是素数。

相比传统的试除法，欧拉筛选素数法在复杂度上有着明显的优势，可以更快地找到素数。

下面是欧拉筛选素数法的具体步骤：1. 初始化一个bool类型的数组prime[]，全部初始化为true。

2. 从2开始遍历到n，如果prime[i]为true，则将i的所有倍数i*j （其中j>=2）标记为false。

3. 遍历完毕后，prime[i]为true的i就是素数。

接下来，我们将通过一个简单的C++代码示例来演示欧拉筛选素数法的实现：```cpp#include <iostream>#include <vector>using namespace std;void eulerSieve(int n) {vector<bool> prime(n+1, true);for(int i=2; i<=n; i++) {if(prime[i]) {cout << i << " ";for(int j=2; i*j<=n; j++) {prime[i*j] = false;}}}}欧拉筛选素数法的时间复杂度为O(nloglogn)，具有很高的效率。

在需要求解一定范围内的素数时，欧拉筛选素数法是一个很好的选择。

欧拉筛选素数法是一种简单而高效的算法，可以在较短的时间内找到指定范围内的素数。

通过本文的介绍和示例代码，相信读者对欧拉筛选素数法有了更深入的了解，并可以在实际应用中灵活运用。

关于质数（素数）的知识和有关算法（资料来源：维基百科）素数定义：素数(Prime Number)，亦称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其它自然数整除的数。

换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。

比1大但不是素数的数称为合数。

1和0既非素数也非合数。

素数在数论中有着很重要的地位。

关于素数：最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其它素数都是奇数（单数）。

素数有无限多个，所以不存在最大的素数。

围绕着素数存在很多数学问题、数学猜想和数学定理。

著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。

素数序列的开头是这样：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113………………素数集合有时表示成粗体。

在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。

换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。

但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。

算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。

因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。

例如：素数的数目素数有无穷多个。

现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的。

该证明方法如下：假设素数有限。

把所有这些有限的素数相乘以后加1，可以得到一个数。

这个数无法被那些有限的素数里的任何一个整除：因为无论被哪一个素数除，总有余数1。

如果该数为素数，则根据假设，它不在那些假设的素数集合中。

如果该数为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而一开始假设的那些素数都不能整除该合数，所以该合数分解得到的素因子肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其它素数。

对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。

江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{21},{2,1,0 ,1}M xx N =-<≤=--∣， 则M N =I （ ） A ．{}1,1- B ．{}2,1,0-- C ．{}1,0,1- D ．{}1,2,0,1--2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥D ．x R ∀∉，210x x ++≥3．若0,0,23a b a b >>+=，则36a b+的最小值为（ ）A ．9B ．18C ．24D ．274．已知函数()f x 的值域为[]2,3-，则函数()2f x -的值域为 A ．[]4,1-B ．[]0,5C ．[][]4,10,5-⋃D ．[]2,3-5．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当0x →时，1x e x -的极限即为0型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：()00011lim lim lim 11x x xx x x e e e x x →→→'--==='，则2311lim ln x x x x →-=（ ） A ．0B ．12C ．1D ．26．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（ ）（素数即质数，lge 0.43≈，计算结果取整数） A ．1079B ．1075C ．434D ．25007．已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ）A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）8．1.()f x 是在[]0,1上的连续函数,设11nn k k k A f f n n =-⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,则（ ）. A ．2n n A A ≤ B ．n n m A A +≤ C ．22n n A A ≤ D ．2n n m A A +≤.二、多选题9．已知函数()32142f x x x x =+-，则（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 的极小值为1D ．()f x 在[]0,2上的最大值为210．下列命题正确的有（ ）A ．函数()2f x 定义域为[2,2]-，则()2f x 的定义域为[2,2]-B ．函数())lnf x x =是奇函数C ．已知函数()|lg |f x x k =-存在两个零点12,x x ，则12x x k =D ．函数()1f x x x=+在(0,)+∞上为增函数 11．已知0,0,21x y x y >>+=，则（ ）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为 1-D ．22221x y x y +++的最小值为16三、填空题12．x ∀∈R ，函数()3234f x x ax ax =+++没有极值的充要条件为．13．已知函数()()2lg 12f x x ax =-+在[]13,-上单调递减，则实数a 的取值范围是． 14．设集合{}|,nS x x n n ++=∈=∈R N 则集合S 中最小的元素是，集合S 中最大的元素是．四、解答题15．已知集合()()2{|2310},{|10}.P x x x Q x x a x a =-+≤=---≤（1）若1a =，求P Q ⋂；（2）若x P ∈是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围.16．已知函数()218f x ax bx =++，()0f x >的解集为()3,2-．（1）求f (x )的解析式； （2）当1x >-时，求()211f x y x -=+的最大值． 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,222AB DC AB BC CD ===，60,,1ABD PB AD PB PD ∠=︒⊥==.(1)求点P 到平面ABCD 的距离；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使得平面DBF 与平面PBC 夹角的余弦值为15若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.18．已知函数()2x f x =，若点00(,)P x y 在()y f x =的图像上运动，则点00(1,21)Q y x ++在()y g x =的图象上运动（1）求()()()F x f x f x =+-的最小值，及相应的x 值（2）求函数()y g x =的解析式，指出其定义域D ，判断并证明()()()G x f x g x =+在D 上的单调性（3）在函数()y f x =和()y g x =的图象上是否分别存在点A B 、关于直线1y x =-对称，若存在，求出点A B 、的坐标；若不存在，请说明理由19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()()()00,00,f R f R '='=()()()()()()00,,00m n m n f R fR ++=⋅⋅⋅=''''.（注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()(),f x f x ''''⎡'⎤⎣⎦'=()()()()()()()()()454,,,n f x f x f x f x f x ''⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⋅⎣⎦''⎣⎦为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1mxg x nx=+. (1)求实数,m n 的值；(2)证明：当0x ≥时，()()f x g x ≥； (3)设a 为实数，讨论方程()()02af xg x -=的解的个数.。

七大数学难题之黎曼猜想
黎曼猜想是对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼ζ 函数的非平凡零点的猜想。

关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。

而这条被猜测为包含黎曼ζ 函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。

黎曼猜想，是由一位名叫黎曼(Bernhard Riemann) 的数学家提出的，那位数学家于1826 年出生在如今属于德国，当时属于汉诺威王国(Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯伦茨(Breselenz) 的小镇。

1859 年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。

作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。

那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

有意思的是，黎曼那篇论文的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。

而要命的是，“证明从略”原本是该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。