高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

数列综合时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】C【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q－1＝0，解得q ＝1± 2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2a 7＋a 8a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2 D.12【答案】C【解析】 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织布的尺数是( )A.12 B.815 C.1631D.1629【答案】D【解析】 由题意知，a 1＝5，n ＝30，S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629.4．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年【答案】C【解析】 令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f (1)＝12×1×2×3＝3(吨)；第n (n ＝2,3，…)年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)·n ·(2n －1)＝3n 2(吨)．令3n 2≤150，则结合题意可得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，即生产期限最长为7年． 6．数列{a n }的通项a n ＝n 2cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4,7，…， S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n 等于________． 【答案】 2n ＋1－2【解析】 y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ＝－n ·2n －1－2n .∴切线方程为y ＋2n＝(－n ·2n －1－2n)(x －2)，令x ＝0，得y ＝(n ＋1)·2n，即a n ＝(n ＋1)·2n.∴a nn ＋1＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________． 【答案】 13【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13.9．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】 －1n【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.10．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________. 【答案】 4【解析】由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋cn2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，∴S 2nS n ＝2n c 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd，∴当d ＝4时，S 2nS n＝4.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．(2015·山东高考)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.① 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.② 由①②解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝－4n1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋n －n ＋19.12.已知数列{a n }的首项为a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，f ′(x )是函数f (x )的导函数，令b n ＝f ′(1)，求数列{b n }的通项公式；(3)若b n ＜30成立，试求n 的最大值． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：数列{a n }中，∵S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴S n ＝2S n －1＋n ＋4，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1＝11，∴a 2＋1＝12，a 1＋1＝6， ∴{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n，∴a n ＝3×2n－1，又∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1，f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1)＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n )， 令S ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n， 则2S ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，作差得S ＝(n －1)×2n ＋1＋2，∴b n ＝f ′(1)＝3(n －1)×2n ＋1－n n ＋2＋6.(3)∵当n ∈N *时，b n ＋1－b n ＝(n ＋1)(3×2n ＋1－1)＞0，∴{b n }为递增数列，又∵b 1＝5，b 2＝27，b 3＝96， ∴使b n <30成立，n 的最大值为2.。

高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其n 前项和，若4511a a +=，则8S =（ ） A ．36B ．40C ．44D ．472．8，2的等差中项是（ ） A ．±5B ．±4C ．5D ．43．已知等比数列{}n a 中，3464,32a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（ ） A ．{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 B ．{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 C ．{}n a 有最小项，{}n S 有最大项D ．{}n a 有最小项，{}n S 有最小项6．数列{}n a 满足：12a =，()111n n a a +-=，n S 是{}n a 的前n 项和，则2021S =（ ） A ．4042 B ．2021 C ．20232D ．202127．在等差数列{}n a 中，若6a ，7a 是方程2320x x ++=的两根，则{}n a 的前12项的和为（ ） A ．6B ．18C ．-18D ．-68．早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为{}n a ，则20212020a a -=（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．20249．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，若35<<k a ，则k =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．等比数列{}n b 的前n 项之积为n T ，若456b b b =，则5T =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．数列{}n a 满足1a m =，2212114,4(2)2,4n n n n n a n a n a a n ---⎧<=≥⎨≥⎩，若{}n a 为等比数列，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,9]B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[2,9]D ．[18,)+∞12．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a ++++=，设()12n n n n b a a a n *++=∈N ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值组成的集合为______．14．已知数列{}n a 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，n S 为其前n 项和，定义()21n n b a =+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若30301,51S T =-=，则数列{}n a 的前30项中0的个数为_______个．15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1212222016,log log log n n n a a a a a +⋅=+++=______．16．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若131n n S a -=⋅+（*n N ∈），则a =______．17．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.三、解答题18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. （1）求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；（2）分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； （3）{S n }有多少项大于零？19．已知等差数列{}n a 满足37a =，616a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若当2n ≥时，113n n b b a -=，且13b =，求使0n b >的最大正整数n 的值．20．设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列，已知19a =，且n a 满足关系式：19n n a a ++=+*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）若99n n b a n=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知1055S =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn S b n=，求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.22．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n *∈N ，且2a ，5a ，14a 构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知d q =，111a b +=，221a b +=，431a b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（3）求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，22=,n n n S a a n N *+∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记22n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*21()n n S a n =-∈N ，数列{}n b 满足*1(1)(1)()n n nb n b n n n N +-+=+∈，且11b =．（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若12214(1)(1)(32log )(32log )n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）若n n d a ={}n d的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围。

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列满足：且.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证:时，且【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由令，然后用迭加法求出数列的通项公式，最后求数列的通项公式；（2）由（1）知，写出及并化简，利用函数的思想解决与数列有关的不等式问题.解:（1）易知:,令得,若,则当时,也满足上式,故所以 6分（2）易知：8分先证不等式时,令,则∴在上单调递减,即同理:令,则∴在上单调递增,即,得证.取,得,所以14分【考点】1、数列的递推公式；2、函数思想在数列综合问题中的应用.2.已知数列，满足，，，数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）求证：当时，．【答案】（1），（2）详见解析，（3）详见解析.【解析】（1）求数列的通项公式，需先探究数列的递推关系，由，得，代入，得，∴，从而有，∵，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即.（2）∵，∴，，∴.（3）∵，∴.由（2）知，∴∵，所以解：（1）由，得，代入，得，∴，从而有，∵，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即.（2）∵，∴，，，∴.（3）∵，∴.由（2）知，∵，∴.【考点】求数列通项，数列不等式，已知，且对一切都3.设各项均为正数的数列的前n项和为Sn成立．（1）若λ=1，求数列的通项公式；（2）求λ的值，使数列是等差数列．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)本题已知条件是，我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式，变形为，这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得，又，这个式子可化简为，这样就变成我们熟悉的已知条件，已知解法了；(2)这种类型问题，一种方法是从特殊到一般的方法，可由成等差数列，求出，然后把代入已知等式，得，，这个等式比第(1)题难度大点，把化为，有当n≥2时，，整理，得，特别是可变形为，这样与第(1)处理方法相同，可得，即，从而说不得是等差数列．试题解析：（1）若λ=1，则，．又∵，∴， 2分∴，化简，得．① 4分∴当时，．②②-①，得，∴（）． 6分∵当n=1时，，∴n=1时上式也成立，∴数列{an }是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n-1（）． 8分（2）令n=1，得．令n=2，得． 10分要使数列是等差数列，必须有，解得λ=0． 11分当λ=0时，，且．当n≥2时，，整理，得，， 13分从而，化简，得，所以． 15分综上所述，（），所以λ=0时，数列是等差数列． 16分【考点】递推公式，累乘法，与的关系，等差数列．4.已知数列中,,,,则= .【答案】1306【解析】，，∴，所以=【考点】数列求和。

2021年高考数学一轮精选练习：34《数列的综合应用》一、选择题1.已知数列{a n }为等差数列，且满足OA →=a 3OB →＋a 2 015OC →，其中点A ，B ，C 在一条直线上，点O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017的值为( ) A.2 0172 B.2 017 C.2 018 D.2 0152.某制药厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)=13(n ＋1)(n ＋2)(2n ＋3)吨，但如果年产量超过130吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A.5年B.6年C.7年D.8年3.定义：若数列{a n }对任意的正整数n ，都有|a n ＋1|＋|a n |=d(d 为常数)，则称{a n }为“绝对和数列”，d 叫作“绝对公和”.在“绝对和数列”{a n }中，a 1=2，绝对公和为3，则其前2 017项的和S 2 017的最小值为( )A.－2 017B.－3 014C.－3 022D.3 0324.设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2 015a 2 016＞1，a 2 015－1a 2 016－1＜0.给出下列结论： (1)0＜q ＜1；(2)a 2 015a 2 017－1＞0；(3)T 2 016的值是T n 中最大的；(4)使T n ＞1成立的最大自然数等于4 030. 其中正确的结论为( )A.(1)(3)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1，a n ＞0，a 2n ＋1=4S n ＋4n ＋1(n ∈N *)，若不等式4n2－8n ＋3＜(5－m)2n ·a n 对任意的n ∈N *恒成立，则整数m 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题6.已知数列{a n }中，a 1=0，a n －a n －1－1=2(n －1)(n ∈N *，n ≥2)，若数列{b n }满足b n =n ·a n ＋1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1，则数列{b n }的最大项为第 项.7.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当p ×q(p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f(n)=q －p ，例如f(12)=4－3=1，数列{f(3n)}的前100项和为 .8.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n =a 2n ＋a n .令b n =1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为 .三、解答题9.已知数列{a n }满足na n －(n ＋1)·a n －1=2n 2＋2n(n=2,3,4，…)，a 1=6.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，求证：S n ＜512.10.已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，且a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 5=b 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记S n =a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n，是否存在m ∈N *，使得S m ≥3成立，若存在，求出m ，若不存在，请说明理由.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3=5，a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a2n＋4n－2，S n是数列{b n}的前n项和.若对任意正整数n，不等式2S n＋(－1)n＋1·a ＞0恒成立，求实数a的取值范围.答案解析1.答案为：A ；解析：因为点A ，B ，C 在一条直线上，所以a 3＋a 2 015=1，则S 2 017=2 017a 1＋a 2 0172=2 017a 3＋a 2 0152=2 0172，故选A.2.答案为：C ；解析：由题意知第一年产量为a 1=13×2×3×5=10；以后各年产量分别为a n =f(n)－f(n －1) =13(n ＋1)(n ＋2)(2n ＋3)－13n ·(n ＋1)·(2n ＋1)=2(n ＋1)2(n ∈N *)， 令2(n ＋1)2≤130，所以1≤n ≤65－1， 所以1≤n ≤7.故最长的生产期限为7年.3.答案为：C ；解析：依题意，要使其前2 017项的和S 2 017的值最小，只需每一项都取最小值即可. 因为|a n ＋1|＋|a n |=3，所以有－a 3－a 2=－a 5－a 4=…=－a 2 017－a 2 016=3， 即a 3＋a 2=a 5＋a 4=…=a 2 017＋a 2 016=－3，所以S 2 017的最小值为2＋2 017－12×(－3)=－3 022，故选C.4.答案为：C ；解析：由a 2 015－1a 2 016－1＜0可知a 2 015＜1或a 2 016＜1.如果a 2 015＜1，那么a 2 016＞1，若a 2 015＜0，则q ＜0；又∵a 2 016=a 1q 2 015，∴a 2 016应与a 1异号，即a 2 016＜0，这与假设矛盾，故q ＞0. 若q ≥1，则a 2 015＞1且a 2 016＞1，与推出的结论矛盾，故0＜q ＜1，故(1)正确.又a 2 015a 2 017=a 22 016＜1，故(2)错误.由结论(1)可知a 2 015＞1，a 2 016＜1，故数列从第 2 016项开始小于1， 则T 2 015最大，故(3)错误.由结论(1)可知数列从第2 016项开始小于1，而T n =a 1a 2a 3…a n ，故当T n =(a 2 015)n时，求得T n ＞1对应的自然数为4 030，故(4)正确.5.答案为：B ；解析：当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，a 2n ＝4S n －1＋4n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n =4a n ＋4，即a 2n ＋1=a 2n ＋4a n ＋4=(a n ＋2)2，又a n ＞0，所以a n ＋1=a n ＋2(n ≥2).对a 2n ＋1=4S n ＋4n ＋1，令n=1，可得a 22=4a 1＋4＋1=9，所以a 2=3，则a 2－a 1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n =2n －1.因为4n 2－8n ＋3=(2n －1)(2n －3)，n ∈N *，2n －1＞0，所以不等式4n 2－8n ＋3＜(5－m)·2n·a n 等价于5－m ＞2n －32n .记b n =2n －32n ，则b n ＋1b n =2n －12n ＋12n －32n =2n －14n －6，当n ≥3时，b n ＋1b n＜1，又b 1=－12，b 2=14，b 3=38，所以(b n )max =b 3=38.故5－m ＞38，得m ＜378，所以整数m 的最大值为4.一、填空题 6.答案为：6；解析：由a 1=0，且a n －a n －1－1=2(n －1)(n ∈N *，n ≥2)，得a n －a n －1=2n －1(n ≥2)， 则a 2－a 1=2×2－1，a 3－a 2=2×3－1，a 4－a 3=2×4－1，…，a n －a n －1=2n －1(n ≥2)，以上各式累加得a n =2(2＋3＋…＋n)－(n －1)=2×n ＋2n －12－n ＋1=n 2－1(n ≥2)，当n=1时，上式仍成立，所以b n =n ·a n ＋1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1=n ·n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1=(n 2＋n)·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1(n ∈N *).由⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1≥n 2－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －2，n 2＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1≥n 2＋3n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n ，解得163≤n ≤193.因为n ∈N *，所以n=6，所以数列{b n }的最大项为第6项.7.答案为：350－1.解析：当n 为偶数时，f(3n )=0；当n 为奇数时，f(3n)=3n ＋12－3n －12，因此数列{f(3n )}的前100项和为31－30＋32－31＋…＋350－349=350－1.8.答案为：9；解析：∵2S n =a 2n ＋a n ，① ∴2S n ＋1=a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1=a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ， a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n =0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)=0.又∵{a n }为正项数列，∴a n ＋1－a n －1=0，即a n ＋1－a n =1.在2S n =a 2n ＋a n 中，令n=1，可得a 1=1.∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列.∴a n =n ，∴b n =1n n ＋1＋n ＋1n=n ＋1 n －n n ＋1[n n ＋1＋n ＋1 n ][n ＋1 n －n n ＋1 ]=n ＋1 n －n n ＋1n n ＋1=1n －1n ＋1，∴T n =1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1=1－1n ＋1，要使T n 为有理数，只需1n ＋1为有理数，令n ＋1=t 2，∵1≤n ≤100，∴n=3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数. ∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.二、解答题9.解：(1)证明：由na n －(n ＋1)a n －1=2n 2＋2n(n=2,3,4，…)，a 1=6，可得a n n ＋1－a n －1n =2，a 11＋1=3，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是首项为3，公差为2的等差数列，可得a nn ＋1=3＋2(n －1)=2n ＋1，则a n =(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *).(2)证明：由1n ＋12n ＋1＜12n n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n =1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤16＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1=16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14=512，即S n ＜512.10.解：(1)设数列{a n }的公差为d(d ≠0)，数列{b n }的公比为q ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝1·q ，1·q 2＝1＋4d ，∴d=0或d=2，∵d ≠0，∴d=2，q=3，∴a n =2n －1，b n =3n －1. (2)由(1)可知， S n =a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n =11＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1， 13S n =131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ， 两式相减得，23S n =1＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n =1＋23×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－2n －13n=2－2n ＋23n ＜2，∴S n ＜3.故不存在m ∈N *，使得S m ≥3成立.11.解：(1)因为a 3=5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋d 2＝a 1a 1＋4d ，解得a 1=1，d=2， 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n －1.(2)因为b n =1a 2n ＋4n －2=12n －12＋4n －2=14n 2－1=12n －12n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n =b 1＋b 2＋…＋b n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1，依题意，对任意正整数n ，不等式1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0，当n 为奇数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＞－1＋12n ＋1，所以a ＞－23；当n 为偶数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＜1－12n ＋1，所以a ＜45.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，45.。

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

数列的综合应用．一张报纸厚度为，对折(沿一组对边的中点连线折叠)次后，报纸的厚度为()．．．．．某放射性物质的质量每天衰减，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据＝－，＝－)( )．．．．．在数列{}中，＝，当为正奇数时，＋＝＋，当为正偶数时，＋＝，则＝()．．．．．夏季高山上的气温从山脚起每升高米降低℃，已知山脚气温为℃，山顶气温为℃，那么此山相对山脚的高度为米．．已知数列{}中，＝－，＋·＝＋－，则数列通项＝( )．－．－．已知数列{}中，＝，＝－(≥)，则＝( )．－．－．设数列{}为等差数列，其前项和为，＋＋＝，＋＋＝.若对任意∈*，都有≤成立，则的值为( )．．．．．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为( )．升升升升．已知等差数列{}的首项及公差都是整数，前项和为，若>，>，≤，设＝，则使＋＋…＋<成立的最大值为( )．．．．．某厂在年底制订生产计划，要使年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为．．[·江西重点中学三模] 已知数列{}中，＝，＋＋＝(∈＋)，则＝.．在数列{}中，若＝，且对任意的正整数，都有＋＝，则的值为．．已知＝，把数列{}的各项排列成如下的三角形状：………………记(，)表示第行的第个数，则()＝.．(分)已知数列{}是首项为，公比为的等比数列，为{}的前项和．()求数列{}的通项及；()设数列{＋}是首项为－，公差为的等差数列，求数列{}的通项公式及其前项和.．(分)张先生年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展“森林碳汇”的号召(森林碳汇是指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)，买车的同时出资万元向中国绿色碳基金购买了亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶公里就要排放吨二氧化碳，林木每生长立方米，平均可吸收吨二氧化碳．()张先生估计第一年(即年)会用车万公里，以后逐年会增加公里，若轿车使用年，则共要排放二氧化碳多少吨？。

第五节 数列的综合应用考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用[典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( ) A ．72.705尺 B ．61.395尺 C ．61.905尺 D ．73.995尺(2)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a 元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．[解析] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以数列{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b 1，b 2，b 3，…，b 30，则数列{b n }是以b 1＝1.3为首项，以d ＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S 30＝⎝⎛⎭⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎡⎦⎤30×1.3＋30×292×(－0.013)＝61.395.故选B. (2)依题意，2019年1月1日存款a 元后，账户中一共有a (1＋p )＋a ＝(ap ＋2a )(元)．2022年1月1日可取出钱的总数为a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p )＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p )＝a p [(1＋p )5－(1＋p )]＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)B (2)ap ＋2a a p[(1＋p )5－1－p ] [题组训练] 1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A.76钱B.56钱C.23钱 D ．1钱 解析：选D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝507D ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：选D由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507.故选D. 3．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( ) A ．11 B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.考点二 等差数列与等比数列的综合计算[典例] (2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .[解] (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2 ，所以d ＝ln 2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2.(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a nea n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. [解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{a n }为等差数列⇒{aa n }(a >0且a ≠1)为等比数列；{a n }为正项等比数列⇒{log a a n }(a >0且a ≠1)为等差数列．[题组训练]1．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．95B ．90C ．85D ．80解析：选B 由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1·a 5.又等差数列{a n }的公差为5，所以(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52.所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90.故选B. 2．已知数列{a n }是公差为整数的等差数列，前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＋2＝0,2S 1,3S 2,8S 3成等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋a 5＋2＝0，所以2a 1＋4d ＋2＝0，a 1＝－1－2d .因为2S 1,3S 2,8S 3成等比数列，所以16S 1S 3＝9S 22，即16(－1－2d )(－3－3d )＝9(－2－3d )2.因为d 为整数，所以解得d ＝－2，则a 1＝3，所以a n ＝3－2(n －1)＝5－2n . 则1a n a n ＋1＝1(5－2n )(3－2n )＝12⎝⎛⎭⎫12n －5－12n －3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和为12×⎝⎛⎭⎫1－3－1－1＋12×⎝⎛⎭⎫1－1－11＋…＋12×⎝⎛⎭⎫115－117＝12×⎝⎛⎭⎫1－3－117＝－1051.答案：－10513．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3. (1)若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝13，求S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝3，得d ＋q ＝4，① 由a 3＋b 3＝7，得2d ＋q 2＝8，②联立①②，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)∵T 3＝b 1(1＋q ＋q 2)， ∴1＋q ＋q 2＝13，解得q ＝3或q ＝－4，由a 2＋b 2＝3得d ＝4－q ，∴d ＝1或d ＝8. 由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，得S n ＝12n 2－32n 或S n ＝4n 2－5n . 考点三 数列与函数、不等式的综合问题[典例] 设函数f (x )＝12＋1x ，正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1<2. [解] (1)因为a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1，所以a n ＝12＋a n －1，n ∈N *，且n ≥2， 所以数列{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋12(n －1)＝n ＋12. (2)证明：由(1)可知1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2－4n ＋2<2. [题组训练] 1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋1解析：选D 因为点(n ，S n ＋3)在函数y ＝3×2x 的图象上，所以S n ＋3＝3×2n ，即S n ＝3×2n －3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×2n －3－(3×2n －1－3)＝3×2n －1，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3×2n －1.设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，可得b 1＝1，q ＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.由等比数列前n 项和公式可得T n ＝2n －1.结合选项可知，只有D 正确．2．(2019·昆明适应性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4n ，若不等式S n ＋8≥λn 对任意的n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为________解析：因为a n ＝4n ，所以S n ＝2n 2＋2n ，不等式S n ＋8≥λn对任意的n ∈N *恒成立，即λ≤2n 2＋2n ＋8n ，又2n 2＋2n ＋8n ＝2n ＋8n ＋2≥10(当且仅当n ＝2时取等号)，所以λ的取值范围为(－∞，10]．答(－∞，10][课时跟踪检测] 1．(2019·昆明高三摸底调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a n ＝( ) A ．－2n B ．2n C ．2n －1 D ．2n ＋1解析：选B 由题意得等差数列{a n }的公差d ＝2，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，因为a 4是a 2与a 8的等比中项，所以a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解得a 1＝2，所以a n ＝2n ，故选B.2．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( ) A ．n (2n ＋3) B ．n (n ＋4) C ．2n (2n ＋3) D ．2n (n ＋4)解析：选A 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝n (2n ＋3)．3．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A ．2 B ．3 C.15D ．4 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，解得a 1＝－4d .∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 5＋a 4＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2.故选A. 4．(2018·郑州一中入学测试)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里 B ．48里 C ．192里 D ．24里解析：选A 依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列，记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里 5．定义：n P 1＋P 2＋…＋P n(n ∈N *)为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n －3 D ．a n ＝4n －5 解析：选C ∵n a 1＋a 2＋…＋a n＝12n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，∴当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3，又a 1＝1，∴a n ＝4n －3.6．(2019·河南六市联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋a 2－a 4＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R)，则a 6＋λa 7的最小值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．4解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，因为数列{a n }为正项递增等比数列，所以a 4－a 2>0且q >1. 因为1＋a 2－a 4＋λ(a 3－a 5)＝0，所以1＋λq ＝1a 4－a 2，所以a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4q 2－1＝q 4－1＋1q 2－1＝q 2＋1＋1q 2－1＝q 2－1＋1q 2－1＋2≥2(q 2－1)·1q 2－1＋2＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当q 2－1＝1q 2－1时，即q ＝2时，取等号，即a 6＋λa 7的最小值为4，故选D. 7．某公司去年产值为a ，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为________．解析：每年的产值构成以a (1＋10%)＝1.1a 为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的总产值S 5＝1.1a (1－1.15)1－1.1＝11(1.15－1)a . 答案：11(1.15－1)a 8．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2＋a 5＝4，则a 8＝________.解析：因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以公比q ≠1，2(1－q 9)1－q ＝1－q 31－q ＋1－q 61－q，整理得2q 6＝1＋q 3，所以q 3＝－12，故a 2·⎝⎛⎭⎫1－12＝4，解得a 2＝8，故a 8＝8×14＝2. 答案：2 9．已知等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)，函数f (x )＝2x ，b n ＝log 4f (a n )，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：∵等差数列{a n }满足a n －1＋a n ＋a n ＋1＝3n (n ≥2)，∴3a n ＝3n ，即a n ＝n .又∵函数f (x )＝2x ，∴f (a n )＝2n ，∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 4[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a n )]＝log 4(2×22×…×2n )＝log 421＋2＋…＋n＝12×(1＋2＋…＋n )＝n (n ＋1)4. 答案：n (n ＋1)410．(2018·沈阳质检)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.解析：法一：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n a n －a n －1＝2(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝(a 2－a 1)2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝2n －2，a n －1－a n －2＝2n －3，…，a 2－a 1＝1，累加，得a n ＝2n －1(n ∈N *)．法二：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝a n －2a n －1，得a n ＋1－2a n ＝a n －2a n －1＝a n －1－2a n －2＝…＝a 2－2a 1＝0，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：2n －111．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为32.(1)若S 4＝6524，求a 1.(2)若a 1＝2，c n ＝12a n ＋nb ，且c 2，c 4，c 5成等差数列，求b . 解：(1)∵公比q ＝32，S 4＝6524，∴a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫3241－32＝6524，∴⎝⎛⎭⎫1－8116a 1＝－6548，解得a 1＝13. (2)∵a 1＝2，公比为32，∴a 2＝3，a 4＝274，a 5＝818. 又∵c n ＝12a n ＋nb ， ∴c 2＝12a 2＋2b ＝32＋2b ，c 4＝12a 4＋4b ＝278＋4b ，c 5＝12a 5＋5b ＝8116＋5b . ∵c 2，c 4，c 5成等差数列，∴2⎝⎛⎭⎫278＋4b ＝32＋2b ＋8116＋5b ，解得b ＝－316. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n ，n ∈N *均在函数y ＝x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n <a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n n＝n ，即S n ＝n 2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＝2×1－1＝1，∴a n ＝2n －1. (2)∵1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12，又4T n <a 2－a ，∴2≤a 2－a ，解得a ≤－1或a ≥2，即实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．。

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }的前n项和为Sn，f(x)＝，an＝log2，则S2 013＝________.【答案】log2＋1【解析】an ＝log2f(n＋1)－log2f(n)，∴S2 013＝a1＋a2＋…＋a2 013＝[log2f(2)－log2f(1)]＋[log2f(3)－log2f(2)]＋…＋[log2f(2 014)－log2f(2 013)]＝log2f(2 014)－log2f(1)＝log2－log2＝log2＋1.2.各项均为正数的数列，满足：，，，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取，，则，依次得到数列的各项为1,2,5,11,27…，取，，则，依次得到数列的各项为1,2,4,8,16…，由上可知存在，使得，…则由，∴数列为递增数列，由，而，…，累加得：，，即.【考点】1.递推公式；2.数列的单调性.3.已知数列满足：当（）时，，是数列的前项和，定义集合是的整数倍，，且，表示集合中元素的个数，则，．【答案】9, 1022【解析】由于（）时，，可知数列满足：，其前n项和满足：当时，是奇数，则是的整数倍；所以当时，的奇数项共有9项，故9；所以当时，的奇数项共有1022项，故1022；【考点】1.集合的表示法；2.数列通项与前n项和的关系；3.数学归纳法.4.在数列中，，则 .【答案】-1【解析】由此可知，所以.【考点】递推数列5.设数列满足 ,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】.因为，所以：，所以是一个等差数列. ，又，，所以 .【考点】1、等差数列等比数列的通项及前项和；2、导数.6.若数列的前项和，则数列的通项公式（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意，有，当时有，解得；当且时，由，可得，两式相减得，整理得，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，，故选D.【考点】数列通项的求解7.已知数列的通项公式为，数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式；（2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的其中一项；若不存在，请说明理由．【答案】（1）数列的通项公式为；（2）存在，如，是的第5项．【解析】（1）首先令求出的值，当时，两式相减得：，即：，从而为首项和公比均为的等比数列，最后利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）先假设存在，即中第项满足题意，亦即，故，因此只要取，就能使得是数列中的第项．试题解析：（1）当时，．（2分）当时，两式相减得：，即：．（6分）故为首项和公比均为的等比数列，．（8分）（2）设中第项满足题意，即，即，所以，取，则（其它形如的数均可）．（14分）【考点】1．数列通项公式的求法；2．数列探究型问题的解法．8.已知数列是等差数列，且，；又若是各项为正数的等比数列，且满足，其前项和为，.(1)分别求数列，的通项公式，；(2)设数列的前项和为，求的表达式，并求的最小值.【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)首先设出公差和公比，根据已知条件及等比数列和等差数列的性质，列方程组解方程组，求得公差和公比，写出各自的通项公式；(2)因为取偶数和奇数时，数列的项数会有变化，所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论，根据等差数列和等比数列的前项和公式，求出的表达式，根据前后两项的变化确定的单调性，求得每种情况下的最小值，比较一下，取两个最小值中的较小者.试题解析：(1)设数列的公差是，的公比为，由已知得，解得，所以； 2分又，解得或(舍去)，所以； .4分(2)当为偶数时，，当为奇数时. .10分当为偶数时，，所以先减后增，当时，，所以；当时，，所以；所以当为偶数时，最小值是. 12分当为奇数时，，所以先减后增，当时，，所以，当时，，所以，所以当为奇数时，最小值是.比较一下这两种情况下的的最小值，可知的最小值是. .14分【考点】1、等差数列与等比数列的前项和公式；2、数列与函数单调性的综合应用；3、数列与求函数最值的综合运用；4、数列的函数特性.9.设数列{an }的前n项和为Sn，且，n=1，2，3（1）求a1，a2；（2）求Sn 与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列；（3）求S1•S2•S3S2011•S2012的值．【答案】（1），；（2）Sn Sn﹣1﹣2S n+1=0；（3）．【解析】（1）直接利用与的关系式求的值；（2）当时，把代入已知关系式可得与的关系式，再由此关系式，去凑出和，可得所求数列是等差数列，进而得通项的表达式，从而得的表达式；（3）由（2）中的表达式易求S1•S2•S3S2011•S2012的值．试题解析：（1）解：当n=1时，由已知得，解得，同理，可解得．（4分）（2）证明：由题设，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式，得S n S n﹣1﹣2S n+1=0，∴，（7分）∴=﹣1+，∴{}是首项为=﹣2，公差为﹣1的等差数列，（10分）∴=﹣2+（n﹣1）•（﹣1）=﹣n﹣1，∴Sn=．（12分）（3）解：S1•S2•S3S2011•S2012=••••=．（14分）【考点】1、等差数列；2、数列的前n项和与通项的综合应用．10.设数列{an }是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足且（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式：（Ⅱ）设Tn 为数列{Sn}的前n项和，求Tn．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用求，再结合条件求；（Ⅱ）利用等比数列的求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）由，，，即，又，故.，，公差，. （6分）（Ⅱ），所以数列其前项和，. （12分）【考点】等差数列、等比数列的性质，等比数列的求和公式.11.设等差数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）.（2），.【解析】（1）确定等差数列的通项公式，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组，如本题，设等差数列的公差为，结合已知，可建立的方程组，，解得得到.（2）首先应确定。