最新人教版八年级上册第12章《全等三角形》全章教案(共8份)

第十二章《全等三角形》单元备课一、教课剖析1、内容剖析：本章主要内容是学习全等三角形的观点、性质以及判断方法，应用全等三角形的性质和判断研究角均分线的性质，能够应用全等三等三角形的性质和判断以及角均分线的性质解决简单的几何老是，初步掌握推理证明的方法。

2、教材剖析：学生已经学过线段、角、订交线、平行线、相关三角形的一些知识，经过本章的学习能够丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其余图形打好基础，教材力争创建与生活场景邻近的、风趣的问题情境引入，使学生经历了从现实生活研究并抽象出几何模型，并应用几何模型解决实质问题的过程，在内容上重点研究三角形全等的判断方法经及应用，至于角均分线的改天换地的两上互逆定理，只需修业生认识其条件与结论之间的关系，不用介绍互逆定理的观点，经过联合详细问题，使学生理解证明的基本过程，初步掌握推理、证明的正确的方法是本章的难点，初步培育学生的推理能力。

二、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图：（二）本章的学习目标：1．认识全等三角形的观点和性质，能够正确地辨识全等三角形中的对应元素。

2．研究三角形全等的判断方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

3．利用尺规作图作一个角等于已知角、作一个角的角均分线。

4、经历角均分线的性质和判断方法的研究过程，灵巧应用角均分线的性质和判断解决问题 .三、本章教课建议（一）着重研究结论（二）着重推理能力的培育1．注意减缓坡度，顺序渐进。

2．在不一样的阶段，安排不一样的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。

3．着重剖析思路，让学生学会思虑问题，着重书写格式，让学生学会清楚地表达思虑的过程。

（三）着重联系实质三、几个值得关注的问题（一）对于内容之间的联系（二）对于证明一般状况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1 ）明确命题中的已知和求证；（2 ）依据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3 ）经过剖析，找出由已知推出求证的门路，写出证明过程。

人教版第十二章《全等三角形》教案——最新版【教案】人教版第十二章《全等三角形》一、教学目标1. 理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的判定条件。

2. 掌握全等三角形的性质，能够运用全等三角形的性质解决相关问题。

3. 进一步培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

4. 培养学生的合作学习能力和自主学习能力。

二、教学内容1. 全等三角形的定义和判定条件。

2. 全等三角形的性质及应用。

3. 全等三角形的证明。

三、教学重点1. 全等三角形的定义和判定条件的掌握与运用。

2. 全等三角形的性质及应用的掌握与应用。

3. 全等三角形的证明方法的理解和运用。

四、教学难点1. 全等三角形的性质及应用的理解和运用。

2. 全等三角形的证明方法的理解和运用。

五、教学准备1. 教材、教辅资料。

2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等。

六、教学过程教学活动一：导入（10分钟）1. 教师布置学生自学任务，让学生自行阅读教材第十二章的内容，并思考下列问题：如何判断两个三角形是否全等？全等三角形有哪些性质？应用在哪些问题中？2. 学生自学后，教师组织讨论，学生分享自己的思考结果。

教学活动二：概念讲解（25分钟）1. 教师利用黑板与彩色粉笔，进行全等三角形定义的讲解。

重点强调全等三角形的相等对应关系。

2. 讲解全等三角形的判定条件，包括SSS、SAS、ASA和AAS。

3. 教师通过举例说明判定条件的运用方法，让学生在实际操作中理解和掌握。

教学活动三：性质与应用（50分钟）1. 教师引导学生讨论全等三角形的性质，如边长相等、角度相等、对边相等等，通过实际问题分析和解决，培养学生的问题解决能力。

2. 教师提供相关应用题，要求学生利用全等三角形的性质解决问题，并与同桌合作讨论。

教师带领学生进行展示和讨论，指导学生发现问题的解决方法，并帮助学生纠正错误。

3. 学生合作完成教材练习册上的练习题，巩固全等三角形的性质与应用。

教学活动四：证明全等三角形（45分钟）1. 教师介绍全等三角形的证明方法，包括利用全等判定条件进行证明和利用全等三角形的性质进行证明。

全等三角形的判定复题课教学目标：熟练运用适当的方法判定两三角形全等通过探究与交流培养学生几何逻辑思维能力让学生感受和发现数学中的几何图形直观美教学重点：能够判定两个三角形的全等教学难点：能够利用条件熟练的应用适当的方法迅速的解题教学过程：教学环节、内容、步骤师生互动策划备注（活动目的）教师活动学生活动引入展导知识梳理：引导学生复习全等三角形的判定方法1、通常用于判定两三角形全等的一般方法有方法有种,分别简记为____，______，____ ，____2、对于直角三角形(即Rt△),除了一般方法外：当两直角三角形有一组斜边和直角边分别相等时，两三角形______，简记______。

3、全等三角形的______相等，______相等。

回顾旧知，为后面的学习埋下伏笔主题展导1.合作探究2.学生展评证明全等三角形全等的基本思路：一、挖掘“隐含条件”判全等引导学生总结：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件思考：（1）已知两边：SSS, SAS, HL（2）已知两角：ASA, AAS（3）已知一边一角：SAS, ASA,AAS, HL1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ＿＿,BE=＿＿，说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= ＿＿. 说说理由.学生通过自己探讨获得新知，使学生成为学习的主体，使学生学会学习，交流与合作。

3. 教师指导4. 反馈练习5.拓展延伸二、熟练转化“间接条件”判全等引导学生总结：等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！5,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.能力提升：如图,在△ABC中, AC=BC,∠ACB=90°, ∠CAB的角平分线AE交边CB于E点，过E点作EF⊥AB于F,已知AB等于10㎝，求△EFB的周长？课后闯关: 略4.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D，AC=AE, 且∠CAE=∠BAD，1.独立思考2.小组讨论3.展示成果1.独立思考2.小组讨论3.展示成果略在教师的指导下主动构建知识的过程。

第12章：全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素【类型一】全等形的认识2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D是正确的．方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．【类型二】全等三角形的对应元素如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．C E；ADO与△AEO的对应解：BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与△△角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．探究点二：全等三角形的性质【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠D EF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB 的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD △＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠C AB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计全等三角形1．全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．“首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后 总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例 熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．12．2三角形全等的判定第 1 课时 “边边边”1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．(重点)2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程．(重点)3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)一、情境导入问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．学生活动：观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块 完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．如果△ABC ≌ △A ′B ′△C ′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果 ABC 与 △A ′B ′C ′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即 AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，CA ＝ C ′A ′，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠△C ′这六个条件，就能保证 ABC ≌ △A ′B ′C ′. 从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全 等．这种说法对吗？二、合作探究探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”【类型一】 利用 SSS ”判定两个三角形全等 如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点 E 、C 在直线 BF 上，且 BE ＝CF △.求证： ABC ≌△DEF .“解析：已知△ABC与△DEF有两边对应相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF.⎧⎪BC＝EF，证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF△.在ABC和△DEF中，∵⎨AB＝DE，∴⎪⎩AC＝DF，△ABC≌△DEF(SSS)．方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【类型二】SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2△可由ABD≌△ACD证得．⎧⎪AB＝AC，证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD△.在ABD和△ACD中，∵⎨BD＝△C D，∴ABD≌△⎪⎩AD＝AD，ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)．方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．【类型三】利用“边边边”进行尺规作图已知：如图，线段a、b、c△.求作：ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法)解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC.△解：如图所示， ABC 就是所求的三角形．方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题如图，AD ＝CB ，E 、F 是 AC 上两动点，且有 DE ＝BF .(1)若 E 、F 运动至图①所示的位置，且有 AF ＝△C E ，求证： ADE ≌△CBF . (2)若 E 、F 运动至图②所示的位置，仍有 AF ＝△C E ，那么 ADE ≌△CBF 还成立吗？为什 么？(3)若 E 、F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由．解析：(1)因为 AF ＝CE ，可推出 AE ＝CF ，所以可利用 SSS 来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出 AD ∥CB .⎧⎪AD ＝CB ，解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，∴⎪⎩AE ＝CF ，△ADE ≌△CBF .⎧⎪AD ＝CB ，(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，⎪⎩AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .方法总结：解决本题要明确无论 E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中 要分清．三、板书设计边边边1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”． 2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌ △A 1B 1C 1(SSS)． ⎪⎩AC ＝A C ，1 1“A D F B本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第2课时“边角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．(重点)2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等【类型一】利用SAS”判定三角形全等如图，、、、在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC△.求证：AEF≌△BCD.解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE ＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD.⎧⎪AE＝BC，证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD△.在AEF和△BCD中，∵⎨∠A＝∠B，⎪⎩AF＝BD，∴△AEF≌△BCD(SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用【类型一】利用全等三角形进行证明或计算已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．解析：利用已知条定方法可证明件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．⎧⎪BC＝BE，解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE△.在ABC和△FBE中，∵⎨∠ABC＝∠FBE，∴△ABC⎪⎩AB＝FB，≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．【类型二】全等三角形与其他图形的综合如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE△和CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，⎧⎪AD ＝CD ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE △.在 ADE 和△CDG 中，∵⎨∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE⎪⎩DE ＝GD ，≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；(2)设 AE 与 DG 相交于 M ，AE 与 CG 相交于 △N ，在 GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ， 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .三、板书设计边角边1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS ”． 2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨∠B ＝∠B △1，∴ ABC ≌ △A 1B 1C 1(SAS)． ⎪⎩BC ＝B C ，1 13．“SSA ”不能判定两个三角形全等．本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认 识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生 对新知识的理解和掌握．第 3 课时 “角边角”“角角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”， 角角边”．(重点) 2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找．(难点)一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、合作探究探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝△C F，求证：ADF≌△CBE.解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∠A＝∠C，⎧⎪即AF＝CE△.在ADF和△CBE中，∵⎨AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(ASA)．⎪⎩∠DFA＝∠BEC，方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF△.在ADC和△BDF∠DAC＝∠DBF，⎧⎪中，∵⎨∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△BDF(AAS)．⎪⎩AC＝BF，方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD，加上AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：运用全等三角形解决有关问题已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E△.求证：(1)BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)△由BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，⎧⎪∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE△.在BDA和△AEC中，∵⎨∠ABD＝∠CAE，⎪⎩AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计“角边角”“角角边”1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”．3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定⎧⎪BF ＝CE ，⎩方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预 期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练．第 4 课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O ，且 AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：△R t ABF ≌△R t DCE .解析：由题意可得△ABF △与 DCE 都为直角三角形，由 BE ＝CF 可得 BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定 △R t ABF 与 △R t DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即 BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝△90°，∴ ABF 与△DCE都为直角三角形．在 △R tABF 和 Rt △DCE 中，∵⎨⎪AB ＝CD ，∴△R t ABF ≌△R t DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后 找出对应的斜边和直角边相等即可．⎧⎪AB＝AD，AC＝AC，⎩探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证△R t ADC≌△R t AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证△R t ABD≌△R t ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴△R t ADC ≌△R t AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴△R t ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD －CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证△R t ABC≌△R t ADC，进而得出角相等．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝△90°，∴ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和△R t ADC中，∵⎨∴△R t ABC≌△R t ADC(HL)，∴∠1＝∠2.⎪方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】利用“HL”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌△R t CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的⎪⎩PQ＝AB，∴Rt△ABC≌△Rt QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；⎧⎪AP＝AC，⎧⎪⎩“位置．(2)Rt△QAP≌△R t BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨AP＝BC，(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨∴△R t QAP⎪PQ＝AB，≌△R t BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS△证得AOD≌△AOE，根据ASA△证得BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，⎧⎪∠ADC＝∠AEB，∴∠△1＝∠2.在AOD和△AOE中，∵⎨∠1＝∠2，⎪⎩OA＝OA，⎧⎪∠BDC＝∠CEB，∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE△.在BOD和△COE中，∵⎨OD＝OE，∴△BOD≌⎪⎩∠BOD＝∠COE，△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”ASA”．两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD “AAS”以及“SSS”(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．12．3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F12于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.⎧⎪DF＝BD，⎧⎪CD＝DE，⎩DE⎩解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法12方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌△R t EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC△和ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△R t DCF和△R tDEB中，∵⎨∴△R t CDF≌△R t EDB(HL)．∴CF＝EB；⎪DC＝DE，(2)∵AD是∠BAC的平分线，⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE△.在ADC与△ADE中，∵⎨⎪AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△SABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD△是ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴△S ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.⎧⎪CD＝CD，DE＝DF，“⎩1122方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用HL”证明Rt△CDE和△R t CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和△R t CDF中，∵⎨∴△R t CDE≌△R t CDF(HL)，∴CE＝CF.⎪方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．三、板书设计角平分线的性质1．角平分线的作法；2．角平分线的性质；3．角平分线性质的应用．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入⎧⎪中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定△R t BDE和△R t CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在△R t BDE和△R t CDF中，∵⎨BE＝CF，⎪⎩BD＝CD，∴△R t BDE≌△R t CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝ ∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝ ∠ACB ，∠ABC ＋故③正确；∴④到 AE 、AF 距离相等的点，到 DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接 得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ， DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理 DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是 ∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利 用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，1 12 2∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选 A.。

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.三角形的全等在初中几何中占有重要地位,是研究四边形、圆的基础模型.本单元的学习内容经历尺规作图的过程,通过所得三角形的唯一性确定全等判定的基本事实,并基于基本事实进行推理,让学生感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观和推理能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十二章“全等三角形”,本章包括三个小节:12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质.“全等三角形”主题的主要内容是:认识全等三角形——研究全等三角形的判定方法——应用全等三角形得到角平分线的性质和判定.本单元通过对全等三角形概念的理解,基于概念对全等三角形性质的理解,以及在概念的依据下,通过减少条件探索全等三角形判定方法的过程中,培养学生的抽象能力,发展几何直观,体会数学的严谨性,培养推理能力.研究的逻辑主线是对图形形状、大小的直观感悟到用数量关系刻画图形特征.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十二章全等三角形,学生在前面学习了三角形的基础上,初步积累了关于三角形基本知识的认知经验,因此,在实际教学中应充分引导学生运用几何直观,培养学生的几何思维能力,在几何直观的基础上发展抽象能力和推理能力.四、单元学习目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.3.经历探索三角形全等的判定过程,掌握基本事实SSS,SAS,ASA,并证明定理AAS,形成几何直观,发展抽象能力、推理能力.4.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边、两边及夹角、两角及夹边等作三角形;作已知角的平分线.理解尺规作图的基本原理.5.经历探索角平分线性质定理和判定定理的过程,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,提升几何直观,发展推理能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、教学目标【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.【教学难点】全等三角形对应元素的识别.五、课前准备教师：课件、三角尺、全等图形等。

学生：三角尺、直尺、全等图形、三角形纸板。

六、教学过程（一）导入新课观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.观察图形，学习全等图形教师问1：下列各组图形的形状与大小有什么特点？（出示课件5）学生回答：每一组图中的两个图形形状相同，大小相等.教师问2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（出示课件6）学生回答：前三组图形的形状相同，大小也相等，第4组图形的形状相同，但是大小不相等，第5组图形的形状不相同，但是大小相等.教师问3：它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？学生讨论分析，教师引导后学生回答：举例：学生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；学生手中的小量角器；由同一张底片洗出的尺寸相同的照片；两本数学书等.教师讲解：由图①②③中的图形，我们可以看到，它们的形状相同，大小相等，像这样，形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形.教师问4：同学们讨论一下，全等图形有什么性质呢？学生回答：全等图形的形状相同，大小相等.总结点拨：全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.2.师生互动，认识全等三角形的概念教师问5：观察下边的两个三角形，它们的形状和大小有何特征？学生回答：它们的形状相同，大小相等.教师问6：这两个三角形能够完全重合吗？学生回答：能够完全重合教师问7：这两个三角形能够完全重合之后，△ABC的顶点A、B、C与△DEF的顶点D、E、F那两个点重合呢？它们的边呢？它们的角呢？学生回答：点A与点D重合，点B与点E重合，点C与点F重合，边AB 与边DE重合，边AC与边DF重合，边CB与边FE重合，∠A与∠D重合，∠B与∠E重合，∠C与∠F重合.教师总结：（出示课件9）像上图一样，把△ABC 叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.教师问8：平移、翻折、旋转前后的两个三角形什么变化，什么没有变化呢？学生讨论并回答：三角形的形状和大小没有变化，位置变化了.教师问9：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？（出示课件10）学生回答：平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.总结点拨：（出示课件11）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.学生小组活动：教师提出下列要求：①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形；②在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流；③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.教师问10：请同学们观察分析，指出下列图形的对应边、对应角和对应顶点.学生分组做完后并点名回答教师问11：寻找对应元素有什么方法和规律吗？学生思考交流后，师生共同归纳、板书.（出示课件13）1. 有公共边，则公共边为对应边；2. 有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.教师问12：全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系？学生回答：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.教师问：全等三角形用什么表示呢？学生阅读教材32页内容回答：全等”用符号“≌”表示，△ABC全等于△DEF，记作△ABC≌△DEF.教师问13：全等三角形有哪些性质呢？学生讨论回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.总结点拨：全等的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. （出示课件15）警示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的性质：（出示课件16-17）全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何语言：∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，AC=DF，BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.例1：如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.（出示课件18）师生共同解答如下：解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.例2：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．（出示课件20）师生共同解答如下：解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.例3：如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.（出示课件22-23）师生共同解答如下：解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM.（2）解：∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1cm，EG=NH=3.3cm.∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2（cm）.（3）解：结论：EF∥NM证明：∵ △EFG≌△NMH，∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.总结点拨：全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边; 两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.（三）课堂练习（出示课件27-30）1.能够_________的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相__________的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.2.如图，△ABC≌ △ADE，若∠D=∠B，∠C= ∠AED，则∠DAE=_______；∠DAB=__________ .3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC 的长是( )A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是( )A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )A.△ABD 和△CDB 的面积相等B.△ABD 和△CDB 的周长相等C.∠A +∠ABD =∠C +∠CBDD.AD∥BC，且AD = BC6.如图，△ABC ≌△AED，AB是△ABC 的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.参考答案：1. 重合重合对应相对应2. ∠BAC ∠EAC3.A4.B5.C6. 解:∵ △ABC ≌△AED，(已知)∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °，(全等三角形对应角相等) DE = BC =1cm，AE = AB =3cm.(全等三角形对应边相等)（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.全等三角形的有关概念2.全等三角形的性质3.寻找对应元素的方法（五）课前预习预习下节课（11.2）教材35页到教材37页的相关内容。

第十二章全等三角形1.理解和掌握全等三角形的概念,明确对应边、对应角、对应顶点等相关概念.2.掌握两个三角形全等,对应边相等、对应角相等的性质.3.探索并掌握两个三角形全等的条件,并能根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”判定两个三角形全等.4.能够画已知角的平分线并掌握角平分线的性质定理和判定定理.1.通过观察、试验、归纳、类比、推理获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.2.在教学中,注重所学内容与现实生活的联系;注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程.1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真学习的态度,激发学生的学习热情.2.利用小组合作的学习方法,让学生多进行交流,多种感官参与教学,使学生主动探索、发现规律、归纳概括、形成能力,养成学数学、爱数学的情感.中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似,本章将以三角形为例研究全等.全等三角形研究的问题和研究方法将为后面学习相似提供思路,而且全等是一种特殊的相似,全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,主要包括用分析法分析条件与结论的关系,用综合法书写证明格式,以及掌握证明几何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是学习等腰三角形、四边形、圆等内容的基础.本章分为三节,主要介绍了全等三角形的概念、性质、判定方法,以及如何利用三角形全等进行证明.第12.1节首先介绍了现实世界中的全等现象,然后从“重合”的角度引入了全等形的概念,在此基础上给出了全等三角形的概念,接着由全等三角形的概念导出了全等三角形的性质.第12.2节由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发,引出判定两个三角形全等的方法.第12.3节首先由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图,然后探究并证明了角的平分线的性质,同时总结了证明一个几何命题的一般步骤,最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理.本章将重点研究三角形全等的判定方法,并在其中渗透了研究几何图形的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题,又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题,在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边和角的等量关系、折纸情境等内容,推理论证的难度比《三角形》一章增大了.【重点】1.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.2.角平分线的性质及判定.3.证明的基本过程.【难点】1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.2.角平分线的性质和判定的正确运用.3.用综合法证明的格式.1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识,本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法,用几何思想贯穿全章的教学.2.让学生充分经历探究过程.本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动,包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动.教学中可以让学生充分经历这个探究过程,在明确探究目标、形成探究思路的前提下,按计划逐步探索两个三角形全等的条件.本章在编排中将画图与探究三角形全等的条件结合起来, 既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等,又有用技术手段根据已知数据画三角形.教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值,让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等,在活动中发现结论.3.重视对学生推理论证能力的培养.本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要章节,主要包括证明两个三角形全等,通过证明三角形全等,进而证得两条线段或两个角相等.教学中要在学生已有推理论证经验的基础上,利用三角形全等的证明,进一步培养学生推理论证的能力.按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标,本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系,书写严谨的证明格式,从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤.12.1全等三角形1.掌握好全等形及全等三角形的定义.2.理解对应顶点、对应边、对应角的含义.3.掌握全等三角形的性质.1.教学时结合实际图片或学生自己动手制作的图片,使学生更加容易接受本节的知识,也能从中体会到数学的乐趣及数学与生活实际的联系.2.通过对一个图形的平移、翻折、旋转等动态变换,使学生的思维更具动态,形成空间观念,对以后的图形观察与总结具有更好的指引作用.1.在全等形的引入中,通过一些实际生活的图片,让学生感受到数学来源于生活实际,又反作用于生活实际.2.在学习中,同学之间以及小组之间相互研讨,可促进学生的团队意识,以及认识合作的价值.【重点】掌握好全等三角形的定义及利用全等三角形的性质解决问题.【难点】全等三角形性质的应用.【教师准备】全等的三角形纸板.【学生准备】剪刀、三角形纸板.导入一:(老师手拿两个全等的三角形纸板,可先分开操作,然后把两个三角形进行重合操作,目的是让学生看出这两个三角形是能够完全重合在一起的)【师】同学们,你能发现这两个三角形有什么关系吗?【生】这两个三角形是完全重合的.【师】这就是我们今天要学习的全等形中的一种,全等三角形.(同时教师手写板书)[设计意图]本节的内容,对于学生来说还是比较容易接受的,所以此设计比较简捷,单刀直入,可以节省时间,直入主题.导入二:【师】同学们,这节课我们先做个游戏,把你们准备好的剪刀与三角形纸板拿出来,先取一张纸,将准备好的三角形纸板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,观察一下,有什么特点?同桌之间互相配合完成,再一起讨论得到的三角形与原三角形之间的关系.[设计意图]同桌之间通过互相帮助,动手探索,既能增强他们的合作意识、团队精神,又能在动手操作中感受到数学的乐趣,增强对全等三角形的认知与理解.导入三:(老师拿出一块硬纸板)同学们请看,每组的两个图形有什么特点?它们的形状、大小一样吗?它们能互相重合吗?[设计意图]这两个问题和实际生活的联系比较密切,引起了学生认知的需要,激发了学生的求知欲,使之在思维情境中进入最佳的学习状态.这就为学生认识和探索全等三角形的性质做了铺垫.思路一【师生活动一】多找一些学生举例子.(此过程中,有些学生举的例子是不正确的,如有的学生可能会说“双胞胎”,可先让学生说说此例子是否正确,让学生们一起讨论,然后老师给出正确的指引及错误的原因,对学生的不同回答,只要合理,就给予认可)[设计意图]帮助学生准确地理解定义,以及感受数学知识的严谨性.【师生活动二】(1)上面同学们举的这些例子,有什么共同的特征?(2)有人用“全等形”一词描述上面的图形,你认为这个词是什么含义?同学们畅所欲言,最后老师给出全等形及全等三角形的定义,为了加深理解,可通过列举反例强调定义的条件.全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.思路二【学生活动一】把一块三角形样板按在纸板上,画下图形,照图形裁下来.【问题思考】裁下来的纸板和样板的形状、大小完全一样吗?把样板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?用同一张底片冲洗出来的两张照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗?【学生回答后总结】能够完全重合的两个图形叫做全等形.[设计意图]从学生熟悉的图形和例子引出全等形的概念,可以排除学生对几何的畏惧心理,增强他们的自信心,在教学过程中要强调“重合”的重要性,使全等形的概念的引入显得更加自然.【学生活动二】观察黑板上的两个三角形ΔDEF和ΔABC.【思考】如果把ΔDEF放到ΔABC上,两个三角形可以重合吗?可以重合的三角形称为什么?【生答】全等三角形.[设计意图]通过这个活动及时巩固全等形的概念,同时也为后面的内容做铺垫,起承上启下的作用.[拓展延伸]两个三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同,和位置无关.【师生活动一】老师演示以下三种情况:(1)将ΔABC沿直线BC平移得到ΔDEF;(2)将ΔABC沿BC翻折180°得到ΔDBC;(3)将ΔABC绕点A旋转180°得到ΔAED.【议一议】各图中的两个三角形全等吗?它们能完全重合,我们就说它们是全等三角形,其中能重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如上图中的甲,ΔABC与ΔDEF全等,我们就记作ΔABC ≌ΔDEF,符号“≌”读作“全等于”,当两个三角形全等时,我们就用它来表示.其中点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点;AB与DE,BC与EF,AC与DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.同学们,能不能对上述的图乙,图丙,分别说出它们的记法、读法,以及其中的对应顶点、对应边、对应角.当学生回答两个三角形全等的书写时,教师注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上.【师生活动二】【师】由上述的演示可以看出,一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.在上述三种变换中,怎么能快速地找到对应顶点、对应边、对应角呢?请同学们讨论.[设计意图]学生进行讨论,各抒己见,此过程中学生说的不一定对,在互相的讨论、交流中,学生慢慢地纠正自己的错误,接受别人的好的方法,这样能更加深入地了解与掌握找全等三角形的对应点、对应边、对应角的方法.【师最后总结】在全等三角形中,找出对应角和对应边,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.全等三角形的面积一定相等,但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.[知识拓展]找对应元素的常用方法有两种:(一)从运动角度看1.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度后能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法:沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据元素位置来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.3.公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角.4.全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角).二、全等三角形的性质系,得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.[知识拓展](1)全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等;(3)平移、翻折、旋转前后的图形全等.如图所示,ΔOCA≌ΔOBD,C和B,A和D是对应顶点.(1)ΔOCA≌ΔOBD说明这两个三角形可以重合,那么通过怎样的变换可以使这两个三角形重合?(2)说出这两个三角形中相等的边和角.解:(1)将ΔOCA翻折可以使ΔOCA与ΔOBD重合.(2)∠C=∠B,∠A=∠D,∠AOC=∠DOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.如图所示,已知ΔABE≌ΔACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.〔解析〕对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将ΔABE和ΔACD从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找,有相等元素,它们就是对应元素,再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.解:对应角为∠BAE和∠CAD.对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD.1.能够完全重合的图形叫做全等形.能够完全重合的三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等.3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.1.如图所示,ΔABC≌ΔDEF,则此图中相等的线段有()A.1对B.2对C.3对D.4对解析:因为ΔABC≌ΔDEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因为BC=EF,即BE+EC=CF+EC,所以BE=CF,即有4对相等的线段.故选D.2.如图所示,ΔACB≌ΔA'CB',∠A'CB=30°,∠ACB'=110°,则∠ACA'的度数是 ()A.20°B.30°C.35°D.40°解析:∵ΔACB≌ΔA'CB',∴∠ACB=∠A'CB',∴∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB,即∠ACA'=∠BCB',∵∠A'CB=30°,∠ACB'=110°,∴∠ACA'=(110°-30°)=40°.故选D.3.如图所示,找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.解:三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.4.如图所示,已知ΔABC≌ΔADE,试找出对应边、对应角.解析:方法1:可以发现∠A是公共角,在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE 自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角,∠ACB与∠AED是对应角.所以对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB 与∠AED.方法2:沿A与BC和DE的交点O的连线将ΔABC翻折180°后,它正好和ΔADE重合,这时就可以找到对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB 与∠AED.解:对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED.12.1全等三角形一、全等三角形的相关概念二、全等三角形的性质例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页练习第1,2题.【选做题】教材第33页习题12.1第3,4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各组图形中是全等图形的是()2.下列各组图形中,是全等形的是()A.对应钝角相等的两个等腰三角形B.两个含60°角的直角三角形C.边长为3和5的两个等腰三角形D.腰对应相等的两个直角三角形3.如图所示,ΔABC≌ΔBAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4cm,那么AC的长是()A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.无法确定4.如图所示,RtΔABC≌RtΔDEF,则∠D的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°【能力提升】5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ΔABC≌ΔBAD.求证:(1)OA=OB;(2)∠OCD=∠ODC.6.如图所示,ΔABC≌ΔAEC,B和E是对应顶点,∠B=30°,∠ACB=85°,求ΔAEC各内角的度数.【拓展探究】7.如图所示,已知ΔABD≌ΔACE,且点E在BD上,CE交AB于点F,若∠CAB=20°,求∠DEF的度数.【答案与解析】1.B(解析:根据全等图形的定义可得.)2.D3.B(解析:∵ΔABC≌ΔBAD,点A与点B,点C与点D是对应顶点,∴AC=BD,又∵BD=5 cm(已知),∴AC=5 cm.故选B.)4.A(解析:∵RtΔABC≌RtΔDEF,∴∠D=∠A.∵在RtΔABC中,∠A+∠B=90°,且∠B=60°,∴∠A=30°,∴∠D=30°.故选A.)5.证明:(1)∵ΔABC≌ΔBAD,∴∠CAB=∠DBA,∴OA=OB. (2)∵ΔABC≌ΔBAD,∴AC=BD,又∵OA=OB,∴AC-OA=BD-OB,即OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.6.解:∵ΔABC≌ΔAEC,∴∠ACE=∠ACB,∠EAC=∠BAC,∠E=∠B,又∵∠B=30°,∠ACB=85°,∴∠E=30°,∠ACE=85°,∴∠EAC=65°.7.解析:根据全等三角形的性质求出∠C=∠B,再根据三角形内角和定理和对顶角相等求出∠BEF=∠CAB=20°,代入∠DEF=180°-∠BEF即可求出∠DEF.解:∵ΔABD≌ΔACE,∴∠C=∠B,∵∠BFE=∠CFA,∠CAF=180°-∠C-∠CFA,∠BEF=180°-∠B-∠BFE,∠CAB=20°,∴∠BEF=∠CAB=20°,∴∠DEF=180°-∠BEF=180°-20°=160°.本节内容与图形是紧密相连的,图形也是学生非常喜欢的,所以本节课的引入,重点以图形为主,既让学生感受到学数学的乐趣,又引发了学生学习本节课的信心,并且对学生更加热爱生活、找到数学与生活实际的联系起到了非常重要的作用.本节课的另外一个特点是图形的平移、翻折与旋转,要求学生具有空间想象能力,这既是数学的美,也是一些学生感到吃力的地方,为了突破难点,在教学设计上,引入了几何画板,进行动态演示,让学生能在非常生动、精彩的课件中找到自信,另外,也为他们日后的学习起到了重要的铺垫作用.本节课中,全等形、全等三角形的定义都是比较浅显的,学生们非常容易接受,本节的难点是全等三角形的书写及找出对应边、对应角,在突破难点上,讲解没有达到非常生动.让学生在非常欢乐的气氛中达到难点突破是我们的教学目标.为了能突破难点,在设计上可先让学生拿着自己制作好的两个全等三角形进行平移、翻折与旋转,观察前后的变化,同时写出每次变换后的对应边、对应角,可同桌之间互相考察,也可一名学生指派另一名学生答题,然后老师再用几何画板进行动态演示,把实际操作逐步变为头脑中的印象,最后达到不用任何辅助手段就能在头脑中达到上述目的.练习(教材第32页)1.解:图(2)中,AB和DB,BC和BC,AC和DC是对应边;∠A和∠D,∠ABC和∠DBC,∠ACB和∠DCB 是对应角.图(3)中,AB和AD,BC和DE,AC和AE是对应边;∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E是对应角.2.解:相等的边:AC=DB,OA=OD,OC=OB;相等的角:∠A=∠D,∠C=∠B,∠AOC=∠DOB.习题12.1(教材第33页)1.解:AC和CA是对应边;∠B和∠D,∠BAC和∠DCA,∠BCA和∠DAC是对应角.2.解:其他对应边:AN和AM,BN和CM,其他对应角:∠ANB和∠AMC,∠BAN和∠CAM.3.解:∵三角形内角和为180°,∴a所对的角为180°-60°-54°=66°,又∵两个三角形全等,∴∠1=66°.4.解:(1)其他对应边:EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他对应角:∠E和∠N,∠FGE和∠MHN. (2)因为ΔEFG≌ΔNMH,所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=3.3 cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以线段NM的长度是2.1 cm,线段HG的长度是2.2 cm.5.解:∠ACD和∠BCE相等.因为ΔABC≌ΔDEC,所以∠ACB=∠DCE.又因为∠ACB=∠ACE+∠BCE,∠DCE=∠ACD+∠ACE,所以∠ACD=∠BCE.6.解:(1)对应边:AE和AD,AC和AB,EC和DB;对应角:∠A和∠A,∠AEC和∠ADB,∠ACE和∠ABD. (2)因为ΔAEC≌ΔADB,所以∠ACE=∠ABD.又因为∠1=∠2,所以∠ACE+∠2=∠ABD+∠1,即∠ACB=∠ABC,所以∠ABC=×(180°-∠A)=65°,所以∠1=∠ABC-∠ABD=65°-39°=26°.如图所示,ΔEFG≌ΔNHM,在ΔEFG中,FG是最长的边,在ΔNHM中,MH是最长的边,∠F和∠NHM是对应角,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm.(1)写出对应相等的边及对应相等的角;(2)求线段GN及线段HG的长度.〔解析〕(1)由于ΔEFG≌ΔNHM,根据两个三角形的最长边是对应边可知FG与MH对应相等,又∠F和∠NHM是对应角,所以∠FGE和∠HMN对应相等,剩下的一对角∠E和∠N也就对应相等了;进而根据对应顶点的关系可得到EF与HN对应相等,EG与MN对应相等;(2)由HM=3.5 cm可得它的对应边FG=3.5 cm,根据FH=1.9 cm可求得HG=FG-FH=1.6 cm;又由EF=2.4 cm可得它的对应边HN的长也是2.4 cm,则GN=2.4-1.6=0.8(cm).解:(1)对应相等的边有:FG=MH,EF=HN,EG=NM;对应相等的角有:∠F=∠NHM,∠E=∠N,∠EGF=∠M.(2)根据全等三角形的性质,得HN=EF=2.4cm,HG=FG-FH=HM-FH=3.5-1.9=1.6(cm),GN=HN-HG=2.4-1.6=0.8(cm).如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且ΔBAD≌ΔACE.(1)试说明BD=DE+CE;(2)ΔABD满足什么条件时,BD∥CE?〔解析〕(1)要说明BD=DE+CE,由于ΔBAD≌ΔACE,所以BD和AE相等,因此我们只需说明AE=DE+CE即可,又AE=AD+DE,所以本题只需说明AD=CE即可,而这对线段恰好是全等三角形的对应边.(2)要使BD∥CE,则必须有∠BDE=∠E,根据全等三角形的对应角相等可知∠ADB=∠E,所以需要条件∠ADB=90°.解:(1)∵ΔBAD≌ΔACE,∴BD=AE,AD=CE,∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.(2)当ΔABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.〔解题策略〕证明形如“BD=DE+CE”的问题有两种思路:思路一是将BD拆成两段,证明这两段分别等于DE和CE;思路二是找一条等于DE+CE的线段,然后证明该线段等于BD.12.2三角形全等的判定1.熟练掌握“边边边”定理、“边角边”定理、“角边角”定理、“角角边”定理、“斜边直角边”定理.2.会用这些判定方法判定两个三角形全等.1.让学生通过分类讨论和作图的方法探索三角形全等的判定定理,并让学生用运动变换的方法证实.2.在探索全等三角形的判定方法的过程中,渗透分类讨论的思想.3.培养学生观察、概括、归纳的能力.1.让学生体验分类的思想,培养学生的合作精神.2.培养学生学习数学的兴趣,体会研究问题的思想和方法.【重点】全等三角形的判定方法.【难点】能用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.第课时1.掌握“边边边”定理的内容.2.能初步应用“边边边”定理判定两个三角形全等.3.会作一个角等于已知角.让学生探索三角形全等的条件,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边边边”定理.【难点】探索三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.导入一:【提出问题】(1)全等三角形相等,相等.(2)已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=,AC=,=OB,=OD.[设计意图]通过复习让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定打下基础.导入二:通过前面的学习我们知道,如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能地少呢?一个条件行吗?两个条件呢?一、探究三角形全等的条件【学生活动一】(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,画出的三角形一定全等吗?(2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?学生讨论有几种可能的情况,然后按照下面条件画一画:①三角形一个内角是30°,一条边是3 cm;②三角形两个内角分别是30°和50°;③三角形的两条边分别是4 cm和6 cm.学生分组讨论、画图、探索、归纳,最后以组为单位出示结果.【结果展示】(1)只给定一条边时.只给定一个角时.(2)给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.【议一议】如果给出三个条件画三角形时,你能说出有几种情况吗?(三条边,两条边一个角,一条边两个角,三个角)在刚才的探索过程中,我们已经发现已知三内角不能保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况) 【学生活动二】拼一拼.用你们准备的4 cm,5 cm,7 cm长的三根细木棒拼一个三角形,与其他同学拼成的三角形比较,它们一定全等吗?你又发现了什么?以小组为单位,把拼好的三角形画在纸上并剪下来,再把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合,这说明这些三角形都是全等的.二、探究运用“SSS”判定两个三角形全等【出示问题】先任意画一个Δ,再画一个Δ,使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,把画出的ΔA'B'C'剪下来,放在ΔABC上,看它们能完全重合吗?(即全等吗?)【学生活动】拿出直尺和圆规,按上面的要求作图并验证.画法:(1)画B'C'=BC;(2)分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC的长为半径画弧,两弧相交于点A';(3)连接A'B',A'C'.【教师活动】巡视、指导、引入课题,这个作图的结果反映了什么规律?【学生活动】在思考、实践的基础上,归纳出判定三角形全等的方法.【教师板演】三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).[设计意图]通过学生画图、观察、比较、思考等活动,一步一步地探索出结论,感悟基本事实的正确性,在概括基本事实的过程中,引导学生透过现象看本质,锻炼学生用数学语言概括结论的能力,同时也增加了学生的数学体验,让他们充分感受到成功的喜悦.思路二(1)用一根长13 cm 的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm 的三角形.把你做的三角形和其他同学做的三角形进行比较,它们能重合吗?。

第十二章全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性质．重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？二、探究新知1．动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等．(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．三、应用举例例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题：1．全等三角形是()A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的三角形2．下列说法正确的个数是()①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④全等三角形的面积相等．A．1B．2C．3D．43．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．补充题答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小结与作业1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．12．2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC ，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？(2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分别以A′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA′B′，∠EB ′A ′，使∠DA′B′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE.[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS )；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS )． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？ 二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来，放到Rt △ABC 上，它们全等吗？画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB. 想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N ＝90°；(2)在射线C′M 上截取线段B′C′＝BC ；(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′；(4)连接A′B′.△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL ”． 多媒体出示教材例5如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。

第十二章全等三角形第1课时全等三角形的概念及性质知识要点1．____________相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．能够________的两个三角形叫做全等三角形．3．一个图形经过平移、翻折、旋转，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形________．4．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做____________，重合的边叫做________，重合的角叫做________．表示方法：△ABC≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上) .5．全等三角形的对应边________，全等三角形的对应角________．精典范例例1下列图形中，与已知图形全等的是()例2如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则：(1)△ABC≌________；(2)AB，AC，BC的对应边分别是______________；(3)∠B，∠BCA的对应角分别是______________．例3如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠OAD＝80°，求∠C 的度数．例4如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角．在△EFG中，FG是最长边．在△NMH中，MH是最长边．EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm.(1)写出其他对应边及对应角；(2)求线段NM及线段HG的长度．变式练习1.下列各组图形中，是全等的图形是()2．如图，△ABC与△BAD全等，可表示为，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是，其余的对应边是.3如图，将△ABC沿绕点A旋转之后得到△ADE，则：(1)△ABC≌________；(2)AB，AC的对应边分别是____________；(3)∠BCA的对应角是________．4.如图，已知△ACF≌△DBE，AD＝9 cm，BC＝5 cm，求AB的长．5如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B ＝60°，∠A＝68°，AB＝13cm，则∠F＝________°，DE＝________cm.巩固练习1．如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列结论不正确的是()A．BC＝DE B．∠E＝∠CC．∠B＝∠D D．∠B＝∠E2．有下列说法：①全等形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的是()A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④3．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数是()A．72°B．60°C．58° D．50°4．已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E，C与F分别为对应顶点，若AB＝7 cm，BC＝5 cm，AC＝8 cm，则EF＝()A．5 cm B．6 cmC．7 cm D．8 cm5．如图，△ACB≌△DCE，∠BCE＝30°，则∠ACD的度数为()A．20° B．30°C．35° D．40°6．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝()A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB7．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝.8．如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点．如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么BC的长度是.9．如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠BCA＝2∶2∶5.若△A′B′C≌△ABC，∠BCA′＝20°，则∠BCB′＝________．10．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠BEA＝135°，则∠C的度数为________．11．如图，△ABC≌△DFE，AB∥DF，AC∥DE，写出相等的边和相等的角．12．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C＝42°，AB＝9，AD＝6，G为AB延长线上一点．(1)求∠EBG的度数；(2)求CE的长．13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝7，BC＝4，∠D＝35°，∠C＝60°.求：(1)线段AE的长；(2)∠DFA的度数．14．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时．(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角．(2)设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少(用含有x或y的代数式表示)?(3)∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个关系．第十二章全等三角形第2课时三角形全等的判定(1)——SSS知识要点1．________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．2．只用________的直尺和______作图的方法叫做尺规作图，用尺规作一个角等于已知角的依据是________．精典范例例1如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定() A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△BDE≌△CDED．以上答案都不对例2如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线的示意图，依据“ ”判定△COM和△CON全等，从而说明OC是∠AOB 的．例3如图，OA＝OB，AC＝BC.求证：△AOC≌△BOC.例4如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.求证：△ACD≌△CBE.例5如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥FB.变式练习1.如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是()A．AC＝BDB．AC＝BCC．BE＝CED．AE＝DE2.如图，已知OA＝OB，AC＝BC，∠1＝30°，则∠ACB的度数是.3.如图，A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.4如图，AD＝CB，AE＝FC，DF＝BE.求证：AD∥BC.5如图，AB＝AC，BP＝CP.求证：△ABP≌△ACP.巩固练习1．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹中的弧MN是()A．以点B为圆心，OD长为半径的弧B．以点B为圆心，DC长为半径的弧C．以点E为圆心，OD长为半径的弧D．以点E为圆心，DC长为半径的弧2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”判定△ABC和△FED全等，有下列四个条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.其中可利用的是()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④3．如图，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝()A．110° B．40° C．30° D．20°4．如图，已知AB＝AC，BD＝DC，那么下列结论中不正确的是()A．△ABD≌△ACDB．∠ADB＝90°C．∠BAD是∠B的一半D．AD平分∠BAC5．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，则∠DEC ＝________．6．如图，BC＝DC，AB＝AD.求证：AC平分∠BAD.7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E两点在BC上，且有AD＝AE，BD＝CE.若∠BAD＝30°，∠DAE＝50°，求∠BAC的度数．8．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF.(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：∠B＝∠D.10．如图，AB＝CD，AD＝CB，在DA，BC的延长线上分别任取一点E，F，连接EF.求证：(1)AB∥CD；(2)∠E＝∠F.11．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠3＝∠1＋∠2.12．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来；(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明．第十二章全等三角形第3课时三角形全等的判定(2)——SAS知识要点__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．精典范例例1可以保证△ABC≌△A′B′C′的条件是()A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′B．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′C．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′例2如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，应用“SAS”要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是.例3如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：△ABE≌△DCE.例4如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADC.例5如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C.例6如图，已知AB∥DC，AB＝DC，AE＝CF.求证：△ABF≌△CDE.变式练习1.如图，若AO＝DO，只需补充，就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.2如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE.3如图，已知AD⊥BC于点D，且BD＝CD.求证：△ABD≌△ACD.4如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.5.如图，AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，求证：△AFB ≌△AEC.巩固练习1．如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OD，则要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需添加的条件是()A．AB＝DC B．OB＝OCC．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC2．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件是()A．∠1＝∠2B．∠B＝∠CC．∠D＝∠ED．∠BAE＝∠CAD3．如图，AC，BD相交于点E，AC＝BD，AE＝BE，∠B＝35°，∠1＝95°，则∠D的度数是()A．60°B．35°C．50°D．75°4．如图，DC＝EA，EC＝BA，DC⊥AC，BA⊥AC，垂足分别是C，A，则BE与DE的位置关系是．5．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为.6．如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF.请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．7．如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：∠D＝∠E.8．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF.9．如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB＝CD.求证：∠A＝∠C.10．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF.求证：AD＝BC.11．如图，AD是△ABC的高线，AD＝BD，DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数．12．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.13．如图，AD∥BC，AE＝CF，AD＝BC，点E，F在直线AC 上，试猜想线段DE与BF有何关系(位置关系与数量关系)，并说明你的猜想．第十二章全等三角形第4课时三角形全等的判定(3)——ASA和AAS知识要点1．__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．2．__________________________________相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．精典范例例1如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC＝AD.例2如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：AB＝CD.例3如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.求证：△ABC≌△CDE.例4如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB ∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.例5如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为()A．5.5 B．4 C．4.5 D．3例6如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O.已知AB＝AC，现添加下列条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是()A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD变式练习1.如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.2.如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：CB＝CD.3.如图，AC＝BC，请你添加一对边或一组角相等的条件，使AD＝BE.你所添加的条件是____________________．4.如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB，CD，且∠B＝∠D，若要根据ASA判定△AOB≌△COD，应添加的条件是.5.如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD 的延长线于点E.求证：BE＝CF.巩固练习1．小强一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是()A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去2．下列各图中的a，b，c分别为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形与左侧△ABC全等的是()A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD4．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE(只添一个即可)，你所添加的条件是．5．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.(1)若以“SAS”为依据，还需添加的条件为；(2)若以“ASA”为依据，还需添加的条件为；(3)若以“AAS”为依据，还需添加的条件为.6．如图，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D.求证：△ABC≌△CDE.7．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：△AEF≌△DEB.8．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.9．如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC.10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE＝AD＋BE.11．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：AB＝CF＋BD.第十二章全等三角形第5课时三角形全等的判定(4)——HL知识要点____________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．精典范例例1已知下列语句：(1)有两个锐角相等的直角三角形全等；(2)一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)两个直角三角形全等．其中正确语句的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3例2如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD例3如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF 于E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.例4如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF.求证：AE＝DF.变式练习1.下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是()A．两组直角边对应相等B．一组边对应相等C．两组锐角对应相等D．一组锐角对应相等2.如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是()A．AB＝ACB．∠BAC＝90°C．BD＝ACD．∠B＝45°3.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD.求证：OB＝OC.4.如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE.求证：AB∥CD.5如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.巩固练习1．使两个直角三角形全等的条件可以是()A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等2．下列说法正确的是()A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等3．如图，∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上一点，BE 交CD于F.若要补充一个条件，使得△ABE≌△ACD，在下列条件中，不能补充的条件是()A．AD＝AEB．BE＝CDC．BF＝CFD．∠B＝∠C4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝cm.5．如图，AC⊥CF于C，DE⊥CF于E，AB＝DF，CE＝BF.求证：AC＝DE.6．如图，AB⊥AC，AC⊥DC，AD＝BC.求证：(1)AB＝CD；(2)AD∥BC.7．如图，AC＝DF，AC⊥BC，DF⊥DE，且AE＝BF，∠A＝60°，试求∠DEF的度数．8．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD ＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，且BF＝AC.(1)证明：DF＝DC；(2)求∠ABC的度数．10．在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)如图①，若B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC.(2)如图②，若B，C在DE的两侧，其他条件不变，AB⊥AC仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．第十二章全等三角形第6课时角的平分线的性质(1)知识要点1．角的平分线上的点到角的两边的距离________．2．会用尺规作图画角平分线．3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．精典范例例1如图，作∠AOB的角平分线．例2如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC.例3.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为()A．6 B．5 C．4 D．3例4如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.变式练习1.如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是()A．2 B．3C．4 D．62.如图，已知△ABC，求作：△ABC的角平分线CE.3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是()A．10 B．15 C．20 D．304.如图，在△ABC中，AB＝BC，高AD，CE相交于F，AF＝CF.求证：FD＝FE.巩固练习1．如图，观察尺规作图痕迹，下列说法错误的是()A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C，D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOE2．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()A．PC＝PDB．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为( ) A ．7.5 B ．8 C ．15 D ．无法确定4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ，则下列结论错误的是( ) A ．BD ＋DE ＝BC B ．DE 平分∠ADB C ．DA 平分∠EDC D ．AC ＋DE ＞AD5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是 .6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D .已知AC ＝3，AD ＝2，则点D 到AB 边的距离为________．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E.(1)若DC＝5，则DE＝________；(2)若BC＝8，BD＝5，则DE＝________；(3)若∠B＝45°，BE＝6，则CD＝________；(4)若BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是________．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝4，则△ABD的面积为________．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD是角平分线，DE⊥AB，E为垂足．若△ADE的周长等于10cm，求AB的长．10．如图，已知三段公路(线段AB以及射线AC，BD)，请在AB的下方区域用尺规作一点P，使点P到三条公路的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)．11．如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E.求证：AC＝BC.12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)若△ABC的面积是40cm2，AB＝12cm，AC＝8cm，求DE的长．(2)求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.。