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晶向晶面及晶带

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晶带

晶带
2 2 2
正交晶系
d h kl
立方晶系
d h kl
d hkl
a h k l
2 2 2
1
2 2 4 h hk k l 2 3 a c 2 2
六方晶系
注意：上述晶面间距计算公式仅适用于简单晶胞。
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作业

1、略述从一个晶体结构中抽取点阵的意义和方法？空间点阵与晶体结
则
三个晶轴同在一个晶面上
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晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2) 晶面3 (h3 k3 l3) 若
则
三个晶面同属一个晶带
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6、晶面间距
晶面指数确定了晶面的位向和晶面间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；
空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。
l1 l2
:
l1 l2
h1 h2
:
h1 h2
k1 k2
v k1 k
2
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晶带定律的应用（2） 已知两晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]，求两晶向所决定的 晶面指数（ h k l）.
晶向1 [u1 v1 w1] 晶向2 [u2 v2 w2]
h :k :l v1 vห้องสมุดไป่ตู้ w1 w2 w1 w2 u1 u2 u1 u2 v1 v2
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晶面间距（2）
晶面间距公式的推导 设晶面ABC为距原点O 最近的晶面
d h kl a h co s b k co s c l co s

材料的结构-晶面晶向指数-文档资料

材料的结构-晶面晶向指数-文档资料
再加上以上各指数均取相反数的符号。
Total: 48
•29
Discussions 立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度
plane indices
{100}
BCC
atomic arrangement
planar density
a a
4 1 4
a2
1 a2
FCC
atomic arrangement
planar density
•21
1
（100）与 ［100］？有何关系？
（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和 晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如： [111] ⊥（111）、[110] ⊥（110）、[100] ⊥（100）。该 规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则 (hkl)与[hkl]不垂直。 晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行，这就是晶面指 数的几何意义。
a3＝一(a1+a2)
可以证明: i ≡－(h＋k)
(10)0(1010) (110)(1100)
•36
六方晶体中常见的晶面
•37
2、晶向指数
晶向指数 [uvtw] 四个指数来表示。
标定方法：
(1)平移晶向(或坐标)， 让原点为晶向上一点， 取另一点的坐标; (2)必须满足u+v+t＝0，
或t=－(u+v)。
a a
4 1 1 4 a2
2 a2
{110} {111}
a 2a
2a
2a
2a
4
1 4 2a2
1
1.4 a2
3 1 6
3 a2
0 .58 a2

第2章 晶体学基础

第2章 晶体学基础

晶向指数的确定
建立坐标系，结点为原点， 1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向， 棱为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 (x2,y2,z2)。 平移晶向或坐标， 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单) 在原点则下一步更简单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2计算x2y2z2x2 z1 ； 化成最小、整数比u 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw] [uvw]中 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
习 题
分别为3， ， （1）截距 、s、t分别为 ，3，5 ）截距r、 、 分别为 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ） （3）最小公倍数 ， ）最小公倍数15， （4）于是，1/r，1/s，1/t分别 ）于是， ， ， 分别 得到5， ， ， 乘15得到 ，5，3， 得到 因此，晶面指标为（ 因此，晶面指标为（553）。 ）。 c a b y
红线由两个结点的坐标之差确定
2.2.2 晶面及晶面指标
在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 晶面 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多 样的. 不同的划法划出的晶面(点阵面 点阵面)的 样的 不同的划法划出的晶面 点阵面 的阵点密 度是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相 是不相同的 所以给不同面以相应的指标(hkl)，代表一 同. 所以给不同面以相应的指标 ， 组平行的晶面。 组平行的晶面。
学习要点
⑴ ⑵ ⑶ (4) 晶体结构周期性与点阵。 晶体结构周期性与点阵。 7个晶系和14种Bravias空间格子。 个晶系和14种Bravias空间格子。 14 空间格子 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 倒易点阵

晶体学基础

晶体学基础

2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
2020/3/3
25
倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl

r rhkl
r .rhkl

h
k
av*
l

r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k

l
h
h
k
l

G
*
k
2020/3/3
3
c
28
倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；

晶向与晶面

晶向与晶面
已知铜具有面心立方结构，其点阵常数为 0.3615nm，计算铜晶体（111），（112）晶 面间距。
(2)晶面夹角
两晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]间夹角：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u2 2 v2 2 w2 2
晶面（hkl）与晶向[uvw]间夹角：
<111>晶向族如右图。
(2)晶面指数-------（hkl）
例3：
（1）截距r、s、t分别为3，3，5
z
（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5
（3）最小公倍数15，
（4）于是，1/r，1/s，1/t分别
c
乘15得到5，5，3，
ab
y
因此，晶面指标为（553）。
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
对称性——晶体的基本性质
对称元素（symmetry elements）
回转对称轴（n）1，2，3，4，6
宏观对称性 元素 对称面（m）
对称中心（i） 回转 — 反演轴 1，2，3，4，6
负号记在上方 [uv w] 。
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定
2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
▪ 如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
▪例： OD为[101]；
▪ Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
▪EF为：[111]
例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是 [2110].
解决方法：加限制条件：前三个指标之和为0 例如：晶向指标为[u v t w],则u+v+t=0,故a1轴的指

材料物理基础第二章固体结构-(3)晶面与晶向-201209

材料物理基础第二章固体结构-(3)晶面与晶向-201209

{123} = (123) + (123) + (123) + (123) + (132) + (132) + (132) + (132) + (231) + (231) + (231) + (23 1) + (213) + (213) + (2 13) + (213) + (312) + (312) + (3 12) + (312) + (321) + (321) + (321) + (32 1)
⎛ k1l1 ⎞ ⎛ l1h1 ⎞ ⎛ h1k1 ⎞ u :v:w = ⎜ ⎟:⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ k 2 l2 ⎠ ⎝ l 2 h2 ⎠ ⎝ h 2 k2 ⎠
27
u = k1l2 − k2l1 , v = l1h2 − l2 h1 ,
w = h1k2 − h2 k1
固体结构 — 晶面与晶向
课堂练习： （1）求（112）和（123）晶面的晶带轴。 （2）判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直。
材料物理基础
Fundamentals of Materials Sciences
第二章 固体结构 （3）晶面与晶向
2012年9月
1
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数标定
y三轴坐标系 y四轴坐标系
术语，符号 概念，定义
重要概念
y晶面，晶向，晶面族，晶向族， y晶带，晶带轴，晶带面 y球面投影，极射投影
(110), (112), (111), (021)
（3）判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)。 （4）已知晶带轴，判断哪些晶面属于该晶带。 [hkl] [uvw] (hkl)

晶体学基础(晶向指数与晶面指数)


图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。

第二章_固体结构-晶向晶面2.2

求法1（平移法） 1） 确定坐标系
2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。 2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号， 负号记在上方 。
[uv w]
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定 2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
例： OD为[101]； Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
EF为：[111]
用平行的直线连接起来， 构成三维几何格架
2.1.2 晶胞 组成点阵的具有代表性的基本单
元，称为晶胞
如何选取晶胞？应遵循下述原则
(1)对称性 选取的平行六面体应反映点阵的最高对称性； (2)相等性 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； (3)直角性 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多。 (4)最小性 在满足上述条件的情况下，晶胞体积应最小。
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表 示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号， 国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。

材料科学基础 名词解释

1、化学键：组成物质整体的质点（原子、分子或离子）间的相互作用力叫做化学键。

共价键：有些同类原子，例如周期表IV A、V A、VIA族中大多数元素或电负性相差不大的原子相互接近时，原子之间不产生电子的转移，此时借共用电子对所产生的力结合，形成共价键。

离子键：当两种电负性相差大的原子相互靠近时，其中电负性小的原子失去电子，成为正离子，电负性大的原子获得电子成为负离子，两种离子靠静电引力结合在一起形成离子键。

范德瓦尔键（分子键）：分子的一部分往往带正电荷，而另一部分往往带负电荷，一个分子的正电荷部位和另一分子的负电荷部位间，以微弱静电力相吸引，使之结合在一起，称为范德瓦尔键，也叫分子键。

金属键：由金属正离子和自由电子之间互相作用而结合称为金属键。

2、晶体：物质的质点（分子、原子或离子）在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。

单晶体：由一个晶粒组成的晶体。

准晶：原子在晶体内部是长程有序的具有准周期性的具有五次对称轴的介于晶体与非晶体之间的一类晶体，叫做准晶。

玻璃体：液体冷却时，尚未转变为晶体就凝固了，它实质是一种过冷的液体结构，称为玻璃体。

非晶态金属（金属玻璃）：在特殊的冷却条件下金属可能不经过结晶过程而凝固成保留液体短程有序结构的非晶态金属。

非晶态金属又称作金属玻璃。

微晶合金：晶粒尺寸达微米（μm）的超细晶粒合金材料，称为微晶合金。

纳晶合金：晶粒尺寸达纳米（nm）的超细晶粒合金材料，称为纳晶合金。

3、空间点阵（点阵）：代表原子（分子或离子）中心的点的空间排列，称为空间点阵，简称点阵。

阵点：代表原子（分子或离子）中心的点。

晶格：将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。

晶胞：点阵中能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞。

晶体结构：是指晶体中实际质点（原子、分子或离子）的具体排列情况，它们能组成各种类型，因此实际存在的晶体结构是无限多的。

4、晶向：晶体中某些原子在空间排列的方向叫晶向。

1.3晶向、晶面和它们的标志

分别是什么结构？
§1-3 晶向、晶面和它们的标志
晶体的一个基本特点是具有方向性, 沿晶格的不同方向晶体的性质不同 1. 晶列与晶向 Bravais格子上的格点可以看成分列在一系列平行 的直线系上，这些直线系称为晶列 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向
同一格子可以形成方向不同的晶列
如果从一个格点沿晶列方向到最近邻格点的位移 矢量为 l1a1+l2a2+l3a3 晶向就用l1、l2、l3来标志，写成 [l1 l2 l3]，称为 晶向指数
|h1 ||h2 ||h3|实际表明等距的晶面分别把基矢a1 (－a1 )、 a2 (－a2 ) 、 a3 (－a3 )分割成多少等分 h1 h2 h3 是以|a1|、|a2|、|a3|为各轴的 长度单位所求得的晶面截距的倒数
立方晶格的(100)、(110)、(111)面
(101)
写 出 晶 面 指 数
负指数用头顶上一横表示
用〈 l1 l2 l3 〉表示一组对称的晶向
[111]
立方晶格中的 [100]、[110] 和 [111] 晶向
[100]
[110]
〈 100 〉6个
〈 111 〉8个
〈 110 〉12个[111]Βιβλιοθήκη [210]写出晶向指数
2. 晶面与密勒指数
Bravais格子上的格点也可以看成是分布在平行 且等间距的平面上，这样的平面称为晶面
符号相反的晶面指数所标志的面相互平行， 对于标志晶格里面的晶面来说是没有区别的
{100}、{111}、{110}的等效晶面数分别为3、4、6 符号相反的晶面指数只是在区别 晶体的外表面时才有意义
以简单立方为例所列举的的一些晶向 和晶面在实际问题中是很重要的
对于Bravais格子为面心立方或体心立方的晶格, 在标志晶向、晶面时，常常并不是从晶格原胞的 基矢出发, 而是基于立方单胞的三个基矢
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(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
16
2.晶面指数（hkl）确定步骤： ① 以晶胞的某一阵点为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以点阵常
数a，b，c为三个坐标轴的长度单位，建立一个空间直角坐标系。 但原点应位于待定晶面之外，以避免出现零截距。 ① 找出待定晶面在三轴的截距，如果该晶面与某轴平行，则截距为 无穷大。 ② 求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z，对所求截距取倒数得 1/x，1/y，1/z； ③ 将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l； ④ 再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。如 果有存在负号，将负号标在该数字的上方。
晶向C
1.两点坐标分别为（0, 0, 1） and （1/2, 1, 0） 2. （0, 0, 1） -（1/2, 1, 0） = （-1/2, -1, 1）
3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2，记作 [ 122]
练习1：确定图中AB，BC和AD的晶向指数
A
X
9
Z
B
A (100)
B (001)
C (110)
D
D (011/2)
O
C
Y
_ AB: [10_1] BC: [1_11] AD: [221]
2020年5月10日4时58分
给出晶向指数，如何画出该晶向？ 例：在立方晶格中画出[012]和[123]晶向？
Z
[0l2]
O
X
[0l2]
10
Y
0, 1/2, 1 2020年5月10日4时58分
[100]
[001] [010] [100]
[010] [001]
100 [100] [010] [001][100][0 10][00 1]
13
2020年5月10日4时58分
3. 阵点间距、线密度和堆垛密度
阵点间距（repeat distance）：沿晶向方向阵点之间的距离。 线密度(liner density):沿一个方向单位长度上相同阵点的数目。 线堆垛密度（线致密度）:某个晶向上的原子所占的长度的比例。
Determining the repeat distance, linear density, and packing fraction for [110] direction in FCC copper.
14
例：已知Cu是FCC晶胞结构，晶格常数a = 0.36451 nm，计算 晶胞中[110]晶向的阵点距离、线密度和线致密度？
3
2020年5月10日4时58分
一、晶向及晶向指数
1.晶向： 通过晶格中任意两个格
点连一条直线称为晶列， 晶列的取向称为晶向，描 写晶向的一组数称为晶向 指数(或晶列指数 miller indices)。
过一格点可以有无数晶 列。
4
晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
0.51125nm 因此，线密度也可以看成是阵点间距的倒数。 线致密度＝线密度×2r 。 线致密度＝线密度×2r ＝3.91×2×0.12781＝1 说明原子沿[110]晶向相互接触(面心立方晶胞的最密排方向)。
15
二、晶面及晶面指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为 晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
2Leabharlann 2.2 晶向、晶面及晶带1、晶向与晶向指数 2、晶面与晶面指数 3、面间距、晶面夹角和晶带理论 4、间隙
晶向 A
1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 [100]
晶向B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]
对于FCC晶胞中[110]晶向，起点设在0,0,0位置，下一个阵点在 面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，阵点间的距离是面对角线的 一半，等于 1 2a 。铜的晶格常数为0.36151nm，可以算出阵点 间距为0.25562nm。
铜的面心立方晶胞[110]晶向有2个重复距离，为 2a 0.51125nm 线密度＝ 2 ＝3.91阵点/nm
u 1, v 2, w 1
Coordinates of selected points in the
unit cell. The number refers to the
6
distance from the origin in terms of
lattice parameters.
例题：确定图1-18中A，B和C方向的晶向指数
5
2.晶向指数[u v w]确定步骤： ① 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐 标。 ② 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 ③ 将其按比例化为最小的整数。 ④ 将此整数放在一个方括号[u v w]中。若有负号，将负号标在该 数字的上方。
如[121]表示
Z
[123－]
X
1/3, 2/3, -1
Y
O1
O
P
11
2020年5月10日4时58分
注意： 晶向是一个矢量，有方向的区别； 一个晶向跟它的倍数是相同的； 对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。
这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族 。也就是互相不平行而原子 排列规律相同的晶向的集合； 在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的 对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完 全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>； 同一晶向族中的指数相同，只是排列顺序或符号不同； 立方晶系中的一些重要的晶向族有6种轴向<100>、12种面对角线方向 <110>、8种体对角线方向<111>和顶点到面心的方向<112>。