高中数学 变量与函数的概念学案 新人教B版必修1(3)

函数（第一课时）：变量与函数的概念学习目标：（1）理解函数的概念（2）会用集合与对应语言来刻画函数，（3）了解构成函数的要素。

重点：函数概念的理解难点：函数符号y=f(x)的理解知识梳理：自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：① ；② 。

5、设a, b 是两个实数，且a<b（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记作 。

（2）满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，记作 。

（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ；分别满足x ≥a,x>a,x ≤a,x<a 的全体实数的集合，都叫半开半闭区间，记作______________________________________________________________________________其中实数a, b 表示区间的两端点。

完成课本P 33，练习A 1、2；练习B 1、2、3。

例题解析题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是（ ）练习：设M={x|02x ≤≤}，N={y|12y ≤≤},给出下列四个图像，其中能表示从集合M 到A B C D集合N 的函数关系的有____个。

题型二：相同函数的判断问题例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1 ②2y x =与y=x ③11y x x =+⋅-与21y x =-④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（ ）A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. 1y x =-和211x y x -=+ B. 0y x =和1y = C. 2y x =和2(1)y x =+ D. 2()x f x =和2()x g x x = 题型三：函数的定义域和值域问题例3：求函数f （x ）=11+x 的定义域练习：课本P 33练习A 组 4.例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，在0，1，2处的函数值和值域。

2014 年高中数学变量与函数的观点教案新人教B版必修1明确学习目标研究学习目标明确学习方向一、三维目标：1.理解函数的观点，明确函数的两因素，即定义域和对应法例；2.能正确使用区间表示数集；3.会求一些简单函数的定义域，复合函数的定义域；二、学习重、难点：要点：函数的观点，定义域的观点和求法；难点：抽象函数的定义域的求法；1、函课前自主预习自主学习教材独立思虑问题数的定义：设集合 A 是一个非空的实数集，关于 A 内，依据确立的对应法例 f ，都有______________与它对应，则这类对应关系叫做会合 A 上的一个函数，记作。

2、函数的定义域、值域：函数的定义域对函数 y f ( x), x A，此中x叫做，x 的取值范围（数集A）叫做这个函数的.3、函数的值域：假如自变量取值 a ，则由法例确立的值y 成为函数在a 处的__________,记做 _____, 全部函数值的会合叫做这个函数的.3、函数的两因素：_______________________ ；。

4、依函数定义，要查验两个给定的变量之间能否存在函数关系，只需查验：①；②；5、区间的观点：设 a, b是两个实数，且a<b（1）知足不等式x b 的实数x 的会合叫做闭区间，记作。

（2）知足不等式a<x<b 的实数x 的会合叫做开区间，记作。

（3）知足不等式x b 的实数x 的会合叫做半开半闭区间，分别表示为和；分别知足 x≥ a,x>a,x ≤ a,x<a 的全体实数的会合，都叫半开半闭区间，记作x≥ a： ______________x>a:________________x≤ a:_______________x<a:________________ 此中实数 a, b表示区间的两头点。

典型例题解析师生互动研究总结规律方法题型一 . 函数观点例 1．给出四个命题中正确的选项是 _________________ ；① 函数就是定义域到值域的对应关系。

2．1．1函数（第一课时）【知识梳理】自学课本P 29—P 31，填充以下空格。

1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。

2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要 。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。

【例题解析】题型一：函数的概念例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（ ）题型二：相同函数的判断问题 例2：已知下列四组函数：①x y x=与y=1②y =y=x ③y =y =④21y x =+与21y t =+其中表示同一函数的是（ ） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④题型三：函数的定义域和函数值问题例3：求下列函数的定义域1、 （1）1()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3）、()f x =2、例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A. ()1f x x =-和21()1x f x x -=+ B. 0()f x x =和()1f x =C. 2()f x x =和2()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x =3、求下列函数的定义域 （1）、1()2f x x =- （2）()f x =（3）、0(x)(1)f x =+ （4）1()2f x x=+-4、已知21()1f x x =+，21()1x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值（2）求(g(2))f 的值A B CD。

考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域数学运算同一个函数掌握同一个函数的概念，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域数学运算问题导学预习教材P8５—P88的内容，思考以下问题：１．函数的概念是什么？２．函数的自变量、定义域是如何定义的？３．函数的值域是如何定义的？１．函数的有关概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f（x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f（x），x∈A}，称为函数的值域．■名师点拨对函数概念的５点说明（１）当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．（２）集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．（３）符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．（４）函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英文字母如g，h表示．（５）在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧要，如f（x）＝２x＋１，x∈R与y＝２s＋１，s∈R是同一个函数．２．同一个函数如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）任何两个集合之间都可以建立函数关系．（）（２）已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．（）（３）根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.（）答案：（１）×（２）√（３）×已知函数g（x）＝２x２—１，则g（１）＝（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｃ．因为g（x）＝２x２—１，所以g（１）＝２—１＝１．函数f（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．（—∞，４）B．（—∞，４]Ｃ．（４，＋∞）D．[４，＋∞）解析：选Ａ．由４—x>0，解得x<４，所以此函数的定义域为（—∞，４）．下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（）Ａ．x＝y２＋１B．y＝２x２＋１Ｃ．x—２y＝6 D．x＝错误!解析：选Ａ．对于A，由x＝y２＋１得y２＝x—１．当x＝５时，y＝±２，故y不是x的函数；对于B，y＝２x２＋１是二次函数；对于C，x—２y＝6⇒y＝错误!x—３是一次函数；对于D，由x＝错误!得y＝x２（x≥0）是二次函数．故选Ａ．函数的概念（１）如图可作为函数y＝f（x）的图像的是（）（２）下列三个说法：１若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；２若f（x）＝５（x∈R），则f（π）＝５一定成立；３函数就是两个集合之间的对应关系．其中正确说法的个数为（）Ａ．0 B．１C．２D．３（３）已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，４]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是（）Ａ．f：x→y＝错误!xＢ．f：x→y＝错误!xＣ．f：x→y＝错误!xＤ．f：x→y＝x【解析】（１）观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像．D中图像是函数图像．（２）１错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；２正确．因为f（x）＝５，这个数值不随x的变化而变化，所以f（π）＝５；３错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．（３）对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝错误!x；f：x→y＝错误!x；f：x→y＝错误! x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x 下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】（１）D （２）B （３）D错误!（１）判断所给对应关系是否为函数的方法１先观察两个数集A，B是否非空；２验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．（２）根据图形判断对应关系是否为函数的步骤１任取一条垂直于x轴的直线l；２在定义域内平行移动直线l；３若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．１．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤１}为定义域，以N＝{y|0≤y≤１}为值域的函数的图像是（）解析：选Ｃ．由函数概念知选Ｃ．２．下列对应关系是集合P上的函数的是________．１P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；２P＝{—１，１，—２，２}，Q＝{１，４}，对应关系f：x→y＝x２，x∈P，y∈Q；３P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．解析：２显然正确，由于１中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且３中的集合P不是数集，从而１３不正确．答案：２求函数的定义域求下列函数的定义域：（１）y＝错误!—错误!；（２）y＝错误!.【解】（１）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足错误!解得x≤１且x≠—１，即函数的定义域为{x|x≤１且x≠—１}．（２）要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足错误!解得x≤３且x≠—５，即函数的定义域为{x|x≤３且x≠—５}．错误!（１）求函数定义域的常用方法１若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零；２若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；３若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；４若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；５若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．（２）第（１）题易出现化简y＝x＋１—错误!，错求定义域为{x|x≤１}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．（１）f（x）＝错误!·错误!＋２；（２）y＝错误!；（３）f（x）＝错误!＋错误!.解：（１）要使此函数有意义，应满足错误!解得１≤x≤４，所以此函数的定义域是[１，４]．（２）因为00无意义，所以x＋１≠0，即x≠—１．１作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，所以|x|—x>0，即x<0．２由１２可得函数y＝错误!的定义域是（—∞，—１）∪（—１，0）．（３）要使此函数有意义，则错误!⇒错误!⇒x≥—３且x≠—２．所以f（x）的定义域为（—３，—２）∪（—２，＋∞）．同一个函数（１）给出下列三个说法：１f（x）＝x0与g（x）＝１是同一个函数；２y＝f（x），x∈R与y＝f（x＋１），x∈R可能是同一个函数；３y＝f（x），x∈R与y＝f（t），t∈R是同一个函数．其中正确说法的个数是（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0（２）下列各组函数：１f（x）＝错误!，g（x）＝x—１；２f（x）＝错误!，g（x）＝错误!；３f（x）＝错误!·错误!，g（x）＝错误!；４f（x）＝错误!，g（x）＝x＋３．其中表示同一个函数的是________（填上所有同一个函数的序号）．【解析】（１）１错误．函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g（x）＝１的定义域是R，不是同一个函数；２正确．y＝f（x），x∈R与y＝f（x＋１），x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；３正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的说法有２个．（２）１定义域不同，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R.２对应关系不同，f（x）＝错误!，g（x）＝错误!.３定义域、对应关系都相同．４对应关系不同，f（x）＝|x＋３|，g（x）＝x＋３．综上，只有３中两个函数表示同一个函数．【答案】（１）B （２）３错误!判断两个函数为同一个函数应注意的三点（１）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．（２）函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（３）在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是（）Ａ．f（x）＝错误!与g（x）＝|x|Ｂ．f（x）＝１与g（x）＝（x＋１）0Ｃ．f（x）＝错误!与g（x）＝（错误!）２Ｄ．f（x）＝x＋１与g（x）＝错误!解析：选Ａ．A项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B项中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（—∞，—１）∪（—１，＋∞）；C项中f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，＋∞）；D项中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为（—∞，１）∪（１，＋∞）．B，C，D三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是同一个函数．故选Ａ．求函数值和值域已知f（x）＝错误!（x∈R，x≠２），g（x）＝x＋４（x∈R）．（１）求f（１），g（１）的值；（２）求f（g（x））．【解】（１）f（１）＝错误!＝１，g（１）＝１＋４＝５．（２）f（g（x））＝f（x＋４）＝错误!＝错误!＝—错误!（x∈R，且x≠—２）．１．（变问法）在本例条件下，求g（f（１））的值及f（２x＋１）的表达式．解：g（f（１））＝g（１）＝１＋４＝５．f（２x＋１）＝错误!＝—错误!错误!.２．（变条件）若将本例g（x）的定义域改为{0，１，２，３}，求g（x）的值域．解：因为g（x）＝x＋４，x∈{0，１，２，３}，所以g（0）＝４，g（１）＝５，g（２）＝6，g （３）＝7．所以g（x）的值域为{４，５，6，7}．错误!（１）求函数值的方法１先要确定函数的对应关系f的具体含义；２然后将变量取值代入解析式计算，对于f（g（x））型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f（g（x））与g（f（x））的区别．（２）求函数值域的常用方法１观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；２配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；３分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；４换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．１．已知函数f（x）＝错误!—１，且f（a）＝３，则a＝________．解析：因为f（x）＝错误!—１，所以f（a）＝错误!—１．又因为f（a）＝３，所以错误!—１＝３，a＝１6．答案：１6２．求下列函数的值域：（１）y＝２x＋１；（２）y＝x２—４x＋6，x∈[１，５）；（３）y＝错误!；（４）y＝x＋错误!.解：（１）因为x∈R，所以２x＋１∈R，即函数的值域为R.（２）配方：y＝x２—４x＋6＝（x—２）２＋２，因为x∈[１，５），如图所示．所以所求函数的值域为[２，１１）．（３）借助反比例函数的特征求．y＝错误!＝３—错误!（x≠—１），显然错误!可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠３}．（４）设u＝错误!（x≥0），则x＝u２（u≥0），y＝u２＋u＝错误!错误!—错误!（u≥0）．由u≥0，可知错误!错误!≥错误!，所以y≥0．所以函数y＝x＋错误!的值域为[0，＋∞）．１．若f（x）＝错误!，则f（３）＝（）A．２B．４Ｃ．２错误!Ｄ．１0解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!，所以f（３）＝错误!＝２．２．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是（）Ａ．f（a）∈BＢ．f（a）有且只有一个Ｃ．若f（a）＝f（b），则a＝bＤ．若a＝b，则f（a）＝f（b）解析：选Ｃ．根据函数的定义可知，A，B，D正确，C错误．３．已知函数f（x）＝２x—３，x∈{x∈N|１≤x≤５}，则函数f（x）的值域为________．解析：因为x＝１，２，３，４，５，所以f（x）＝２x—３＝—１，１，３，５，7．所以f（x）的值域为{—１，１，３，５，7}．答案：{—１，１，３，５，7}４．已知函数f（x）＝错误!—错误!.（１）求函数f（x）的定义域；（２）求f（—１），f（１２）的值．解：（１）根据题意知x—１≠0且x＋４≥0，所以x≥—４且x≠１，即函数f（x）的定义域为[—４，１）∪（１，＋∞）．（２）f（—１）＝错误!—错误!＝—３—错误!.f（１２）＝错误!—错误!＝错误!—４＝—错误!.[A 基础达标]１．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（）Ａ．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|Ｂ．M＝N，N＝N*，f：x→|x—１|Ｃ．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x２Ｄ．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→错误!解析：选Ｃ．对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M中x＝１时，|x—１|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．２．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图像是（）解析：选Ｃ．根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数（函数值）与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选Ｃ．３．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（）Ａ．y＝错误!B．y＝错误!Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x２＋１解析：选Ｂ．y＝错误!的值域为[0，＋∞），y＝错误!的值域为（—∞，0）∪（0，＋∞），y＝x２＋１的值域为[１，＋∞）．４．已知函数f（x）＝错误!，则f（—２）＝（）Ａ．—１B．0Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｃ．由题意知f（—２）＝错误!＝错误!＝１．故选Ｃ．５．若函数y＝x２—３x的定义域为{—１，0，２，３}，则其值域为（）Ａ．{—２，0，４} Ｂ．{—２，0，２，４}Ｃ．{y|y≤—错误!} Ｄ．{y|0≤y≤３}解析：选Ａ．依题意，当x＝—１时，y＝４；当x＝0时，y＝0；当x＝２时，y＝—２；当x＝３时，y＝0，所以函数y＝x２—３x的值域为{—２，0，４}．6．将函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x≤１且x≠0，用区间表示为（—∞，0）∪（0，１]．答案：（—∞，0）∪（0，１]7．若f（x）＝错误!，且f（a）＝２，且a＝________．解析：令错误!＝２，即２a２—５a＋２＝0，解得a＝错误!或a＝２，故a的值为错误!或２．答案：错误!或２8．如果函数f：A→B，其中A＝{—３，—２，—１，１，２，３，４}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{１，２，３，４}．答案：{１，２，３，４}9．已知f（x）＝错误!（x∈R，且x≠—１），g（x）＝x２—１（x∈R）．（１）求f（２），g（３）的值；（２）求f（g（３））的值及f（g（x））．解：（１）因为f（x）＝错误!，所以f（２）＝错误!＝—错误!.因为g（x）＝x２—１，所以g（３）＝３２—１＝8．（２）依题意，知f（g（３））＝f（8）＝错误!＝—错误!，f（g（x））＝错误!＝错误!＝错误!（x≠0）．１0．已知函数y＝错误!的定义域为R，求实数k的值．解：函数y＝错误!的定义域即使k２x２＋３kx＋１≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k２x２＋３kx＋１＝0无解．当k＝0时，函数y＝错误!＝１，函数定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k２x２＋３kx＋１＝0无解，即Δ＝9k２—４k２＝５k２<0，不等式不成立．所以实数k的值为0．[B 能力提升]１１．已知f（x）满足f（ab）＝f（a）＋f（b），且f（２）＝p，f（３）＝q，那么f（7２）等于（）Ａ．p＋q B．３p＋２qＣ．２p＋３q D．p３＋q２解析：选Ｂ．因为f（ab）＝f（a）＋f（b），所以f（9）＝f（３）＋f（３）＝２q，f（8）＝f（２）＋f（２）＋f（２）＝３p，所以f（7２）＝f（8×9）＝f（8）＋f（9）＝３p＋２q.１２．若函数f（x）的定义域为[—２，１]，则g（x）＝f（x）＋f（—x）的定义域为________．解析：由题意，得错误!即—１≤x≤１．故g（x）＝f（x）＋f（—x）的定义域为[—１，１]．答案：[—１，１]１３．求下列函数的值域．（１）y＝错误!—１（x≥４）；（２）y＝２x＋１，x∈{１，２，３，４，５}；（３）y＝x＋错误!；（４）y＝x２—２x—３（x∈[—１，２]）．解：（１）因为x≥４，所以错误!≥２，所以错误!—１≥１，所以y∈[１，＋∞）．（２）y＝{３，５，7，9，１１}．（３）设u＝错误!，则u≥0，且x＝错误!，于是，y＝错误!＋u＝错误!（u＋１）２≥错误!，所以y＝x＋错误!的值域为错误!.（４）y＝x２—２x—３＝（x—１）２—４，因为x∈[—１，２]，作出其图像（图略）可得值域为[—４，0]．１４．已知函数f（x）＝x２—mx＋n，且f（１）＝—１，f（n）＝m，求f（—１），f（f（—１））的值及f（f（x））的表达式．解：由题意知错误!解得错误!所以f（x）＝x２—x—１，故f（—１）＝１，f（f（—１））＝—１，f（f（x））＝f（x２—x—１）＝（x２—x—１）２—（x２—x—１）—１＝x４—２x３—２x２＋３x＋１．[C 拓展探究]１５．（２0１9·石家庄检测）已知函数f（x）＝错误!.（１）求f（２）＋f错误!，f（３）＋f错误!的值；（２）由（１）中求得的结果，你发现f（x）与f错误!有什么关系？并证明你的发现．（３）求２f（１）＋f（２）＋f错误!＋f（３）＋f错误!＋…＋f（２0１7）＋f错误!＋f（２0１8）＋f错误!＋f（２0１9）＋f错误!的值．解：（１）因为f（x）＝错误!，所以f（２）＋f错误!＝错误!＋错误!＝１，f（３）＋f错误!＝错误!＋错误!＝１．（２）由（１）可发现f（x）＋f错误!＝１．证明如下：f（x）＋f错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝１，是定值．（３）略。

3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔　对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二　同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三　常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　函数的定义[经典例题]例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]例2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3　同一函数例3　下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4　求函数的值域[经典例题]状元随笔　求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4　求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章　函数3．1　函数的概念与性质3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0}　R　{y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1　解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】　D跟踪训练3　解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一　因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二　设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4　解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。

课堂导学三点剖析一、函数定义域的求法【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示. (1)f(x)=21-x ; (2)f(x)=23+x ; (3)f(x)=x x x -+20||)1(; (4)f(x)=32+x x --21+x1. 思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\,差\,积\,商的形式构成时(如(3)(4)),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.解：(1)要使f(x)=1x-2有意义,必须x-2≠0,所以x≠2.故函数的定义域是{x|x≠2},区间表示为(-∞,2)∪(2,+∞).(2)要使f(x)=23+x 有意义,必须3x+2≥0,所以x≥32-,故函数的定义域是{x|x≥32-},区间表示为［32-,+∞). (3)由于00没有意义,所以x+1≠0.① 又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以2||x -x≠0,即x<0.②由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1},区间表示为(-∞,-1)∪(-1,0).(4)要使函数f(x)=32+x x --21+x 1有意义,必须⎪⎩⎪⎨⎧≠>≥+0.x 0,x -20,32x 所以23-≤x<2且x≠0,故函数的定义域为{x|23-≤x<2且x≠0},区间表示为［23-,0)∪(0,2). 二、求复合函数的定义域【例2】若函数f(x)的定义域是［1,4］,求f(x+2)、f(x 2)的定义域.思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使f(x+2)有意义,不妨把x+2看作一个整体变量,它应适合f(x)的定义域,转化成已知变量求解.解：∵f(x)的定义域为［1,4］,∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4,即-1≤x≤2,则f(x+2)的定义域是［-1,2］.同理,由1≤x 2≤4,即-2≤x≤-1或1≤x≤2,则f(x 2)的定义域为［-2,-1］∪［1,2］.温馨提示由f(x)的定义域求复合函数f ［g(x)］的定义域类型,一般方法是,若f(x)的定义域为D,则f ［g(x)］的定义域是使g(x)∈D 的x 的集合.本题易误解为:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3,6］.忽视了f(x+2)有意义的条件,习惯性地代换x 是错因.三、判断两个函数是否为同一函数【例3】下列所给四组函数表示同一函数的是( ) A.f(x)=x,g(x)=2)(x B.f(x)=x,g(x)=33xC.f(x)=1,g(x)=x 0D.f(x)=x 2+x+1,g(x)=112+-x x 思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.解：对于A,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为［0,+∞),不是同一函数.对于B,f(x)、g(x)的定义域为R ,g(x)=3x 3=x,是同一函数.对于C,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.对于D,f(x)的定义域为R ,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不是同一函数.选B.答案：B温馨提示本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可. 各个击破类题演练1求函数f(x)=1-x +x-21的定义域. 解析：要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+.2,10201x x x x ∴函数f(x)=1-x +x -21的定义域是{x|x≥-1且x≠2}. 变式提升2(1)已知函数f(x)=31323-+-ax ax x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A.a>31 B.－12＜a<0 C.-12<a≤0 D.a≤21 解析：当a=0时，f(x)有意义;当a≠0时，由ax 2+ax-3≠0,得Δ=a 2+12a<0,即-12<a<0,综合得-12<a≤0.答案：C(2)若f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)＝)2)(1(1x a a x ---的定义域为B ，当B ⊆A 时，求a 的取值范围.解析：由213++x x ≥0，得11+-x x ≥0. ∴x<-1,或x≥1,即A=(-∞,-1)∪［1,+∞).由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥21或a≤-2. 故当B A 时，实数a 的取值范围为（-∞,-2］∪［21,1). 类题演练2已知函数f(x)的定义域为［a,b ］，其中a<0<b,且|a|>b ，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域. 解析：∵f(x)的定义域为［a,b ］,要使g(x)有意义,则⎩⎨⎧-≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤.,a x v b x a b x a b x a 又∵a<0<b 且|a|>b,所以a<b 且-a>b.故函数g(x)的定义域为{x |a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.变式提升2 若函数y=f(x+1)的定义域为［-2,3］,求y=f(2x-1)的定义域. 解析：∵y=f(x+1)的定义域为{x|-2≤x≤3},∴-1≤x+1≤4,即y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}. ∴y=f(2x-1)的定义域满足-1≤2x -1≤4. ∴0≤2x≤5,即0≤x≤25. ∴f(2x-1)的定义域为{x|0≤x ≤25}. 类题演练3下列各组式子是否表示同一函数？说明理由.（1）f （x ）=|x|,φ(t)=2t ;(2)y=x 2,y=(x )2;(3)y=1+x ·1-x ,y=12-x ;(4)y=x +1·x -1,y=21x -.解析：仅就定义域不同，即知(2)和（3）中的两个式子表示不同的函数，经考查定义域和对应法则，可知（1）和（4）中的两个式子都表示相同的函数，事实上，对于（1），在公共定义域R 上，f(x)=|x|和φ(t)＝2t 的对应法则完全相同，只是表示形式不同;对于(4)，在公共定义域［-1,1］上，y=x +1·x -1⇔y=21x -.变式提升3下列各函数中,与y=2x-1是同一函数的是…( ) A.y=12142+-x x B.y=2x-1(x>0) C.s=2t-1 D.y=2)12(-x解析：先认清y=2x-1,它是定义域和值域都是R 的映射,其中f:y=2x-1,x ∈A,y ∈B.A 项中,定义域为x ∈R 且x≠21-,与y=2x-1不是同一函数;B 项中,定义域为x>0,与y=2x-1不是同一函数;D 项中,y=2)12(-x =|2x-1|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-.21,21,21,12x x x x 对应法则是不同的;而C 项中,定义域是R ,值域是R ,对应法则是乘2减1,与2x-1是相同的.故答案为C.答案：C。

3。

1。

3 函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用。

2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件。

自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质（1）若f（x)为奇函数且在区间[a,b]（a<b）上为增函数（减函数），则f(x)在［—b,—a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.（2）若f（x)为偶函数且在区间[a，b］(a〈b）上为增函数（减函数),则f(x）在[-b,-a]上为（函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;（2）两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数。

3.函数的对称轴与对称中心(1）若函数f（x）的定义域为D,对∀x∈D都有f（T+x）=f （T—x)(T为常数),则x=是f（x)的对称轴.（2）若函数f（x)的定义域为D，对∀x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b(a，b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f（x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x-1）,则当x〉0时，f（x）=。

(2）函数f（x)为R上的奇函数,当x〉0时，f(x)=-2x2+3x+1,则f(x）=.【训练1】(1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〈0时，f（x）=-x2-x,求函数f(x)的解析式;（2）已知f（x)是R上的偶函数,当x∈(0，+∞)时,f(x）=x2+x—1,当x∈（-∞，0）时，求f（x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f（x）=x2—2|x｜+1的单调性，并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f（x）=x+1的单调性,并写出函数的值x域。

题型三证明函数图像的对称性例3求证：二次函数f（x)=—x2—2x+1的图像关于x=-1对称。

【训练3】证明函数f（x）=x的图像关于点（—1，1）对x+1称.课堂练习1。

高一数学第二章第二课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。

2. 能正确求一些简单函数的定义域和值域。

3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。

二． 自主学习三.小试牛刀：1.求下列函数的定义域：（1）()f x = （2）1()2f x x =-；（3）y = （4）()1f x x =+2求下列函数的值域（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）223y x x =++3.想一想如何求一个函数的定义域和值域？四．典例分析：例1. .求下列函数的定义域：（1）11)(-=x x f （2）1||1)(-=x x f（3）2314)(2+---=x x x x f （4）0()(21)f x x =-思考：给出解析式的函数的定义域需注意什么？[].1,41例2设函数f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（）[][]1(1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。

[].(1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。

问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

例3. 求下列函数的值域：112++=x x y ）（ xy 112+=）（ 1)3(++=x x y 1)4(22+++=x x x x y 五．快乐体验1. .求下列函数的定义域：（1）y = (2) xx x f -++=211)( (3) 1212)(2--+=x x x x f(4) y =(5) 3)y x =-(6) 1y x =+ 2. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ; ()(){}2(2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈-()()2(3)11f x x =-+ (4)28(12)y x x=≤≤ 3.(1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域;(2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；(3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.六．今天我学到了什么？。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考1 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么变量x、y分别称为什么量？思考2 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？梳理函数的概念(1)函数的定义设集合A是一个________的数集，对A中的__________，按照确定的法则f，都有__________的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作________．(2)函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，____叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的______，记作________________．所有函数值构成的集合________________叫做这个函数的值域．知识点二函数相等思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？梳理一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的________相同，并且____________完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．类型一 函数关系的判断 例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法 (1)定义域和对应法则是否给出；(2)根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1.类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝x ＋0x ＋2；(4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.反思与感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.反思与感悟 求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法． 跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x 21＋x2.类型四 对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．反思与感悟 f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x 都换成对应的数或式子即可． 跟踪训练4 已知f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f (f (12))的值；(2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则ff12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B．①③ C．③④ D．①④1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应法则．由于函数的定义域和对应法则一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可．2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．3．在y ＝f (x )中，x 是自变量，f 代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t 等表示自变量．关于对应法则f ，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f ( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．答案精析问题导学 知识点一思考1 x 是自变量、y 是因变量．思考2 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念． 梳理(1)非空 任意数x 唯一确定 y ＝f (x )，x ∈A (2)x 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A }知识点二思考 两个函数都是描述的同一集合R 中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B 中唯一确定的元素，故是同一个函数． 梳理定义域 对应法则 题型探究 例1 (1)D(2)解 ①②是实数集R 上的一个函数，因为给定一个x 值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x ＝0时，没有值与之对应，对于④当x ＜0时，没有值与之对应． 跟踪训练1 (1)①③④(2)解 ①是函数关系，定义域为{x |x ≥－1}． ②是函数关系，定义域为R . ③是函数关系，定义域为R . 例2 解 (1)定义域为R . (2)定义域为[0，17]．(3)定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (4)定义域为{x |－32≤x ＜2，且x ≠0}．跟踪训练2 {x |x ≥0且x ≠1}例3 解 (1)∵y ＝x ＋1的定义域为R ， ∴y ＝x ＋1的值域为R .(2)∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又x ∈[0,3)，∴2≤y ＜6，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为[2,6)． (3)∵y ＝3x －1x ＋1＝x ＋－4x ＋1＝3－4x ＋1， 又∵4x ＋1≠0， ∴y ≠3，∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．(4)y ＝2x －x －1的定义域为[1，＋∞)． 令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1且t ≥0， ∴y ＝2t 2－t ＋2＝2(t －14)2＋158≥158，∴y ＝2x －x －1的值域为[158，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]． 例4 (1)14(2)解 ①因为f (x )＝11＋x ，所以f (2)＝11＋2＝13.又因为g (x )＝x 2＋2， 所以g (2)＝22＋2＝6. ②f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.③f (a ＋1)＝11＋a ＋＝1a ＋2. g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3.跟踪训练4 解 (1)f (0)＝1－01＋0＝1. ∵f (12)＝1－121＋12＝13， ∴f (f (12))＝f (13)＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－－x 1＋－x ＝x 2－x(x ≠2)． f (f (x ))＝f (1－x 1＋x )＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x＝x (x ≠－1)．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.B 5.C。