高考数学命题比赛模拟试题 (4)

年高考模拟试卷数学卷双向细目表题型题号 分值考查内容（难易程度）选择题 （共分）集合的基本运算（★）复数的四则运算与复数的模的计算（★） 基本不等式结合充要条件的判断（★★）利用导数的几何意义求函数的切线（★★）函数的图像（★★）简单的二元一次线性规划（★★） 简单计数原理的应用（★★★）向量的四则运算及基本不等式的应用（★★★★） 立体几何中异面直线的夹角问题（★★★★）函数的零点问题（★★★★★） 填空题（共分）抛物线的基本概念（★）正弦定理和余弦定理的计算（★★）三视图及简单几何体的体积表面积（★★）等差等比数列的计算（★★★） 二项式定理的通项计算（★★★） 基本不等式的应用（★★★★）平行直线之间距离及函数的基本性质（★★★★） 解答题（共分）三角函数的化简及性质（★★）立体几何线面平行的证明及线面角的求解（★★★）利用导数求函数切线和函数单调性等应用（★★★★）圆锥曲线的计算能力（★★★★★）数列的通项与求和的关系及放缩法的应用（★★★★★）年高考模拟试卷数学卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 页，满分 分，考试时间 分钟。

考生注意：．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸规定的位置上。

．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。

选择题部分(共分)一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是参考公式：如果事件，互斥，那么 ()()()如果事件，相互独立，那么 (·)()·()如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 ()()(,…，))(312211S S S S h ++柱体的体积公式Sh V =其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式ShV 31=其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式π3π34RV =。

2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

备战2023年湖南新高考数学仿真卷（四）一．选择题（共8小题 满分40分 每小题5分）1．（5分）若集合2{|log 2}M x x =< {|2x N y y == 1}x 则(M N = )A ．[1 4)B ．(0 2]C ．∅D ．[2 4)2．（5分）欧拉恒等式10(i e i π+=为虚部单位 e 为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式 它是复分析中欧拉公式cos sin ix e x i x =+的特例：当自变量x π=时 cos sin 1i e i πππ=+=- 得10i e π+=．根据欧拉公式 复数20234i eπ的虚部为( )A 3B ．3C ．2D 2 3．（5分）甲、乙、丙三人各进行一次打靶 三人打中的概率分别为0.8 0.8 0.7 则三人中至少有一人打中的概率为( ) A ．0.988B ．0.96C ．0.948D ．0.4484．（5分）设向量a b 满足||4a b -= 1a b ⋅= 则||(a b += ) A ．2B ．23C ．3D ．255．（5分）某铅笔工厂有甲、乙两条生产线 甲生产线的产品次品率为10% 乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品 由甲、乙两条生产线同时生产 且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件 则取到合格产品的概率为( ) A ．0.92B ．0.08C ．0.54D ．0.386．（5分）已知A B C 分别是ABC ∆的内角 1tan 2A = 310cosB =则C 的值是( )A ．34πB ．4πC ．23π D ．56π 7．（5分）已知曲线1xy =为双曲线 则该双曲线的焦距为( ) A ．2B ．22C ．4D ．428．（5分）已知0.1a e = 1110b = 101.9c = 则( ) A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>二．多选题（共4小题 满分20分 每小题5分）9．（5分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 且1n n a a +> 则( ) A ．3746a a a a +=+B ．3746a a a a ⋅>⋅C ．数列21{}n a +是等差数列D ．数列2{}n a 是等比数列10．（5分）已知A B 为圆22:1O x y +=上的两点 P 为直线:20l x y +-=上一动点 则()A ．直线l 与圆O 相离B ．当A B 为两定点时 满足2APB π∠=的点P 有2个C ．当||3AB =时 ||PA PB +的最大值是221D ．当PA PB 为圆O 的两条切线时 直线AB 过定点11(,)2211．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+> 02)ϕπ<<的部分图象如图所示 则( )A ．43πϕ=B ．()f x 在区间5[,]62ππ--上单调递增C ．将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变） 再将所得图象向右平移12π个单位长度 可得函数()f x 的图象D ．函数4()23y f x x π=+712．（5分）如图 正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3 点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界） 点P 在棱CC '上 且||1PC '= 则下列结论正确的有( )A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为210B ．保持PM 与BD '垂直时 点M 的运动轨迹长度为22C ．若保持||13PM =则点M 的运动轨迹长度为43πD ．当M 在D '点时 三棱锥B MAP '-的外接球表面积为994π 三．填空题（共4小题 满分20分 每小题5分） 13.已知a b 是单位向量 若()2a b b -⊥ 则a b 的夹角为______．14.13.若函数2()21x xa f x +=+的图象关于原点对称 则()1f =___________. 15.设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab ++的最小值为________.16.若对任意x ＞0 恒有a(eax+1)≥e(xe －1+x 1)lnx （e 为自然对数的底数） 则实数a 的最小值为 ．四、解答题（本题共6道小题,第17题10分,其余每题题12分共70分）17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n 项和为Sn 满足21n n S a =- *n N ∈ 数列{bn}满足1(1)(1)n n nb n b n n +-+=+ *n N ∈ 且11b =.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 求数列{bn}的通项公式；（3）若n n nc a b = 数列{cn}的前n 项和为n T 对任意的*n N ∈ 都有2n n T nS a a≤++ 求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分) 已知函数a =(sinx3(sinx －cosx)) b =(2cosx cosx+sinx) b a x f ⋅=)(．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设△ABC 的内角A B C 的对应边分别为a b c D 为AC 的中点 若a ＝3 BD=2370)2(=B f 求△ABC 的面积．19.(本小题满分12分)如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧面BB1C1C是边长为2的菱形AB＝3∠CBB1＝60°且∠ABB1＝∠ABC．（Ⅰ）证明：AB⊥CB1；（Ⅱ）若二面角A﹣CB1﹣B的平面角为60°求CA1与平面ACB1所成角的正弦值．20.(本小题满分12分)足球比赛全场比赛时间为90分钟在90分钟结束时成绩持平若该场比赛需要决出胜负需进行30分钟的加时赛若加时赛仍是平局则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员双方轮流踢点球累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数则不需再踢譬如：第4轮结束时双方进球数比为2：0 则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平则采用“突然死亡法”决出胜负即从第6轮起双方每轮各派1人罚点球若均进球或均不进球则继续下一轮直到出现一方进球另一方不进球的情况进球方胜.（1）已知小明在点球训练中射进点球的概率是35.在一次赛前训练中小明射了3次点球且每次射点球互不影响记X为射进点球的次数求X的分布列及数学期望.（2）现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇120分钟比赛后双方仍旧打平须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为35乙队每名球员射进点球的概率为12.每轮点球中进球与否互不影响各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时甲队进了3个球并刚好胜出的概率.21.(本小题满分12分)已知F1(－1 0) F2(1 0)是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点 点P 是C 的上顶点 且直线PF23 (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F2作两条互相垂直的直线l1 l2 . 若l1与C 交于A B 两点 l2与C 交于D E 两点 求|AB|＋|DE|的取值范围.22.(本小题满分12分)设函数a ≠0 a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1且m ∈（0 ln2）时 函数（x ＞0） 证明：F （x ）存在极小值点x0 且m ＋lnx0＜0．()e x axf x =()()1ln x m x x F x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=。

山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，{}(,)1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．()31i +=（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i +D ．22i -3．已知直线m ，n ，平面α，β，n αβ=，m α∥，m n ⊥，那么“mβ”是“αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．45．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种6．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()6f x f x +-=，当0x >时，()223f x x x =--+，若()350f m -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞7．在ABC △中，点M 是AB 的中点，23AN AC =，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC △内部活动（不含边界），且AP AB AN λμ=+，其中λ、μ∈R ，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3411,8⎛⎫⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,8⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ）A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m = D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,210．在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号B ．存在ABC △满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形D ．若π2C >，则22sin sin sin C A B >+11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ） A ．A 地：中位数为2，极差为5B ．B 地：总体平均数为2，众数为2C ．C 地：总体平均数为1，总体方差大于0D ．D 地：总体平均数为2，总体方差为312．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:143x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()4,3M ，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为______．14．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x "是()f x '的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若()3211533212f x x x x =-+-，则函数()f x 的对称中心为________，1234201820192019201920192019f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．15．函数()cos 22f x x x =，x ∈R ，有下列命题：①()y f x =的表达式可改写为2cos 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到； ④满足()f x ≤x 的取值范围是3πππ,124πx k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）16．在棱长为的正四面体A BCD -中，点,E F 分别为直线,AB CD 上的动点，点P 为EF 中点，Q 为正四面体中心（满足QA QB QC QD ===），若PQ =EF 长度为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=． （1）求B ；（2）若3b =，当ABC △的周长最大时，求它的面积．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1π3BCC ∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：BC ⊥平面1ABC ； （2）求二面角11A B E A --的余弦值．19．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用y ax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1iizx=）71i iiz y=∑z72217iiz z=-⨯∑184.50.370.55参考公式：对于一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线ˆˆˆv a uβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆa v uβ=-．（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,A B ，P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP △的面积1ABP S =△，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的最1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．21．（12分）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为：()n P A ，()n P B ，()n P C ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()10P A =，()112P B =，()112P C =． （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率()3P A ，()3P B ，()3P C ；22．（12分）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()()22ln 12xg x e a x a x f x =-++--，若()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．数 学答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =， 其中满足1y x >+的有()1,7，()2,6，()3,5， 所以()()(){}1,7,2,6,3,5AB =，有3个元素，故选B ．2．【答案】B【解析】()()()()321i 1i 1i 2i 1i 22i +=++=+=-+，故选B ． 3．【答案】C 【解析】若mβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， 又mβ，∴m β'⊥，又∵m α'⊂，∴αβ；若αβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， ∵m n ⊥，∴m n '⊥， 又∵αβ，n αβ，∴m β'⊥，∴m β⊥， 故“mβ”是“αβ”的充要条件，故选C ．4．【答案】D【解析】画出约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩所表示的平面区域，如图所示，设目标函数110y y z x x ++==-，则1y x +-表示平面区域内一动点到定点(0,1)M -连线的斜率，结合图象可得，取点A 时，能使得z 取得最大值，又由1122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得25(,)33A ， 所以1y x +的最大值为5134203+=-，故选D ． 5．【答案】B【解析】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有14C 4=种， 其次从剩余5人中选3人到其它三个城市游览，共有35A 60=种，共有1345C A 240=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】令0x <，则0x ->，()223f x x x -=-++，因为()()6f x f x +-=，所以()2236f x x x -++=，()223x x x f =-+，即当0x <时，()223x x x f =-+，取0x =，则()()006f f +=，()03f =，当0x <时，()()222312f x x x x =-+=-+，此时()0f x ≤无解；当0x =时，()03f =，此时()0f x ≤无解； 当0x >时，()()222314f x x x x =--+=-++， 若()0f x ≤，则()2140x -++≤，解得1≥x ，故()350f m -≤，即351m ，解得2m ≥， 实数m 的取值范围为[)2,+∞，故选B ． 7．【答案】D【解析】如下图所示，连接BP 并延长交AC 于点G ，设NG mAN =，PG nBG =，则102m <<，01n <<， ()1AG m AN=+，()()()11AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG=+=++=++-()()()111m AN nAB nAG m AN nAB n m AN =++-=++-+ ()1m mn n AN nAB =+--+，又AP AB AN λμ=+，n λ∴=，1m mn n μ=+--，()111m mn m n λμ∴+=+-=-+，102m <<，011n <-<，则()1012m n <-<， 即()31112m n <-+<，即312λμ<+<，因此，λμ+的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．8．【答案】C【解析】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31n a n n =+-=-； 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-；数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-．对于A ，1222539a b +=+⨯-=，21521317c =⨯-=，122a b c +≠，错误； 对于B ，8258332132b a -=⨯--⨯+=，41541347c =⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ，225223107b =⨯-=，815813107c =⨯-=，228b c =，正确；对于D ，()()62361523119a b =⨯-⨯⨯-=，915913122c =⨯-=，629a b c ≠，错误， 故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】BCD【解析】对于选项A ：由()()34330m x y m m ++-+=∈R 可得()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r，平行于:0l x y -+=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=，可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由222480C :x y x y m +--+=，可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r由题意可得两圆相外切，所以1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥， 所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为222222m n x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m ，可得()424n x ny -+=，即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确， 故选BCD ． 10．【答案】ACD【解析】对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >， 故A 选项正确；对于B 选项，由πA B +<，则πA B <-，且(),π0,πA B -∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误； 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos π2A B ⎛⎫-<⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若π02A <<，则π2A B ->，则π2A B +<，于是π2C >； 若π2A >，则πcos cos 2A B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则π2A B ->，于是π2A B >+，故C 选项正确； 对于D 选项，由π2C >，则π2A B +<，则ππ022A B <<-<，sin y x =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是πsin sin 2A B ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B =+=+>⋅+⋅22sin sin A B =+，所以D 选项正确， 故选ACD ． 11．【答案】AD【解析】对A ，因为A 地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=．故A 正确； 对B ，若B 地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若C 地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】BCD【解析】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<， 而34()()f x f x =，知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=，∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈，故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由题意知，C 的半焦距7c =，()17,0F -，()27,0F ，故()221473227MF =++=+，()222473272MF =-+=-．设12F MF ∠的角平分线与x 轴交于(),0N x ，由角平分线定理可知1122NF MF NF MF =7277272x =--，解得1x =， 即()1,0N ，故12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率30141MN k -==-，故答案为1． 14．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018 【解析】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23f x x x ='-+，()21f x x "=-， 由()0f x "=，即210x -=，解得12x =，3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题中给出的结论，所以函数()f x 的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 所以11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，即()()12f x x +-=． 故12018220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22017220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32016220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …，20181220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123420181201920192019202201819201982201f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯=⎭⨯，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018． 15．【答案】①④【解析】π()cos 222cos(2)3f x x x x ==+，故①正确；当π12x =时，ππ()2cos 0122y f ===，故②错误；因为函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到ππ)2sin 2(2sin(2)63y x x =-=-，而ππ2sin(2)2cos(2)33x x -≠+，故③错误；由()3f x ≤可得π2cos(2)33x +≤，解得π3cos(2)3x +≤， 所以ππ11π2π22π,636k x k k +≤+≤+∈Z ，解得3πππ,124πk x k k -+≤≤+∈Z ， 故④正确， 故答案为①④． 16．【答案】26【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则AB CD ⊥，Q 为正方体的中心， 设,M N 分别是,AB CD 的中点，则Q 是MN 的中点，MN AB ⊥，MN CD ⊥， 连接EN ，设EN 的中点为S ，连接,,QS SP PQ ， 因为QS 是NME △的中位线，所以//QS ME ，12QS ME =， 同理//SP NF ，12SP NF =， 因为AB CD ⊥，所以ME NF ⊥，所以QS SP ⊥，即90QSP ∠=︒， 则()22222124QS SP ME NF PQ +=+==，所以228ME NF +=， 因为MN ME ⊥，所以222216NE MN ME ME =+=+， 因为NF ME ⊥，NF MN ⊥，MNME M =，所以NF ⊥平面MNE ，所以NF NE ⊥， 在NEF Rt △中，22221626EF NF NE NF ME =+=++=，故答案为26．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π3B =；（2）93ABC S =△． 【解析】（1）由正弦定理得222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,πB ∈，2π3B ∴=． （2）由余弦定理得()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤， ∴当3a c ==时，ABC △取得最大值，此时19393sin 2224ABC S ac B ==⨯=△．18．【答案】（1）证明见解析；（2）255． 【解析】（1）证明：1π3BCC ∠=，1BC =，12CC =， ∴由余弦定理可知2211123BC BC C CC BC C =+-⋅=，22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，且BC ⊂面11BB C C ，AB BC ∴⊥，又1ABBC B =，1,AB BC ⊂平面1ABC ，BC ∴⊥平面1ABC ．（2）由（1）知，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，1BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,0,0C，()1C，1,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1B -，()1A -，1,22EA ⎫⎛∴=--⎪ ⎪⎝⎭，13,22EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1AEB 的法向量为(),,x y z =n ，由10EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得()=n ； 同理，设平面11A EB 的法向量为()111,,x y z =m，1223EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 由110EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，得()=m ，故cos ,5⋅===⋅m n m n m n ，由题意二面角11A B E A --是锐二面角，故二面角11A B E A --的余弦值为5． 19．【答案】（1）100ˆ13y x=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509． 【解析】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒． （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，142A 2(4)669P X ⨯===⨯，()111142241A A A 205(6)63A 669P X ++====⨯，1122A A 1(9)669P X ⨯===⨯，所以X 的分布列为：所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点()1,2P ，ABP △的面积1ABP S =△，所以1212ABP S b =⨯=△，基底1b =， 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增， 则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212x y +=．（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在， 设1:1PA l y x t =+，3:1PB l y x t=-， 由221112y x tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以22222222218224182:12422182MNt t t t t t l y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++，化简得26182t y x t -=+， 所以直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）()314P A =，()338P B =，()338P C =；（2）843128a =． 【解析】（1）A B C A →→→；A C B A →→→， 所以()311111112222224P A =⨯⨯+⨯⨯=； A B A B →→→；A C A B →→→；A B C B →→→，所以()31111111113++2222222228P B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=； A B A C →→→；A C A C →→→；A C B C →→→，所以()31111111113++2222222228P C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． （2）∵n n b c =，即11n n b c --=，2n ≥，又()1112n n n b a c --=+， ∴2n ≥时，()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+，又∵1111n n n a b c ---++=，可得121n n b b -+=， 由11111111322323n n n b b b --⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 可得数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为12-的等比数列， 1111362n n b -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又11111111212136232n n n n a b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故843128a =． 22．【答案】（1）见解析；（2）25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==． （ⅰ）当01a <<时，由()0f x '<，得1<<a x ，则()f x 的减区间为(),1a ； 由()0f x '>，得x a <或1x >，则()f x 的增区间为()0,a 和()1,+∞． （ⅱ）当1a =时，()0f x '≥，则()f x 的增区间为()0,∞+．（ⅲ）当1a >时，由()0f x '<，得1x a <<，则()f x 的减区间为()1,a ； 由()0f x '>，得1x <或x a >，则()f x 的增区间为()0,1和(),a +∞． （2）()()()222ln 121xxg x e a x a x f x e x ax =-++--=-+-，()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，即关于x 方程21xx e a x-+=在[]1,2上有且仅有一个实数根．令()21x x e h x x -+=，[]1,2x ∈，则()()()211x x x e h x x-+-'=，令()1xp x x e =+-，[]1,2x ∈，则()10xp x e '=-<，故()p x 在[]1,2上单调递减，所以()()120p x p e ≤=-<， 即当[]1,2x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,2上单调递减．又()12h e =-，()2522e h -=，则()2522e h x e -≤≤-，所以a 的取值范围是25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。

高考数学模拟题复习试卷高考数学模拟试卷（四）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，an2+bnan﹣12=2n+1．（1）若bn=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=，Tn=，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修41：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修42：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修44：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修45：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k 个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kPn（k）=n Pn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．南通市高考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B={0，1}．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（•淮安模拟）已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，]．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：xE=，xF=，下证：xE+xF=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（•南通模拟）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，an2+bnan﹣12=2n+1．（1）若bn=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=，Tn=，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出an=n+1，n∈N，再分别表示出Sn与Tn，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列cn=，利用换元法和作差法得到数列{cn}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵an2+bnan﹣12=2n+1，a1=2，bn=﹣1∴an2﹣an﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，an2﹣an﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到an2﹣a12=，∴an2=（n+1）2，n≥2，∵数列{an}的各项均为正数，∴an=n+1，当n=1时，也成立，∴an=n+1，n∈N*，∴Sn==2n﹣1，Tn==，下面比较Sn与Tn的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令cn=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{cn}为递增数列，∴cn≥c6=＞1，∴n≥6时，Sn2＜Tn2，综上所述：当n=2，3，4，5时，Sn＞Tn，当n=1，n≥6时，Sn＜Tn．20．（16分）（•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修41：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修42：矩阵与变换]22．（10分）（•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修44：坐标系与参数方程选讲]23．（•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修45：不等式选讲]25．（10分）（•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kPn（k）=n Pn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则an=nan﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…an﹣1an=2a1×3a2×4a3×…×nan﹣1，左右同除以a2a3a4…an﹣1，得an=2×3×4×…×n=n!∴．24．（•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．13．（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．。

2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

试卷命题双向细目表2019年高考模拟试卷数学卷本试卷分卷I 和卷II 两部分.考试时间120分钟.满分150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卡上。

选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（原创）若集合},0x {N x a x A ∈<<=有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B. [1,2]C. [1,2)D. (1,2]2.（原创）已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则2|2i |z +=（ ）AB ．2 CD ．103.（原创）“3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. (改编)函数)0,0,0(cos sin )(≠≠≠+=ϖϖϖb a x b x a x f ,则)(x fA ．是非奇非偶函数B ．奇偶性与b a ,有关C ．奇偶性与ϖ有关D ．奇偶性与b a ,无关3π34R V =5.（原创）函数2ln )(x xx f =的图象大致是 （ ）A. B. C. D.6.（原创）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥022041y x y x x ，则11+-+=y x x y z 的取值范围是 （ ） A ．]41[，B ．]141[， C ．]4150[，D ．]4172[，7.（改编）P 是双曲线116252=-yx 在第一象限．．．．上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且MP M F ⊥2，则OM 的值是（ ） A ．4 B.5 C.8 D.108. (改编)已知平面上的两个向量OA 和OBa =b =，且221a b +=，0=⋅，若向量),(R OB OA OC ∈+=μλμλ，且()()222221214a b λμ-+-=的最大值为( )A ．1B ．23C ．2D ．49.（改编）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.）（1,0 B.）（+∞,e C.）（）（+∞⋃,e 1,0 D.）（）（+∞⋃,e 1,0210.（改编）如图1，在平面四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，CD =，当ABC ∠变化时，当对角线BD 取最大值时，如图2，将ABC ∆沿AC 折起，在将ABC ∆开始折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD（ ）图1 图2A BCDA ．]6426,0[+B ． ]1,6426[+ C ．]1,6426[- D ．]6426,0[-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）11.（原创）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为12.（原创）若9922109)1()1()1(1-+⋯⋯+-+-+=+x a x a x a a x ）（，则7a = ，=+⋯⋯+++9321932a a a a13.（改编）已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4，则实数 m = ；若0,02m m x ><<222x x +-的最小值为 14. 例3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）15.（改编）已知数列}{a n 满足13)1()2(,2a 11++=++++=+n n n a n a n n ，则=3a ，数列}{a n 的通项公式=n a16.（改编）6辆不同的汽车需停在并排连续的6个车位上，则甲车不能停在首尾两个车位上，且甲车和乙、丙两车中至少一辆相邻的概率是 .17. （改编）函数)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,且)(x f y =在),0[+∞上单调递减,若]3,1[∈x 时,不等式)23(ln )3(2)3ln 2(mx x f f x mx f -+-≥--恒成立,则实数m 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分14分）（改编）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c已知222a c b +=cos 0A B +=. （1）求cos C ； （2）若ABC ∆的面积52S =，求b . （改编）已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中45==BF EC ，，四边形是边长为2的正方形，现沿进AD 行折叠，使得平面⊥EDAF 平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体（1）求证：平面⊥AEC 平面BDE（2）已知点H 在线段上BD ，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BEF 所成角的正弦值。

全国高考数学模拟试卷（4套）试卷一：基础能力测试一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $ f(x) = \sqrt{3x 1} $ 在区间 $[0, 2]$ 上有定义，则 $ x $ 的取值范围是：A. $[0, 1]$B. $[0, 2]$C. $[1, 2]$D. $[1, 3]$2. 已知集合 $ A = \{x | x^2 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 $ a, b $ 是方程 $ x^2 4x + 3 = 0 $ 的两个根，则$ a + b $ 的值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 3x^2 + x $，则 $ f'(1) $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第10项 $ a_{10} $ 的值是：A. 29B. 30C. 31D. 327. 若 $ \sin 45^\circ = x $，则 $ x $ 的值是：A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $8. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f^{1}(x) $ 的表达式是：A. $ x $B. $ \frac{1}{x} $C. $ x $D. $ \frac{1}{x} $9. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的关系是：A. $ a = b $B. $ a = b $C. $ a = b $ 或 $ a = b $D. $ a $ 和 $ b $ 无关10. 已知等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $，则第5项 $ a_5 $ 的值是：A. 8B. 16C. 32D. 64二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值是 ________。

试卷命题双向细目表2019年高考模拟试卷数学卷本试卷分卷I 和卷II 两部分.考试时间120分钟.满分150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卡上。

选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1.（原创）若集合},0x {N x a x A ∈<<=有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B. [1,2]C. [1,2)D. (1,2]2.（原创）已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则2|2i |z +=（ ）A．2 C．103.（原创）“3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. (改编)函数)0,0,0(cos sin )(≠≠≠+=ϖϖϖb a x b x a x f ,则)(x fA ．是非奇非偶函数B ．奇偶性与b a ,有关C ．奇偶性与ϖ有关D ．奇偶性与b a ,无关 5.（原创）函数2ln )(x xx f =的图象大致是 （ ）A. B. C. D.6.（原创）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥022041y x y x x ，则11+-+=y x x y z 的取值范围是 （ ） A ．]41[，B ．]141[， C ．]4150[，D ．]4172[，7.（改编）P 是双曲线116252=-yx 在第一象限．．．．上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且MP M F ⊥2，则OM 的值是（ ）A ．4 B.5 C.8 D.108. (改编)已知平面上的两个向量OA 和OBa =b =，且221a b +=，0=⋅OB OA ，若向量),(R ∈+=μλμλ，且()()222221214a b λμ-+-=的最大值为( )A ．1B ．23C ．2D ．49.（改编）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.）（1,0 B.）（+∞,e C.）（）（+∞⋃,e 1,0 D.）（）（+∞⋃,e 1,0210.（改编）如图1，在平面四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，CD =，当ABC ∠变化时，当对角线BD 取最大值时，如图2，将ABC ∆沿AC 折起，在将ABC ∆开始折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是 （ ）图1 图2A ．]6426,0[+B ． ]1,6426[+ C ．]1,6426[- D ．]6426,0[-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）11.（原创）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为ABCD12.（原创）若9922109)1()1()1(1-+⋯⋯+-+-+=+x a x a x a a x ）（，则7a = ， =+⋯⋯+++9321932a a a a13.（改编）已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4，则实数 m = ；若0,02m m x ><<222x x +-的最小值为 14. 例3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）15.（改编）已知数列}{a n 满足13)1()2(,2a 11++=++++=+n n n a n a n n ，则=3a ，数列}{a n 的通项公式=n a16.（改编）6辆不同的汽车需停在并排连续的6个车位上，则甲车不能停在首尾两个车位上，且甲车和乙、丙两车中至少一辆相邻的概率是 .17. （改编）函数)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,且)(x f y =在),0[+∞上单调递减,若]3,1[∈x 时,不等式)23(ln )3(2)3ln 2(mx x f f x mx f -+-≥--恒成立,则实数m 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分14分）（改编）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b +=cos 0A B +=. （1）求cos C ；（2）若ABC ∆的面积52S =，求b . （改编）已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中45==BF EC ，，四边形是边长为2的正方形，现沿进AD行折叠，使得平面⊥EDAF 平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体 （1）求证：平面⊥AEC 平面BDE（2）已知点H 在线段上BD ，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BEF 所成角的正弦值。