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n
2
15
2 2 f ( t ) g r ( t ) cr cr
n cr g r ( t ) c j g j ( t ) j 1
cr gr (t ) cr gr (t ) 2 f ( t ) g r ( t ) cr
2 f ( t ) gr ( t ) 2cr g ( t )
倍角三角函数
2 sin 2 A (1 cos 2 A) 2 cos 2 A (1 cos 2 A)
8
B C
t1 T
t1
sin mt sin ntdt
t1 T
0 m n T 2 m n 0
t1
sin mt cos ntdt 0
满足正交特性，因此是正交函数集。
多元函数求极值法： 2 2 (c1 , c2 cn )
2 0 c r
为最小。
r 1,2,, n
14
证明过程：
c r c r
2
t2
t1
f ( t ) c j g j ( t ) dt j 1
n n 2
2
2
t2
t1
第三章
连续信号的正交分解
信号的傅里叶变换分析法
信号的频域分析法
1
目录
§3.1 引言 §3.2 正交函数集与信号分解 §3.3 信号表示为傅立叶级数 §3.4 周期信号的频谱 §3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱 §3.6 常用信号的傅里叶变换
§3.7 傅立叶变换的性质 §3.8 周期信号的傅立叶变换
z
Az
Uz
A
Uy
Ax
x
Ux
Ay
y
12
2、函数的分解 任意函数 f (t ) 用正交函数集 gr ( t ) 表示：
f (t ) c1 g1 (t ) c2 g 2 (t ) cr g r (t ) cr g r (t )
r 1
A AxU x AyU y AzU z
f ( t ) f1 ( t ) cr gr ( t )
n
则方均误差： 2 最小
2 n 当 时： 0
r 1
f (t ) cr g r (t )
r 1
17 （多学时完）
§3.3 信号表示为傅立叶级数
周期信号用三角函数集或指数函数集表示，则 为傅里叶基数。 三角函数集
t2
t1 t2
g1 (t ) g 2 (t )dt 0
g1 (t ) g 2 (t )dt 0
t1
则称函数 g1 (t ) 和 g 2 (t ) 在区间内 (t1 , t 2 ) 正交。
4
②正交函数集 如果有n个函数构成一个函数集：
g1 (t ), g2 (t ),, gn (t )
an cos nt bn sin nt An cos(nt n )
2 T
n次谐波分量
---基波角频率
n --- n次谐波角频率
An --- n次谐波的振幅
n --- n次谐波的初相位
21
3、信号展成傅里叶级数的条件---狄利赫莱条件 ①一周期内函数绝对可积： t
证明：
t1 T
t1
e jmt (e jnt ) dt e j ( mn ) t dt
t1 T
t1
t1 T
t1
cos(m n)t j sin(m n)t dt
0 m n T m n
10
二、信号分解为正交函数集
信号分解与矢量分解有相似的意义 1、矢量分解
n
f ( t ) f1 ( t ) c1 g1 ( t ) c2 g2 ( t ) cn gn ( t ) cr gr ( t )
r 1
采用方均误差最小来选择
2 t2 n
c r 使 f1 (t )与 f (t )最接近即:
2
1 f (t ) cr g r (t ) dt t2 t1 t1 r 1
当这些函数在区间 ( t1 , t2 ) 内满足如下关系：
km l m gl ( t ) g ( t )dt 0 l m
m
t2
t1
则称此函数集在区间 ( t1 , t2 ) 内正交，该函数集 称为正交函数集 。
5
2、完备正交集
如果在正交函数集 g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t ) 之外， 不存在函数 x(t ) 使之能满足：
2 r
t2 2 2 f ( t ) gr ( t ) 2cr gr2 ( t ) dt 0 t1 cr
2 f ( t ) gr ( t )dt 2cr gr2 ( t )dt 0
t1 t1
t2
t2
cr
t2
t1
f ( t ) gr ( t )dt
其中：
An a b
2 n
2 n
An
n
bn n arctg an
bn
20
an
2 、解释:
a0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
a0 2
直流分量
基波分量
a1 cos t b1 sin t A1 cos(t 1 )
cos mt, sin nt
指数函数集
m 0,1,2; n 1,2,3
e
jnt
n 0,1,2
18
一、周期信号表示为三角傅里叶级数
1 、表示及系数 ①任意一个周期为T的函数都可以在区间 t1 , t1 T 内 表示为三角傅里叶级数：
1, cos t, cos 2t,, cos mt,, sin t, sin 2t,, sin nt,
a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
a0 f ( t ) a1 cos t a2 cos 2t b1 sin t b2 sin 2t 2
系数 a n , bn 按前节所述方法确定：
2 t1 T an f (t ) cos ntdt t T 1
因为找不到 x (t ) ，所以也是完备的。
注意：
1, cos t, cos 2t,, cos mt, 是正交集但不完备。
sin t, sin 2t,, sin nt, 是正交集但不完备。
9
②指数函数集
e
jnt
n 0,1,2
2 T
在 (t1 , t1 T ) 是一正交函数集
0 m n t1 T T A t1 cos mt cos ntdt 2 m n 0 T m n 0 t1 T 1 cos(m n)t cos(m n)t dt t1 2
1 sin(m n)t sin(m n)t 2 ( m n ) (m n) t1
n 0,1,2
2 t1 T bn f (t )sin ntdt T t1
n 1,2,3
19
2 t1 T 当 n 0 时 a0 T t1 f ( t )dt 2 f ( t ) 信号平均分量
②三角级数的另一种表示
a0 f (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
t1
t2
如果函数集是复数集，则系数 c r 为：
cr
t1 t2
t1
1 gr ( t ) gr ( t )dt kr
f ( t ) gr ( t )dt
t2
t1
f ( t ) gr ( t )dt
kr g r (t ) g r (t )dt t1
t2
用完备正交集 g r (t ) 中有限个函数近似表示 f (t )：
6
3、常见完备正交函数集 ①三角函数集
1, cos t, cos 2t,, cos mt,, sin t, sin 2t,, sin nt,
cos mt, sin nt
证明如下：
m 0,1,2; n 1,2,3
在区间 (t1 , t1 T )内组成正交函数集，而且是完备的。
①平面矢量A的分解
A AxU x AyU y
U x ,U y 。 组成平面中的完备正交矢量集 y
U x ,U y 分别表示相互垂直方向上的单位矢量，它们
Ay
Uy
A
Ax
Ux
x
11
②空间A矢量的分解
A AxU x AyU y AzU z
U
x
,U y ,U z 是三维空间中的完备矢量正交集。
t1 T
7
常用三角函数公式
两角和的三角函数
sin( A B) sin A cos B cos A sin B cos( A B) cos A cos B sin A sin B
三角函数的和差与积
2 cos A cos B cos( A B) cos( A B) 2 sin A sin B cos( A B) cos( A B) 2 cos A sin B sin( A B) sin( A B)
c r
f ( t ) c j g j ( t ) dt 0 j 1
n 2
f ( t ) c j g j ( t ) j 1
2 n
f ( t ) 2 f ( t ) c j g j ( t ) c j g j ( t ) j 1 j 1
