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考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
第一讲基因的基本概念吴乃虎中国科学院遗传与发育生物学研究所2005年8月目录一、基因概念的演变1．基因学说的创立2．基因与DNA分子3．基因与DNA的多核苷酸区段4．基因与多肽链二、基因与基因工程1．基因研究的简单历史回顾2．基因的定义3．基因的数量三、基因的化学本质与编码产物1．基因的化学本质2．基因的编码产物3．基因与蛋白质的数量关系四、基因的结构1．基因的组成部分2．原核基因的结构3．真核基因的结构4．基因的终产物五、基因的类型1．以拷贝数分类2．根据产物类型分类3．根据表达特性分类4．遗传选择标记与标记基因六、基因图与基因作图1．遗传图2．物理图七、基因座八、基因扩增1．基因增加2．基因减少3．基因扩增九、基因表达1．正义链和反义链2．基因表达定义3．基因表达的过程4．基因表达的时空特异性5．基因表达活性的调控十、基因克隆1．克隆的概念2．基因克隆定义十一、基因工程定义1．有关基因工程的名词术语2．“遗传工程”与“基因工程”这两个术语的差别3．基因工程定义4．基因工程的主要内容第一讲基因的基本概念一、基因概念的演变1．基因学说的创立G. Mendel(1857-1864)根据豌豆杂交试验，创立了遗传因子分离律和遗传因子独立分配律——提出了遗传因子的概念W. Johannsen 在1909年提出了用“基因”这个术语代替Mendel的遗传因子——基因术语的提出*此时所谓的“基因”，并不代表物质实体，而是一种与细胞的任何一种可见形态结构毫无关系的抽象单位，因此那时所指的基因只是遗传性状的符号，还没有涉及基因的物质概念。
T. H. Morgan 1910年的工作，头一次将代表某一特定性状的基因，同某一特定的染色体联系起来了，使得科学界普遍接受了Mendel的原理——基因与染色体联系起来2．基因与DNA分子尽管由于Morgan等人的出色工作，使基因学说得到了普遍的承认，但直到1953年Watson-Crick DNA模型提出之前，人们并不理解：a.基因的物质内容和结构特征；b.位于细胞核中的基因如何控制发生在细胞质中的生化过程；c.在细胞分裂过程中，为何基因可准确地复制自己。
第一讲光的反射与折射规律【基本概念】一、光线的概念光的传播伴随着能量的传播，表示光的传播方向的几何线称为光线。
对许多实际问题特别是光学技术成像问题，借助于光线的概念，应用某些基本实验定律及几何定律，就可以进行一切必要的计算而不涉及光的本性问题。
二、几何光学的基本实验定律1．光的直线传播定律：光在均匀介质中是沿直线传播的。
2．光的独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播不发生影响。
光线行进方向是可逆的。
3．光的反射定律入射光线、入射点处反射面的法线和反射光线在同一平面内，且入射光线与法线的夹角i，等于反射光线与法线的夹角i’。
4．光的折射定律入射光线、折射光线和入射点处分界面的法线在同一平面内，且入射光线和折射光线分别位于法线两侧，入射角i1和折射角i2之间有下面关系式：n l sin i l=n2sin i2式中n l和n2分别是介质1和介质2的折射率。
媒质的折射率与光在这种媒质中的传播速度关系为：n=c/v式中c为光在真空中的传播速度，v为光在媒质中的传播速度。
相对折射率与两种媒质的绝对折射率、光在两种媒质中的传播速度的关系为n21=n2/n1=v1/v2媒质的折射率反映了媒质的传光特性，对两种媒质比较，折射率大的媒质，光在其中的速度小，叫光密媒质；折射率小的媒质，光在其中的速度大，叫光疏媒质。
一般媒质的折射率还与入射光的频率有关。
不同频率的光在同一种媒质中的折射率略有不同，紫光的折射率要大于红光的折射率。
一束白光通过三棱镜后发生色散，结果表明各色光在三棱镜材料的折射率不同。
*棱镜的偏向角入射光经三棱镜两次折射后改变了方向，光线传播改变的方向可用第一次折射的入射光线和第二次折射的折射光线的延长线的夹角δ来表示，δ称为棱镜的偏向角。
由图可知δ=(i 1—r 1)+(r 2—i 2) =(i 1+r 2)—(r 1+i 2)因为 (r 1+i 2)=α；所以δ=（(i 1+r 2）α-由折射定律得：sinr 2=nsini 2、sinr 1=sini 1/n当三棱镜中的折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时i 1=r 2，r 1= i 2 =2αsini 1= sinr 2 = nsinr 1 =2sinαn r 1+ i 2=)2sin arcsin(2αn所以偏向角δ为α-α=δ)2sin arcsin(2n或常写为2sin 2sinα=α+δn这时δ为三棱镜的最小偏向角，常用此式来测定棱镜的折射率5．全反射当光由光密介质射入光疏介质时，由折射定律可知，其折射角总大于入射角。
第一讲：基本概念1、西门子系统简介:常见系统有802S/C系统、802D系统、810D系统和840D系统.其中，西门子802S/C系统是西门子公司专门针对中国用户开发的一款系统。
目前西门子系统在中国市场得到了广泛的应用,西门子840D更是以高端系统出现。
西门子系统与FANUC系统的比较2、基本概念2。
1插补功能：指定刀具沿直线轨迹或圆弧轨迹移动的功能称为插补功能.它属于准备功能,用G代码后跟若干位数字来表示.2。
2进给功能:用于指定刀具运动速度的功能。
单位为mm/min。
用F指令2。
3参考点：一个固定的点,是机床生产商通过行程开关设定的一个特定位置。
在数控操作中所谓的“回零”回的就是此点。
2。
4机床原点（零点）：即机床坐标系的原点，也是一个固定点。
它是机床制造商在制造、校正机床时设定的一个特殊位置。
2。
5坐标系：在数控系统中提到共四个坐标系,即机床坐标系、机床参考坐标系、工件坐标系和编程坐标系。
数控系统中的坐标系均为右手笛卡尔坐标系，如图示：2.5。
1机床坐标系：是机床制造商在设计机床时设定的一个坐标系2.5.2机床参考坐标系：是机床生产商通过行程开关设定的一个坐标系2.5.3工件坐标系：为确定工件在机床中的准确位置而建立的一个坐标系，即后面所学到的可设定零点偏置确定的坐标系.2.5.4编程坐标系：在程序编制过程中，在零件图纸上建立的坐标系2.6主轴功能：用于确定主轴转速的功能,即S指令主轴定位用SPOS=XX格式表示2。
7切削速度：切削工件时刀具与工件的相对速度称为切削速度v。
S=1000v/Πd其中：S：主轴转速V:切削速度D:刀具直径例：假设用直径φ160mm的刀具，以100m/min的切削速度加工工件，试求其主轴转速？注：进给速度Vf=机床转速n*刀具齿数Z＊每齿切削深度fz，单位是毫米/分钟2。
8辅助功能：指令机床部件启停操作的功能.用M指令表示2。
9主程序和子程序:2。
10准备功能：用来控制刀具（或工作台）运动轨迹的机能。
第一讲基本概念
一、参考系
1.为了描述物体的运动而的物体叫参考系（或参照物）。
2.选取哪个物体作为参照物，常常考虑研究问题的方便而定。
研究地球上物体的运动，一般来说是取为参照物，对同一个运动，取不同的参照物，观察的结果可能不同。
3.运动学中的同一公式中所涉及的各物理量应相对于同一参照物。
如果没有特别说明，都是取地面为参照物。
二、质点
1.定义:
2.物体简化为质点的条件：
3.注意：同一物体，有时能被看作质点，有时就不能看作质点。
三、时间和时刻
1.时刻；在时间轴上可用一个确定的点来表示，如“2s末”、“3s初”等。
2.时间：指两个时刻之间的一段间隔，如“第三秒内”、“10分钟”等。
四、位移和路程
1.位移
①意义：位移是描述的物理量。
②定义：
③位移是矢量，有向线段的长度表示位移大小，有向线段的方向表示位移的方向。
2.路程：路程是；路程是标量，只有大小，没有方向。
3.物体做运动时，路程才与位移大小相等。
在曲线运动中质点的位移的大小一定路程。
五、速度和速率
1.速度
①速度是描述的物理量。
速度是矢量，既有大小又又方向。
②瞬时速度：对应或
的速度，简称速度。
瞬时速度的方向为该时刻质点的方向。
③平均速度：定义式为，该式适用于运动；而平均速度公式仅适用于运动。
平均速度对应某一段时间（或某一段位移），平均速度的大小跟时间间隔的选取有关，不同的阶段平均速度一般不同，所以求平均速度时，必须明确是求哪一段位移或哪一段时间内的平均速度。
2.速率：瞬时速度的大小叫速率，速率是标量，只有大小，没有方向。
六、加速度
1.加速度是描述的物理量。
2.定义式：。
3.加速度是矢量，方向和方向相同。
4.加速度和速度的区别和联系：
①加速度的大小和速度（填“有”或“无”）直接关系。
质点的运动的速度大，加速度大；速度小，其加速度
小；速度为零，其加速度为零（填“一定”或“不一定”）。
②加速度的方向（填“一定”或“不一定”）和速度方向相同。
质点做加速直线运动时，加速度与速度方向；质点做减速直线运动时，加速度与速度方向；质点做曲线运动时，加速度方向与初速度方向成某一角度。
③质点做加速运动还是减速运动，取决于加速度的和速度的关系，与加速度的无关。
练习题
1.某物体沿着半径为R的圆周运动一周的过程中，最大路程为，最大位移为。
2.下列说法中正确的是…………………（）
A.位移大小和路程不一定相等，所以位移才不等于路程；
B.位移的大小等于路程，方向由起点指向终点；
C.位移取决于始末位置，路程取决于实际运动路线；
D.位移描述直线运动，是矢量；路程描述曲线运动，是标量。
3．已知火车的长度l、桥的长度L和火车的速度v，试计算火车过桥所需的时间。
4.物体做直线运动，若在前一半时间是速度为v1的匀速运动，后一半时间是速度为v2的匀速运动，则整个运动过程的平均速度大小是；若在前一半路程是速度为v1的匀速运动，后一半路程是速度为v2的匀速运动，则整个运动过程的平均速度大小是。
5.某同学在百米比赛中，经50m处的速度为10.2m/s，10s末以10.8m/s冲过终点，他的百米平均速度大小为m/s。
6．物体做匀加速直线运动，其加速度为2m/s2，那么，在任1s内
A．物体的加速度一定等于物体速度的2倍
B．物体的初速度一定比前一秒的末速度大2m/s
C．物体的末速度一定比初速度大2m/s
D．物体的末速度一定比前一秒的初速度大2m/s
7．物体以5m/s的初速度沿光滑斜槽向上做直线运动，经4 s滑回原处时速度大小仍为5 m／s，则物体的速度变化为＿＿＿＿＿，加速度为＿＿＿＿＿．（规定初速度方向为正方向）．
8.下列说法中正确的是…………………（）
A．质点运动的加速度为0，则速度为0，速度变化也为0；
B．质点速度变化越慢，加速度越小；
C．质点某时刻的加速度不为0，则该时刻的速度也不为0；
D．质点运动的加速度越大，它的速度变化也越大。
9．关于物体的运动，不可能发生的是（）
A．加速度大小逐渐减小，速度也逐渐减小
B．加速度方向不变，而速度方向改变
C．加速度和速度都在变化，加速度最大时，速度最小
D．加速度为零时，速度的变化率最大。
