(完整版)分布列概念

分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。

对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。

1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。

（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。

二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。

根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。

2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。

这对于一些概率问题的求解非常有用。

三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。

设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。

3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。

设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。

四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。

高中数学高三分布列知识点在高中数学的学习中，分布列是一个重要的概念和技巧，它用于描述随机试验中各个可能结果的概率分布。

分布列的研究可以帮助我们理解概率论的基本原理，并且可以应用于实际问题的解决。

一、概念和基本性质分布列是指随机试验的所有可能结果及其对应的概率。

在计算分布列时，我们需要确定试验的所有可能结果，并且计算每个结果出现的概率。

分布列具有以下基本性质：1. 概率的非负性：每个结果的概率都是非负数，不会出现负值。

2. 概率的和为1：所有结果的概率之和等于1，表示必然事件的发生。

3. 互斥性：不同结果之间是互斥的，即只能发生其中一个结果。

4. 可列性：试验的所有可能结果是可列的，即可以一一列举。

二、常见的分布列1. 二项分布：二项分布是一种离散的概率分布，适用于只有两个可能结果的试验。

二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。

2. 泊松分布：泊松分布是一种离散的概率分布，适用于描述单位时间（或空间）内某事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率计算公式为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，其中λ表示单位时间（或空间）内事件的平均发生次数。

3. 几何分布：几何分布是一种离散的概率分布，适用于描述在独立重复试验中，试验成功之前所需的失败次数的概率分布。

几何分布的概率计算公式为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p，其中p表示每次试验成功的概率。

4. 正态分布：正态分布是一种连续的概率分布，适用于描述大部分事物的分布情况。

正态分布的概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ表示均值，σ表示标准差。

三、应用实例分布列的应用非常广泛，下面我们通过几个实例来说明其实用性。

1. 投掷硬币问题：假设我们进行10次硬币的正反面投掷试验，每次成功的概率都是0.5。

分布律和分布列分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域，包括统计学、工程学、金融学等。

本文将详细介绍分布律和分布列的概念、性质及其在实际应用中的意义。

一、分布律的定义与性质分布律又称分布函数，通常用F(x)来表示。

假设随机变量X的取值范围为实数轴上的所有实数，F(x)表示X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。

分布律具有以下性质：1. F(x)是一个非降函数，即F(x)在定义域内具有单调性。

2. F(x)的取值范围在[0,1]之间。

3. F(x)是一个右连续函数，即对于任意的x，F(x)在右侧连续。

4. F(x)在x处的导数等于X=x处的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。

二、分布列的定义与性质分布列是离散随机变量的分布函数，通常用p(x)来表示。

假设随机变量X的取值范围为{x1,x2,…,xn}，则p(x)表示X等于x的概率，即：p(xi) = P{X=xi}分布列具有以下性质：1. 对于所有的i，有0 ≤ p(xi) ≤ 1。

2. ∑_i=1^n p(xi) = 1。

3. p(x)是一个非降函数。

三、分布律与分布列的区别分布律用来描述连续随机变量的概率分布，而分布列则用来描述离散随机变量的概率分布。

因为连续随机变量可以取无限多个值，所以概率密度函数f(x)是用来表示概率分布的。

分布律F(x)是f(x)的积分，表示随机变量小于等于某个值的概率。

而离散随机变量只能取有限个取值，所以概率可以用一个列表来表示。

分布列p(x)就是这个列表，它表示随机变量取某一特定值的概率。

四、分布律与分布列的应用分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域。

例如，在统计学中，分布律和分布列常常用来描述样本数据的概率分布，从而进行统计推断；在工程学中，分布律和分布列常常用来描述工程系统的性能分布，从而进行系统设计和优化；在金融学中，分布律和分布列常常用来描述金融资产的风险分布，从而进行投资决策和风险控制等。

2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x 与p 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)1.离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1.类型一 离散型随机变量的分布列的性质的应用例1 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai (i ＝1,2,3,4)，求： (1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52.解 题中所给的分布列为由离散型随机变量分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，解得a ＝110.(1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})＝P (X ＝1)＋P (X ＝3) ＝110＋310＝25. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. 反思与感悟 1.本例利用方程的思想求出常数a 的值. 2.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列.试说明该同学的计算结果是否正确.(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0).解 (1)因为P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12＋14＋16＝1112，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确.(2)①由分布列的性质得，1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1， ∴q ＝1－22. ②P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 类型二 求离散型随机变量的分布列例2 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.解 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25， 从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为：反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.跟踪训练2 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列. 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中原有的白球的个数. (2)求随机变量ξ的分布列. (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6.可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球. (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.跟踪训练3 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只.(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率.(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列.解 (1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.X 的分布列为1.已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139 D.1310 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52等于( ) A.12 B.19 C.16 D.15 答案 D解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2.P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15. 3.将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________. 答案 0.75解析 P (0<X <3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝3) ＝1－123－123＝0.75.4.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列. 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P (ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；P (ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；P (ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；P (ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；P (ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.一、选择题1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A.1110B.155 C.110 D.55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.2.若随机变量X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 3.若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A.x ≤1 B.1≤x ≤2 C.1<x ≤2 D.1≤x <2答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2. 4.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得：ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5.已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C.[－3,3] D.[0,1]答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.二、填空题7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 答案 47解析 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 8.由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________. 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能值为________. 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1表示甲抢到1题但答错了， 若乙两题都答错，则甲获胜； 甲获胜还有以下可能：X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错. X ＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对. X ＝3时，甲抢到3题均答对.10.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________. 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .求这名运动员投中3分的概率.解 由题中条件知，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16.12.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列.解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}.由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以事件A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：13.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为。

第6讲 离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )； ②∑ni ＝1p i ＝1． 3．两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为X 0 1 P1－pp＝P (X ＝1)称为成功概率[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )X 2 5 P0.30.7[教材衍化]1．(选修2-3P77A 组T1改编)设随机变量X 的分布列如下：解析：由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， 所以p ＝1－34＝14.答案：142．(选修2-3P49A 组T1改编)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是________．解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3. 答案：0，1，2，33．(选修2-3P49A 组T5改编)设随机变量X 的分布列为解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 答案：512[易错纠偏]随机变量的概念不清.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数解析：选C.A ，B 两项表述的都是随机事件，D 项是确定的值2，并不随机；C 项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X 01234P 0.20.10.10.3m(2)|X－1|的分布列．【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列为2X＋113579P 0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列为|X－1|012 3P 0.10.30.30.3(变问法)在本例条件下，求P(1<X≤4)．解：由本例知，m＝0.3，P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为() A．3B．4C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n ＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pabc解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容) 角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0 1 2 3 频数1595当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为X 2 3 P1434角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2020·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ，P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45.(2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920；P (X ＝5)＝C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为X 3 4 5 P12092012离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12， 化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为X 0 1 2 P522611522[基础题组练]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：选C.设X 的分布列为X1即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A.14B.12C.34D.23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝⎛⎭⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34. 3．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P A.13 B.16 C.12D.56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56. 4．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A. 5．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：166．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 7．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X 解析：由分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 138．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：9.(1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12.10．(2020·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的分布列为X 0 10 20 50 60 P1325115215 1151．(2020·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584，P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184.所以X 的分布列为X 1 2 3 4 P71225843281842.O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6， 所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635； P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135. 所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ，则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。

概率与分布列概率与分布列是统计学中非常重要的两个概念。

概率是指某个事件发生的可能性，而分布列则是表示事件发生的可能性分布情况。

在现实生活和科学研究中，我们经常会遇到需要计算概率和分布列的情况，因此掌握这两个概念是必不可少的。

一、概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。

其中，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生，而0和1之间的数则表示该事件有一定概率发生。

我们可以通过概率的计算来预测事件的发生情况，从而更好的做出决策。

例如，我们可以通过掷骰子的概率来预测在6次掷骰子中，得到6点的次数有多少。

假设我们用P(x)表示得到x点的概率，那么掷一次骰子得到6点的概率是1/6，即P(6)=1/6。

在6次掷骰子中，得到6点的次数可以是0次、1次、2次、3次、4次、5次或6次，因此我们可以用如下公式计算得到6点的次数的概率分布情况：P(0)=（5/6）^6≈0.33P(1)=6×（1/6）×（5/6）^5≈0.41P(2)=15×（1/6）^2×（5/6）^4≈0.22P(3)=20×（1/6）^3×（5/6）^3≈0.07P(4)=15×（1/6）^4×（5/6）^2≈0.01P(5)=6×（1/6）^5×（5/6）≈0.001P(6)（得到6点6次）≈10^-6可以看出，得到6点的概率最大的情况是1次，其概率为0.41。

而得到6点的概率最小的情况则是6次，其概率非常小，只有10^-6。

二、分布列分布列是指将所有可能的事件及其概率列出来的表格。

在实际生活中，我们经常需要根据分布列来做出决策。

例如，我们可能需要根据某个产品的销售情况来预测未来的销售情况，并决定是否生产更多的产品来满足市场需求。

当我们需要绘制分布列时，通常需要知道每个事件发生的概率以及事件的数量。

例如，我们可以用下表表示掷骰子得到不同点数的概率分布情况：|点数|概率||---|---||1|1/6||2|1/6||3|1/6||4|1/6||5|1/6||6|1/6|在分布列中，我们可以看出掷骰子得到不同点数的概率分布情况，并且可以根据分布列来预测某个事件的发生情况。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===L min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈要点一、条件概率的概念 1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。

用符号表示。

读作：发生的条件下B 发生的概率。

要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。

（完整版）F分布的概念及表和查表方法目录1 定义2 性质定义若总体，与为来自X的两个独立样本，设统计量则称统计量F服从自由度和的F分布，记为分布的概率密度为分布的概率密度函数图像如图1所示图1 [2]若总体与总体独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量则称统计量F服从自由度为和，非中心参数为的非中心F分布，记为性质性质1：性质2：设，则。

性质3：设，则。

性质4：分布的分布函数可用标准正态分布的分布函数来逼近。

即其中， ( ，充分大)。

性质5：若总体与独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，为已知参数。

则统计量性质6：若总体与独立，为来自X 的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量F统计学附录表F—分布临界值表——α（0.005―0.10）α=0.005α=0.01α=0.025α=0.05α=0.10说明：F分布表横坐标是x，纵坐标是y（如下图），一个α分位点一张表，根据公式中的分子自由度(表第一行数字，k1)和分母自由度（表第一列数字,k2）；它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。

f分布表查询方法例：1.首先需要了解自由度是多少，例如当分位数α=0.1时，找到α=0.1的表。

2、这里以分位数为α=0.10，自由度为（2,3）的F分布为例。

首先选择分位数为0.10的分位数表，然后找到上方一行的2，对应2下方的一列。

3.其次找到左侧一列中的3，对应3的那一行。

4.两者相交的那个数字就是需要查找的分位数为0.10，自由度为（2,3）的F分布的值，即5.46。

第五节离散型随机变量及其分布列复习目标学法指导1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. 1.了解离散型随机变量的意义,能利用古典概型的概率公式求分布列.2.了解两个事件相互独立及独立重复试验的概念,能把复杂事件转化为n个互斥事件的和或几个独立事件的和求解,并注意每个公式的适用条件.一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列及性质1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质(1)p i≥0,i=1,2,…,n.(2)p1+p2+…+p n=1.三、相互独立事件一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.四、两点分布若随机变量X的分布列为X 0 1P 1-p p则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.五、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).n此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.1.概念理解(1)随机变量是将随机试验的结果数量化.(2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性.(3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB).(5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响.(6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(7)P(X=k)=C k np k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项1k T =C k n (1-p)n-kp k .(8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C knp k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论(1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立. (2)若A 与B 相互独立,则P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A).(3)事件A,B发生的概率关系如表所示事件概率A,B互斥A,B相互独立A,B至少有一个发生P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)·P(B)A,B同时发生P(A·B)0 P(A)·P(B)A,B都不发生P(A·B)1-[P(A)+P(B)]P(A)·P(B)A,B恰有一个发生P(A·B+A·B)P(A)+P(B)P(A)·P(B)+P(A)·P(B)A,B至多有一个发生P(A·B+A·B+A·B)11-P(A)·P(B)1.随机变量X的分布列如表:X -1 0 1P a b c其中a,b,c 成等差数列,则P(|X|=1)等于( A ) (A)23(B)12(C)13(D)162.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,15,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内三人同去北京旅游的概率为( D )(A)5960 (B)35 (C)12 (D)160解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为13,14,15,且三人的行动相互独立,故三人同去北京旅游的概率为 13×14×15=160.故选D. 3.离散型随机变量X 的概率分布规律为P(X=n)=()1an n +(n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P(12<X<52)的值为( D ) (A)23 (B)34 (C)45 (D)56解析:因为P(X=n)=()1an n +(n=1,2,3,4),所以2a +6a +12a +20a =1,所以a=54, 所以P(12<X<52)=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.故选D. 4.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X=1的概率为 .解析:P(X=1)=113225C C C =610=35.答案:35考点一 离散型随机变量分布列的性质及其应用[例1] 设随机变量X 的分布列为P(X=5k )=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求a; (2)求P(X ≥35).解:(1)由分布列的性质得,P(X=15)+P(X=25)+P(X=35)+P(X=45)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=115.(2)P(X ≥35)=P(X=35)+P(X=45)+P(X=1) =3×115+4×115+5×115 =45.(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时注意检验,保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列及互斥事件的概率加法公式,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为:X -10 1 P132-3qq 2则q 的值为( C ) (A)1 (B)3233(C)3233(D)3233解析:由分布列的性质知22230,0,1231,3⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪+-+=⎩q q q q解得q=32-336.故选C.考点二 求离散型随机变量的分布列[例2] 一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4,从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X 的分布列.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=1322252547C CC C C =67.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=3347C C =135,P(X=2)=3447C C=435,P(X=3)=3547C C =27, P(X=4)=3647C C =47,所以随机变量X 的分布列是X 1234P1354352747(1)求离散型随机变量X 的分布列的步骤:①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值;②求X 取每个值的概率;③写出X 的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求: (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列. 解:(1)设事件A:选派的3人中恰有2人会法语,则P(A)=215237C CC =47.(2)依题意知X 的取值为0,1,2,3,P(X=0)=3437C C=435,P(X=1)=214337C C C =1835, P(X=2)=124337C C C =1235, P(X=3)=3337C C=135,所以X 的分布列为X 0123P43518351235135考点三 独立重复试验与二项分布[例3] 甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B 选择甲的概率均为m,C,D 选择甲的概率均为n(m>n),且四人同时选择甲的概率为9100,四人均未选择甲的概率为125.(1)求m,n 的值;(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X 的分布列和数学期望.解:(1)由已知可得()()22229,100111,25,m n m n m n ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪>⎪⎩ 解得3,51.2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n(2)X 可取0,1,2,3,4.P(X=0)=125,P(X=1)=12C ×35×(1-35)×(1-12)2+(1-35)2×12C ×12×(1-12)=15, P(X=2)=12C ×35×(1-35)×12C ×12×(1-12)+(35)2×(1-12)2+(1-35)2×(12)2=37100,P(X=3)=12C ×35×(1-35)×(12)2+(35)2×12C ×12×(1-12)=310, P(X=4)=9100.X 的分布列为 X 01234P12515371003109100E(X)=0×125+1×15+2×37100+3×310+4×9100=2.2. 二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰有k次发生的概率,其解题一般思路是:根据题意设出随机变量X →分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p →分析X 取每个值对应的k 值→将k 代入公式求概率.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求比赛局数的分布列.解:(1)由已知得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12,设A={甲以4比1获胜},则P(A)=34C(12)3(12)4-3·12=18.(2)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=2·44C(12)4=18,P(X=5)=2·34C(12)3(12)4-3·12=14,P(X=6)=2·35C(12)3(12)5-3·12=516,P(X=7)=2·36C(12)3(12)6-3·12=516,比赛局数的分布列为X 4 5 6 7P 1814516516古典概型与离散型随机变量的分布列[例题] 某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为33343366C C C C =1100.因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.①(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3.②P(X=1)=133346C C C =15, P(X=2)=223346C C C =35,P(X=3)=313346C C C =15.③ 所以X 的分布列为④因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×15=2.⑤规范要求:步骤①②③④⑤应齐全,能够正确利用计数原理、排列、组合求出概率.温馨提示:对于“至少”“至多”型问题常考虑利用对立事件概率加法公式求解.[规范训练] 在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率;(2)求随机变量X的分布列.解:(1)由题意知,x,y可能的取值为1,2,3,则|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P(X=3)=2.故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的9.概率为29(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.当X=0时,只有x=2,y=2这一种情况,当X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况, 当X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.当X=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.所以P(X=0)=19,P(X=1)=49,P(X=2)=29,P(X=3)=29.则随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 19492929类型一离散型随机变量1.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ的可能取值为( C )(A)0,1 (B)1,2 (C)0,1,2 (D)0,1,2,3解析:因为8件产品中有2件次品,所以从中任取3件,表示取到次品件数的随机变量ξ的可能取值为0,1,2.故选C.类型二求概率2.随机变量X的分布列如下:X -1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于( D )(A)16(B)13(C)12(D)23解析:由题意知a,b,c成等差数列,所以2b=a+c. 又因为a+b+c=1,解得b=13,所以P(|X|=1)=a+c=23.故选D.3.某科研小组共有5名成员,其中男生3名,女生2名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( C ) (A)25(B)35(C)710(D)以上都不对解析:所求概率P=1-2325C C =710.故选C.4.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( C )(A)13 (B)12 (C)59 (D)29解析:根据题意,分两种情况讨论:①从甲袋中取出两个红球,其概率为13,此时乙袋中有2个黄球和4个红球,则从乙袋中取出红球的概率为46=23,则这种情况下的概率为13×23=29,②从甲袋中取出1个红球和1个黄球,其概率为23,此时乙袋中有3个黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为36=12,则这种情况下的概率为23×12=13, 则从乙袋中取出红球的概率为29+13=59.故选C. 类型三 分布列5.若在甲袋内装有8个白球、4个红球,在乙袋内装有6个白球、6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于11118646111212C C C C C C +的是( C )(A)P(X ≤1) (B)P(X ≤2) (C)P(X=1) (D)P(X=2)解析:P(X=1)= 11118646111212C C C C C C +,故选C.6.随机变量X 的概率分布规律为P(X=n)=()1+an n (n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(23<X<52)的值为( D ) (A)23 (B)34 (C)45 (D)56解析:由题意知P(X=1)=2a ,P(X=2)=6a ,P(X=3)=12a ,P(X=4)=20a , 所以2a +6a +12a +20a =1, 可解得a=54, 因为P(23<X<52)=P(X=1)+P(X=2), 所以P(23<X<52)=56.故选D. 7.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列是 . 解析:ξ的可能取值为P(ξ=0)=232128C C =411,P(ξ2126C =111.P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ411-111=611. 答案:8.生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品,采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有一箱不合格产品,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率是 .解析:设“5箱中的不合格品的箱数”为X, 则该批产品被接收的概率是 P(X ≤1)=P(X=0)+P(X=1)=05248550CC C ⋅+14248550CC C ⋅=243245.答案:2432459.某高校一专业在一次自主招生中,对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率;(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名,设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X,求随机变量X 的分布列.解:(1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”,因为语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名,所以P(A)=620 n = 25,解得n=2,即m=4,用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”, 所以P(B)=1-2629C C =712.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.因为20名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名,所以P(X=0)=212220C C=3395,P(X=1)=11812220C C C =4895,P(X=2)=28220C C = 1495, 所以X 的分布列为。

分布列性质分布列性质是统计中一个重要的概念，其定义也比较宽泛。

因此，本文会首先介绍分布列性质和其它相关概念，以便可以更好地理解它。

接下来，我们将着重介绍分布列性质的几种形式，特别是它们的应用。

首先，我们来介绍分布列性质的概念。

它可以被视为描述一类实体（例如，某种货物）特定属性（例如，价格）在某一行业或一类人群中的分布情况。

例如，我们可以探究一类货物在某市场中的价格分布情况，或者探究一类人在某地区中的年收入分布情况等等。

接下来，让我们来看看分布列性质有何不同的形式。

最常见的形式就是集中趋势（CT），这是指某特定属性在一类实体中的值大多以某一集中的值出现。

例如，某商品的价格集中在某个价格附近，即可以称为价格集中趋势。

另一种分布形式是众数（Mode），这是指某特定属性在一类实体中的值出现频率最高的值。

例如，一件商品在市场上最受欢迎的价格，就可以称为该商品的众数价格。

分布列性质也可以有更复杂的形式。

比如，可以说，一类实体的某属性有“正偏态”（positively skewed），指的是大多数值偏低，少部分数值偏高。

或者，某属性有“负偏态”（negatively skewed），指的是大多数值偏高，少部分数值偏低。

此外，分布还可以是“均匀分布”（uniform distribution），指的是所有值,匀分布在某一区间内。

当然，分布列性质的定义并不仅限于上述几种形式，它实际上还有很多更复杂的形式。

它们受到各种因素的影响，比如实体所处的社会文化环境和货币流通情况等等，因此在不同的时空背景下，分布的表现也可能各不相同。

此外，分布列性质的定义还可以细分为实体类型和属性类型。

实体类型指的是特定实体的特定属性的分布情况，比如价格的分布情况；而属性类型则指的是一类实体的多个属性的分布情况，比如商品价格，品质，用户评价等等。

本文介绍了分布列性质的概念及其几种常见形式，也提出了我们可以如何更进一步细分概念，特别是其实体类型和属性类型。