高一数学上册 讲义 函数与方程及函数模型应用

专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。

高一上学期数学必修内容总结高一上学期数学必修内容总结必修一第一章集合与函数概念1。

１集合1.２函数及其表示1。

3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ)2。

1指数函数2．2 对数函数2。

3幂函数第三章函数的应用3。

1 函数与方程3.２函数模型及其应用必修二第一章空间几何体１.1 空间几何体的结构1．2空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．２直线、平面平行的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3。

2 直线的方程3。

3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4。

1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4。

3 空间直角坐标系必修四第一章函数1.1 任意角和弧度制1。

2任意角的函数1.3函数的诱导公式1。

4函数的图象和性质1。

5 函数的图象１.6 函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2。

4 平面向量的数量积2。

５平面向量应用举例第三章恒等变换３．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的恒等变换必修五第一章解形１.１正弦定理和余弦定理1.2 应用举例第二章数列２．1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2．3 等差数列的前ｎ项和２．4等比数列2。

5 等比数列的前ｎ项和第三章不等式3。

1 不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3．３二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3。

４基本不等式。

学习目标核心素养１．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.２．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．（重点、难点）１．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.２．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）分段函数模型f（x）＝错误!１．一个矩形的周长是４0，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）Ａ．y＝２0—x,0<x<１0 Ｂ．y＝２0—２x,0<x<２0Ｃ．y＝４0—x,0<x<１0 Ｄ．y＝４0—２x,0<x<２0[答案] A２．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（）Ａ．一次函数模型Ｂ．二次函数模型Ｃ．分段函数模型Ｄ．无法确定C[由s与t的图象，可知t分４段，则函数模型为分段函数模型．]３．某商店进货单价为４５元，若按５0元一个销售，能卖出５0个；若销售单价每涨１元，其销售量就减少２个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．60[设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝（５0＋x—４５）（５0—２x）＝—２x２＋４0x＋２５0＝—２（x—１0）２＋４５0，所以当x＝１0，即销售价为60元时，y取得最大值．]一次函数模型的应用【例１】某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋３0 000．而出厂价格为每套１２元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）Ａ．２000套Ｂ．３000套Ｃ．４000套Ｄ．５000套D[因利润z＝１２x—（6x＋３0 000），所以z＝6x—３0 000，由z≥0解得x≥５000，故至少日生产文具盒５000套．]１．一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．２．一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．１．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图象．根据图象填空：１通话２分钟，需要付电话费________元；２通话５分钟，需要付电话费________元；３如果t≥３，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为________．１３．6 ２6 ３y＝１．２t（t≥３）[１由图象可知，当t≤３时，电话费都是３．6元．２由图象可知，当t＝５时，y＝6，需付电话费6元．３易知当t≥３时，图象过点（３,３．6），（５,6），待定系数求得y＝１．２t（t≥３）．]二次函数模型的应用【例２】某水果批发商销售每箱进价为４0元的苹果，假设每箱售价不得低于５0元且不得高于５５元．市场调查发现，若每箱以５0元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高１元，平均每天少销售３箱．（１）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；（２）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；（３）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x ∈[５0,５５]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解] （１）根据题意，得y＝90—３（x—５0），化简，得y＝—３x＋２４0（５0≤x≤５５，x∈N）．（２）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝（x—４0）（—３x＋２４0）＝—３x２＋３60x—9 600（５0≤x≤５５，x∈N）．（３）因为w＝—３x２＋３60x—9 600＝—３（x—60）２＋１２00，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又５0≤x ≤５５，x ∈N ，所以当x ＝５５时，w 有最大值，最大值为１ １２５． 所以当每箱苹果的售价为５５元时，可以获得最大利润，且最大利润为１ １２５元．二次函数模型的解析式为g x ＝ax ２＋bx ＋c a ≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.２．A ，B 两城相距１00 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于１0 km ，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0．２５．若A 城供电量为２0亿度/月，B 城为１0亿度/月．（１）把A ，B 两城月供电总费用y （万元）表示成x （km ）的函数，并求定义域； （２）核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用最小． [解] （１）由题意设甲城的月供电费用为y １，则y １＝λ×２0x ２. 设乙城的月供电费用为y ２，则y ２＝λ×１0×（１00—x ）２， ∴甲、乙两城月供电总费用y ＝λ×２0x ２＋λ×１0×（１00—x ）２. ∵λ＝0．２５，∴y ＝５x ２＋错误!（１00—x ）２（１0≤x ≤90）．（２）由y ＝５x ２＋错误!（１00—x ）２＝错误!x ２—５00x ＋２５ 000 ＝错误!错误!２＋错误!， 则当x ＝错误!时，y 最小．故当核电站建在距A 城错误! km 时，才能使供电总费用最小． 分段函数模型的应用【例３】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0．５万元，此外每生产１00件这种产品还需要增加投资0．２５万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为５00件，当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为５t —错误!t ２（万元）．（１）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；（２）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？[解] （１）当0<x≤５时，产品全部售出，当x>５时，产品只能售出５00件．所以f（x）＝错误!即f（x）＝错误!（２）当0<x≤５时，f（x）＝—错误!x２＋４．7５x—0．５，所以当x＝４．7５（百件）时，f（x）有最大值，f（x）max＝１0．78１２５（万元）．当x>５时，f（x）<１２—0．２５×５＝１0．7５（万元）．故当年产量为４7５件时，当年所得利润最大．１．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．２．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．３．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．３．已知A、B两地相距１５0千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留１小时后再以５0千米/时的速度返回A地．（１）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；（２）求汽车行驶５小时与A地的距离．[解] （１）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需２．５小时，这时x＝60t；当２．５<t≤３．５时，x＝１５0；汽车以５0千米/时的速度返回A地需３小时，这时x＝１５0—５0（t—３．５）．所求函数的解析式为x＝错误!（２）当t＝５时，x＝—５0×５＋３２５＝7５，即汽车行驶５小时离A地7５千米．１．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．２．数学建模的过程图示如下：１．思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．（１）甲比乙先出发．（）（２）乙比甲跑的路程多．（）（３）甲、乙两人的速度相同．（）（４）甲先到达终点．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）A B C DB[图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]３．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经２小时到达B地，在B地停留２小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，该函数的解析式是________．[答案] y＝错误!４．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：（１）求y与x的函数解析式；（２）要使该游乐场每天的盈利额超过１000元，每天至少卖出多少张门票？[解] （１）由图象知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0,２00]时，过点（0，—１000）和（２00,１000），解得k＝１0，b＝—１000，从而y＝１0x—１000；x∈（２00,３00]时，过点（２00,５00）和（３00,２000），解得k＝１５，b＝—２５00，从而y＝１５x—２５00，所以y＝错误!（２）每天的盈利额超过１000元，则x∈（２00,３00]，由１５x—２５00>１000得，x>错误!，故每天至少需要卖出２３４张门票．。

高一数学上册《函数模型及其应用》知识点归纳新人教版高一数学上册《函数模型及其应用》知识点归纳新人教版抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量;2.建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式;3.求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(ba),在ab，ad，cd，cb上分别截取ae，ah，cg，cf都等于x，当x为何值时，四边形efgh的面积最大?并求出最大面积.? p=""解：设四边形EFGH的面积为S，?则S△AEH=S△CFG= x2,S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，?∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]?=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+ ?由图形知函数的定义域为{x|0x≤b}.? p=""又0ba,∴0b p="" ≤b,即a≤3b时，?=""则当x= 时，S有最大值 ;?若 b,即a3b时，?S(x)在(0,b]上是增函数，?此时当x=b时，S有最大值为?-2(b- )2+ =ab-b2,?综上可知，当a≤3b时，x= 时，?四边形面积Smax= ,?当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.?变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值.解：设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，进货总额为8(100-10x)元，?显然100-10x0,即x10,?则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x -4)2+360(0≤x10).?当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.?例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时，求s的值;?(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;?(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会，请说明理由.?解：(1)由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,?∴s= ×4×12=24.?(2)当0≤t≤10时，s= t3t= t2，?当10当20综上可知s=(3)∵t∈[0，10]时，smax= ×102=150650.?t∈(10，20]时，smax=30×20-150=450650.?∴当t∈(20，35]时，令-t2+70t-550=650.?解得t1=30,t2=40,∵20t≤35,? p=""∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.?变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x- (万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台).(1)把利润表示为年产量的函数;?(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大??(3)年产量是多少时，工厂才不亏本??解：(1)当x≤5时，产品能售出x百台;?当x5时，只能售出5 百台，?故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)?(2)当0≤x≤5时，L(x)=4.75x- -0.5，?当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.?当x5时，L(x)=12-0.25x为减函数，?此时L(x)10.75(万元).∴生产475台时利润最大.?(3)由得x≥4.75- =0.1(百台)或x48(百台).?∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.?。

高一数学必修一教案《函数模型及其应用》（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。

;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。

因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。

在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.(2)了解函数模型的广泛应用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、计算机)。

§2.1 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、教学目标：1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、学法与教学用具1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。

高一数学上册第三章函数模型及其应用知识点
高一数学上册第三章函数模型及其应用知识点查字典数学网高中频道小编带来了高一数学上册第三
章函数模型及其应用知识点，供高考考生参考，希望对考生有所帮助。

1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题
意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。

常见考法本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。

多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。

误区提醒1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。

【典型例题】
(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利).
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，。