2014年河北省保定市高考数学二模试卷(理科)

最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

绝密*启用前最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

理科数学答案一.选择题：A 卷：ABCAB BDDCC DB B 卷：ACBAB BDCDC DB二.填空题：13. 120； 14. 4x-y-3=0； 15. 50； 16. 18.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）解：（1）∵cos A B ==∴ sin sin A B ====----------------3分cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=-= ∵ 0A B π<+<∴ 4A B π+= ∴34C π= ………………………………6分（2）法一：由113sin sin 1224ab C ab π===得ab =8分同理得bc ca ==分所以2()80abc =，故abc =2分法二：由113sin sin 1224ab C ab π===得ab =8分 由sin sin sin a b c A B C==得==，即,a c ==---------------------10分22b a =∴== ∴ c ==即、、a b c 的值分别为2所以abc =2=2分18．（本小题满分12分）解：（1）易得问卷调查中，从上述四省抽取的人数分别为15,20,10,5. …………… 2分设“从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，这两名人员来自同一个省份”为事件M ，从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名的取法共有C 250=1225种，这两名人员来自同一省份的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350.∴()3501225P M ==27.………… 5分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名务工人员中，来自四川、湖北两省的人员人数分别为15,10.ξ的可能取值为0,1,2， ………… 7分()0P ξ==210225C C 320=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 10分 ∴ξ的分布列为：317=0+1+2=1.220220E ξ⨯⨯⨯…………… 12分 19. （本小题满分12分） 证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =, 所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==.因为222AD DE AE +=,所以AD DE ⊥. ………………………3分折叠后有1A D DE ⊥,因为平面1A DE ⊥平面BCED , 又平面1A DE 平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED故A 1D ⊥EC.…………6分（2）法一:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D xyz -如图 , 作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P ，设2PB a =()023a ≤≤, 则BH a =,PH =,2DH a =- ,所以()10,0,1A,()2,0P a -,()E ,所以()12,,1PA a =-因为ED ⊥平面1A BD , 所以平面1A BD的一个法向量为()DE =…8分 设直线1PA 与平面1A BD 所成的角为α, 所以11sin ||||||4PA DEPA DE α⋅==⋅, ①若0,a =则11sin ||0||||4PA DEPA DE α⋅===⋅ (9)分②若0,a ≠则11sin ||||||4PA DE PA DE α⋅===⋅ 令212(),5443t t y t t a =≥=-+ 因为函数2544y t t =-+在23t ≥上单调递增，所以min 483254939y =⨯-+= 即2max 27(sin )32α= 所以22max max 2max (sin )27(tan )1(sin )5ααα==-（此时点P 与C 重合）…………12分 法二:如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P ，由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED ,所以1A D ⊥PH ,又1A D BD D =, 所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角 , ………………………8分 设PB x =()03x ≤≤,则2x BH =,PH x =,DH=BD-BH=2-2x 所以A 1= 所以在Rt △1PA H 中,tan 1PA H ∠=1PH A H=①若x=0，则tan 1PA H ∠=10PH A H==……………9分 ②若0,x ≠则tan 1PA H ∠=1PH A H==令211(),20813t t y t t x =≥=-+ 因为函数22081y t t =-+在13t ≥上单调递增，所以min 185201939y =⨯-+= 所以tan 1PA H ∠=（此时点P 与C 重合）…………12分 20. （本小题满分12分） 解：⑴由21222222=-==a b a a c e ，可得222b a =，………………………1分 椭圆方程为)0(,122222>>=+b a b y b x ，代入点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--26,1可得4,222==a b ， 故椭圆E 的方程为,12422=+y x ………………………4分 ⑵由0x my t --=得x my t =+，把它代入E 的方程得：()0422222=-+++t mty y m ，设()1122(,),,M x y N x y 得： A24,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，()24222121+=++=+m t t y y m x x ()()()2422222212122121+-=+++=++=m m t t y y tm y y m t my t my x x …………………7分 因为以MN 为直径的圆过点A,所以AN AM ⊥，………………………8分 所以AN AM ⋅()()()212121221142,2,2y y x x x x y x y x ++++=+⋅+= ()()022322483244242242222222222=+++=+++=+-+++⨯++-=m t t m t t m t m t m m t ………10分 因为M 、N 与A 均不重合，所以2t ≠-所以，32-=t ，直线l 的方程是32-=my x ，直线l 过定点T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,32 由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0所以直线l 过定点T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,32……………12分 21. （本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………1分 由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a； 由0)(>'x f 得012>-x x a ，解得a x 1>， 函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． ………………………………4分 （2）由（1）知，当a x 1=时，函数()f x 的最小值为11()ln ln f a a a a a a a=+-=- 令()ln g a a a =-，由1()(ln 1)0,g a a a e'=-+=∴= 当110,()0;,()0a g a a g a e e''<<>>< max 11()()g a g e e∴== 所以由1e<1k e +，得2k >-…………………………………………7分 （3）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++a -，121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++a -．12121212121[ln(]22x x x x a x x a a a x x x x ++=)+-=-.所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=+．………………………10分 因为0,021>>x x 且12x x ≠，0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．……………11分 又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2-<+ 所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+．………………………………12分 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲（1）证明：连结OA,因为⊙O 的直径为15，所以OA=OB=7.5 又PA=10，PB=5，所以PO=12.5………………………2分 在△APO 中，PO 2=156.25，PA 2+OA 2=156.25 即PO 2= PA 2+OA 2，所以PA ⊥OA ，又点A 在⊙O 上 故PA 与⊙O 相切………………………5分（2）解：∵PA 为⊙O 的切线，∴∠ACB=∠PAB,又由∠P=∠P, ∴△PAB ∽△PCA,∴21105===PA PB AC AB ………7分 设AB=k ，AC=2k, ∵BC 为⊙O 的直径且BC=15 ，AB ⊥AC∴=15BC ==所以k = ∴21124522ACB AC AB k k S k ∆=∙=∙∙== ………………10分 23. （本小题满分10分）选修４－４：坐标系与参数方程C解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t -⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩ 所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，………………………2分 由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒=又222,cos x y x ρρθ=+=所以，圆C 的标准方程为222()x a y a -+=，………………………5分（2）因为直线l 与圆C 恒有公共点，a ≤，…………7分两边平方得2940250,(95)(5)0a a a a --≥∴+-≥所以a 的取值范围是559a a ≤-≥或.……………………………………………10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解： （1）因为32,1()4,113,1x x f x x x x x +>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩………………………3分所以当x >1时，由4()63263f x x x <⇔+<⇔<，又x >1 所以413x << 当11≤≤-x 时，()6462f x x x <⇔+<⇔<，又11≤≤-x ， 所以11≤≤-x当1-<x 时，()6362f x x x <⇔-<⇔>-，又1-<x 所以21x -<<- 综上，所求的解集为4|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭。

2014年河北省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知R是实数集，M={x|2x<1}，N={y|y=√x−1+1}，N∩∁R M=()A (1, 2)B [0, 2]C ⌀D [1, 2]2. 在复平面内，复数−2+3i3−4i所对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. √3cos10∘−1sin170∘=()A 4B 2C −2D −44. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X服从正态分布N(3, 1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P(X>4)等于0.1587⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A 2B 3C 4D 55. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4(a1+a3+...+a2n−1)，a1a2a3=27，则a6=()A 27B 81C 243D 7296. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A √2π3+12B 4π3+16C √2π6+16D 2π3+127. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A −3B −12 C 13 D 28. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）A (√2, √3)B (1, √3)C (√2, 2)D (0, 2)9. 在△ABC 所在的平面内，点P 0、P 满足P 0B →=14AB →，PB →=λAB →，且对于任意实数λ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（ ）A ∠ABC =90∘B ∠BAC =90∘ C AC =BCD AB =AC10. 在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx(k >0)所围成的平面区域为N ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域N 内的概率为827，则k 的值为（ ） A 13 B 12 C 23 D 3411. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为（ ） A 12B √22C √32D 3412. 已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x)，当x ∈[1, 3]时，f(x)=lnx ，若在区间[13，3]内，函数g(x)=f(x)−ax ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A [ln33，1e ) B [ln33，2e ) C (0,12e ) D (0,1e )二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13. 设球的半径为时间t 的函数r(t)，若球的体积以均匀速度12增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．14. 若(x2+1x)n的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为________．15. 在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=2π3，过A作AP⊥BC于P，且AP→=λAB→+μAC→，则λμ=________．16. 在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x2a2+y2b2=1上斜率为1的弦的中点在直线xa2+yb2=0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a2−y2b2=1上斜率为1的弦的中点在直线________上．三、解答题（本题满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）17. 如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=√108，cos∠ADC=−14．(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC // AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（1）求证：AB⊥DE；（2）求二面角A−PC−O的余弦值．19. 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15, 25)，[25, 35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20. 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点F(0, 1)，AC →⋅BD →=0，点E 为y 轴上一点，记∠EFA =α，其中α为锐角． ①求抛物线Γ方程；②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？ 21. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna(a >0, a ≠1)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)满足：①对任意的m 1，m 2，m 1≠m 2，当f(m 1)=f(m 2)时，有m 1+m 2<0成立； ②对∀x 1，x 2∈[−1, 1]，|f(x 1)−f(x 2)≤e −1恒成立．求实数a 的取值范围．三、请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22. 如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，且BD =13BC ，CE =13CA ，AD ，BE 相交于点P ．求证：(Ⅰ)四点P 、D 、C 、E 共圆； (Ⅱ)AP ⊥CP ．23. 已知直线l:{x =1+12t y =√32t （t 为参数），曲线C 1:{x =cosθy =sinθ （θ为参数）． (Ⅰ)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的√32倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|2x−a|+a．(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|−2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m−f(−n)成立，求实数m的取值范围．2014年河北省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. D4. B5. C6. C7. B8. A9. C10. A11. C12. A13. 114. 1515. 104916. xa2−yb2=017. 解：(1)因为cosB=√108，所以sinB=3√68,又cos∠ADC=−14，所以sin∠ADC=√154,所以sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=√154×√108−(−14)×3√68=√64.(2)在△ABD中，由正弦定理，得3√68=√64，解得BD=2，故DC=2，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+4−2×3×2×(−14)=16，所以AC=4.18. （1）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵ E、F分别是PC、OC的中点，则EF // PO，…∵ CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴ 平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵ 平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴ AB⊥EF，…在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴ AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴ AB⊥DE．…（2）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵ PO⊥平面ABCD，∴ POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴ AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴ AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴ AE⊥PC，∴ PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴ ∠AEH是二面角A−PC−O的平面角．…设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2−EC2，AE=√142，AH=√22，则sin∠AEH=√77，∴ 二面角A−PC−O的余弦值为√427．…19. 解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…∴ 被调查人员的频率分布直方图如右图：…（2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3…p(ξ=0)=C42C52⋅C62C102=1575，P(ξ=1)=C41C62C52C102+C42C52⋅C41C61C102=3475，P(ξ=2)=C41C52⋅C41C61C102+C42C52⋅C42C102=2275，P(ξ=3)=C41C52⋅C42C102=475，…∴ ξ的分布列是：ξ0123∴ ξ的数学期望Eξ=0×1575+1×3475+2×2275+3×475=65．…20. 解：①由抛物线Γ焦点F(0, 1)得，抛物线Γ方程为x2=4y；②设AF=m，则点A(−msinα, mcosα+1)，∴ (−msinα)2=4(1+mcosα)，即m2sin2α−4mcosα−4=0．解得：m=4cosα±42sin2α=2(cosα±1)sin2α，∵ m>0，∴ |AF|=2(cosα+1)sin2α．同理：|BF|=2(1−sinα)cos2α，|DF|=2(1+sinα)cos2α，|CF|=2(1−cosα)sin2α．“蝴蝶形图案”的面积S =S △AFB +S △CFD =12AF ⋅BF +12CF ⋅DF =4−4sinαcosα(sinαcosα)2．令t =sinαcosα,t ∈(0,12]，∴ 1t∈[2,+∞)．则S =4⋅1−t t 2=4(1t −12)2−1，∴ 1t =2时，即α=π4时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．21. 解：(I)函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)=a x lna +2x −lna =2x +(a x −1)lna ． 令ℎ(x)=f ′(x)=2x +(a x −1)lna ，ℎ′(x)=2+a x ln 2a ， 当a >0，a ≠1时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在R 上是增函数，又ℎ(0)=f′(0)=0，所以，f ′(x)>0的解集为(0, +∞)，f′(x)<0的解集为(−∞, 0)， 故函数f(x)的单调增区间为(0, +∞)，单调减区间为(−∞, 0)；(2)①由(1)可知m 1≠m 2，当f(m 1)=f(m 2)时，m 1，m 2比异号，不妨设有m 1>0，m 2<0成，先证明一个结论当a >1时，对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立， 当0<a <1时，对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立， ∵ f(x)>f(−x)∴ a x +x 2−xlna >a−x +x x +xlna ⇔a x +a−x −2xlna ， 令t(x)=a x +a−x −2xlna ，∵ t′(x)=a x lna +a −x lna −2lna =lna(a x +a −x −2)≥2√a x ⋅a −x −2=0，（当且仅当x =0时等号成立）， 又t(0)=0当a ∈(0．,1)时，t′(x)≤0，所以t(x)在(0, −∞)上单调递减， t(x)<t(0)=0，此时对任意的x >0，有f(x)<f(−x)成立，当a ∈(1, +∞)，t′(x)>0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递增， 此时对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立．当a >1时，f(m 2)=f(m 1)>f(−m 1)，由于f(x)在(−∞, 0)上单调递减，所以m 2<−m 1，m 1+m 2<0．同理0<a <1，m 1+m 2>0．当f(m 1)=f(m 2)时，当且仅当a >1时，有m 1+m 2<0成立． ②：问题等价于f(x)在[−1, 1]的最大值与最小值之差≤e −1． 由(1)可知f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增，∴ f(x)的最小值为f(0)=1，最大值等于f(−1)，f(1)中较大的一个， f(−1)=1a +1lna ，f(1)=a +1−lna ，f(1)−f(−1)=a −1a−2lna 令g(x)=x −1x −2lnx ，(x ≥1)，则g′(x)=1+1x 2−2x =(1x −1)2≥0，仅在x =1时取等号， ∴ g(x)为增函数，∴ 当a >1时，g(a)=a −1a −2lna >g(1)=0，即f(1)−f(−1)>0，∴ f(1)>f(−1)， 于是f(x)的最大值为f(1)=a +1−lna ，故对∀x 1，x 2∈[−1, 1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤|f(1)−f(0)|=a −lna ，∴ a −lna ≤e −1， 当x ≥1时，(x −lnx)′=x−1x≥0，∴ y =x −lnx 在[1, +∞)单调递增，∴ 由a −lna ≤e −1可得a 的取值范围是1<a ≤e ． 22. 证明：(I)在△ABC 中，由BD =13BC ，CE =13CA ，知：△ABD ≅△BCE ，∴ ∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC +∠BEC ＝π． 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (II)如图，连结DE ．在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60∘， 由正弦定理知∠CED ＝90∘．由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP ．23. (I)l 的普通方程为y =√3(x −1)，C 1的普通方程为x 2+y 2＝1， 联立方程组{y =√3(x −1)x 2+y 2=1 ，解得交点坐标为A(1, 0)，B(12, −√32) 所以|AB|=√(1−12)2+(0+√32)2=1；(II)曲线C 2:{x =12cosθy =√32sinθ （θ为参数）． 设所求的点为P(12cosθ, √32sinθ)， 则P 到直线l 的距离d =|√32cosθ−√32sinθ−√3|√3+1=√34[√2sin(θ−π4)+2]当sin(θ−π4)＝−1时，d 取得最小值√64(√2−1)．24. 解：(1)由|2x −a|+a ≤6得|2x −a|≤6−a ， ∴ a −6≤2x −a ≤6−a ，即a −3≤x ≤3， ∴ a −3=−2， ∴ a =1．(2)由(1)知f(x)=|2x −1|+1， 令φ(n)=f(n)+f(−n)，则φ(n)=|2n −1|+|2n +1|+2={2−4n ，n ≤−12，4，−12<n ≤12，2+4n ，n >12，∴ φ(n)的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4, +∞)．。

2014年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：每小题5分，共60分1. 若集合A ={x ∈R|x +1>0}，集合B ={x ∈R|(x −1)(x +2)<0}，则A ∩B =( ) A (−1, 1) B (−2, −1) C (−∞, −2) D (1, +∞)2. 函数y ＝sinxsin(π2+x)的最小正周期是（ ）A π2 B π C 2π D 4π 3. 若a+i 1−i(a ∈R)是纯虚数，则|a+i 1−i|=( )A iB 1C √2D 24. 已知平面向量a →，b →满足|a|→=1，|b|→=2，且(a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角为（ ） A 5π6B 2π3C π3D π65. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0, σ2)，若P(ξ>2)=0.023，则P(−2≤ξ≤2)=( )A 0.477B 0.625C 0.954D 0.9776. 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A 若l // α，l // β，则α // βB 若l ⊥α，l ⊥β，则α // βC 若l ⊥α，l // β，则α // βD 若α⊥β，l // α，则l ⊥β7. 设变量x ，y 满足不等式组{0≤x +y ≤201≤y ≤10，则2x +3y 的最大值等于（ ）A 1B 10C 41D 508. 已知数列{a n }中，a 1=25，4a n+1=4a n −7(n ∈N ∗)，若其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为（ ） A 15 B 750 C7654D70529. 给出以下命题：①∀x ∈R ，sinx +cosx >1； ②∃x ∈R ，x 2−x +1<0；③“x >1”是“|x|>1”充分不必要条件； ④∫|π0cosx|dx =0．其中假命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 310. 已知四棱锥P −ABCD 是三视图如图所示，则围成四棱锥P −ABCD 的五个面中的最大面积是（ ）A 3B 6C 8D 10 11. 已知点Q 在椭圆C:x 216+y 210=1上，点P 满足OP →=12(OF 1→+OQ →)（其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ） A 圆 B 抛物线 C 双曲线 D 椭圆 12. 若函数y 1=sin2x 1−√32（x 1∈[0, π]），函数y 2=x 2+3，则(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2的最小值为（ ）A √212π B (π+18)272 C (π+8)212 D (π−3√3+15)272二.填空题每小题5分，共20分13. 执行如图所示程序框图，若输入n =6，m =3，那么输出的p 等于________．14. 函数f(x)=2lnx +x 2在x =1处的切线方程是________．15. 把5名新兵分配到一、二、三3个不同的班，要求每班至少有一名且甲必须分配在一班，则所有不同的分配种数为________．16. 等比数列{a n }的公比0<q <1，a 172=a 24，则使a 1+a 2+...+a n >1a 1+1a 2+...+1a n成立的正整数n 的最大值为________．三.解答题17. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =2√55，cosB =3√1010． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积为1，求abc ．18. 近年来，随着地方经济的发展，劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业，因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒．今年春节过后，沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计（如表）：为了更进一步了解员工的来源情况，该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机抽取50名参加问卷调查．（1）从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，求这两名来自同一省份的概率；（2）在参加问卷调查的50名务工人员中，从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名，用ξ表示抽得四川省务工人员的人数，求ξ的分布列和数学期望．19. 已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足ADDB =CEEA=12．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．20. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=√22，且过点(−1, −√62)．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左顶点是A，若直线l:x−my−t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N （M、N与A均不重合），若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．21. 设函数f(x)=alnx+1x−a，(a∈R)．（1）当a>0时，求函数f(x)的单调区间；（2）在（1）中，若函数f(x)的最小值恒小于e k+1，求实数k的取值范围；（3）当a<0时，设x1>0，x2>0，且x1≠x2，试比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小．请从22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，点A在直径为15的⊙O上，PBC是过点O的割线，且PA=10，PB=5．（1）求证：PA与⊙O相切；（2）求S△ACB的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acosθ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为{x=3t+1y=4t+3（t为参数）．(Ⅰ)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；(Ⅱ)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|x−1|+2|x+1|+1．(I)求不等式f(x)<6的解集；(II)若直线y=(13)a(a∈R)与函数y=f(x)的图象恒有公共点，求实数a的取值区间．2014年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. B5. C6. B7. D8. C9. D10. C11. D12. B13. 12014. 4x−y−3=015. 5016. 1817. （1）∵ cosA=2√55,cosB=3√1010∴ sinA=√1−cos2A=√55,sinB=√1−cos2B=√1010，∴ sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB=√55×3√1010+2√55×√1010=√22，∴ cos(A+B)＝cosAcosB−sinAsinB=2√55×3√1010−√55×√1010=√22∴ cosC＝cos(π−A−B)＝−cos(A+B)=−√22∵ 0<C<π，∴ C=3π4．（2）∵ 12absinC=12absin3π4=√24ab=1，∴ ab=2√2，同理得bc=2√5,ca=2√10，∴ (abc)2＝80，故abc＝4√5．18. 解：（1）由题意知，从上述四省抽取的人数分别为15，20，10，5．…设“从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名，这两名人员来自同一个省份”为事件M，从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名的取法共有C502=1225种，这两名人员来自同一省份的取法共有C152+C202+C102+C52=350．∴ P(M)=3501225=27．…（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名务工人员中，来自四川、湖北两省的人员人数分别为15，10．ξ的可能取值为0，1，2，…P(ξ=0)=C102C252=320，P(ξ=1)=C151C101C252=12，P(ξ=2)=C152C252=720．…∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×320+1×12+2×+720=1.2…19. 证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且ADDB =CEEA=12，所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60∘，由余弦定理得DE=√12+22−2×1×2×cos60∘=√3．因为AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．折叠后有A1D⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，又平面A1DE∩平面BCED=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED故A1D⊥EC．（2）如图，作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ，由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以A 1D ⊥PH ，又A 1D ∩BD =D ，所以PH ⊥平面A 1BD ， 所以∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角， 设PB =x(0≤x ≤3)，则BH =x2，PH =√3x2，DH =BD −BH =2−x2所以A 1H =√DH 2+A 1D 2=√x 2−2x+54所以在Rt △PA 1H 中，tan∠PA 1H =PHA 1H=√3x √x 2−8x+20①若x =0，则tan∠PA 1H =PHA 1H=√3x √x 2−8x+20=0，②若x ≠0则tan∠PA 1H =PH A 1H=√3x √x 2−8x+20=√3√1−8x +20x 2令1x=t(t ≥13)，y =20t 2−8t +1因为函数y =20t 2−8t +1在t ≥13上单调递增，所以y min =20×19−83+1=59所以tan∠PA 1H 的最大值为√3√59=3√155（此时点P 与C 重合）20. 解：（1）由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=12，可得a 2=2b 2，…椭圆方程为x 22b2+y 2b 2=1，(a >b >0)，代入点(−1,−√62)可得b 2=2，a 2=4，故椭圆E 的方程为x 24+y 22=1，…（2）由x −my −t =0得x =my +t ，把它代入E 的方程得：(m 2+2)y 2+2mty +t 2−4=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)得：y 1+y 2=−2mtm 2+2，y 1y 2=t 2−4m 2+2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2t =4t m 2+2x 1x 2=(my 1+t)(my 2+t)=m 2y 1y 2+tm(y 1+y 2)+t 2=2t 2−4m 2m 2+2…因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，…所以AM →⋅AN →=(x 1+2, y 1)•(x 2+2, y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=2t 2−4m 2m 2+2+2×4tm 2+2+4+t 2−4m 2+2=3t 2+8t+4m 2+2=(t+2)(3t+2)m 2+2=0…因为M 、N 与A 均不重合，所以t ≠−2所以，t =−23，直线l 的方程是x =my −23，直线l 过定点T(−23，0)由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0 所以直线l 过定点T(−23，0)…21. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．… 由题意x >0，f ′(x)=ax −1x 2，… 由f′(x)<0，得ax −1x 2<0，解得x <1a，函数f(x)的单调递减区间是(0, 1a )． 由f′(x)>0，得ax −1x 2>0，解得x >1a ， 函数f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． …（2）由（1）知，当x =1a时，函数f(x)的最小值为f(1a )=aln 1a +a −a =−alna ， 令g(a)=−alna ，由g′(a)=−(lna +1)=0，∴ a =1e ． 当0<a <1e ，g′(a)>0，a >1e ，g ′(a)<0， ∴ g(a)min =g(1e )=1e ． ∴ 由1e <e k+1，得k >−2．∴ 实数k 的取值范围(−2, +∞)．… （3）∵ f(x 1+x 22)=alnx 1+x 22+2x1+x 2−a ，f(x 1)+f(x 2)2=12(alnx 1+1x 1+alnx 2+1x 2)−a=12[aln(x 1x 2)+x 1+x 2x 1x 2]−a =aln √x 1x 2+x 1+x 22x1x 2−a ．∴ f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=aln x 1+x 22+2x1+x 2−aln √x 1x 2−x 1+x 22x1x 2=122√xx −(x 1−x 2)22x1x 2(x 1+x 2)．…∵ x 1>0，x 2>0，且x 1≠x 2，a <0，∴ x 1+x 2>2√x 1x 2，∴ 122√x x >1，122√x x <0．…又−(x 1−x 2)22x1x 2(x 1+x 2)<0，122√xx −(x 1−x 2)22x1x 2(x 1+x 2)<0，∴ f(x1+x22)−f(x1)+f(x2)2<0，即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．…22. （1）证明：连结OA，∵ ⊙O的直径为15，∴ OA=OB=7.5又PA=10，PB=5，∴ PO=12.5…在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25即PO2=PA2+OA2，∴ PA⊥OA，又点A在⊙O上故PA与⊙O相切…（2）解：∵ PA为⊙O的切线，∴ ∠ACB=∠PAB，又由∠P=∠P，∴ △PAB∽△PCA，∴ ABAC =PBPA=510=12…设AB=k，AC=2k，∵ BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC ∴ BC=√k2+(2k)2=√5k=15，∴ k=3√5∴ S△ACB=12AC⋅AB=12⋅2k⋅k=k2=45…23. （1）由{x=3t+1y=4t+3得，{x−13=ty−3 4=t，则x−13=y−34，∴ 直线l的普通方程为：4x−3y+5＝0，由ρ＝2acosθ得，ρ2＝2aρcosθ又∵ ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x∴ 圆C的标准方程为(x−a)2+y2＝a2，（2）∵ 直线l与圆C恒有公共点，∴√42+(−3)2≤|a|，两边平方得9a2−40a−25≥0，∴ (9a+5)(a−5)≥0∴ a的取值范围是a≤−59a≥5．24. 选修4−5：不等式选讲解：(1)因为f(x)={3x+2,x>1x+4,−1≤x≤1−3x,x<−1…所以当x>1时，由f(x)<6⇔3x+2<6⇔x<43，又x>1，所以1<x<43；当−1≤x≤1时，f(x)<6⇔x+4<6⇔x<2，又−1≤x≤1，所以−1≤x≤1；当x<−1时，f(x)<6⇔−3x<6⇔x>−2，又x<−1，所以−2<x<−1综上，所求的解集为{x|−2<x<43}．…(2)结合(1)知f(x)={3x+2,x>1x+4,−1≤x≤1−3x,x<−1知，当x>1时，f(x)=3x+2>5；当−1≤x≤1时，f(x)=x+4∈[3, 5]；当x<−1时，f(x)=−3x>3；∴ 函数f(x)的值域为[3, +∞)…又直线y=(13)a(a∈R)与函数y=f(x)的图象恒有公共点，所以(13)a≥3，∴ a≤−1即a的取值区间是(−∞, −1]．…。

答案： 一、选择题1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B 二、填空题13. 20- 14. A 15.2π16. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：（Ⅰ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，而10n a +≠， ∴ 2n n a a λ+-= （Ⅱ）112111a a S a λλ=-=-，而1a =1，解得21a λ=- ，又 311a a λλ=+=+ 令2132a a a =+，解得4λ=。

此时1a =1，23a =，35a =，24n n a a +-=∴ {n a }是首项为1，公差为2的等差数列。

即存在4λ=，使得{n a }为等差数列。

18.解：(Ⅰ) 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200=2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 150=（Ⅱ）（ⅰ）~(200,150)Z N,12.2σ==(187.8212.2)P Z <<(200200)0.6826P Z σσ=-<<+=（ⅱ）~(100,0.6826)X B , ∴ 1000.682668.26EX =⨯= 19.解：(Ⅰ) 连接1BC , 交1B C 于点O, 连接AO 。

侧面11BB C C 为菱形∴ 11BC B C ⊥，O 为1BC 、1B C 的中点而1AB B C ⊥，∴ 1B C ABO ⊥平面, 而AO ABO ⊂平面∴ 1B C AO ⊥, 又O 为1B C 的中点 ∴1AC AB =（Ⅱ）以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AC AB ⊥ ∴ 1AO OC OB ==o 160CBB ∠=, ∴ 1CBB ∆为等边三角形，A , (1,0,0)B, 1B ,(0,C, 1(0,AB =, 11(1,0,A B AB ==, 11(1,B C BC ==- 设n (,,)x y z =为平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0330y z x z -=⎪⎨⎪-=⎪⎩，取n (1=设m (,,)x y z =为平面111A B C 的法向量，则111100n B C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取m (1,=1cos ,||||7m n m n m n ⋅<>== ∴二面角111A A B C --的余弦值为17。

高三调研考试理科数学参考答案一选择题：CCBAA CCABD BD二.填空题：13、8; 14、3 ; 15、2(2,)3-； 16、111 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、解：（1）因为11()2cos 222f x x x =-- 1sin(2)62x π=-- ....................................................... 2分所以2T wππ==，故()f x 的最小正周期为π.............3分222,26263k x k k x k πππππππππ-<-<+∴-<<+函数的单调增区间为[,],63k k k z ππππ-+∈ ................5分 （2）因为50,22666x x ππππ≤≤∴-≤-≤ .......................... 6 分所以当262x ππ-=，即3x π=时()f x 有最大值12.............8分当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 有最小值-1 .............10分18．解：（1）22n n S a =- ，1122(2)n n S a n --∴=-≥ ，两式相减、整理得12(2)n n a a n -∴=≥． ................................................................................3分又12a = ，{}22n a ∴是以为首项,为公比的等比数列，1222n n n a -∴=⋅=． (*n N ∈ ) ………………………………………………5分（2）2n n b n =⋅，1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ．.........................................................8分两式相减得：1212222n n nT n +-=+++-⋅ ，12(12)212n n n T n +-∴-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-，1(1)22n n T n +∴=-⋅+． ………………………………………………………12分19.（1）证明：∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．…………………3分 又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，AC AP A = ，∴BC ⊥平面APC ……………………………………6分（2）法一：建立空间直角坐标系如图，则5(,0,0)2B ， 5(-,0,0)2P ，(0,0,)2M 过点C 做CH ⊥PB 垂足为H ，在Rt △PBC 中，由射影定理或根据三角形相似可得H 12957=55210C BH DH BH ==-=，， 即点C 的坐标为7120105（，，）……………………………………………9分 所以912(,,0)55BC =-，551612(,0,),(,0,(,,0),222255BM PM PC =-== ∴设平面BMC 的法向量(,,)m x y z =，则由0BC m BM m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得可取m = ∴仿上可得平面PMC的一个法向量(3,4,n =-∴cos ,m nm n m n=⋅91-故所求的二面角余弦值的绝对值为91…………………………12分法二：建立空间直角坐标系如图，则A ， (0,4,0)C ，(3,4,0)B ,因为M 为AB的中点，所以3(,2,22M ， AB MCDP(3,0,0)BC =-uu u r，3(,2,22BM =--uuu r3(,2,),(0,4,0),22PM PC ==uuu r uu ur ………………………9分∴设平面BMC 的法向量(,,)m x y z =则由0BC m BM m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得可取4)m =u r , ∴仿上可得平面PMC的一个法向量(5,0,n =r∴cos ,m nm n m n=⋅91=-故所求的二面角余弦值的绝对值为91…………………………12 法三：如图以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz由题意：,D 3(,2,0)2-3(3,0,0),(0,4,0),(,2CB CP CM ∴==-=- ……………………..8分平面PMC 、平面BMC 均不与坐标平面xoy 平行或重合不妨设11(,,1)m x y = ，22(,,1)n x y =分别为平面PMC 、平面BMC 的法向量11100(302022m CP y m m CM x y ⎧⋅=⇒=⎪⇒=⎨⋅=⇒-+=⎪⎩22200(0,340202n CB x n n CM x y ⎧⋅=⇒=⎪⇒=-⎨⋅=⇒-+=⎪⎩……………….10分cos ,m n m n m n<⋅>===⋅故所求的二面角余弦值的绝对值为91…………………………12分PA20. 解：（1）X 的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）........................2分分11111245()1030507090233612189E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X 的数学期望分钟……7分（2）甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为1016p =甲 ，012p =甲3 ，013p =甲5；………………8分 1012p =乙，013p =乙3 ，01116636p =⋅=乙5……………10分 所以p ＝1162⋅+1123⋅+11336⋅＝28108＝727即甲、乙二人候车时间相等的概率为727………………12分21. 解：（1）易得a ==:a b = 所以22a =，21b =.故方程为2212x y +=..................................... 4分 （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程：(2)y k x =-.....................5分 显然，当k=0时，与已知不符，所以k 0≠..................................... 6分 设1122(),(,),(,)A x y B x y P x y ，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-= 422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，212k <.....................................8分 22121222882,1212k k x x x x k k-+=⋅=++ ∵||AB =12|x x -=221212201[()4]9k x x x x ++-=（） ∴224-114+13=0k k （）(），即21=4k ....................................................10分又因为1212(,)(,)x x y y t x y ++=，且k 0≠，即t 0≠所以212121222814,[()4](12)(12)x x y y k kx y k x x k t t k t t t k ++-====+-=++ ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，又21=4k . 所以t =±…………………........................................................................……12分'-'∈∞<'∈∞>∴=≠>+==-+-⎰极小值22.解：（1）（，）时,递减；（，）时,递增，...........2分（）=0时，故只有一个零点。