一类具有多滞的线性中立型微分方程的稳定性

微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。

在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。

本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。

稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。

在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。

局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。

稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。

线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。

通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。

解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。

在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。

其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。

皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。

它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。

利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。

柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。

它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。

除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。

比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。

总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。

通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。

而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。

这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。

华中科技大学硕士学位论文摘要随着对中立型积分-微分方程的不断深入研究,我们发现只有少量的中立型积分-微分方程可以获得其解析解的表达式,由于方程的复杂形式,获得方程的解析解变得不现实,所以获得中立型积分-微分方程的数值解就变得尤为重要.因此本文针对中立型积分-微分方程给出了解析解与数值解稳定的充要条件.在第一章,我们介绍了中立型积分-微分方程的研究背景、研究现状及预备知识.在第二章,针对含有五个参数的中立型积分-微分方程,分析解析解渐近稳定时,我们可以将其转化为只含有四个参数的中立型积分-微分方程.根据[33]中的引理,相应地我们就得到了其解析解渐近稳定的充要条件.分析数值稳定性时,我们应用梯形方法,将积分项利用复合求积公式处理,得到了数值解渐近稳定的充要条件.在第三章,针对含有五个参数的中立型偏微分方程,我们分析了解析稳定性,给出了渐近稳定的充要条件，分析数值稳定性时,我们应用梯形方法,积分项利用复合求积公式处理,得到了数值解渐近稳定的充要条件.在第四章,我们通过数值实验验证了理论结果及梯形方法求解中立型积分-微分方程的有效性.在第五章,我们总结了前面的结果并对相关研究进行了展望.关键词：中立型积分-微分方程,梯形方法,复合求积,解析稳定性,数值稳定性.华中科技大学硕士学位论文AbstractWith the further research on neutral integro-differential equations,wefind that few neutral integro-differential equations can obtain the expression of their analytical solutions. The numerical solutions of neutral integro-differential equation becomes particularly impor-tant as the complexity of the equation makes it impractical to obtain the analytical solution. Thus,this paper focuses on the numerical solution of neutral integro-differential equation. The necessary and sufficient condition under which the analytical solution and numerical solution are stable is proposed.In thefirst chapter,the research background,research status and basic knowledge of neutral integro-differential equation are introduced.In the second chapter,when we analyze the analytic stability of the neutral integro-differential equation withfive parameters,we can turn it into a neutral integro-differential equation with only four parameters.According to the lemma in[33],we obtain the nec-essary and sufficient conditions for the asymptotic stability of its analytic solution.When analyzing the numerical stability,we apply the trapezoid method and treat the integral term with the compound quadrature formula,and obtain the necessary and sufficient conditions for the asymptotic stability of the numerical solution.In the third chapter,for the neutral partial differential equation withfive parameters, we analyze the analytic stability and give the necessary and sufficient conditions for asymp-totic stability.When analyzing the numerical stability,we apply the trapezoid method and treat the integral term with the compound quadrature formula,and obtain the necessary and sufficient conditions for the asymptotic stability of the numerical solution.In the fourth chapter,numerical experiments are carried out to verify the theoretical results and the validity of trapezoidal method for solving neutral integro-differential equa-tions.In thefifth chapter,we summarize the previous results and look forward to the future.Key words:Neutral integro-differential equations,Trapezoidal method,Composite quadra-ture,Analytic stability,Numerical stability.华中科技大学硕士学位论文目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论1.1研究背景及意义 (1)1.2研究现状与研究趋势 (1)1.3本文的主要研究工作 (4)2中立型延迟常微分方程的稳定性2.1方程的解析稳定性 (6)2.2带复合求积的梯形方法的数值稳定性 (9)2.3解析解稳定域与数值解稳定域关系 (15)3中立型延迟偏微分方程的稳定性3.1方程的解析稳定性 (19)3.2方法的数值稳定性 (20)4数值算例5总结与展望致谢 (30)参考文献 (31)附录1科研项目 (34)华中科技大学硕士学位论文1绪论1.1研究背景及意义中立型积分-微分方程广泛出现于自然科学与社会科学中,如:种群生态学、流行病动力学、化学、经济学、控制系统等领域[1–6].在实际中的应用极大地推进了中立型积分-微分方程的研究进程[7,8].中立型积分-微分方程的解的性态不仅与当前的时间状态有关,而且与过去某些时刻或过去某些时间段的状态密切相关.该方程更能准确地反映实际情况,因此对于中立型系统的研究的重要性毋庸置疑.在对中立型积分-微分方程进行求解时,只有非常少量的延迟微分方程可以获得解析解的表达式,因为方程的复杂形式,使得求解解析解变得不现实,所以求解中立型积分-微分方程的数值解就变得尤为重要.不稳定的数值算法尽管可能是高阶的,但是可能产生很大的误差,稳定性分析是数值处理中的一个重要内容,所以研究中立型积分-微分方程的数值方法,并讨论其解析解与数值解的稳定性具有极大的理论意义与实际价值.1.2研究现状与研究趋势延迟方程的理论及数值稳定性在上世纪50年代就开始有人研究,也受到越来越多的重视.1959年,Chin [9]首先研究了延迟微分方程y ′(t )=ay (t )+by (t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.1)其中a,b 为实常数,τ>0,g (t )为连续函数.作者在文章中证明了当a +b <0时,存在∆=∆(a,b ),使得0<τ<∆时,方程(1.1)的零解稳定,当a +b >0时,对任意τ≥0,方程(1.1)的零解不稳定.1975年,Barwell [10]研究了以下复系数线性延迟方程y ′(t )=py (t )+qy (t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.2)其中p ,q 为复数,τ>0,g (t )为连续函数,作者在文章中证明了当Re (p )<−|q |时,方程(1.2)是渐近稳定的.华中科技大学硕士学位论文1989年,Torelli [13]研究了如下非线性延迟微分方程 y ′(t )=f (t,y (t ),y (t −τ)),t ≥t 0,y (t )=g (t ),t ≤t 0,(1.3)其中τ>0,g (t )为连续函数,作者在文中提出了RN-、GRN-稳定的概念,并证明了隐式Euler 方法是GRN-稳定的.1999年,Huang 在[14]中研究了求解(1.3)的Runge-Kutta 方法的稳定性,在[15]中研究了单支方法的稳定性,在[16]中研究了线性θ-方法的稳定性.2001年,Guglielmi [17]考虑了如下中立型方程 y ′(t )=ay (t )+by (t −1)+cy ′(t −1),t >0,y (t )=g (t ),−1≤t ≤0,(1.4)其中a ,b ,c ∈R ,g (t )为实值连续函数.该文中用Runge-Kutta 方法求解了问题(1.4),并分析了其数值稳定性.1988年,Bellen [18]讨论了以下复系数中立型延迟微分方程 y ′(t )=λy (t )+µy (t −τ)+νy ′(t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.5)其中λ,µ,ν为复数.文中指出当|λ¯ν−¯µ|+|λν+µ|<−2Re (λ)时,方程(1.5)的解是渐近稳定的,并且研究了应用Runge-Kutta 方法的数值稳定性.1994年,Kuang ,Qiu 等人[19,20]研究了以下复系数向量型的中立型方程 y ′(t )=Ly (t )+My (t −τ)+Ny ′(t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.6)其中L ,M ,N 为复数矩阵.作者在文章中证明了其NP 稳定等价于NGP 稳定.1999年,Zhang 和Zhou [21]研究了以下线性多延迟中立型延迟微分方程 y ′(t )=Ly (t )+d ∑i =1[M i y (t −τi )+N i y ′(t −τi )],t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.7)其中L ,M i ,N i 为复数矩阵.文章中指出线性多步法应用于常微分方程是A (α)稳定的等价于线性多步法应用于(1.7)是NGP k (α)稳定的.2004年,Huang 和Vandewalle [27]研究了以下积分-微分方程 y ′(t )=αy (t )+βy (t −τ)+γ∫t t −τy (v )dv,t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.8)华中科技大学硕士学位论文其中α,β,γ∈R,τ∈R+,g(t)为实值连续函数.文章中证明了当满足以下条件时:α<β+2τ,τ(α+β)<−γτ2<θ(θ+βτsinθ)1−cosθ,问题(1.8)的解析解是稳定的,其中θ是α=β+θsinθτ(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π],随后作者在文章中利用梯形方法对上述积分-微分方程进行了数值求解,并证明了当m=1且满足以下条件时:α<β+2τ,α+β+γτ<0,问题(1.8)的数值解是稳定的.当m>1且满足以下条件时:α<β+2τ,τ(α+β)<−γτ2<−2m sinθm(2m sinθm+βτsinθ(1+cosθm))(1+cosθm)2(1−cosθ),问题(1.8)的数值解是稳定的,其中θ是α=β+2m sinθmsinθτ(1+cosθm)(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π].2009年,Huang和Vandewalle[28]针对方程(1.8),利用Runge-Kutta-Pouzet方法又进行了数值计算,同样地,证明了其数值稳定性.同年,Xu和Zhao[29]对于(1.8)这种积分-微分方程进行了研究,用线性θ-方法对其进行了数值计算,证明了其数值解是渐近稳定的.2006年,Zhang和Vandewalle[31]研究了如下延迟积分-微分方程y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ),∫tt−τy(s)ds),t>t0,y(t)=g(t),t0−τ≤t≤t0,(1.9)其中τ>0,g(t)为给定的充分光滑的函数,文中得到了一般线性方法全局稳定需满足条件:h(α+β+σγ2ν2)≤l.2010年,Hu和Huang[32]针对该方程研究了线性多步法的渐近稳定性,证明了如果线性多步法是A-稳定的,且常数满足条件α+β+γϱτ<0时,那么带有复合求积公式的线性多步法是渐近稳定的.2008年,Wu和Gan[33]研究了以下这种带有四个参数的中立型积分-微分方程y′(t)=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ηy′(t−τ),t>0,y(t)=g(t),−τ≤t≤0,(1.10)其中α,β,γ,η∈R,τ∈R+,g(t)为实值连续函数.作者在文章中证明了当|η|<1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,τ(α+β)<−γτ2<θ(θ+βτsinθ−ηθcosθ)1−cosθ,华中科技大学硕士学位论文方程(1.10)的解析解是渐近稳定的,其中θ是α=β+(1−η)θsinθτ(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π].随后作者将梯形方法应用到上述中立型积分-微分方程,进行数值求解,证明了当|η|<1,m=1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,α+β+γτ<0,方程(1.10)的数值解是稳定的.当|η|<1,m>1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,τ(α+β)<−γτ2<2m sinθm[2m sinθm(1−ηcosθ)+βτsinθ(1+cosθm)](1+cosθm)2(1−cosθ),方程(1.10)的数值解是稳定的,其中θ是α=β+2m(1−η)sinθmsinθτ(1−cosθ)(1+cosθm)的根且θ∈[0,2π].2015年,Zhao,Fan和Xu[34]针对方程(1.10),将边值方法应用到上述中立型积分-微分方程,进行数值求解.2017年,Zhao,Fan和Xu[35]又将Runge-Kutta方法应用到方程(1.10)进行数值求解,证明了Gauss方法(2≤s≤6),LobattoIIIS(2≤s≤6)且满足条件u s−1σ2=1,LobattoIIIA(3≤s≤7)和LobattoIIIB(3≤s≤7)可以保持数值方法的稳定.1.3本文的主要研究工作从上一节的讨论中,我们可以看到许多国内外学者都在研究延迟方程,但是带有五个参数的中立型积分-微分方程目前极少有人进行分析,该方程更能准确地反映实际情况,因此对于这种中立型系统的研究的重要是毋庸置疑的.本文的主要工作就是研究具有五个参数的中立型积分-微分方程解析解与数值解的稳定性.在第二章中我们主要讨论如下形式的含有五个参数的中立型积分-微分方程：ddt[y(t)−ay(t−τ)−b∫tt−τy(v)dv]=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(v)dv,t>0, y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,其中a,b,α,β,γ∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数.分析解析解渐近稳定时,我们可以将其转化为只含有四个参数的中立型积分-微分方程.根据[33]中的定理,相应地我们就可以得到其解析解渐近稳定的充要条件,分析数值稳定性时,我们把积分项用复合求积公式处理,分析梯形方法数值解的稳定性,作图给出了数值解的渐近稳定域.华中科技大学硕士学位论文在第三章我们主要分析如下形式的中立型偏微分方程：∂u∂t=˜α(∂2u∂2x+∂2u∂2y)+˜βu(t−τ,x,y)+˜γ∫tt−τu(s,x,y)ds+˜a∂u(t−τ,x,y)∂t+˜b∂∂t(∫tt−τu(s,x,y)ds),t>0,u(t,x,y)=g(t,x,y),t∈[−τ,0],(x,y)∈Ω,u(t,x,y)=0,t>0,(x,y)∈∂Ω,其中(x,y)∈Ω=[0,L]×[0,L],˜α,˜β,˜γ,˜a,˜b∈R,L,τ∈R+.我们相应地给出了解析解与数值解渐近稳定的充要条件.在第四章我们用数值实验来验证梯形方法求解中立型积分-微分方程方程的有效性及稳定性结果.华中科技大学硕士学位论文2中立型延迟常微分方程的稳定性稳定性是衡量一个算法好坏的重要指标,在本章中,我们针对含有五个参数的中立型积分-微分方程,讨论其解析稳定性与数值稳定性.2.1方程的解析稳定性在本章中我们主要讨论如下形式的中立型积分-微分方程:ddt[y(t)−ay(t−τ)−b∫tt−τy(v)dv]=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(v)dv,t>0,y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,(2.1)其中a,b,α,β,γ∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数.定义2.1如果问题(2.1)的解析解y(t)满足limt→∞y(t)=0,则称解析解y(t)是渐近稳定的.Wu和Gan在文献[33]中研究了如下含有四个参数的中立型积分-微分方程:y′(t)=¯αy(t)+¯βy(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ηy′(t−τ),t>0,y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,(2.2)其中¯α,¯β,γ,η∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数,其特征方程为λ−¯α−¯βexp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−ηλexp(−λτ)=0.作者在文章中得到了解析解渐近稳定的结论,如下：引理2.1（参见文[33]）当|η|<1时,方程(2.2)的解析解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)¯α<¯β+2(1−η)τ,(2)τ(¯α+¯β)<−¯γτ2<ϕ(ϕ+¯βτsinϕ−ηϕcosϕ)1−cosϕ,其中ϕ为¯α=¯β+(1−η)ϕsinϕτ(1−cosϕ)的根且ϕ∈[0,2π].华中科技大学硕士学位论文针对方程(2.2),我们引用[33]中的一个引理,在第三章证明偏微分方程渐近稳定性时我们需要用到.引理2.2（参见文[33]）若当|η|<1,¯α<0时,对于给定的¯β,γ值,方程(2.2)的所有根实部都小于0,那么对任意的x≤α,方程λ−x−¯βexp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−ηλexp(−λτ)=0,的所有根的实部都小于0.针对含有五个参数的中立型积分-微分方程(2.1),我们可以将其变形为如下形式:y′(t)=(α+b)y(t)+(β−b)y(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ay′(t−τ),t>0, y(t)=φ(t),−τ≤t≤0.其特征方程为λ−(α+b)−(β−b)exp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−aλexp(−λτ)=0.令α+b=¯α,β−b=¯β,a=η,通过引理2.1可得方程(2.1)解析解渐近稳定性的充要条件.定理2.1当|a|<1时,方程(2.1)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α+b<β−b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<ψ[ψ+(β−b)τsinψ−aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为α=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π].Wu和Gan在文[33]中研究带有四个参数的中立型积分-微分方程时,使用的研究方法为边界轨迹方法,画渐近稳定域时是以¯α,γ为坐标系,对应于我们研究的带有五个参数的中立型积分-微分方程就应该是以α+b,γ为坐标系,考虑到接下来我们需要研究数值解稳定域,进行离散时,并不能直接将其化为带有四个参数的中立型积分-微分方程形式,此时我们用边界轨迹方法研究数值解的稳定域时,应该以α,γ为坐标系,后续我们需要保证我们研究的数值方法是能保持方程的稳定性,那么需要分析解析解稳定域与数值解稳定域的关系,所以我们现在给出以α,γ为坐标系的解析解稳定域.方程(2.1)的解析解稳定域是以直线C∗和曲线C k为边界构成的区域,其表达式如下：C∗:{(α,γ)∈R2|α+β+γτ=0},(2.3)华中科技大学硕士学位论文C k:{(α(ψ),γ(ψ))|ψ∈(2kπ,(2k+2)π),k=0,1,2,···},(2.4)其中α(ψ)=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ),(2.5)γ(ψ)=−ψ[ψ+(β−b)τsinψ−aψcosψ]τ2(1−cosψ).(2.6)图2-1和图2-2给出了以α,γ为坐标系画出的方程(2.1)的解析解渐近稳定域.图2-1当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1时,曲线C∗,C k的图像图2-2当τ=1,a=0.2,b=−1,β=2时,曲线C∗,C k图像华中科技大学硕士学位论文2.2带复合求积的梯形方法的数值稳定性针对方程(2.1),我们利用梯形方法进行数值求解,同时积分项∫tt −τy (s )ds 用复合梯形方法进行逼近.令步长h =τ/m ,t n =t 0+nh ,y n 和y n −m 分别为y (t )在t =t n ,t =t n −τ处的逼近值,则可得如下求解方程(2.1)的数值格式:[y n +1−ay n +1−m −bh 2(m −1∑j =0y n +1−j +m ∑j =1y n +1−j )]−[y n −ay n −m −b h 2(m −1∑j =0y n −j +m ∑j =1y n −j)]=h2[αy n +βy n −m +γh 2(m −1∑j =0y n −j +m ∑j =1y n −j)]+h2[αy n +1+βy n +1−m +γh 2(m −1∑j =0y n +1−j +m ∑j =1y n +1−j)].(2.7)定义2.2如果问题(2.1)的数值解y n 满足lim n →∞y n =0,则称数值解y n 是渐近稳定的.令y n =z n ,可得(2.7)的特征方程:(1−z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2(1+z −1)[α+βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ].(2.8)将上式化简可得(1−z −1)(1+z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2[α+βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ].(2.9)方程(2.7)的数值解是渐近稳定的,当且仅当特征方程(2.8)的根z 满足|z |<1,下面我们将用轨迹分析法来求解特征方程的根.对于连续问题中的α,γ,离散格式中我们用α∗,γ∗加以区别.令z −1=exp(iφ),其中i =√−1,φ∈[0,π],当φ=0即z =1时,那么式(2.8)等价于α∗+β+γ∗τ=0.令C ∗∗表示φ=0时的曲线,即C ∗∗:{(α∗,γ∗)∈R 2|α∗+β+γ∗τ=0}.当φ=0时,由华中科技大学硕士学位论文特征方程(2.8),可得(1−z−1) (1+z−1)[1−az−m−bh2(1+z−1)m−1∑j=0z−j]=h2[α∗+βz−m+hγ∗2(1+z−1)m−1∑j=0z−j].(2.10)将z−1=exp(iφ)代入上式,则有−i sinφ1+cosφ[1−a(cos mφ+i sin mφ)−bh2i(1+cosφ)sinφ(1−cos mφ−i sin mφ)]=h2[α∗+β(cos mφ+i sin mφ)+hγ∗2i(1+cosφ)sinφ(1−cos mφ−i sin mφ)].(2.11)比较(2.11)的实部与虚部有sinφ1+cosφ[a sin mφ+bh(1+cosφ)(1−cos mφ)2sinφ]=h2[α∗+βcos mφ+hγ∗2(1+cosφ)sin mφsinφ],(2.12)−sinφ1+cosφ[1−a cos mφ+bh(1+cosφ)sin mφ2sinφ]=h2[βsin mφ+hγ∗2(1+cosφ)[1−cos mφ]sinφ].(2.13)由式(2.12)和(2.13)可以写出α∗,γ∗的表达式:γ∗(φ)=−4sin2φ(1−a cos mφ)−2(β−b)h sinφsin mφ(1+cosφ)h2(1+cosφ)2(1−cos mφ),α∗(φ)=β−2b+2(1−a)sinφsin mφh(1−cos mφ)(1+cosφ).将h=τ/m代入上面两式化简有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),(2.14)γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.15)记I∗k =(2kπm,2kπ+2πm),k=0,1,···⌊m2⌋−1,华中科技大学硕士学位论文其中⌊m2⌋表示m2的整数部分.当m为奇数时,则I∗k=((m−1)πm,π).C∗k表示φ=0时的曲线,其表达式为：C∗k :{(α∗(φ),γ∗(φ))|φ∈I∗k}.(2.16)由式(2.14)和(2.15),令φ→0时,则有(α∗(0),γ∗(0))=(β−2b+2(1−a)τ,−2[1+(β−b)τ−a]τ2).(2.17)根据C∗∗和C∗k 的表达式,我们将绘制图像C∗∗和C∗k.图2-3为当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像,图2-4为当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β= 1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像.图2-3当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像接下来我们将进一步研究曲线C∗∗和C∗k的一些性质.引理2.3当|a|<1时,曲线C∗k(β,a,b)是互不相交的.证明.我们首先假设φ1∈I∗k,φ2∈I∗l,k=l,可得α∗(φ1)=α∗(φ2),γ∗(φ1)=γ∗(φ2).由(2.14),(2.15)有如下等式β−2b+2m(1−a)sinφ1sin mφ1τ(1+cosφ1)(1−cos mφ1)=β−2b+2m(1−a)sinφ2sin mφ2τ(1+cosφ2)(1−cos mφ2),(2.18)华中科技大学硕士学位论文图2-4当τ=1,a=0.2,b=−1,β=5,m=12时,C∗∗,C∗k的图像−4m sin2φ1(1−a cos mφ1)−2m(β−b)τsinφ1sin mφ1(1+cosφ1)τ2(1+cosφ1)2(1−cos mφ1)=−4m sin2φ2(1−a cos mφ2)−2m(β−b)τsinφ2sin mφ2(1+cosφ2)τ2(1+cosφ2)2(1−cos mφ2).(2.19)等式(2.18)化简有sinφ1sin mφ1τ(1+cosφ1)(1−cos mφ1)=sinφ2sin mφ2τ(1+cosφ2)(1−cos mφ2),(2.20)将(2.20)代入到(2.19)得sin2φ1(1−a cos mφ1)τ2(1+cosφ1)2(1−cos mφ1)=sin2φ2(1−a cos mφ2)τ2(1+cosφ2)2(1−cos mφ2).(2.21)将(2.20)平方乘以(2.21)的倒数则有sin2(mφ1)(1−cos mφ1)(1−a cos(mφ1))=sin2(mφ2)(1−cos mφ2)(1−a cos(mφ2)).即为1−cos2(mφ1)(1−cos mφ1)(1−a cos(mφ1))=1−cos2(mφ2)(1−cos mφ2)(1−a cos(mφ2)).则有1+cos(mφ1) (1−a cos(mφ1))=1+cos(mφ2)(1−a cos(mφ2)).而1+cos(mφ)(1−a cos(mφ))关于cos(mφ)是单调递增的,所以cos(mφ1)=cos(mφ2),又由(2.21)则华中科技大学硕士学位论文有下列等式成立sin2φ1 (1+cosφ1)2=sin2φ2(1+cosφ2)2.当φ∈(0,π)时,函数sinφ1+cosφ关于φ是单调递增的,所以可以得到φ1=φ2.引理2.4当|a|<1,m>1时,曲线C∗k与直线α=β−2b只有一个交点,且交点的纵坐标值γk关于k是单调递减的.当m为奇数且a=b=0时,C∗⌊m/2⌋与直线α=β−2b不相交.证明.当|a|<1,m>1时,由(2.14)和(2.15)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).取φk=(2k+1)πm ,k=0,1,···⌊m2⌋−1,那么有α∗=β−2b,而γ∗(φk)=−2m2(1+a)sin2φkτ2(1+cosφk)2,从而可知γ∗k+1<γ∗k,即纵坐标γk关于k是单调递减的.而当m为奇数且a=b=0时,则有lim φ→πα∗(φ)=β−2b+2m2τ,limφ→πγ∗(φ)=−∞.因此引理获证.图2-3和图2-4给出了C∗∗,C∗k的图像,我们可以看到跟引理2.3和引理2.4研究的理论结果是一致的.根据引理2.3和引理2.4,我们知道当|a|<1时,曲线C∗k在平面(α,γ)上互不相交且按k大小顺序排列.根据文[45],当α=−|β|−1,γ=0,b=0,|a|<1时,方程(2.8)的特征根均满足|z|<1,所以(2.7)的稳定域在C∗∗和C∗0为边界的区域里.定理2.2当|a|<1,m=1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0.华中科技大学硕士学位论文当|a|<1,m>1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ),其中φ为α=β−2b+2m(1−a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm)的根且φ∈[0,2π].证明.根据上面的分析,我们可以知道格式(2.7)求解问题(2.1)的稳定域在C∗∗和C∗0为边界的区域里.当m=1时,由式(2.14)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ)=β−2b+2(1−a)τ.此时的边界轨迹曲线C∗是一条直线.当|a|<1,m=1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0.当|a|<1,m>1时,格式(2.7)求解问题(2.1)的稳定域在C∗∗和C∗为边界的区域里,那么应该满足下列条件：(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0,(3)γ>−2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)]τ2(1+cosφm)2(1−cosφ),即(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ).因此定理获证.引理2.5若当|a|<1,m>1,I∗∈(0,2π/m)时,α∗(φ)和γ∗(φ)在(α+b,γ)左半平面都是单调递减的,则C∗在(α+b,γ)左半平面是严格单调递减的.华中科技大学硕士学位论文证明.当|a |<1,m >1,I ∗0∈(0,2π/m )时,α∗(φ)=β−2b +2m (1−a )sin φsin mφτ(1−cos mφ)(1+cos φ),此时α∗(φ)关于φ是单调递减的.对于γ(φ)来说dγ∗(φ)dφ=2m (β−b )τ(m sin φ−sin mφ)τ2(1+cos φ)(1−cos mφ)+−4m 2sin φ(2−2cos mφ−m sin φsin mφ)+4am 2sin φ[2cos mφ(1−cos mφ)−m sin φsin mφ]τ2(1+cos φ)2(1−cos mφ)2,由dγ∗(φ)dφ知道,当(β−b )τ≤g ∗(¯φ0)=minφ∈(0,2π/m ){g ∗(φ)=2m sin φ(2−2cos mφ−m sin φsin mφ)(1−cos mφ)(1+cos φ)(m sin φ−sin mφ)−2am sin φ[2cos mφ(1−cos mφ)−m sin φsin mφ](1−cos mφ)(1+cos φ)(m sin φ−sin mφ)}时,函数γ∗(φ)是单调递减的;当(β−b )τ>g ∗(¯φ0)时,存在有限个¯φk ∈(0,2π/m ),k =1,2,···N ,使得(γ∗(φ))′=0,其中¯φk 为方程g ∗(¯φk )=(β−b )τ的根.由(2.14)和(2.15)可知,这些¯φk 同时满足α∗(¯φk )+b =2m sin ¯φk [2−2cos m ¯φk −sin 2m ¯φk ]+2am sin ¯φk (1−cos m ¯φk )2τ(1−cos m ¯φk )(1+cos ¯φk )(m sin ¯φk −sin m ¯φk ),又当|a |<1,m >1时有α∗(¯φk )+b >2m sin ¯φk (2−2cos m ¯φk −sin 2m ¯φk )−2m sin ¯φk (1−cos m ¯φk )2τ(1−cos m ¯φk )(1+cos ¯φk )(m sin ¯φk −sin m ¯φk )=0,所以此时γ∗(φ)在(α+b,γ)左半平面是严格单调递减的.因此C ∗0在(α+b,γ)左半平面是严格单调的.因此引理获证.根据定理2.2和引理2.5,我们可以得到在后面章节中需要用到的一个定理.定理2.3若当|a |<1,α+b <0时,对于给定a,b,β,γ的值,(2.8)的所有根实部都小于0,则对任意的x ≤α+b ,方程(1−z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2(1+z −1)[x +βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ],的所有根实部都小于0.2.3解析解稳定域与数值解稳定域关系为了分析解析解与数值解稳定域的关系,我们来研究连续问题中的边界轨迹曲线C 0与离散格式中的边界轨迹曲线C ∗0之间的关系.华中科技大学硕士学位论文首先我们分析当m=1时的情况,对于离散格式中的边界轨迹曲线C∗,由等式(2.14)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ)=β−2b+2(1−a)τ,此时的离散格式中的边界轨迹曲线C∗是一条直线.对于连续问题中的边界轨迹曲线C0,由式(2.5)有α(φ)=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ),而ψ∈(0,2π)时,函数ψsinψ(1−cosψ)关于ψ是单调递减的,当ψ=0时,函数取到最大值,而此时lim ψ→0ψsinψ(1−cosψ)=limψ→0ψsinψ12sin2(ψ2)=2,所以有2>ψsinψ(1−cosψ),那么就有α(ψ)<α∗(φ).此时离散格式中的边界轨迹曲线C∗0位于连续问题中的边界轨迹曲线C0的右边,即离散问题中的稳定域包含连续问题中的稳定域.接下来我们研究m>1时的情况,为了得到连续问题中的边界轨迹曲线C0与离散格式中的边界轨迹曲线C∗之间的位置关系,我们先给出以下引理.引理2.6当|a|<1且m>1时,曲线C0与曲线C∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b+2(1−a)τ,−2[1+(β−b)τ−a]τ2)处相交.证明.假设存在mφ,ψ∈(0,2π),使得α(ψ)=α∗(φ),γ(ψ)=γ∗(φ),那么由式(2.5)、(2.6)、(2.14)和(2.15)有β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),(2.22)−ψ2−(β−b)τψsinψ+aψ2cosψτ2(1−cosψ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.23)等式(2.22)化简则有ψsinψτ(1−cosψ)=2m sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ).(2.24)将(2.24)代入(2.23),可以得到ψ2(1−a cosψ)τ2(1−cosψ)=4m2sin2φ(1−a cos mφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.25)华中科技大学硕士学位论文将(2.24)平方乘以(2.25)的倒数有sin 2ψ(1−cos ψ)(1−a cos ψ)=sin 2mφ(1−cos mφ)(1−a cos mφ).(2.26)即为1−cos 2ψ(1−cos ψ)(1−a cos ψ)=1−cos 2mφ(1−cos mφ)(1−a cos mφ).(2.27)则可以得到cos ψ=cos mφ.又由(2.25),那么有ψ2=4m 2sin 2φ(1+cos φ)2>(mφ)2,(2.28)又因cos mφ=cos ψ,所以我们可以得到mφ+ψ=2π,ψ∈(π,2π),mφ∈(0,π).可等式(2.24)的左边为负,右边为正,故得到矛盾,所以曲线C 0与C ∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b +2(1−a )τ,−2[1+(β−b )τ−a ]τ2)处相交,引理获证.引理2.7当|a |<1且m >1时,在平面(α,γ)中,曲线C ∗0在曲线C 0下方.证明.对于连续问题中的曲线C 0有下列等式成立:α(ψ)=β−2b +(1−a )ψsin ψτ(1−cos ψ),γ(ψ)=−ψ[ψ+(β−b )τsin ψ−aψcos ψ]τ2(1−cos ψ).对于离散格式中的曲线C ∗0有下列等式成立:α∗(φ)=β−2b +2m (1−a )sin φsin mφτ(1−cos mφ)(1+cos φ),γ∗(φ)=−4m 2sin 2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b )sin φsin mφ(1+cos φ)τ2(1+cos φ)2(1−cos mφ).取ψ=π,φ=πm ,有α(π)=α∗(πm ),γ(π)>γ∗(πm ).根据引理2.5,我们知道曲线C 0与曲线C ∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b +2(1−a )τ,−2[1+(β−b )τ−a ]τ2)处相交,故可知此时曲线C ∗在曲线C 0下方.因此引理获证. 综上分析,我们知道当|a |<1时,离散问题中的边界轨迹曲线C ∗在连续问题中的边界轨迹曲线C 0下方.定理2.4若当|a |<1时,a,b,α,β,γ满足定理2.1中的条件,则格式(2.8)关于方程(2.1)是稳定的.华中科技大学硕士学位论文证明.连续问题中的边界轨迹曲线为C∗:{(α,γ)∈R2|α+β+γτ=0}和C0,而离散问题中的轨迹曲线为C∗∗:{(α∗,γ∗)∈R2|α∗+β+γ∗τ=0}和C∗0,而由上面的分析,是位于C0的下方,所以我们可以知道离散问题中的稳定域包含连续问题中的稳定C∗域，即则格式(2.8)关于方程(2.1)是稳定的.因此定理获证.华中科技大学硕士学位论文3中立型延迟偏微分方程的稳定性在前面章节中,我们研究了中立型常微分方程的渐近稳定性,在本章,我们将研究中立型延迟偏微分方程的稳定性.3.1方程的解析稳定性我们在本章中主要研究以下类型的中立型偏微分方程:∂u ∂t =˜α(∂2u ∂2x +∂2u ∂2y )+˜βu (t −τ,x,y )+˜γ∫t t −τu (s,x,y )ds +˜a ∂u (t −τ,x,y )∂t+˜b ∂∂t (∫t t −τu (s,x,y )ds ),t >0,u (t,x,y )=g (t,x,y ),t ∈[−τ,0],(x,y )∈Ω,u (t,x,y )=0,t >0,(x,y )∈∂Ω,(3.1)其中(x,y )∈Ω=[0,L ]×[0,L ],˜α,˜β,˜γ,˜a ,˜b ∈R ,L,τ∈R +.那么上式的特征方程为（参见文[38]）：λ=˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]+(˜β−˜b )exp(−λτ)+˜γ∫0−τexp(λs )ds +˜a λexp(−λτ),k,l =1,2,···.(3.2)当|˜a |<1时,(3.1)是渐近稳定的等价于(3.2)的根实部都小于零.根据2.1节中对方程(2.1)的特征方程的研究,令α+b =˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2],β−b =˜β−˜b,γ=˜γ,a =˜a .要使得(3.1)是渐近稳定的,有下列条件成立(1)˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(2)˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]+˜β−˜b <−˜γτ,(3)−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]=˜β−˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].华中科技大学硕士学位论文定理3.1当|˜a |<1时,方程(3.1)是渐近稳定的当且仅当下列三个条件成立:(1)˜α≥0,(2)˜b −2˜απ2/L 2<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(3)τ(−2˜απ2/L 2+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为−2˜απ2/L 2=˜β−2˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].证明.要使得˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,k,l =1,2,···,成立,那么˜α≥0.根据引理2.2我们要使得˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]取得最大值,那么此时k =l =1.所以根据定理2.1,当|˜a |<1时,方程(3.1)是渐近稳定的当且仅当下列条件成立:(1)˜α≥0,(2)˜b −2˜απ2/L 2<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(3)τ(−2˜απ2/L 2+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为−2˜απ2/L 2=˜β−2˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].3.2方法的数值稳定性我们将空间(x,y )离散为(N +2)×(N +2),步长则为∆x =∆y =L/(N +1),那么有x i =i ∆x,y j =j ∆y,i,j =0,1,···,N +1.拉普拉斯算子我们用中心差分进行逼近,那么有u ′i,j (t )=˜α(u i +1,j (t )+u i −1,j (t )+u i,j +1(t )+u i,j −1(t )−4u i,j (t )∆x2)+˜βu i,j (t −τ)+˜γ∫tt −τu i,j (s )ds +˜a u ′i,j (t −τ)+˜b (∫t t −τu i,j (s )ds )′.(3.3)其中u i,j (t )表示u (t,x i ,y j )的逼近值.根据文献[27]中3.2节,我们可以将(3.3)的特征方程写成如下形式:λ−(˜b +˜a λij )−(˜β−˜b )−˜γ∫0−τexp(λs )ds −˜a λexp(−λτ)=0,其中λij =−4(N +1)2L 2(sin 2iπ2(N +1)+sin 2jπ2(N +1)),i,j =1,2,···,N.华中科技大学硕士学位论文定理3.2当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1)时,方程(3.3)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b)τsinψ−˜aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为˜αλ11=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π].证明.根据引理2.2我们要使得˜b+˜αλij取得最大值,那么此时i=j=1.所以根据定理2.1,当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1)时,方程(3.3)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b)τsinψ−˜aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为˜αλ11=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π]. 将方程(3.3)用梯形方法离散,积分项用复合梯形公式逼近,那么全离散格式为u n+1i,j−u n i,j∆t −˜au n+1−mi,j−u n−mi,j∆t−˜b2[(m−1∑k=0u n+1−ki,j+m∑k=1u n+1−ki,j)−(m−1∑k=0u n−ki,j+m∑k=1u n−ki,j)]=˜α2(u n+1i+1,j+u n+1i−1,j+u n+1i,j+1+u n+1i,j−1−4u n+1i,j∆x2)+˜α2(u ni+1,j+u ni−1,j+u ni,j+1+u ni,j−1−4u n i,j∆x2) +˜β2u n+1−mi,j+˜γ∆t4(m−1∑k=0u n+1−ki,j+m∑k=1u n+1−ki,j)+˜β2u n−mi,j+˜γ∆t4(m−1∑k=0u n−ki,j+m∑k=1u n−ki,j),(3.4)其中i,j=1,2,···,N,时间步长为∆t=τ/m,u ni,j表示u(n∆t,i∆x,j∆y)的逼近值.类似于定理3.2的证明,根据定理2.2和定理2.3,则可以得到数值解渐近稳定的的充要条件：定理3.3当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),m=1时,(3.4)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,华中科技大学硕士学位论文(2)˜αλ11+˜β+˜γτ<0.当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),m>1时,(3.4)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−˜a cosφ)+(˜β−˜b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ),其中φ为˜αλ11=˜β−2˜b+2m(1−˜a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm)的根且φ∈[0,2π].根据文献[27]中的定理3.9,我们令˜a=˜b=0,则可以得到梯形方法并不能保持对应偏微分方程的渐近稳定性,但是我们可以得到以下结论：定理3.4当|˜a|<1时,(3.4)的渐近稳定域的边界线以o(m−2)+o((N+1)−2)或者o((∆t)2)+o((∆x)2)逼近(3.1)在平面(˜α,˜γ)右半部分渐近稳定区域的局部边界.证明.当|¯d|<1时,则有limN→∞(λ11(N)−(−2π2/L2))=o((N+1)−2),limm→∞(α∗(φ/m)−α(φ))=o(m−2),其中λ11(N)=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),α(ψ)=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ),α∗(φ)=˜β−2˜b+2m(1−˜a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm).又因为o((N+1)−2)=o((∆x)2)和o(m−2)=o((∆t)2),那么可以推出以下等式:limm,N→(∞,∞)(˜α∗(φ/m)−˜α(φ))=limm,N→(∞,∞)(α∗(φ/m)λ11(N)−α(φ)−2π2/L2)华中科技大学硕士学位论文=limm,N→(∞,∞)(α∗(φ/m)−α(φ)λ11(N)−α(φ)(λ11(N)+2π2/L2)λ11(N)(−2π2/L2))=o((∆t)2)+o((∆x)2),limm,N→(∞,∞)(˜γ∗(φ/m)−˜γ(φ))=o(m−2)=o((∆t)2),其中˜α∗(φ/m)=α∗(φ/m)λ11(N),˜α(φ)=α(φ)−2π2/L2,˜γ(φ)=−φ[φ+(˜β−˜b)τsinφ−˜aφcosφ]τ2(1−cosφ),˜γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−˜a cos mφ)−2mτ(˜β−˜b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(˜α∗(φ/m),˜γ∗(φ/m))表示(3.4)的渐近稳定域的局部边界线,(˜α(φ),˜γ(φ))表示平面(˜α,˜γ)右半部分(3.1)渐近稳定区域的局部边界.图3-1当˜a=0.8,˜b=−0.2,˜β=3时,解析稳定域与数值稳定域局部边界图图3-1给出了解析稳定域与数值稳定域局部边界图,其中曲线C(1)表示解析解渐近稳定域的局部边界,曲线C(3,9)表示格式(3.4)中m=3,N=9时数值解渐近稳定域的局部边界,曲线C(4,16)表示格式(3.4)中m=4,N=16时数值解渐近稳定域的局部边界,曲线C(5,25)表示格式(3.4)中m=5,N=25时数值解渐近稳定域的局部边界.华中科技大学硕士学位论文4数值算例在本章中,我们将通过数值算例验证得到的理论结果.此外,方法的全局误差和收敛阶分别定义如下:err(h)=max1≤n≤N ∥y n−y(t n)∥∞,p≈log2[err(h)err(h/2)].例4.1考虑如下的中立型积分-微分方程初值问题ddt[y(t)−0.5y(t−1)+2.5∫tt−1y(v)dv]=0.5y(t)−2.5y(t−1)−∫tt−1y(v)dv,0≤t≤20,y(t)=e t,−1≤t≤0.(4.1)对于该问题,可知α=0.5,β=−2.5,γ=−1,a=0.5,b=−2.5,直接计算可知定理2.1中的条件(1)(2)满足,那么问题(4.1)的解析解是渐近稳定的.我们取步长h=1/1024时的数值解作为方程的参考解,图4-1给出了参考解的图像.图4-1问题(4.1)的参考解我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.1),由定理2.2可知数值解是渐近稳定的,图4-2给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.1),表4.1是梯形方法求解问题(4.1)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.华中科技大学硕士学位论文(a)m=16(b)m=32(c)m=64(d)m=128图4-2格式(2.7)求解问题(4.1)的数值解图像表4.1梯形方法求解问题(4.1)的全局误差和收敛阶h err(h)p1/16 1.2000E-03-1/32 3.1041E-04 1.9508 1/647.7348E-05 2.0048 1/128 1.9108E-05 2.0172华中科技大学硕士学位论文例4.2考虑如下的中立型积分-微分方程初值问题ddt[y(t)−0.1y(t−1)+5∫tt−1y(v)dv]=y(t)−5y(t−1)−5∫tt−1y(v)dv,0≤t≤20,y(t)=sin2t,−1≤t≤0.(4.2)对于该问题,可知α=1,β=−5,γ=−1,a=0.1,b=−5,直接计算可知定理2.1中的条件(1)(2)满足,那么问题(4.2)的解析解是渐近稳定的.我们取步长h=1/1024时的数值解作为方程的参考解,图4-3给出了参考解的图像.图4-3问题(4.2)的参考解我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.2),由定理2.2可知数值解是渐近稳定的,图4-4给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.2),表4.2是梯形方法求解问题(4.2)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.表4.2梯形方法求解问题(4.2)的全局误差和收敛阶h err(h)p1/16 3.4753E-04-1/328.6506E-05 2.00631/64 2.1560E-05 2.00441/128 5.3255E-06 2.0174华中科技大学硕士学位论文(a)m=16(b)m=32(c)m=64(d)m=128图4-4格式(2.7)求解问题(4.2)的数值解图像例4.3考虑如下的中立型积分-微分方程初边值问题∂u(t,x)∂t=0.8∂2∂2xu(t,x)+3.3u(t−1,x)−5∫tt−1u(s,x)ds+0.8∂u(t−1,x)∂t−0.1∂∂t(∫tt−1u(s,x)ds),t>0,u(t,x)=sin(πx),t≤0,0<x<1,u(t,0)=u(t,1)=0,t>0.(4.3)对于该问题,可知˜α=0.8,˜β=3.3,˜γ=−5,˜a=0.8,˜b=−0.1,直接计算可知定理3.1中的条件(1)(2)(3)满足,那么问题(4.3)的解析解是渐近稳定的.我们取时间步长∆t=1/1024,空间步长∆x=1/100时的数值解作为方程的参考解,图4-5给出了参考解的图像.我们取时间步长∆t=1/2i(i=5,6,7,8),空间步长∆x=1/100,利用格式(3.4)求解问题(4.3),由定理3.3可知数值解是渐近稳定的,图4-6给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取时间步长∆t=1/2i(i=5,6,7,8),空间步长∆x=1/100,利用格式(3.4)求解问题(4.3),表4.3是梯形方法求解问题(4.3)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.。

它的通信模型共有三层，即物理层、数据链路层和应用层三层，能够支持点对点主从应答方式和多点广播方式。

7WorldFIP该总线系统源于1987年3月成立的WorldFIP协会，其中主要是以法国CEGELEC、SCHNEIDER等公司设计研发的FIP（工厂仪表协议）现场总线系列产品为主。

该协会一共有100多个成员，总体上来看，这些产品在法国市场占据着大多数份额，据相关数据统计显示，已经超过了60%，而在欧洲的市场份额大概在25%左右。

该总线系统的主要产品，应用在发电与输配电、加工自动化、铁路运输、地铁和过程自动化等领域。

除了上述提到的几种现场总线技术之外，还有其他一些比较出名的总线系统，比如丹麦公司Process-DataA/S 设计开发的P-Net，这种技术的应用范围主要是农业、林业、水利、食品等行业。

通过上面的论述，可以总结出现场总线所具备的特点，具体说来，其特点可以总结为如下几个方面：第一，控制设备并不单单只发挥设备的基本功能，还具有通信功能，这样就能够很方便的实现对工厂底层网络的控制。

第二，总线系统在使用过程中，其通信标准是统一、开放的，这样就使得系统的使用更加方便和灵活，能够实现相互交换操作和及时切换。

第三，相同功能之间的设备可以实现互换，这是因为总线系统的功能块与结构具有规范化的标准，这样就可以将控制功能下放到现场。

现场总线的优点可以总结为如下：使得自控设备与系统能够实现信息网络通信，这样就可以在很大程度上提高其应用范围。

在使用过程中，一对双绞线能够实现挂载多个控制设备，这就会降低不少安装成本，并且能够减少后期的维护支出。

通过使用该种技术，还可以提高系统的安全性和可靠性，能够为用户提供更加灵活和自由的系统集成主动权。

8国内技术发展情况从现阶段来看，在国内市场上现场总线系统的技术较多，不同类型技术产品之间的竞争非常激烈，值得注意的一点是，竞争的主要焦点在于应用工程领域。

一些有实力的企业已经设计研发出自己的总线控制系统产品，并且在不断拓展市场，总的来说，各行各业的总线控制技术发展迅速，随着我国工业信息化的不断升级，未来现场总线技术的应用市场会不断扩大，并且其技术的发展，也在向国际化标准靠拢，技术水平也在逐步得到提升。

带有时滞的动力系统的运动稳定性分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。

以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。

直接法的基本定理一、Понтрягин定理要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。

对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程110n n n P P λλ-+++=。

在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。

如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。

但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>的零解是渐进稳定的。