一道课本探究题的再探究
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一道课本习题的探究与思考页数:3
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对一道课本习题的深入探究页数:3
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一道课本习题的拓展探究及应用页数:3
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一道课本习题的探究页数:1
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一道课后习题论文页数:5
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对一道数学课本例题的拓展探究
原题 的两类 结 论外 ， 还 可 以写 角相 等 、 全等 、 相 似 等结 论 ， 给 了学 生很 大 的思维 空间 ， 培 养 了学生 的思 维发 散 能力 和综合
分析 能力 。
拓展 ２ ： 如图， 在原 题条件 不变 的前 提下 ，（ １ ） 若Ｌ Ａ Ｐ Ｏ ＝
３ ０ ￣ ，点 Ｑ为 ０ｏ上 不 与点 Ａ、 Ｂ重 合 的点 ，求 Ｌ， ４ Ｑ Ｂ的度 数 。 （ ２ ） 若 ０Ｏ的半 径 为 ５， 在（ １ ） 的条 件 下 ， Ｐ求 、 船 及 劣 弧 所 围 成 的 图
Ｐ
点 作 Ｐ Ｏ的垂 线 Ｂ Ａ， 垂足 为 点 Ｄ， 交 ００于点 ， 延长 Ａ ０
与 ００交 于 点 ｃ， 连接 Ｂ Ｃ， Ａ （ １ ） 求证 ： 直线 为 ００的切
原题（ 苏教 版 九 年级 数 学 上 册 ）
ｐ
如图 １ ， Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ是 ００ 的两 条 切 线 ，
对一道数学课本例题的拓展探究
江苏省泰 兴市老叶初级 中学 叶乔平 初 中数 学课 本 中的例题 具有 示 范性 、典 型性 和探 究性 ， 是课 本 的精髓 。浏览 近几 年全 国各 地 的 中考 数学 试卷 ， 很 多 试题 来源 于课本 ， “ 题在 书外 ， 根在 书 内” 。因此 ， 在 中考 复 习 中若 能 充 分发 挥课 本 中例题 的 潜在 功 能 ，适 当加 以拓 展延 伸， 可 以达 到发展 智力 、 培养 能力 的 目的。 现 以苏教 版九 年级 上册 课 本上 的一道 例题 为 例 ， 谈 谈本 人 的一些 做 法 ， 以期达
ＡＰ ＡＢ的 内心 的结论 。
课本 例题 、 习题较 多 ， 我 们也要 抓住 重点 ， 从 各个 方 面精 心挖 掘其 潜力 。 只有这样 ， 我们 才能 真正从 题海 战术 中脱身 出来 ， 减轻 学生 负担 ， 提高复 习效 率 。
一道课本习题的探究性学习与思考
直线 Ｇ Ｐ直线 Ｃ Ｆ交 于点 Ｊ ， 线 Ｈ Ｒ 直 Ｐ直 线 Ｏ Ｇ交 于
视 角 ５ 类 比联 想 ， 从类 比的 思 想 角 度 出 发 ，
既然 交 点 在 椭 圆 上 ， 否 有 相 应 的 交 点 在 双 曲线 是
上， 什么 时候 在 双 曲线 上 呢？ 从 而又 得 到下 面一个 新 的命 题 ． 命题 ３ 如 图 ３ 在 矩形 Ａ Ｃ 中 ，Ａ ＝２ ， ， ＢＤ ＩＢＩ ａ ＩＣｌ ２ （ Ｂ ＿ ｂ ｎ＞０ ｂ＞０ ． Ｆ， 日 分 别 是 矩 形 ４ ， ） Ｅ， Ｇ， 条 边 的 中点 ， 是线 段 Ｏ Ｅ上 的点 ， 尺 是线 段 Ｃ Ｇ上
得 （６Ｒ。ｎ１ ） 而 Ｇ ，，（（ ） ， 直 Ｏ） ，— 从
ｙ ：一 一 ＋６ ‘ ． Ｌ （） １
线Ｇ Ｒ 的方程 为
给学生 提供 探究 性学 习 的理想素 材 ， 建展 示 思维 搭
同理可 得直 线 朋 的方程 为
’ ＝— 一Ｄ ， ■ ６ ，
： 一
点 Ⅳ， 直线 Ｆ Ｐ与直线 Ｃ Ｇ交 于点 Ｊ ， ７ 则 ｖ
Ｉ ｌ Ｉ ＤⅣ Ｉ Ｉ ｃⅣ Ｉ ｌ Ｉ— Ｉ ＯＦ ＣＦＩ’Ｉ ＯＧＩ— ｌ ＣＧＩ’
为 ２ａ ｎ
，
ａ
（） ２
联 立方程 （ ） （ ） １ ，２ 可得 直 线 职 与 Ｇ Ｒ 的交 点坐标
（ 一１ ６ ｎ ）
Ｙ
，
会“ 下蛋 的金母鸡” 一道好 的题 目会 给我们带来 ，
代 入椭 圆方 程得
引人人胜的探究之旅． 例如人教版《 数学》 选修 ２１ －
第５ Ｏ页 Ｂ组第 ４题 ：
程改革 与实施的 目的就是要 改变学生被动接受知
视 角 ５ 类 比联 想 ， 从类 比的 思 想 角 度 出 发 ，
既然 交 点 在 椭 圆 上 ， 否 有 相 应 的 交 点 在 双 曲线 是
上， 什么 时候 在 双 曲线 上 呢？ 从 而又 得 到下 面一个 新 的命 题 ． 命题 ３ 如 图 ３ 在 矩形 Ａ Ｃ 中 ，Ａ ＝２ ， ， ＢＤ ＩＢＩ ａ ＩＣｌ ２ （ Ｂ ＿ ｂ ｎ＞０ ｂ＞０ ． Ｆ， 日 分 别 是 矩 形 ４ ， ） Ｅ， Ｇ， 条 边 的 中点 ， 是线 段 Ｏ Ｅ上 的点 ， 尺 是线 段 Ｃ Ｇ上
得 （６Ｒ。ｎ１ ） 而 Ｇ ，，（（ ） ， 直 Ｏ） ，— 从
ｙ ：一 一 ＋６ ‘ ． Ｌ （） １
线Ｇ Ｒ 的方程 为
给学生 提供 探究 性学 习 的理想素 材 ， 建展 示 思维 搭
同理可 得直 线 朋 的方程 为
’ ＝— 一Ｄ ， ■ ６ ，
： 一
点 Ⅳ， 直线 Ｆ Ｐ与直线 Ｃ Ｇ交 于点 Ｊ ， ７ 则 ｖ
Ｉ ｌ Ｉ ＤⅣ Ｉ Ｉ ｃⅣ Ｉ ｌ Ｉ— Ｉ ＯＦ ＣＦＩ’Ｉ ＯＧＩ— ｌ ＣＧＩ’
为 ２ａ ｎ
，
ａ
（） ２
联 立方程 （ ） （ ） １ ，２ 可得 直 线 职 与 Ｇ Ｒ 的交 点坐标
（ 一１ ６ ｎ ）
Ｙ
，
会“ 下蛋 的金母鸡” 一道好 的题 目会 给我们带来 ，
代 入椭 圆方 程得
引人人胜的探究之旅． 例如人教版《 数学》 选修 ２１ －
第５ Ｏ页 Ｂ组第 ４题 ：
程改革 与实施的 目的就是要 改变学生被动接受知
一道课本习题的再探究
图 １ 设 直 线 交 抛 ， 物 线 于 ， 两 点 ， Ｂ 点 ， 在 准 线 上 Ｂ 的 射 影 分 别 为 ，
Ｎ ，
９Ｏ。 ．
Ｍ －
。
Ｎ
Ｆ
Ｍ ＦＮ
一
图 １
探 索 （ ） 如 图 １ 以线段 ＡＢ 为 直径 的 ３ ， 圆必 与 准 线 相 切 ， 线 段 ＡＦ， Ｆ 为 直 径 的 以 Ｂ 圆必 与 Ｙ轴相 切 ． 探 索 （ ） 如 图 １ 连 接 ＯＡ， ４ ， ＯＢ， 则 △Ａ ＯＢ恒 为钝 角三 角形 ． 探 索 （ ） 如 图 １ 记 Ｉ ＦＩ ， Ｂ 一 ５ ， 一 Ｉ ＦＩ
计 ， 请 同行 点 评． 敬
１ 从 习题 的 多种证 法 中 ， 学生 主 动探 索 几 让 何 背 景 下 的优 美定 值 在 一 堂 “ 物 线 ” 复 习课 上 ， 过教 师 抛 的 通
借 习题 结 论证 明 ， 显得 清 新 、 自然 ． （） ４ 的证 明 设 （ ， １ ， ｚ ， ２ ， １ｙ ） Ｂ（ ２ｙ ） 则 Ｏ Ａ ＋ＯＢ 一 ＡＢ 一ｚ ＋ ｙ ＋ ｚ ＋ｙ 一 ｛ ； ；
维普资讯
２０ ０ ２年第 ６期
中学 数 学 月 刊
一
道 课本 习题 的再 探究
阮伟 强 （ 江省 绍兴 市皋 埠 中 学 ３ ２ ３ ） 浙 １ ０ ５
习题 ： 过抛 物 线 Ｙ 一２ ｘ（ ｐ 户＞ ０ 的焦 点 ） 的一 条 直 线 和这 抛 物 线 相 交 ， 个 交 点 的纵 两 坐 标 是 ３ ＇ 求 证 ： ： 一Ｐ （ 教 版 《 ＇Ｙ ， １ Ｙ 一 人 解
Ｉ ＩＩ Ｉ ＋Ｂ Ｆ Ｆ
Ｉ ＦＩＢ ＦＩ Ｉ 一
ｚ 号 十 号 十
探究 推广 引申 应用——一道课本习题的探究性学习
易知 、
理得 ｋ ：一 。 ：
的斜 率 ｋ 、２ ｌ ｋ 为其两根 。据韦达定
．…④
ｋ ：一 ２ ｌ
复 习教学 中，我 引导学生对这一道 习题进行探 究 、 推广 、引申，并应用 所得 结论解决有关高考 与竞赛
试题．
ｌ 十 ｎ Ｙｏ
于是 ・Ｂ＝０ Ｐ
｛ ｒ ２ ｐ＝１ ０ ， （ｐ ＋Ｈ （２ ０＝１ ａ ＋２ § ”－ ） － ｙ） ２ 一
探究 １ 若在 （ ） １ 中的条件“ ． ｘ＝０， 一 Ｏ ， ， 去掉
铮 直线， 过定点 （ｐ， ）（ ２ 一２ 平移后 ）
结论是否改变？ 设直线 ７ 的方程为 ＝ｎ ｙ十ｍ ，
Ａｘ ， １ ， Ｂ ｘ ， ２ ． （ Ｙ ） （２ Ｙ ）
营 直线 ， 过定点 （ｐ＋Ｘ ， ）（ ２ ｏ一 平移前 ｌ 由此可把 命题 １１ ． 推广为 命题 １ 设直线 ， ． ２ 与抛物线 Ｙ ：２ ｘｐ＞０ 交 ｐ（ ）
０）…⑨
设 直 线 ，与 抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘｐ＞０ ！ ｐ（ ）交 于
Ａｘ， ） （：Ｙ） （。 ，Ｂ ｘ，２两点 ，其 中 Ｙ＞ ２ ， Ｙ．
（ ）若 ． ：０， １ Ｏ 一 ｘ＝０，求 ， 与 轴 的交点坐标 ； （ 是否存在定点 Ｍ，使得 当 ２） 经过 Ｍ 时，总 有 ． ＝０成立． ０ 这 是一道 内涵丰 富、具 有教学价值的 习题 ．在
③代入②得 Ｙ ＋（２ ｘ ＋２ ｒ ｙ） ， － ｐ ｙＹ） ｘ＋ｎ ＝０ （ ｅ
即 （＋２Ｙ ） ＋（ｍ ｏ ， 一２ ｐ ：０． １ ｎｏｙ ２ Ｙ 一２ ） ｍｘ 化 为 （＋２ ０（ ）＋（ｍ ｏ ２ ） 一２ ｐ＝０． １ ） ２ｙ一 ｍ
踏花归来马蹄香——对一道课本习题的联想探究
＼ 、 ．
／
Ｌ引＝ ／ 一 ／ ￣ ２－ｘｘ ４ 、， ｉ ＂ （＋ ）－ ｌ一 Ｖ ｘ ｘ：４ ：
、 ／ ） （ 器 一
１０ｋ＋１ ６ （２ 、
２ ｋ ＋１
—
１ｂ Ｉ
’ ・
…
＿２
’
综 上 可知， 椭圆 ＋ ＝ 中 使 合以 分析 在 鲁 杀 １要
道．
，
ｌ
ｋ＝
０ １则 ）
，
鼍 宝
＞ ０ ， 故
在 Ｅ，） （∞ 单 ０上 ＋
调递增 ， ｋ （＊， 上单 调递减 ， 在 一 ０ ） 因此 ｓ ｋ∈（， ｎ ０ ＋ 上单调递增 ， ｋ∈（ ０上单调递减． ） 在 一 ） ， 从 几何意义来看 ，在 Ⅱ型 中，由于要 构成三角形 Ａ ， 所以既无最 大值 ， 无最小值 ， 也 但从变化 趋势来 看， 要使 三角形 Ａ 面积最大 ， 只有当其 斜率不存在
作进一步联想探究 ．
一
（ ） Ｂ周长为 ＩＩＦ１Ｂ ￣ ＩＦ１ ａ ２ ； １ △Ａ ＋ ２ ＩＦＩＢ ｚ ４ ＝ ０ Ａ ＋ ＋ ＝ （ ） Ｂ ２ △Ａ 周长没有变化 ，因为 △Ａ 周长仍 然
为 Ｌ ＩＬ ｌｌ ＋ ｚ ４＝ ０ ４ ＋４ ＋Ｂ Ｆｌ ａ ２ ． Ｉ ＝
、
课 本题 目
已 经 椭 暑 １ 右 点 垂 于 知 过 圆 砉 的 焦 作 直
轴的直线 Ａ 交椭 圆于 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点 ， 是椭 圆的左焦
点．
，
‘＼ ～
＼Ａ
—．一 ． —
｜
—
（ ） △Ａ １求 Ｂ周长 ； （） ２ 如果 Ａ Ｂ不垂直于 轴 ， 曰 △Ａ 周长有变化吗？
◆ —－
一道课本例题的探究性教学
并且 面积比原来的矩形面积大 （ 图２ 如 的
引 导 １ 许 多 同 学 都 在 计 算 罔 １ 况 情
（ 即课 本情 况 ） 的矩 形 面 积 的最 大 值 ， 生 下 你
多
学
虚 线 部 分 ） 对 于 这 种 情 况 ， 可 以 找 ．即 总
到 一 个 面 积 比它 大 的矩 形 ， 并且 此 矩 形 至 少 有 两个 顶 点 在 扇 形边 界上．
（ ） 矩 形 绕４点逆 时针 方 向旋 转 直 １将
到边ＡＢ存 半径 ０ Ｐ上 ：
（ ） 得 到 的 矩 形 平 移 ， 持 点 ， ２将 保 Ｂ 在半径０ 上． Ｐ 直到 点 在扇 形 的 另一 条半
径 上为止 ．
很 快 同学 们发 现 ． 不论 如 何 变化 矩形 ＡＢＣ Ｄ的 位 置 ． 于 图 １ 和 图 ｌ 的情 形 中 对 ２ ３
更大的“ 内接 矩 形 ” 是不 是 这 种面 积 更大 ， 的内 接矩 形 不存 在 呢？
就在 学 生作 图 遇到 困难 时 ， 一部 分 学
生 开 始 怀 疑 这种 “ 积 更 大 的 内接 矩 形 ” 面
的存 在 性 ， 但是 更 多 的人 坚信 ， 种 “ 积 这 面
更 大 的 内接 矩 形 ” 仅 存 在 ， 小 而且 就 是 图 １
的课 本 情形 ！ 于 是笔 者 给 出下 面 的提 示．
引导９ 我 们 能 否 像 图 ９ 样 ， 用旋 那 采
转 变换 来 寻求 问题 的解 决 呢？
此 言一 出 ， 几乎 所 有 的学 生都 想 到利 用 计 算 机 来 演 示 探 求．于 是 有 学 生 要 求
利用 教 室多 媒 体进 行 实验．
由一道课本习题引发的探究
ｊ
＋
而 解 出 的ａ的表 达 式 叫 做 （． １ 的特 解 ， ｎ １ ．） ２
ｒ
ｎ ４ ｌ ＿ ｎ ｌ ４－ ｎ＿ｌ ４ ｌ＝５ ． Ｉ ￣ ＋ － ａ
＿
１
．
数学 归纳法
叫线 性 递 推关 系 的 阶．
证 明 因 ａ＝ｐ为ａ＋ｐ ￣ 通解 ， ：ｋ ｎ－ ａ ｌ
，
４１ ＋￣ ｌ ． ． ４ｌ： ４ 一 － ＿ ａ三
３ ６
从 方 程 的 角 度 出 发 ，ｎ４ ￣ ＋ … … ａ－ ａ一 １ ｌ
．
３
（ ． ２ 是关 于％， ｌ 个 二元 非 齐 次 线 １ ．） ２ 的一 性 方 程 ．它 的 解 与对 应 的二 元 齐 次 方 程 ａ ４ ．… … （ － ３ 有 联 系 ， 据 线 性空 间 ． ａ。 － ＿ １ ） ２ 根 有关 知识 ， １ ．） 的 通 解 ： １ ． ）的 通 （．２ ２ （．３ ２ 解＋ １ ．） 特解 ． 然 （ ． ３ 的 通解 为 ： （． ２ 的 ２ 显 １ ） ２
证 明 略．
的 特 解 ， 有 则
（） 代法 ２迭
解 析 ％＝ ％一 １ ４ ＿ ４ ： ３ ４ ｌ － ２ ＋１ ４％－ ＋ ＋ ＋
４＋ ２ ４＋１ ＝… ＝４ 一ａ＋４ －＋４ －＋… ＋ ｎ‘ｌ ｎ２ ｎ３ ４＋ｌ １ ＝—
，
能 ． 自然 会 想 到 如 何 求 该 数 列 通 项 公式 这 一 问 题．笔 者 围 绕 通 项 公 式 求 法 这 一
核 心 问题 ． 试 题 进 行 了解 法 探 究 、 绎 对 演
ａ １（ （ ＋ ＋ ４ １＋ｌ÷ － １ ： 一）４ ４ …＋ ＋ ）ａ ） Ｉ ＝
＋
而 解 出 的ａ的表 达 式 叫 做 （． １ 的特 解 ， ｎ １ ．） ２
ｒ
ｎ ４ ｌ ＿ ｎ ｌ ４－ ｎ＿ｌ ４ ｌ＝５ ． Ｉ ￣ ＋ － ａ
＿
１
．
数学 归纳法
叫线 性 递 推关 系 的 阶．
证 明 因 ａ＝ｐ为ａ＋ｐ ￣ 通解 ， ：ｋ ｎ－ ａ ｌ
，
４１ ＋￣ ｌ ． ． ４ｌ： ４ 一 － ＿ ａ三
３ ６
从 方 程 的 角 度 出 发 ，ｎ４ ￣ ＋ … … ａ－ ａ一 １ ｌ
．
３
（ ． ２ 是关 于％， ｌ 个 二元 非 齐 次 线 １ ．） ２ 的一 性 方 程 ．它 的 解 与对 应 的二 元 齐 次 方 程 ａ ４ ．… … （ － ３ 有 联 系 ， 据 线 性空 间 ． ａ。 － ＿ １ ） ２ 根 有关 知识 ， １ ．） 的 通 解 ： １ ． ）的 通 （．２ ２ （．３ ２ 解＋ １ ．） 特解 ． 然 （ ． ３ 的 通解 为 ： （． ２ 的 ２ 显 １ ） ２
证 明 略．
的 特 解 ， 有 则
（） 代法 ２迭
解 析 ％＝ ％一 １ ４ ＿ ４ ： ３ ４ ｌ － ２ ＋１ ４％－ ＋ ＋ ＋
４＋ ２ ４＋１ ＝… ＝４ 一ａ＋４ －＋４ －＋… ＋ ｎ‘ｌ ｎ２ ｎ３ ４＋ｌ １ ＝—
，
能 ． 自然 会 想 到 如 何 求 该 数 列 通 项 公式 这 一 问 题．笔 者 围 绕 通 项 公 式 求 法 这 一
核 心 问题 ． 试 题 进 行 了解 法 探 究 、 绎 对 演
ａ １（ （ ＋ ＋ ４ １＋ｌ÷ － １ ： 一）４ ４ …＋ ＋ ）ａ ） Ｉ ＝
一道课本习题的探究与思考
２ｆ ＿＼ ２
２ｓｎ ｉａ
１ｏ０ ＿ｓ ｃ２ ２
（ 笔者追问 ： 为什么？其 回答是三角公式多 ， 可能好处理一些． ）
学 生２ 因为 已知 了一 角 ， 求 面积 ， 想 用 这 个 角 的两 边 为 ： 要 我 变 量 ， 时 知 道 该 角 的对 边 ， 余 弦 定 理 把 一 边 用 另一 边 表 示 ， 同 由
时， 户 △Ａ Ｑ的面 积 最大 ？
２ ．探 求
教 师 ： 生 ４ 结 论 提 出 了可 能 的结 果 。 同学 们 选 择 某 一 学 对 请
方 向解 题 ． 验证 其 猜 想．
５ 钟内， 分 笔者 巡 视 中发 现 一 些解 法并 指 定 学 生 把其 解答 书
写 到 黑 板 上 ．（ 便 起 见 ， 中把 学 生 在 本 题 中所 设 未 知 量 统 一 方 文 改 为 ： Ａ ，Ｑ ａＡ ＝ ， ＝ ， ４ Ｑ ， Ｑ － ， 中 ， 设 Ｐ ＝ ， Ｐ ｘＡＱ ｙ 厶 尸 ＬＡ Ｐ 其 ￣ ａ 为定值 ）
一
ｃｓ ＋２ａ＝ ， 得 一 ｏａ ｙ－２Ｏ 解 ：
又擦 了 ）
（ 图 明显 ， 求 根 公 式 写 了 ， 意 用 但
学 生７ 如 图２ 作Ａ ： ， 日上— 户 Ｑ于日点 ， ＬＰ Ｈ ｌＬＱ Ｈ＝ Ｉ 设 Ａ ， Ａ Ｏ，
Ａ Ｈ＝ｈ
般要作图 ． 选用四个公式（ 弦、 正 余弦定理 ， 面积公式 ， 内角和
Ｚ
３ ．反 思
教 师点 评 ： 三位 学 生 的解 题 方 法 是你 们 主要 的解 法 ， 部 这 大 分 学生 用 了学 生５ 的解 法 ， 因为 开 始 时也 有 不少 的 同学用 了学 生６ 的思 路 ， 基 本 上 都 但 改 弦 易辙 了 ， 也是 “ 俊杰 ” 的一 种 表 现 ， 还有 少 部 分 同学 用 了学 生 ７ 的解法．不 论 怎么 说 ， 学生４ 猜想 成 立 了 ！ 的
由一道课本习题引发的探究教学
，
（ 故 了（ ＿ ． ２＿ ＋ ２ ） ×２ ≥ ）
评 注 对 于 形 如 。 ＝ ％ 型 的数 列 ， 待定 系数 法 转 化 为 用
例 已 在 列 ｝，２ 。 导求 １ 知 数 ｛中 ｌ ２ ， ｎ ，＝ ＝
‰ ＋ Ａ・
（ Ａ ） 其 中Ａ 待定 系数 ， ・ ， 为 与 。
得Ａ 了 一 １
，
所 了 一（÷ ）数 ｛了 以． ２一 ， ％Ｉ ｒ Ｉ 故 一 ）
： ２×
，
是 首 项 为 。一 ： ２ 公 比ｑ 一 的等 比数 列．所 以０－ Ｉ ：２ ，
探 究
１ ．形 如 ｌ ＝ ％ （ ≠０， ａ＃Ｏ， １ 型 通项 的求 法． ≠ ）
２ 形 如‰ １ ＋ （ ． ＝ ％ ≠０ ａ ， ＃Ｏ ｄ ， ＃ｏ 型通 项％ 的求法 ． ， ≠１Ｂ ）
例２ 已知 在 数 列 ｛ｎ 中 ，１１ ａ． 一 ａ＋ 求 ａ ｝ ｎ： ，ｍ＝ ２ ．３ ， １ 解 析 令 ．Ａ・ ｎ＝ ２ ＋ ３ ） 与 ＋ ２ ，３ ＋ ３＊ 一 （ Ａ・ ， Ｊ ｌ ０＋ 对 比 系数 可 一
ｄ 的等 比数 列 ， 而 ：ｎ Ａ （）Ｏ－ Ａ （） 从 （． 厂１）ｎ＿ 厂ｎ． ＋ ｌｌ
那么 我 们是 否 也 可 以用 以 上 的配 凑结 构— — 待 定 系数 法 来
解决 课本 习题 呢？
求法 ．
由 ％ ２ 一 ３ ｎ ） 可设 ＋ ％＿ （ ，＋ ｑ ２， 比系 数 ＝ ｌ 珥 （ ≥３ ， ＋ Ａ ｌ ｎｌ 卜 对 卜Ａ ）
解 析 由 ％＝ ％一 ３ ２得 ％＋ ｌ３ ％ ｌ ２ ， 及 ａ－ ａ一 ２ ｌ ％＿ ＋ ， 一 （ ＋ ） 以 ＝ ＿ ．３ ． ＝ ｌ
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。
笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。
该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。
笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。
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崇左市龙州县第一中学梁伟斌【关键词】盈亏问题初中数学探究策略【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2015）05A-0085-01人教版七年级数学（上册）课本102页有这样的一道探究题：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏？课本的解答是这样的：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元，根据进价与利润的和等于售价，列出方程x+0.25x=60由此得 x=48类似的，可以设另一件衣服的进价是y元，它的商品利润就是-0.25y元，列出方程y－0.25y=60.由此得 y=80.两件衣服的进价是x+y=128元，而两件衣服的售价是60+60=120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元。
这道关于销售中的盈亏的探究题，有其特殊性。