一道课本习题的拓展探究及应用

让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考引言传统的教学模式通常是老师讲，学生听，而探究式教学则是以学生为中心的教学模式，通过让学生探究问题，发现问题，解决问题，培养学生的思维能力和独立思考能力。

本文旨在通过一道课本例题的探究式教学实践，探索探究式教学的优势及如何落实到课堂教学中，从而让学生的思维火花绽放。

实践过程我们选取了《数学（七年级上册）》中的一道例题作为探究式教学的实践案例，该例题如下：计算 $(0.25 \\div 0.5) \\times 2$ 的值。

为了能够让学生更深入地理解该例题，我们采用了如下的教学方式：第一步：引导学生提出问题在学生还没有开始思考之前，我们先引导学生提出问题。

通过问学生“这道题目让你思考了什么问题？”来引导学生思考。

第二步：学生自主探究接下来，老师启发学生，让学生自主探究问题，让学生先自己试着去解决问题，教师只是起到引导作用。

这样能够增加学生思考题目、解决问题的兴趣，同时也增强了学生的自信心。

第三步：分组交流学生自探究过程中产生了大量的思维火花，而我们就是要激发这些思维火花，让学生对解决问题时的思考进行比较和交流，进一步加深学生的认识。

我们将全班分成小组，由小组成员交流归纳各自的探究思路，思考受到什么影响，有什么体会，进而分享自己的解题方法，最后让小组代表报告，形成大家共同思考的氛围。

第四步：整理答案学生自行思考、小组交流后，学生的答案有什么共同点？有什么不同的点？在老师的引导下，让同学们进行比较答案，找出自己的错误，进一步深入思考解题思路。

第五步：再次交流在学生自行整理完答案后，老师会再次约请同学之间交流。

通过这个环节带领学生成果评价和解题方法讲解，更直接地突出知识点、强化学生对问题的印象。

比如这题入手容易出错的原因是什么，些许不同的解法背后的共性，等等。

第六步：讲解通过整理答案，引领学生理解知识点，归纳方法和步骤，落实定理，强化学习效果。

总结通过以上实践，我们发现探究式教学以学生为中心，能更好地引导学生自主思考，激发学生的探究兴趣，增强学生的自信心，提升学生的思维能力和独立思考能力。

2018年3月挖掘课本习题功能，拓宽数学思维空间------道课本习题的延伸与拓展參湖北武汉市第四十五中学叶志刚数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平士和已有的知识经验基础之上R“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验”.课本例题、习题作 为渗透新理念、传授知识、±普养能力的主要载体，教师应 进行充分挖掘和研究，为学生创设合理的学习情境，构 建开放的学习环境.在现实的数学教学中，教师迫于考试压力而拼命补 充课外习题，让学生大量地、单调地重复着某个或某几个方法和技能，而对于课本急的例题、习题的讲解基本上是蜻艇点水带而过，忽视了课本例题、习题的潜在 功能.课本上的例题、习题蕴含着许多中学阶段用到的数学思想方法.用心领会课本的精髓，挖掘出例、习题设计的内在教育价值，精选课本中的典型例、习题，进行充分运用、挖掘、延伸、改造，能有效提高教学效率，帮助学生实现知 识的整合、方法的迁移，提升学生综合运用知识的能力.下面对新人教版教材一雜典习题作如下拓展延伸：课本原题：（人教版八年级数学上册P83第12题）如 图1, A i l B D、是等边3_形》求证:贴由&知条件易证4召=4/>，乙财茗=乙则 A/4i)C，國.此此题看似简单，如果深人挖掘则能得到一些新的结 论，从而拓展学生的思维空间，提升学习能九一、设计递进问题，将数学思维引向深入如图2，设交于点F，连接A F,设置递进问题：同题_(_1):你能求乙的度数吗？如菌3,腐上面的证明过賴可知A A M s因此厶乙4DC.叉乙1=Z2,则.乙5/犯=乙M£>=60。

.问题(2):财是乙1)视的角平分线吗？如图4,过点A作丄O C于丄Bi；于仗因为AA BE^A A D C jJfm S HmFSm/K,BE=DC,G=▲仏故科是厶的角平分线.问題(3):若,求 .如图4, _问题(1:)知Z M D=60。

由一道课本例题引发的探究
本中的例、习题作为教材的重要组成部分，都有一定的示范性、典型性和探究性，或寓一般性的结论、或蕴含着深刻的背景材料，是课本的精髓，也是高考命题的源头。

在课堂教学中，对课本中的例习题进行变式探究、引申拓展、横向联想，并能巧妙运用其中一些结论，以题攻题，可以提高复习的针对性和有效性，有利于提高学生的数学素养和教师把握高考的能力。

新课程改革的核心理念是倡导探究学习。

探究学习是一个过程，是一个学生在做数学中学习数学的过程，倡导探究学习的根本目的就是要让学生在学习的过程中培养科学精神、养成科学态度、掌握科学方法、获得科学知识，从而全面提高科学素养。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，它要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

一道课本习题的推广探究习题的作用是让学生熟悉教材，把所学的内容融会贯通，总结思路，进行系统拓展引发思考，提高学生的学习能力和独立思考能力。

推广性习题是在原习题基础上由学生自主编写，扩展题干深入探究，思考与解答把控深度。

它有利于提升学生的分析和解决问题的能力，熟悉并发现教学内容，利用自身所知深入探究，并结合实际实践及其他科目等，把所学概念运用起来。

首先，我们来看一个有关几何的习题。

该习题内容是：“如果一个空心正方形，正方形的边长为a，求出其内切圆的半径r”。

该习题可推广为：“已知正方形ABCD，设角A=α，求出内切圆的半径r”。

推广这一习题要求学生能够利用空间几何的知识，结合实际情况，具体分析解决问题的过程，如求出角α的具体值，再求出r的值。

这将激发学生的独立思考和合作能力，让学生根据教材要求学习知识，学以致用，会计算角的大小，熟悉角的变化，从而让学生掌握推广习题的解决方法。

此外，学生还可以结合实际实践进行推广性习题的探究，如：罗振宇在《小小大世界》中提出，“只要确定一个特性，便可解决所有复杂问题”，那么我们可以利用几何，逐步推广习题，只要确定正方形中角α的值，我们就可以求出内切圆的半径r。

推广习题的探究就是在概念学习的基础上，将学习的概念与实践联系起来，将学习的内容与实践联系起来，以及将抽象的概念与具体的问题联系起来，将课本的内容转化为学习的实践，形成一种学习方式，从而提高学习能力。

推广习题的探究，不仅可以激发学生自主性，而且能够培养学生的心理、思维、认知和表达能力，培养学生的解决问题的能力，以及考虑问题的方式和态度。

推广习题的解决方法，要求学生思考的内容有：1、了解和掌握概念背景；2、运用知识解决实际问题；3、分析和探究问题；4、举一反三，把所学概念运用起来。

总之，推广习题探究代表着科学教育的发展方向，旨在提高学生的思维能力和认知能力，让学生发现学习内容中的规律，从而把所学概念运用起来，进一步提升学习能力。

2018年8月深度挖掘习题，拓展变式研究-----以一道教材几何习题为例⑩山东省广饶县实验中学李国庆课本习题是数学探究活动很好的切人素材，是问题 延伸、解法衍生的关键材料.对习题进行拓展变式探究，有助于学生发现规律、形成解题方法、培养理性思维，下 面将对一道几何习题进行拓展探索.—!习题挖掘1.习题解析在课本教材中存在如下一道习题:如图1，和是两个等边三角形，试猜想C$、的大小关系，并结合几何性质加以证明.解析：猜想％$'&#，证明时需要将⑶和放在中，通过证明两个三角形全等，利用全 等三角形的性质来求解.2.结构、本质分析从问题的结构上来看，可以将！"#$和&看成A"#%的边4#、"C上衍生的等边三角形.从问题的本质 来看，％$和分别位于拥有共同顶点"的！"％$和 A"#&中，且则可以将A"%$看成 A"&#经过顺时针旋转60。

得到的，因此解题时需要利(3)结合函数图像(图9)，解决问题：当A")C为等腰三角形时，")的长度约为____cm.初看此题，学生会习惯性地套用,+，,2 )-的一次函数、二次函数还是反比例函数呢？但显然毫无头绪.试题忽略了具体的函数类型，而 图9是从研究函数的一般方法人手，具体体现在人教版教材 上册的内容，先是任意取一些-，,的对应数据，以列表的 方式的呈现，任何一个函数问题的研究都是从自变量，对 应法则，函数这三个方面开始，当然这也是研究一般数学 问题的普遍方法，即回归概念，回归数学本质.而函数的表 达形式有三种，即表达式法，表格法，图象法，而这三种表 达形式在本题都一一呈现了，而在画函数图像时，又是根 据基本方法列表，描点，连线.至于第三问的解决，就是让 学生从图像的角度来解决，体现了函数本质，从一个确定 的量到另一个确定的量，也进一步强化了数形结合.命题者的高明之处在于让试题解答弱化了运算、强 化了思考，少了点套路、多了些理解.引导教师在教学中 避免出现只关心结果、不注重过程的现象，这正是命题者用实际行动引导教师更新教学理念、转变学生学习方 法，不要只是一味地关注学习结果，更应该关注学习的 过程及方法，它们才是解决数学问题的根本.四、抓住数学本质，回归课堂教学数学课堂不能仅仅停留在“教”的层面，更应引导学 生如何去“学X.事实上，学生掌握数学知识必须经历由 “学”到“悟”的过程，然后才是应用.从考前的课堂观察，到2018年的北京的这份试卷，对教师的课堂教学有很强 的正面导向作用.试题本身只是一个载体，我们需要研 究的是命题者透过这个试题想表达一种什么样的观点，而无论是第23题还是第24题，都是引导教师重视课堂上 学生对知识获取的方式.同时，我们都能感受到，学生的 学习能力和创造能力应该值得我们老师去关注、培养和 信任.让学生依据自己的认知特点和知识背景能够找到 不同的路径通向结果，殊途同归的过程中创造能力也就 体现出来了.因此，关注学生“学数学”需要挖掘促进学 生“深度思维”的资源.就需要在平时的教学中，关注学 生“学数学”的过程，设置具体的问题情境，引导学生在 相对复杂的情境中，把握数学知识内在的联系，以增进 学生对数和形的感悟能力. 我想这些才是我们应该从 2018年的北京的这份试卷背后所能真正感受到的数学 本质和教学内涵.n初中十•？•!{：，■?59用图形旋转的位置变而大小不变的性质，从三角形全等 的角度来求解，这也是该习题教学中所承担的任务，即 强化学生全等三角形的证明及性质利用.二、拓展探索拓展探究1"由问题的本质认识可知，本题的求解核 心是证明利用到了SAS 定理，因此使上述两个三角形获得全等的条件是实现的基础，原 习题中A "&C 的边上衍生了两个等边三角形，具有极大 地特殊性，分析后易知若将衍生的三角形换成一般的三 角形结论将不再成立，现尝试将其换为等腰三角形，并 配合一对顶角相等，继续探究.变式1:A "&#为一锐角三角形，分别以它的边"&、"C 为边向外作等腰三角'$ "使得"$("&、然后连％接#$、&%，如图2,试猜想#$、&% & #的大小关系，并对其加以证明.图2解析：猜想 #$(£&，因为#则# &"$+即又因为"&、"#'"£，所以 A "$#"A "&£(SAS )，贝忙&(全等三角形的对应边相等).本题目的条件换成了衍生等腰三角形，并配合一对 顶角相等来继续猜想，由于全等条件依然满足，很显然 结论依然成立.以此为探究环境，可以隐去图形中的一 部分，进行探究，如下：变式2:在如图3所示的四边形"&C %中，有试求的长.$图3 图4解析：题目中的A "C £为一等腰直角三角形，而隐 去了由边"&衍生的同类型三角形（等腰直角三角形）， 求&%的长可以参考变式1对图像进行完善，以"&为直角 边作等腰直角三角形，如图4,使得"$'"&，且#$"&' 90。