高中数学必修5导学案 第二章 数列

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

2．1数列学习目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

学习重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 学习难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 基本知识1． 叫做数列， 叫做这个数列的项.2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 . 5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n 还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列. 5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一. 典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： （1） ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211； （3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.（1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 -- （3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5 题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54 （1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用方法提升（1）本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； （2）已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.（1）);12(,011-+==+n a a a n n （2）.22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出. 巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是（ ）A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是（ ）A. 1B. -1C. 2D. 33.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的（ ）A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为（ ）A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 （1）;,811,271,91,31,1 --（2）;,0,3,0,3（3） ,1716,109,54,21-- （4）;,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .（1）求{}n a 的通项公式； （2）当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考(2007年广东)已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

高中数学 1.3等比数列导学案北师大版必修5【学习目标】个性笔记1.在等差数列的基础上，通过类比的方法复述等比数列的定义；2．利用上述的定义、公式能判断一个数列是否为等比数列，并能确定其公比；3.记住等比数列的通项公式，能类比等差数列通项公式的推导方法推导等比数列的通项公式。

【学习重点】等比数列的定义和通项公式。

【学法指导】通过类比等差数列的知识研究等比数列的定义和通项公式。

【使用说明】．．．．．．1．请同学们认真阅读课本21-----23页内容，规范完成导学案上的内容，用红笔做好疑难标记。

2．该学案分为AB三个层次，其中A,B每个同学都必须完成；C为拓展延伸，供学有余力的同学选作。

3．在课堂上联系课本知识和已学过的知识，小组合作、讨论完成导学案上的内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

【学习过程】一、基础学习1. 自主阅读课本第21页至23页内容，思考：（1）等比数列的定义是什么？焦点词语有哪些？（用红笔画出来）（2）类比等差数列的定义，请你用数学符号表示出等比数列的定义。

（3）定义的作用是什么？2．自主阅读课本第22页至23页内容，思考：（1）等比数列的通项公式是？怎样推导？除了课本的方法，你还有没有其他的方法进行推导？（请类比等差数列推导方法，即等差数列用“累加法”，想一想，等比数列用什么方法？请你动手推导，将你所用到的方法写在下面的空白处。

）（2）它的作用是什么？(B)【探究二】（1）已知等比数列的第2项与第3项分别是10与20，求这个数列的第1项与第4项。

（2）已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n .. （思路点拨：结合知识点2完成）【探究三】(C)+11{}3a 2 4.(1){}12n n n n a a a a ==-已知数列满足，且求证：是等比数列。

（2）-13是否是这个数列中的项？如果是，是第几项？(请参照结合课本24也例3，写出详细规范的解答过程，相信你一定能做到。

数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。

【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。

3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是给出数列的一种重要方式。

【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。

【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。

第二章 数列（复习）1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .一、课前准备（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．二、新课导学※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++.※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=， 求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+ 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）. A. 59 B. 31 C. 30 D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

数学 5 第二章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。

在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

3、探索并掌握等差数列的前n 项和公式，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系。

4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。

5、探索并掌握等比数列的前n 项和公式，体会等比数列的前n 项和公式与指数型函数之间的关系。

6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。

2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。

编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。

3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。

4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。

如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。

5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。

三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约 12 课时2.数列的概念与简单表示法约2课时12.2 等差数列约2课时2.3 等差数列的前 n 项和约 2 课时2.4 等比数列约 2 课时2.5 等比数列的前 n 项和约 2 课时问题与小结约 2 课时四、评价建议1、重视对学生数学学习过程的评价关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

第二章数列§2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）§2.1.2 数列的概念与简单表示法（二）§2.2.1 等差数列(一)§2.2.2 等差数列（二）§2.3.1 等差数列的前n项和（一）§2.3.2 等差数列的前n项和（二）§2.4.1 等比数列（一）§2.4.2 等比数列（二）§2.5.1 等比数列的前n项和（一）§2.5.2 等比数列的前n项和（二）§2.6.1 小结与复习第二章 数列课题：§2.1.1数列的概念与简单表示法（一）编写： 审核： 时间：一、教学目标：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式. 二、问题导学：1、数列概念：_________________________________2、通项公式：_________________________________ 三、问题探究：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，··· （2）正方形数：1，4，9，16，···（2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。

有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：_________________________________ 叫做这个数列的项.数列与集合区别：集合：无序性、互异性、确定性，数列：有序性、可重复性、确定性。

§2.2等差数列（2）1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.3940找出疑惑之处） 复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学 ※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，2a +815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2 如果数列}{n a 是等差数列，则（ ）A. 5481a a a a +<+B. 5481a a a a +=+C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =变式1在等差数列{}n a 中，18103=+a a ，求58a a +，67a a +和121a a +变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a = ，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？3、在数列{}n a 中，2,841==a a 且0212=+-++n n n a a a ，n *∈N .求数列{}n a 的通项公式。

4、在数列}{n a 中，11a =，122n n n a a +=+. (Ⅰ)设12nn n a b -=.证明：数列}{n b 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式三、总结提升 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）a a d -=；（2）(0)n a pn q p =+≠；（3）2n S an bn =+.1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中16a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .1. 若 12530a a a +++= ， 671080a a a +++= ， 求111215a a a +++ .2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.3、求等差数列1,2,3,4,5,6， n 的前10项的和；你能求其前100项的和吗？前n 项的和呢？。

课题: §2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即a n+1<a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{a n}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算a n+1-a n，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列a n=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断a n+1-a n的符号，通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛a n｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1(n=1)若数列｛a n｝的前n项和记为S n，即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)［答案］ 1.(1)递增递减摆动常（2）a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］(1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n}的图像，其中a n=3.［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值. (2)在直角坐标系下，描出点(n,a n).所以a 1=3×(4×1+3)=21,a 2=3×(4×2+3)=33,a 5=3×(4×5+3)=69. 令3(4n +3)=153，解得n =12. 故填充完整的表格为：(2)∵a n =3，列表：在直角坐标系中图像如下：［说明］ (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列a n =3n -1的图像是函数y =3x -1 (x >0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用1 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,作出该数列的图像.［解析］ 分别取n =1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y =2x -1上的一些等间隔的点.命题方向 数列单调性的判断［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.［分析］ （1）已知函数关系式，由条件可得出2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,解这个关于a n 的方程即可；（2）只需证明a -a <0或na >1(a >0)即可.［解析］ （1）∵f (x )=2x -2-x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n . ∵a n >0,∴a n =12+n -n .（2）n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有：①作差法：若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列；若a n +1-a n <0，则数列{a n }是递减数列.②作商法：若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列；若nn a a1+<1，则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性. ［解析］ 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 ［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.［分析］ 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］ 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.［说明］ 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.(1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. ［解析］ （1）由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N ＋,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. （2）∵a n =n 2-5n +4=（n -25）2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N ＋,∴n =2或3时，a n 有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解. ［解析］ 设在A 公司月工资为a n ，在B 公司月工资为b n ，则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1 (n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时，c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时，1.05n -2<2.3，得n <19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n -1<c n , 于是当n ≥20时，c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N +（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ ［解析］ 由题意知，实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2（n -415）2-8201，图像如图所示，由图像知n =4时，a 4最小，a 4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. ［误解］ ∵a n -a n -1=a （21）n -a （21）n -1=-a （21）n <0, ∴数列{a n }为递减数列.［辨析］ 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. ［正解］ ∵a n -a n -1=-a （21）n(n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时，a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时，a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列｛a n ｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.17 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)， ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32［解析］ a n =-n 2+11n =-（n -211）2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，则该函数的图像是（ ）［答案］ A［解析］ 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点（x ,y ）都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，所以A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . ［答案］89 ［解析］ ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1 ［解析］ ∵a 1=2,a 2=4, ∴ , ∴ （舍去）或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］ 令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定 ［答案］ A［解析］ 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }的最大项为（ ）A.5B.11C.10或11D.36 ［答案］ D［解析］ ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时，a n 取最大值36.3.数列｛a n ｝中，a 1=0，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3+a 5等于（ ） A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531 ［答案］ C［解析］ ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3＝49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2，则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为（ ） A.11 B.13 C.15 D.12 ［答案］ D［解析］ lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=3，a n =a n -1+21 n a (n ≥3)，则a 5=（ ）A.1255 B. 313 C.4 D.5［答案］ A ［解析］ a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中，a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n (n ≥2)，则53a a 的值是（ ） A.21 B. 32 C. 43 D. 54 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和，且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +)，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ［答案］ C［解析］ ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1， ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0， 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =（43）n -1［（43）n -1-1］，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在，最小项为a 3 D.最大项为a 1，最小项为a 4 ［答案］ A ［解析］ 令t =（43）n -1，则它在N +上递减且0<t ≤1，而a n =t 2-t ，在0<t ≤21时递减，在t ≥21时递增，且n =1时，t =1，n =2时，t =43，n =3时，t =169，n =4时，t =6427，且a 4>a 3，故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12（n ∈N +），则 （1）这个数列的第四项是 ； （2）65是这个数列的第 项； （3）这个数列从第 项起以后各项为正数. ［答案］ －12 11 7［解析］ (1)a 4=42-4×4-12＝-12. (2)令65＝n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. （3）令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n +1的大小关系是 .［答案］ a n +1>a n［解析］ ∵a,b,c 均为实数，f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数，故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列，∴a n <a n +1.11.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 . ［答案］ λ>-3［解析］ 由｛a n ｝为递增数列，得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立， 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立， 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）［答案］ (2)(4)［解析］ 令-2n 2+13n >0，得0<n <213，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项.当n =3时，数列{a n }取到最大值，而当x =3.25时函数f (x )取到最大值.令-2n 2+13n =-70，得n =10，或n =-27（舍去）.即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1，2，37，25，513，…. （1）写出这个数列的一个通项公式a n ;（2）判断数列｛a n ｝的增减性.［解析］ （1）数列1，2，37，25，513，….可变为11，24，37，410，513，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2， ∴a n =n n 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2, ∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0, ∴a n +1>a n .故数列｛a n ｝为递增数列. 14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. ［解析］ (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列｛a n ｝,a 1=2,a n +1=2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ,并加以证明.［证明］ 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +).证明如下：由a 1=2,a n +1=2a n , 得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2＝2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证：21≤a n <1. ［解析］ 解法一：因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, a n -21=122+n n -21＝)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1. 解法二：a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0，即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。