二次根式及其有意义的条件.docx

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。

在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。

1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。

如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。

二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。

2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。

其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。

一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。

例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。

（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。

例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。

例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。

例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。

（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。

例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。

（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。

【考点精讲】1. a ≥0）的式子叫做二次根a ”叫做被开方数。

2. 当a ＞0a 0；当a ＝00＝0。

a ≥0）是一个非负数。

【典例精析】例题1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10，32+x ，315，π，5- A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个思路导航：315的根指数为3；5-的被开方数是负数，所以不是二次根式；10，32+x ，π符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。

答案：C点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。

这两个条件缺一不可。

利用这两个条件逐一判断即可。

例题2 当x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2)3(-x ；（2）x 34-；（3）11-x 思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。

答案：解：（1）因为（x －3）2≥0，所以无论x 取任何实数，2)3(-x 都有意义；（2）若x 34-有意义，则必有4－3x ≥0，即当x ≤34时，x 34-有意义； （3）若11-x 有意义，则必有x －1＞0，即当x ＞1时，11-x 有意义。

点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。

用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。

本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。

例题3 已知x 、y 为实数，y=12x -，试求3x+4y 的值。

思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。

答案：解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x ，所以x2=4，所以x=±2，又因为x －2是原式分母，所以x －2≠0，所以x ≠2，所以x=－2，此时，y=－41，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－41）=－7。

点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。

二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。

在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。

1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。

例如，√9等于3，因为3的平方等于9。

2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。

b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。

（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。

b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。

3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。

例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。

（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。

例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。

（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。

例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。

总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。

通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。

在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。

因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。

以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。

通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。

二次根式的定义和有意义的条件1. 什么是二次根式？好啦，咱们今天来聊聊“二次根式”这个听上去挺高大上的词。

其实，它说白了就是一种数学表达式，表示的是一个数的平方根。

比如说，√4就是2，因为2的平方（2×2）就是4。

简单吧？不过，要注意哦，二次根式不仅仅是个数字，还是数学中的一块“宝地”。

想象一下，二次根式就像是数学里的小精灵，帮助我们解锁一些有趣的问题。

1.1 二次根式的基本形式那二次根式到底长啥样呢？它的基本形式就是√a，其中a是个非负数。

也就是说，a不能是负数哦。

为什么呢？因为我们知道，负数没有实数平方根，像√(1)这种情况，就会让我们陷入虚无缥缈的世界，甚至要引入“虚数”这个概念，听上去就像是一部科幻小说一样。

所以说，咱们要确保根号里的数是个“乖孩子”，这样才能在现实生活中顺利使用。

1.2 有意义的条件说到有意义的条件，其实就是在强调什么情况下二次根式才能正常工作。

简单点说，根号里的数必须非负，这个条件不容忽视！就像是咱们平常做事情要遵循一些原则，数学也是如此。

比如说，根号里是负数，那就麻烦了，直接让你进入“无解”状态。

如果我们想计算√(4)，结果就是一阵迷茫——这是因为我们根本无法找到一个数，让它平方后变成4。

这就好比想找个影子，却发现太阳都没出来。

2. 二次根式的运算接下来，我们来聊聊二次根式的运算。

二次根式的运算就像是在厨房里做菜，得掌握一些技巧和配方，才能把它做得美味可口。

比如说，咱们可以进行加减乘除，这些操作虽然看似简单，但细节可不能马虎哦。

2.1 加法与减法在进行加法和减法时，得先确保根号里的数能进行运算。

比如说，√2 + √2，这就很简单，结果是2√2；但如果是√2 + √3，那就不能直接加了，咱们就得把它们留着，分别算着。

就像是两个好朋友，各自有各自的故事，不能随便混在一起说话。

2.2 乘法与除法说到乘法，事情就变得有趣了。

√a × √b = √(a × b)，这就跟在一起耍杂技一样，根号里的数可以合并。

九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。

这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。

在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。

知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。

需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。

但是，a≥0是二次根式的前提条件。

例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。

2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。

因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。

2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。

3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。

这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。

例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。

例如，2=（2），1=（1）。

5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。

如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。

二次根式的运算公式二次根式是高中数学中一个重要的概念，它涉及到了根号的运算和二次方程的解法。

在这篇文章中，我们将探讨二次根式的运算公式，并说明其在实际生活和学习中的应用。

首先，让我们回顾一下二次根式的定义。

二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个实数，且a大于等于0。

在二次根式的运算中，我们必须熟练掌握以下两个重要的运算公式：乘法公式和化简公式。

乘法公式用于计算两个二次根式的乘积。

设√a和√b是两个二次根式，其中a和b都是实数且大于等于0。

根据乘法公式，它们的乘积可以表示为√(a*b)。

例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。

这个公式在实际生活中的应用很广泛，比如在计算几何中，当我们需要求解两个边长相乘得到的面积时，就可以利用这个公式来简化计算过程。

化简公式用于简化复杂的二次根式。

举个例子，如果我们要化简√(4*√3)，根据化简公式，可以得到√4 * √√3 = 2 * √√3。

这个化简公式在求解数学问题中非常有用，它可以帮助我们将复杂的根式转换成更简单的形式，以便于进一步运算或解题。

除了乘法公式和化简公式，还有一些其他的二次根式运算公式，比如加减法公式和有理化公式，它们在高中数学的学习中也是非常重要的。

加减法公式主要用于计算带有二次根式的加减法运算，有理化公式则用于将分母中含有二次根式的有理数转化为分母没有二次根式的形式。

在实际应用中，我们可以看到二次根式的运算公式在各个科学领域都起到了重要的作用。

比如在物理学中，当我们需要计算一些特定形状的物体的体积或表面积时，常常会遇到二次根式的运算。

此时，我们可以利用二次根式的运算公式来简化计算过程，并得到准确的结果。

总结起来，二次根式的运算公式是高中数学中一个重要的知识点。

通过学习乘法公式、化简公式以及其他相关的运算公式，我们可以更加灵活地进行二次根式的运算，并在实际生活和学习中应用这些知识。

无论是在解决几何问题、物理计算还是其他领域中，二次根式的运算公式都是我们不可或缺的工具，为我们解决复杂的数学问题提供了便利。

二次根式有意义的取值范围
二次根式是指形如 $\sqrt{x}$ 的算式，其中 $x$ 是非负实数。

在数学中，二次根式代表的是一个正实数。

因为二次根式是非负实数，所以必然存在一个有意义的取值范围。

以下是二次根式有意义的取值范围的详细解析：
1. 当 $x$ 等于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为 0。

所以当 $x$ 为 0 时，二次根式的值为 0。

2. 当 $x$ 大于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为正实数。

也就是说，当 $x$ 大于0 时，二次根式的值为一个大于 0 的正实数。

3. 当 $x$ 小于等于 0 时，$\sqrt{x}$ 没有实数解。

因此，当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，也就说没有意义。

综上所述，二次根式的有意义取值范围为 $x > 0$，即：当 $x$ 大于 0 时，二次根式的取值有意义，为一个大于 0 的正实数。

当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，所以没有意义。

总结：
有意义取值范围：$x > 0$。

无意义取值范围：$x \le 0$。

二次根式的知识点总结二次根式的知识点总结知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a 为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1) (x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。

知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。

注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式(a) 的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的.性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a (a若a是负数，则等于a 的相反数-a,即a2=|a|=-a (a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

二次根式的概念1、判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0(（4）2)31(3、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 4、（1）若a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数【总结】 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。

【拓展延伸】1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。

2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.35(2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11【练习】A 组(一)填空题：1、2)3(x --2123⎪⎪⎫ ⎛2、 在实数范围内因式分解：（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)（二）选择题：1、计算（ ）A. 169B.-13C±13 D.132、已知的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35B 组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（ ）。

考点：二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得x的值．解答：解：∵x﹣2009≥0，∴x≥2009，则原式可化简为：x﹣2008+=x，即：=2008，∴x﹣2009=20082，∴x﹣20082=2009．点评：求出x的范围，对原式进行化简是解决本题的关键．2、已知数a满足，求a﹣20042的值．考点：二次根式有意义的条件；绝对值。

分析：根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005．化简原式即可求解．解答：解：根据二次根式的性质可得，a﹣2005≥0，即a≥2005，由原式可得，a﹣2004+=a∴=2004∴a﹣2005=20042∴a﹣20042=2005．点评：考查了二次根式和绝对值的有关内容，二次根式中被开方数是非负数，是此题的突破口．3、已知x、y为实数，，试求3x+4y的值．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

分析：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值．解答：解：依题意得∴x2=4，∴x=±2又∵x﹣2是原式分母，∴x﹣2≠0∴x≠2∴x=﹣2，此时，y=﹣，∴3x+4y=3×（﹣2）+4×（﹣）=﹣7．点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都在根号里，那么这两个数都为0．4、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

分析：（1）（2）（3）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知．（4）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：﹣≥0且x≠0，即可求解．解答：解：（1）依题意有3x﹣4≥0，解得．即时，二次根式有意义；（2）依题意有1﹣2a≥0，解得．即时，二次根式有意义；（3）依题意有m2+4＞0，故m取全体实数，有意义；（4）依题意有：﹣≥0且x≠0，解得x＜0．即x＜0时，二次根式有意义．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．5、已知x，y是实数，且y=，求5x+6y的值．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件。

二次根式的概念与性质
对于二次根式的概念与性质这一节，我们需要重点掌握的是以下内容：(1)二次根式的概念；(2)二次根式的4条性质；(3)会使用二次根式的性质进行化简。

1.二次根式的概念
注意：二次根式有意义的条件一定是被开方数大于等于0，若被开方数是一个负数，那么这个二次根式无意义，值得注意的是-a不一定表示负数。

问题1：判断下列式子哪些是二次根式
问题2：二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
注意：在化简时，对于性质1和性质2，一定要注意字母系数的限定范围，当某个字母从被开方数中“挪”出来时，一定要关注该字母是否是正数。

对于性质3和性质4，当化简后，注意检查化简后的式子
能否“还原”到原二次根式。

问题3：利用性质1、2化简求值
问题4：利用性质3化简
问题5：利用性质4化简
3.与二次根式的概念与性质相关的练习(点击下方链接获取)各省市相关练习。

专题02 二次根式有意义的条件【考点归纳】1、判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．2、学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．3、二次根式有无意义的条件（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【好题必练】一．选择题（共13小题）1．（2021春•越秀区校级月考）使得二次根式有意义的a的取值范围是）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0【答案】C【解析】解：由题意得：a≥0，故选：C．2．（2021•九龙坡区校级模拟）下列说法正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝bB．内错角相等C．有意义的条件为x＞2D．点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2）【答案】D【解析】解：A、若|a|＝|b|，则a＝±b，故此选项错误；B、两直线平行，内错角相等，故此选项说法错误；C、有意义的条件为x≥2，故此选项错误；D、点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2），故此选项正确．故选：D．3．（2020秋•南召县期末）若式子有意义，则x的值可以为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．0【答案】A【解析】解：根据题意知x﹣1≥0，解得x≥1，所以x的值可以为2．故选：A．4．（2020秋•金川区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【答案】D【解析】解：由题意可知：，∴x≥0且x≠2，故选：D．5．（2020秋•石景山区期末）代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣【答案】D【解析】解：由题意得，2x+1≥0，解得x≥﹣，故选：D．6．（2019秋•炎陵县期末）若代数式有意义，则x必须满足条件（）A．x≠2B．x≥2C．x＞﹣2D．x＞2【答案】D【解析】解：由题可得，3x﹣6＞0，解得x＞2，故选：D．二．填空题（共10小题）7．使式子1+有意义的x的取值范围是．【答案】x≥1．【解析】解：由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．8．若代数式有意义，则x的取值范围是．【答案】x＞0．【解析】解：代数式有意义，则x＞0．故答案为：x＞0．9．代数式有意义，则x的取值范围是．【答案】x＞4．【解析】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．10．中a的取值范围．【答案】a≥﹣1且a≠1．【解析】解：由题意，得a+1≥0且a﹣1≠0．解得a≥﹣1且a≠1．故答案是：a≥﹣1且a≠1．11．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是．【答案】a≥1且a≠2．【解析】解：若在实数范围内有意义，则a﹣1≥0，且2﹣a≠0，解得：a≥1且a≠2．故答案为：a≥1且a≠2．三．解答题（共11小题）12．求下列二次根式中字母x的取值范围：（1）；（2）；（3）【答案】解：（1）若有意义，则3﹣2x≥0，解得x≤；（2）∵x为任意实数时，x2+1＞0，∴x为全体实数；（3）根据题意，得：，解得x≥2且x≠6．【解析】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（1）根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，解之可得；（2）由x为任意实数时，都有x2+1＞0，从而得出答案；（3）根据二次根式的被开方数和分母不为0求解可得．13．已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．【答案】解：由题意得：，解得：x＝，把x＝代入y＝+﹣4，得y＝﹣4，当x＝，y＝﹣4时x﹣y2＝﹣16＝﹣14．【解析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．14．求下列二次根式中字母a的取值范围．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】解：根据二次根式有意义的条件可知，（1）5a≥0，解得，a≥0；（2）a+3≥0，解得，a≥﹣3；（3）∵a2≥0，∴a2+1≥0，∴a取任意实数，都有意义；（4）﹣＞0，解得，a＜0．【解析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．15．下列各式中，哪些有意义？哪些没有意义？（1）﹣；（2）；（3）；（4）．【答案】解：（1）﹣有意义；（2）无意义；（3）有意义；（4）有意义．【解析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数进行分析即可．16．要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？（1）（2）（3）（4）【答案】解：（1），二次根式有意义，则6+2x≥0，解得：x≥﹣3；（2），二次根式有意义，则2﹣x≥0，解得：x≤2；（3），二次根式有意义，（x﹣1）2≥0，故x取任意实数；（4），二次根式有意义，则x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1，且x≠0．【解析】（1）直接利用二次根式有意义则根号下部分大于等于0，进而得出答案；（2）直接利用二次根式有意义则根号下部分大于等于0，进而得出答案；（3）直接利用二次根式有意义则根号下部分大于等于0，进而得出答案；（4）直接利用二次根式有意义则根号下部分大于等于0，进而得出答案．。

16、（09嘉兴市）计算： ．
17、(09台州市)计算： ．
四、二次根式与整式的化简求值问题：
18、（09广州市）先化简，再求值： ，其中
19、（09孝感市）已知： 求下列各式的值．
（1） ；（2）
20、（09威海市）
先化简，再求值： ，其中 ．
1、已知 ， ，求： 的值；
2、已知： ，计算：（1） ；（2）
① =___________.
② =（）×( ) ( )；
③ =___________.
2011安徽，4，4分）设a= －1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
（2011山东烟台，5,4分）如果 ，则（）
A．a＜ B.a≤ C.a＞ D.a≥
2011安徽芜湖，14，5分）已知 、 为两个连续的整数，且 ，则 ．
A． B． C． D．
4、在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为（）；
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、使代数式 有意义的x的取值范围是（）
A、 ；B、 ；C、 ；D、 且 ；
6函数 的自变量 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
函数 ＋ 中自变量 的取值范围是（）
2.如果 求 的算术平方根。
6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则 =_______。
7.已知
8.如果 ，则 =_______。
三、分式的有理化
1、已知x= ,y= ，求x2－y2的值。
5.已知 ，求下列各式的值；
1 ；
2 ；
3 ;
四、整数部分与小数部分
1. 的整数部分是_________，小数部分是________。

二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

第五讲二次根式归纳1：二次根式的意义及性质基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．注意问题归纳：1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．【例1x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【例2】当﹣1＜a＜0=．归纳2：最简二次根式与同类二次根式基础知识归纳：1．最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1．最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．【例3】下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D归纳3：二次根式的运算基础知识归纳：（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）．二次根式的乘除法二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b a b a =（a ≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键【例4】下列计算正确的是（ ）A ．﹣B •）C ． D归纳 4：二次根式混合运算基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序．【例5】计算：2）2【例6】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p 2a b c ++=，那么三角形的面积为S =．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a =5，b =6，c =7，则△ABC 的面积为（ ）A．B．C．18D．192归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1．二次根式的被开方数是非负数；2．非负数的性质．注意问题归纳：【例7】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，22++==除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：设x=，故x＞0，由x2=2=332=2，解得x==后的结果为（）A．B．5C．5D．5﹣【基础练习】1．函数y=x的取值范围是（）A ．x ＜2B ．x ≤2C ．x ＞2D ．x ≥22．下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．3a 2•4a 3=12a 6 C.533-=5 D ．236⨯= 3．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ．12B ．2C ．4D ．12 4．化简12的结果是（ ）A ．43B ．23C ．32D ．265．若式子12x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1且x ≠2 B ．x ≤1 C ．x ＞1且x ≠2 D ．x ＜16.下列运算正确的是（ ）A ．347+=B ．12=32C ．()22-=-2D ．142136= 7.计算：（1﹣π）0+|23-|12-+（12）﹣1．【提升练习】 8．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．69．下列各式不成立的是（ ）A ．8718293-=B ．223+=223C ．818492+=+=5D ．13232=-+10．计算：2）20182）2019的结果是．11．观察下列等式：①3﹣=1）2，②5﹣=2，③7﹣=2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．12．若|1001﹣a|=a，则a﹣10012=．13．观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-），=1134+=⨯1+（1134-），…请利用你发现的规律，计算：12018++为．14与最简二次根式是同类二次根式，则a=．【突破练习】15．阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．例如：求点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离．解：∵y=﹣2x+5，∴2x+y﹣5=0，其中A=2，B=1，C=﹣5，∴点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离为：d====根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7=0的距离；（2）如图，直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．1．x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x=2D．x≠22x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣232得（）A．2B．﹣4x+4C．﹣2D．4x﹣44x的取值范围是．5最接近的整数是．6．（已知x=，y=x2﹣2xy+y2的值是．7的结果是．8的结果是．9．化简：(02= ．10．计算：)1111()3--11．计算：2﹣1+（π﹣3）0﹣|4|．12．计算：（1）⎛÷ ⎝ （2）())2122+．13．我们将、称为一对“对偶式”，因为）=2）2=a ﹣b ）和-中的去掉于是二次根式除法可以这样解：==，3==+母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1_______（用“＞”、“＜”或“=”填空）；=y=x2+y2的值；（2）已知x（3。

二次根式的意义及有意义的条件二次根式起源于解二次方程，是代数学中的一个重要概念。

它的意义主要涉及到数学、物理、工程和经济等领域。

在不同的领域中，二次根式有不同的应用，但存在的基本条件是二次根式下的被开方数必须为一个非负实数。

首先，二次根式的意义在于解决一些实际问题，特别是与平方根相关的问题。

在物理领域中，二次根式广泛用于测量和计算运动、力量、能量等方面。

例如，在自由落体运动中，我们可以使用二次根式来计算距离、时间、速度和加速度。

在工程中，二次根式可以用来描述一些物理量的变化规律，例如电流、电压、功率等。

此外，在经济学中，二次根式可以用来解决一些与利润、成本、收入等相关的问题。

其次，二次根式的意义在于解决一些几何问题。

在几何学中，二次根式可以用来计算线段、三角形、圆等几何图形的性质和特征。

例如，我们可以使用二次根式来计算三角形的各个边长、角度和面积。

在解决几何问题时，二次根式的意义更加显著，它可以帮助我们更好地理解和应用几何学的原理和方法。

此外，二次根式还具有一些重要的数学性质和运算规律。

例如，二次根式满足加法、减法、乘法和除法的运算规律。

通过对二次根式的运算，我们可以解决一些复杂的问题，例如求解方程、求极限、计算曲线的长度等。

此外，通过对二次根式的性质进行研究，我们可以得到一些重要的数学结论，例如二次根式的序列、级数和连续分数的性质等。

最后，二次根式的意义在于培养人们的抽象思维和问题解决能力。

二次根式作为代数学最基本的概念之一，它涉及到数学的推理、证明和计算等方面。

通过学习和应用二次根式，人们可以培养自己在数学和其他学科中的抽象思维和问题解决能力。

同时，二次根式还可以帮助人们发展数学直觉和推理能力，提高数学素养和数学能力。

综上所述，二次根式的意义涉及到数学、物理、工程和经济等各个领域。

无论是在解决实际问题、几何问题，还是在培养人们的抽象思维和问题解决能力方面，二次根式都扮演着重要的角色。

因此，了解二次根式的意义和应用，有助于我们更好地理解和应用数学的原理和方法。