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二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式的公式全部二次根式这玩意儿，其实在数学的世界里就像是一个个调皮的小精灵，有时候让人欢喜，有时候让人愁。
咱先来说说二次根式的定义哈。
形如√a（a≥0）的式子就叫二次根式。
这里面可得注意了，a 必须大于等于 0，要不然这小精灵可就闹脾气啦。
接下来，咱们瞅瞅二次根式的基本性质。
首先是（√a）² = a（a≥0），这就好比给二次根式穿上了一件神奇的外衣，一变身就变成了原本的底数。
比如说，√5 的平方，那就是 5 嘛。
还有√a² = |a| ，这可得小心处理。
当a≥0 时，它就是 a；当 a<0 时，它就变成了 -a 。
就像有个小伙伴考试，成绩正数的时候开开心心，成绩负数的时候就垂头丧气。
再说说二次根式的乘法法则，√a × √b = √ab（a≥0，b≥0）。
这个就像搭积木，两个小积木（二次根式）拼在一起，就变成了一个大积木（新的二次根式）。
除法法则呢，是√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。
这就好比分糖果，要保证糖果数量够分，而且不能是负数。
咱来个实际例子感受感受。
比如说要计算√12 × √3 ，那就把 12 拆成 4×3，所以√12 就变成2√3 ，然后2√3 ×√3 = 2×3 = 6 。
是不是还挺简单的？还有个化简二次根式的重要技巧。
比如√20 ，可以把 20 拆成 4×5，那√20 就等于2√5 。
这就像是整理书包，把乱糟糟的东西分类整理好，书包就整齐啦。
二次根式的加减法也有讲究。
只有被开方数相同的二次根式才能合并。
比如说3√2 + 5√2 ，那就是8√2 。
我记得有一次给学生讲二次根式，有个小同学怎么都弄不明白为啥√4 等于 2 。
我就跟他说，你想想啊，什么数的平方是 4 呀？他眨眨眼睛，想了半天，终于恍然大悟。
那一刻，我心里那个乐呀，感觉自己就像个神奇的魔法师，把知识的魔法传递给了他。
二次根式(gēnshì)知识点归纳总结二次根式知识点归纳(guīnà)总结全国中考(zhōnɡ kǎo)信息资源门户网站二次根式(gēnshì)知识点归纳定义：一般(yībān)的，式子a(a≥0)叫做二次根式。
其中“〞叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
性质：1、a〔a≥0〕是一个非负数．即a≥02、a2＝│a│即a≥0,等于a;a0〕反过来，ab=ab〔a≥0，b>0〕6、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项全国中考信息资源门户网站扩展阅读：二次根式知识点总结大全(我)二次根式1.二次根式：式子a〔a≥0〕叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：a〔a＞0〕〔1〕〔a〕=a〔a≥0〕；〔2〕aa0〔a=0〕；a〔a＜0〕5.二次根式的运算：22〔1〕因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．〔2〕二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．〔3〕二次根式的乘除法：二次根式相乘〔除〕，将被开方数相乘〔除〕，所得的积〔商〕仍作积〔商〕的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=ab〔a≥0，b≥0〕；bb〔b≥0，a>0〕．aa〔4〕有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1以下各式1〕11,2)5,3)某22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1，其中是二次根式的是_________〔填序号〕．例2、求以下二次根式中字母的取值范围某5〔1〕13某；〔2〕(某-2)2例3、在根式1)a2b2;2)某;3)某2某y;4)27abc，最简二次根式是〔〕5A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)1某yy18某8某1,求代数式22y某例4、：某y2的值。
中考数学《二次根式》知识点：二次根式的概念与取值范围
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中考数学《二次根式》知识点：二次根式的概念与取值范围
二次根式的概念：
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，
√(x-1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
二次根式取值范围：
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性
√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即
√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0,b=0;若√a+|b|=0，则a=0,b=0;若√a+b2=0，则a=0,b=0。
第12讲二次根式的计算知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算。
二次根式是中考考查的重点，也涉及到后面勾股定理的学习，本节课我们需要了解二次根式有意义，掌握二次根式的乘除和加减运算，熟练地进行二次根式的计算。
知识梳理讲解用时：20分钟二次根式1、一般地，式子√a（a≥0）叫做二次根式a称为是被开方数（1）表示a的算式平方根（2）a可以是数，也可以是式（3）形式上含有二次根号（4）a≥0 a≥0 （双重非负性）2、最简二次根式：必须同时满足下列条件：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式.3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.课堂精讲精练【例题1】分式有意义时，x 的取值范围是 ．二次根式的加减1.二次根式的化简：（1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解.解：2332661522222.⨯====⨯ 化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式.（2）被开方数是分数的二次根式化简解：211155512555555552525⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ （3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简4816343=⨯=将被开方数进行因数分解，是化简的基础.2、同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. 例如：√3与2√3是同类二次根式3、二次根式的加减法二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变【解析】要使代数式有意义时，必有x﹣2＞0，可解得x的范围．解：根据题意得：x﹣2＞0，解得：x＞2．故答案是：x＞2．讲解用时：2分钟解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：博望区校级一模年份：2018【练习1.1】如果代数式有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≥﹣2且x≠1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数，要注意分母不能为0.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：东胜区一模年份：2018【例题2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．【解析】直接利用数轴得出a＜0，a﹣b＜0，进而化简得出答案．解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=b﹣2a．故答案为：b﹣2a．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：成华区模拟年份：2018【练习2.1】已知，则a的取值范围是．【答案】a≤【解析】根据=|a|≥0，即可得到关于a的不等式求得a的范围．解：根据题意得：3﹣2a≥0，解得：a≤．故答案是：a≤．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的性质，正确理解=|a|≥0是关键．教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰兴市期末年份：2017【例题3】计算：．【答案】﹣【解析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级月考年份：2016【练习3.1】计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）﹣；（2）；（3）1【解析】（1）根据二次根式的除法，可得答案；（2）根据二次根式的除法，二次根式的乘法，可得答案；（3）根据二次根式的除法，可得二次根式的乘法，根据二次根式的乘法，可得答案．解：（1）原式==﹣；（2）原式====；（3）原式===1．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键，注意把带分数化成假分数再进行运算．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：广南县校级期中年份：2015【练习3.2】计算：（1）（2x+y﹣1）•（2x﹣y+1）（2）÷•（3）÷×（4）﹣．【答案】（1）4x2﹣y2+2y﹣1；（2）；（3）；（4）【解析】结合二次根式的乘除法及分式的混合运算的运算法则进行求解即可．解：（1）原式=[2x+（y﹣1）]•[2x﹣（y﹣1）]=（2x）2﹣（y﹣1）2=4x2﹣y2+2y﹣1．（2）原式==．===．（4）原式====．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法及分式的混合运算等知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算以及分式的混合运算.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：滨州校级月考年份：2015【例题4】完成下列两道计算题：（1）﹣15+；（2）（﹣）+．【答案】（1）；（2）4【解析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（1）解：原式=3﹣15×+×=3+=；=4讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式化简是解决此题的关键．教学建议：熟练掌握二次根式的加减法计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：金乡县期末年份：2017【练习4.1】计算（1）﹣（﹣）（2）+a﹣4+．【答案】（1）；（2）（3a﹣3）【解析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案；（2）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案．解：（1）﹣（﹣）=2﹣（3﹣×4）=2﹣=；（2）+a﹣4+当b＞0，原式=2a+a﹣2+=（3a﹣1）．当b＜0，原式=2a+a﹣2﹣=（3a﹣3）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：秀屿区校级期中年份：2017【练习4.2】计算：（1）2+﹣3；（2）（﹣）﹣（+）【答案】（1）2；（2）﹣．【解析】（1）首先化成最简二次根式，然后把同类二次根式进行合并即可；（2）首先化成最简二次根式，然后去括号把同类二次根式进行合并即可．解：（1）原式=2+3﹣3=2；（2）原式=2﹣﹣﹣，=﹣．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：黄陂区期中年份：2017【例题5】如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．【答案】【解析】设矩形的长宽分别为4k，3k．根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算即可．解：设矩形的长宽分别为4k，3k．由题意12k2=8a，∴k=，∴矩形的长为，宽为，∴纸箱的侧面积=2（+﹣2）•=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查矩形的性质，长方体的侧面积、二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，求出长方体的长宽高是解题的关键，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握二次根式的计算解决一些实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：枝江市期中年份：2016【练习5.1】如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=2，△ABC的面积为，求AB的长．【答案】【解析】直接利用S△ABC=S△ABD+S△ADC，得出AB（DE+DF）=，求出即可．解：连接AD，由题意可得：AB=AC，S△ABC =S△ABD+S△ADC=×DE×AB+×DF×AC=AB（DE+DF）=，故×2AB=，解得：AB=．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形面积求法，正确计算是解题关键．教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及二次根式解决几何问题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：巨野县期中年份：2017【例题6】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=======﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简（2）化简．（3）化简：+++…+．【答案】（1）（2）﹣；（3）（﹣1）；【解析】（1）分子分母分别乘即可；（2）分子分母分别乘﹣即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；解：（1）==（2）化简==﹣（3）化简：+++…+=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣1）讲解用时：4分钟解题思路：本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握二次根式的化简和分母有理化.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：市中区期末年份：2016【练习6.1】已知：a=，b=，求的值．【答案】30【解析】根据分母有理化即可求出a与b的值．解：由题意可知：a=3+2，b=3﹣2∴a+b=6，ab=1原式=﹣4=﹣6=﹣6=36﹣6=30讲解用时：3分钟解题思路：本题考查分母有理化，解题的关键是熟练运用分母有理化，本题属于基础题型．教学建议：熟练运用分母有理化代入求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：雁江区校级期中年份：2017【练习6.2】（1）已知x=﹣，y=+，求﹣的值；（2）若a﹣=，求a+的值．【答案】（1）4；（2）±5【解析】（1）先求出xy与y+x与y﹣x的值，再代入计算即可；（2）先根据完全平方公式求出a2+（）2，进一步得到（a+）2，从而得到a+的值．解：（1）∵x=﹣，y=+，∴xy=1，y+x=2，y﹣x=2，∴﹣====4；（2）∵a﹣=，∴（a﹣）2=21，∴a2+（）2=23，（a+）2=25，∴a+=±5．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是分母有理化、二次根式的化简求值，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握分母有理化、二次根式的化简求值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：武穴市校级期中年份：2017【例题7】已知x﹣y=，z﹣y=﹣，求x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz的值．【答案】6【解析】先求得（x+y）（z﹣y）的值，然后求得（x﹣y）﹣（z﹣y）可得到x ﹣z=2，然后两个平方，最后将（x+y）（z﹣y）的值与（x﹣z）2相加即可．解：由x﹣y=，z﹣y=﹣得：（x+y）（z﹣y）=xz﹣xy﹣yz+y2=﹣2①；（x﹣y）﹣（z﹣y）=x﹣z=2，则x2﹣2xz+z2=8②，①+②得：x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz=﹣2+8=6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是二次根式的化简求值，能够利用二次根式的性质进行变形是解题的关键．教学建议：熟练运用二次根式、完全平方公式去解决问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：大庆模拟年份：2017 【练习7.1】已知x=﹣1，y=+1，求+的值．【答案】6【解析】根据二次根式的性质即可求出答案．解：原式===﹣2∵x=﹣1，y=+1，∴x+y=2，xy=2﹣1=1∴原式=8﹣2=6讲解用时：3分钟解题思路：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：前郭县校级期末年份：2017【练习7.2】已知a=+，b=﹣，求下列各式的值：（1）；（2）a2b﹣ab2．【答案】（1）；（2）﹣2【解析】（1）首先将a，b代入，然后分母有理化；（2）首先因式分解，将a，b代入利用平方差公式即可．解：（1）原式====；（2）原式=ab（a﹣b）=（）（）×=﹣2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了分母有理化和平方差公式，熟练掌握公式是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：金平区校级期中年份：2017课后作业【作业1】如果代数式有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≥﹣3且x≠1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣3且x≠1．故答案为：x≥﹣3且x≠1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：宁津县二模年份：2018【作业2】如果2＜x＜3，那么化简的最终结果是．【答案】1【解析】由2＜x＜3可知，2﹣x＜0，3﹣x＞0，根据二次根式的性质，把二次根式化成绝对值的形式，再去绝对值．解：=|2﹣x|+|3﹣x|=x﹣2+3﹣x=1．故答案为：1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：苏州期中年份：2018【作业3】（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．【答案】（1）；（2）﹣9x2y【解析】（1）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可．解：（1）÷3×5=×5=；（2）﹙﹣﹚÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：云梦县校级期末年份：2013【作业4】（1）（2）（3）．【答案】（1）12﹣60；（2）﹣57；（3）【解析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．（3）直接进行开方运算即可得出答案．解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：赵县期末年份：2014【作业5】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【答案】3a+b﹣c【解析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：新化县期末年份：2016。
二次根式一、选择题1. （2011安徽，4，4分）设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5 【答案】C2. （2011山东滨州，2，3有意义,则x 的取值范围为( ) A.x ≥12 B. x ≤12 C.x ≥12- D.x ≤12- 【答案】C3. （2011山东菏泽，4，3分）实数a化简后为 A ． 7 B ． －7 C ． 2a －15 D ． 无法确定第2题图【答案】A 4. （2011山东济宁，1，3分）4的算术平方根是（ ）A . 2B . －2C . ±2D . 16 【答案】A5. （2011山东济宁，5，3分）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ） A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7 【答案】C6. （2011山东日照，1，3分）(-2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 【答案】A7. （2011山东泰安，7 ，3分）下列运算正确的是（ ）A.25=±5B.43-27=1C.18÷2=9D.24·32=6 【答案】D8. （2011山东威海，1，3分）在实数0、、2-中，最小的是（ ）A ．2-B ．C ．0D【答案】A9.（2011山东烟台，5,412a -，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12【答案】B10．（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（）A ． 3=-B ．3=-C 3±D 3±【答案】B11. （2011浙江省，7，3分）已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（ ）A .9B .±3C .3D . 5 【答案】C12. （2011台湾台北，4）计算75147-＋27之值为何？A ．53B ．33C ．311D ． 911 【答案】A13. （2011台湾全区，17）17．计算631254129⨯÷之值为何？ A ．123 B ．63C ．33D ．433 【答案】Ｂ14. （2011广东株洲，1，3分）8的立方根是（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．4 【答案】A15. （2011山东济宁，4，3分）下列各式计算正确的是A =B ．2+=C ．=D ．2=【答案】C16. （2011山东潍坊，1，3分）下面计算正确的是（ ）A.3= 3= 235= 2=-【答案】B17. （2011四川成都，1,3分） 4的平方根是 C(A)±16 (B)16 (C )±2 (D)2 【答案】C18. （2011四川宜宾,2,3分）根式3-x 中x 的取值范围是（ ） A ．x≥3 B ．x≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞3 【答案】A19. （2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.-7 C.±7 【答案】C20．(2011江苏南京，1，2分A ．3B ．－3C ．±3D ．【答案】A21. （2011江苏南通，3，3A. ± B . C . ±3 D . 3【答案】D.22. （2011山东临沂，4，3分）计算221－631＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2C ．5－3D ．22【答案】A23. （2011上海，3，4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．(A)(B) ； (C) (D) ．【答案】C24. （2011四川凉山州，5，4分）已知y =2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ． 152【答案】A25. （2011湖北黄石，1，3分）4的值为A.2B.-2C.±2D.不存在【答案】A26. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）如4 的平方根是（ ）A . 2B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C27. （2010湖北孝感，4，3分）下列计算正确的是（ ）A= == 4=【答案】C 二、填空题1. （2011安徽芜湖，14，5分）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <，则a b += ．【答案】112. （2011江苏扬州，10,3分）计算：28-=【答案】23. （2011山东德州12,4分）当x =2211x x x---=_____________．【答案】24. （2011山东菏泽，9，3x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥145. （2011山东日照，15，4分）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011-y 2011= ． 【答案】-2；6. （2011山东威海，13，3分）计算的结果是 ． 【答案】 37. （2011山东烟台，19,6分）（满分6分）先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 【答案】解：原式=2(1)(1)21(1)x x x x x x x +--+÷+=21(1)x x x x -⋅-=11x -. 解方程得2220x x --=得，110x =>，210x =<.所以原式）. 8. （2011浙江台州，11,5分）若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是 【答案】x ≥19. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】410．（2011山东聊城，13，3_____________． 【答案】511. （2011四川内江，加试1，6分）若m =54322011m m m --的值是 ．【答案】012. （2011四川内江，加试3，6分）已知263(5)36m n m -+-=-，则m n -= ．【答案】－213. (2011重庆綦江，12，4分)若1x 2-有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】：21≥x14. (2011江苏南京，9，2分)计算1)(2=_______________．12. 15. （2011江苏南通，12，3分）计算：-＝ ▲ .16. （2011四川凉山州，25，5分）已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += 。
【答案】2517. （2011安徽芜湖，14,5分）已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b += ．【答案】1118. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】219. （2011湖北黄冈，3，3分）要使式子a有意义，则a 的取值范围为_____________________． 【答案】a ≥－2且a ≠020．（2011湖南衡阳，11，3= ．【答案】21. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ． 【答案】222. （2011广东肇庆，11，3分）化简：12 ＝ ▲ ． 【答案】3223. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】324. （2011内蒙古乌兰察布，13，4分）()0201112=-++y x 则yx =【答案】-125. （2011广东中山，8,4分）计算【答案】626. （2011湖北鄂州，3，3分）要使式子a有意义，则a 的取值范围为_____________________． 【答案】a ≥－2且a ≠027. （2011山东枣庄，16，4分）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b =ba ba -+，如3※=8※12= ．28. （2011湖北荆州，13，4分）若等式1)23(0=-x成立，则x 的取值范围是 . 【答案】0≥x 且12≠x 三、解答题1. （2011山东日照，18，6分）化简，求值：111(11222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =3．【答案】原式=1)1()1)(1(11222+--+-÷-+-m m m m m m m=111)1)(1()1(22+--+∙+--m m m m m m =m m m m m -+∙+-2111 =mm m --21 =)1(1--m m m =m 1．∴当m =3时，原式=3331=． 2. （2011江西，17，6分）先化简，再求值：（aaa a -+-112）÷a ，其中a =12+. 【答案】原式=（211a aa a ---）÷a =1a a -×1a =11a -当a=12+时，原式=11a -.3. （2011江苏苏州，21,5分）先化简，再求值：（a －1＋12+a ）÷（a 2＋1），其中a=2－1. 【答案】解：原式=1112122+⋅++-a a a =111122+⋅++a a a =11+a .当a=2-1时，原式=21=22. 4. （2011江苏泰州，20，8分）解方程组⎩⎨⎧=+=+8361063y x y x ，并求xy 的值．【答案】解:⎩⎨⎧=+=+②①8361063y x y x②×2－①,得9x=6,解得x=23.将x=23代入①，得2+6y=10,解得y=43.所以方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432y x ，于是xy ＝3432⨯＝232。
5. （2011四川成都，17,8分）先化简，再求值：12)113(2--÷--+x x x x x x ，其中23=x . 【答案】解：原式=211)1()1(322--⋅-+--x x x x x x x =2422--x x x =2)2(2--x x x =x 2.当23=x 时，x 2=232⨯=3.6. （2011四川宜宾,17⑴,5分）计算：20110)1(51520)3(3-+---π【答案】解：原式=)1()32(13-+--⨯=3 7. （2011四川宜宾,17⑵,5分）先化简，再求值：231839x x ---，其中3x =. 【答案】解：)3)(3(1833918332-+--=---x x x x x =33)3)(3()3(3+=-+-x x x x 当10=x 时 ∴原式=10103103= 8. (2011重庆綦江，21，10分) 先化简，再求值：)12(1)1(22x x xx x --÷-+ 其中x ＝2 【答案】：解:原式＝x x x x x x x -+-÷-++12)1)(1()1(22＝)1(111x x x x x +-⨯-+＝x1当x ＝2时,原式的值为22211==x9. （2011江西南昌，17，6分）先化简，再求值：（aaa a -+-112）÷a ，其中a =12+. 【答案】原式=（211a aa a ---）÷a =1a a -×1a =11a - 当a=12+时，原式=11a -.10．（2011上海，19，10分）计算：0(3)1-【答案】0(3)1-＝11-＝-．11. （2011四川绵阳19（1），4）计算：（12）-2 - |22-3 | +38【答案】（12）-2 - |22-3 | +38=4-（3-22）+324=1+112412. （2011湖北黄石，18，7分）先化简，后求值：（2222444y xy x y y x ++-）·（x y x xy +-24），其中⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1212y x 【答案】解：原式＝y x y x x y x y x y x y 2)2()2()2)(2(2-+∙+-+＝x·y =(2+1)( 2-1)=113. （2011广东茂名，16（1），3分）化简：⑴、)212(8-⨯ 【答案】解： 解：(1)原式＝416-，＝4－2， ＝2 ．14. （2011山东东营，18（2），4分）先化简，再求值: 22121(1)1x x x x -+-÷-,其中x =【答案】解：原式=21(1)(1)(1)x xx x x--÷+-21(1)(1)(1)x x xx x-+-=-1xx+=当x==22=15. （2011内蒙古乌兰察布，19，8分）先化简再求值()121112222+--++÷-+aaaaaa其中1【答案】()121112222+--++÷-+aaaaaa=22(1)1(1)(1)11(1)a a aa a a++-+-+-=2111aa a++--=31aa+-把1a=33+==16. （2011贵州安顺，20，8分）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+--142244122aaaaaaa，其中a=2－3【答案】原式=aaaaaaa-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---4)2(2)2(12=aaaaaaaa-⋅-+---4)2()2)(2()1(2=2)2(1-a当a=32-时，原式=31．17. （2011湖南湘潭市，18，6分）（本题满分6分）先化简，再求值：)111(+-xxx，其中15-=x.【答案】解：1111()1(1)1x xx xx x x x x+--==+++，当15-=x，原式=18.。
