利用轴对称破解最短路径问题

1. (2017 山东省枣庄市) 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）答案：考点F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．分析（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．解答解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．20170919111619562809 1.4 利用轴对称解决最短路径问题选择题基础知识2017-9-192. (2017 山东省泰安市) 如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．答案：．考点PA：轴对称﹣最短路线问题．分析本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．解答解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN•cos∠N=2×=，故答案为：．20170919105539312038 1.4 利用轴对称解决最短路径问题填空题基础知识2017-9-193. (2017 辽宁省营口市) 3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：答案B.解析∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′5．故选B．考点：轴对称﹣最短路线问题；等腰直角三角形.20170919084232265077 1.4 利用轴对称解决最短路径问题选择题基础知识2017-9-194. (2017 贵州省毕节地区) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．6答案：考点PA：轴对称﹣最短路线问题；KF：角平分线的性质．分析依据勾股定理可求得AB的长，然后在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E，先证明C′E=CE，然后可得到CE+EF=C′E+EF，然后依据垂直线段最短可知当点C′F⊥AC时，CE+EF有最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可．解答解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=C′E，∴△AEC≌△AEC′．∴CE=EC′．∴CE+EF=C′E+EF．∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值．∵C′F⊥AC，BC⊥AC，∴C′F∥BC．∴△AFC′∽△ACB．∴=，即=，解得FC′=．故选：C．20170913161915687748 1.4 利用轴对称解决最短路径问题选择题数学思考2017-9-135. (2017 四川省眉山市) 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．答案：考点P7：作图﹣轴对称变换；KQ：勾股定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．分析（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接B2交y轴于点P，则P点即为所求．解答解：（1）如图所示；（2）如图，即为所求；（3）作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2交y轴于点P，则点P即为所求．设直线AB2的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（﹣4，6），B2（2，2），∴，解得，∴直线AB2的解析式为：y=﹣x+，∴当x=0时，y=，∴P（0，）．20170911101641171768 1.4 利用轴对称解决最短路径问题填空题数学思考2017-9-11。

巧用轴对称解决最短路线问题
作者：于胜军
来源：《中学生数理化·教与学》2018年第01期
第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.
原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？
解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.
第二，模型应用.
1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题
变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.
解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在
Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.
2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题
分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.
3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题
（1）求该函数的解析式.
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B 点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.。

A
C
C′
l
即 AC +BC 最短．
B′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
周长是（ A ）
A．10 C．20
B．15 D．30
3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别
为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，
则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离10是00
米.
C
D 河
A
B
4、如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A处到
则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
B
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择.
则点C 即为所求．
B
A
C l
B′

初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。

轴对称最短路线问题原理
一、问题描述
轴对称最短路线问题，即求平面上两点间沿轴对称线走的最短距离。

二、问题解法
1. 构造对称轴
首先需要找到两点的对称轴，对称轴的构造方法有多种，常用的有以
下两种：
（1）连接两点，垂直平分线即为对称轴。

（2）以两点为圆心，以它们之间的距离为半径，画两个圆；两圆的交
点就是对称轴。

2. 沿对称轴转换
对称轴将平面分为两个对称部分，假设起点在对称轴左侧（或右侧），求出终点在对称轴右侧（或左侧）的最短距离，即为要求的轴对称最
短路线。

3. 求最短距离
最短距离可以使用最短路算法（如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法等）来计算。

三、应用领域
轴对称最短路线问题常见于自动化生产线、机器人运动等领域，在这
些领域中，机器人需要在不碰撞的情况下从一个点到达另一个点，同
时保证走的路径最短。

该问题的解决方法可以为机器人运动路径规划
提供参考。

【教学目标】1【教学重难点】12【知识亮解】知识点在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。

点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。

直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。

A．750米B．1000米【典例2】如图所示，45MON Ð=°，点P 为MON Ð内一点，点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、，连接11212OP OPPP PP PP 、、、、，12PP 分别与OM ON 、交于点A B 、，连接AP BP 、，则APB Ð的度数为（ ）A ．45°B ．90°C ．135°D ．150°【典例3】如图，在锐角三角形AB C 中，AB ＝8，△ABC 的面积为40，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为 _____．【典例4】如图，有一条笔直的河流，两岸EF ∥GH ，在河岸EF 的同侧有一个管理处A 和物资仓库B ，管理人员每天需要从管理处A 出发，先到物资仓库B 领取物资，接着到达河岸EF 上的C 点，乘坐停放在C 点的快艇，把物资送到对岸GH 的对接点D ，然后调头返回河岸EF 上的C 点，再返回管理房A ．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C 和点D ，则确定点C 和点D 的步骤是：_____________．【典例5】如图，在锐角三角形AB C中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N 分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．【典例6】如图，点P是∠AOB内部一定点（1）若∠AOB＝50°，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连OP1、OP2，则∠P1OP2＝___.（2）若∠AOB＝α，点C、D分别在射线OA、OB上移动，当△PCD的周长最小时，则∠CPD＝___（用α的代数式表示）.【亮点训练】1、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？2、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？3、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D 为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为________ cm．4、如图，四边形ABC D中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°6、如图，是等边三角形，长最小时，的度数是______.如图，在△AB C 中，已知ABC D AD FDE ÐA ．(BM 垂直于a )B ．(AM 不平行BN )C ．(AN 垂直于b )D ．(AM 平行BN )9、五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，如图12l l ∥表示小河甲，34l l ∥表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门。

Ｃ Ｈ Ｕ Ｚ Ｈ ｏ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ ＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ Ｊｌ Ｅ
运 用“ 轴对称’ ’ 解决最短路径问题
刘 军
在学 习 “ 轴 对 称 图形 ” 时， 我 们 经 常 会 枞 Ｑ ＋ Ｑ Ｂ 与ＡＰ ＋ Ｐ Ｂ的大 小 ， 并 说 明理 由． 遇 到 与 最 短 路 径 有 关 的 问题 ， 同学 们 往 往
Ｃｌ
ｈ
、
【 变 式 训 练 】已知
点Ｐ 、 Ｑ是 ＡＡ ＢＣ的 边
ＡＢ、 ＡＣ 上 的点 ， 你 能在
ＢＣ上 确 定 一 点 Ｒ。 使
△Ｐ Ｑ 的 周 长 最 短 吗 ？
图４
【 点拨 】 ＡＰ Ｑ Ｒ 的周长等于Ｐ Ｑ ＋ Ｐ Ｒ ＋ Ｑ Ｒ，
因 为Ｐ ｐ 的长 度 不 变 ，所 以 只要 线 ｆ ￣ ｔ ． Ｐ Ｒ ＋ Ｑ Ｒ 的 和最 小 ， 就 能 使 △ Ｒ的周 长 最 短 ．
＝ 、 已知 一 点在 两 条 相 交直 线 的 内部 例 ２ 如 图５ ， Ｏ Ａ、 Ｏ Ｂ是 两 条 相 交 的 公
（ 作者单位 ： 江 苏省 无 锡 市 天一 实验 学校 ）
６ ０
Ｔ ｎ ｔ ｅ … ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
１ ■ 慧数 掌
点Ｐ ｌ 、 Ｐ ２ ， Ｐ １ Ｐ ２ 分别 交 Ｏ Ａ、 Ｏ Ｂ 于 点 Ｅ、 Ｆ ， 由轴
Hale Waihona Puke 路 一 恫 市 交 汇 于 点 Ｏ， 在
Ｄ Ｂ 的 内 部 Ｃ、 Ｄ
图５
平 分 线 以及 Ｃ Ｄ的 垂 直平分线 ， 交 点 即是 Ｐ 点 的位 置 ．
Ｂ
图 ６
，
处 各 有 一 个 工厂 ． 现 要 修 建 一 个 货 站 Ｐ， 使 货 站 Ｐ到 两 条

利用图形的对称性（轴对称）求最短路径问题一、已知两点求一点例1设A，B两点在直线L的异侧，图-1，在L上找一点M使AM+BM最小。

说明理由。

BLMA图-1例2设A，B两点在直线L的同侧，图-2，在L上找一点M使AM+BM最小。

方法：寻找对称点，运用定理，两点之间直线最短。

ABLMA’图--2二、已知两点求两点例3 设A，B两点位于两相交直线L1、L2所形成的某一夹角内。

图-3，求作M,N使得M,N分别在两相交直线L1、L2上且满足AN+MN+BM最小。

L1B’. AM . BL2NA’图--3例4 设P，Q两点位于锐角 ABC的BC边上，有两动点M,N分别位于另外两边上，图-4，求作M,N使四边形PQNM的周长最短。

P’ BM PQCA N图--4Q’三、已知一点求两点例5 点P位于三角形的某一边上，动点M,N分别位于另外两边上。

图-5，试作M,N使得❒PMN周长最短。

P’ BPMA N CP’’图—5例6 点P位于两相交直线L1，L2所形成的夹角内，动点M,N分别位于两直线上。

图-6，试作M,N使得❒PMN周长最短。

L2PML1N图-6我们将这些情况放在直角坐标系下考虑。

第一种情况：设A,B两点都在第一象限，直线L与X轴重合，M点在X轴上，且使AM+BM最小。

求（1）M点的坐标。

（2）AM+BM的长度。

第二种情况设A,B两点，B点在第Ⅰ象限，M,N分别在Y轴，X轴上，A点分别在第Ⅰ象限，第Ⅱ象限，第Ⅲ象限，第Ⅳ象限时，试求（1）M,N的坐标，使得AM+MN+BN最小，并求出最小值。

（2）两动点M,N到达何处时，四边形AMNB周长最短。

Y训练题1.已知，AB是圆O的直径，P、Q是圆O上的两点，且直线PQ//AB,M是直径AB是上动点，试问：∆PQM周长最短时，M点处于何处？并证明。

A B【思路】由于三角形∆PQM的一边PQ是定长，因此要使它的周长最短就是要求动点M到点P、Q的距离之和最短。

利用图形的对称性，作Q关于直线AB的对称点Q’，连接PQ’，它与AB相交于M即为所求。

龙源期刊网 运用“轴对称”解决最短路径问题作者：刘军来源：《初中生世界·八年级》2014年第10期在学习“轴对称图形”时，我们经常会遇到与最短路径有关的问题，同学们往往在处理这类问题时感到困难. 这类问题通常会转化成“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称的性质是实现这一转化的有效方法之一. 只要我们能把握轴对称的性质，那么问题便迎刃而解.在苏科版八（上）“轴对称图形”一章的课后习题中就有这样一个问题：如图1，点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P. （1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由.【解析】（1）由点B与点B′关于直线l成轴对称可知PB=PB′，则AB′=AP+PB′=AP+PB. （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边”及（1）的结论可知，AQ+QB>AB′=AP+PB.这个问题还可以进一步说明直线l上的点P能使得线段PA+PB的和最小.下面再通过对几个最短路径问题的分析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略，真正能做到融会贯通，一通百通.一、已知两点在一条直线的同一侧例1 （将军饮马）古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点P，才能使路程最短？【点拨】分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1，连接A1B1，分别交OM、ON于点C、D，即得点C、D就是所求的两点.利用“轴对称”解决最短路径问题的关键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的线段转化到同一条直线上，然后用“两点之间，线段最短”来解决. 解决这类问题，还需要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视问题的要求，才能够有效地解决此类问题.（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）。

轴对称解决实际问题（最短路程问题）（1）利用轴对称解决几何极值问题仅仅是轴对称应用的一个方面，比较典型的是平面镜成像、光的反射等问题也经常用到轴对称。

（2）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。

（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。

问题1（分析1）如何用数学的方法解决这个问题？把这条河抽象为一条直线，而把将军的出发地（山脚）和宿营地分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。

（分析2）连结AB ，作AB 的垂直平分线交直线a 于P 点，根据线段的垂直平分线的性质定理有PA ＝PB ，此时PA ＋PB 是否最短？（如图②） (用几何画板的度量及计算功能否定这种作法)(分析3)作A 点关于直线a 的对称点A ′连结P A ′,由轴对称的性质知PA ＝PA ′,那么PA ＋PB ＝PA ′＋PB ，P 点在何处PA ′＋PB 最短？（如图③）由一名学生上讲台拖动P 点，显然当B 、P 、A ′三点共线时PA ′＋PB 最短。

探索得出作法：（如图④）（1）作A 点关于直线a 的对称点A ′. （2）连结BA ′，交直线a 于P 点. P 点即为所求。

如何证明？ (分析4)在直线a 上另取一点P ′，连结PA 、A P ′、B P ′、 P ′A ′，（如图⑤）要证PA ＋PB 最小，由任意性， 只要证 ：PA ＋PB ＜A P ′＋B P ′， 由对称性可知：PA ＝PA ′, P ′A ＝P ′A ′只要证：PA ′＋PB ＜P ′A ′＋B P ′只要证： A ′B ＜P ′A ′＋B P ′而△BA ′P ′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。

a · · B A 图① a · · B A 图② P a · · B A 图③ A ′ · · P a · · B A 图④ A ′ · P a · ·B A 图⑤A ′ · P P ′问题2、如图，已知牧马营地在P 处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。

利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、以以下列图，在直线异侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。

2、以以下列图，在直线同侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。

解析：依照“两点之间线段最短〞，可知：连接 AB，与直线的交点即为 P 点 . 此根本种类为：一线〔直线〕两定点〔点 A、 B〕。

解析：作点 A 关于直线的对称点 A′，连接 AA′，那么直线就是线段 AA′的垂直均分线，依照“垂直均分线上一点到线段两端点的距离相等〞可得，直线上任一点到点 A 的距离都等于到点A′的距离。

事实上，这个问题就可以转变为：在直线异侧各有点A′、 B, 在直线上找一点 p，使 PA′ +PB 最小。

即：一线两定点的问题。

由〔 1〕得，连接 BA′，与直线的交点即为点P。

解析：由题意知：第一找二、典型例题：点 B 也许点 M关于 AC所〔1〕、以菱形为媒介的最短距离问题：在直线的对称点。

由菱形以以下列图，菱形 ABCD中，∠ BAD=60°， AB=4，点 M是 AB中点，的轴对称性不难发现：点P 是对角线 AC上的一个动点，那么 PM+PB的最小值是多少？D即是点 B 关于直线 AC的对称点，那么连接DM 与线段 AC 的交点即为P 点。

那么 PM+PB的最小值实质上就是线段 DM的长度解析：由题意知：第一找〔2〕、以正方形为媒介的最短距离问题：点 D 也许点 E 关于 AC 所以以下列图，正方形 ABCD 边长为 2，△ ABE为等边三角形，且点 E 在直线的对称点。

由正方在正方形ABCD内部，在对角线 AC上找一点 P，使 PD+PE最小，形的轴对称性不难发现：那么这个最小值为多少？点 B 即是点 D关于直线 AC的对称点，那么连接BE 与线段 AC的交点即为P 点。

那么 PD+PE的最小值实质上就是线段BE 的长度，BE=2。

〔3〕、以圆为媒介的最短距离问题：以以下列图，⊙ O的半径为2，点 A、 B、 C 在⊙ O上，OA⊥ OB，∠AOB=60°， P 是 OB上一动点，求PA+PC的最小值解析：由题意知：第一找点 A也许点 C关于 OB所在直线的对称点。

轴对称--最短路径问题
解题思路：（1）作两点任意一点的对称点
（2）将对称点与另一点进行连线，连线与原直线的交点为动点的位置
（3）对称点与另一点连线的线段长度是所求线段之和的最小值（依据是“两点间线段最短”和“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”）
一、两点在直线同侧模型
例题1..如图，A为马棚，B为帐篷，牧马人某一天要从马棚牵出马，到河边给马喝水，然后回到帐篷请你帮助他确定这一天的最短路线。

变式1.（2008•深圳）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是．
变式2..如图，在正方形ABCD中，AD=8，DM=2，N是AC上一动点，求DN+MN的最小值
变式3.如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．
变式4.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．。

利用轴对称破解最短路径问题第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识?轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。

（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。

）三、重难疑点?轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB 的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，PB=PB , AB =AP+PB , AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PBAN+NB=AN+NB> AB', ? AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。

如何利用对称轴原理，解决最短路径问题大家好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到头条号学习！今天是星期六，我想分享一篇八年级的内容:如何利用轴对称知识解决最短路径问题。

最短路径问题一般有两种情况。

1.求已知直线上一点与直线异侧两点所连线段的和的最短问题:这类问题，我们只要连接这两点，根据两点之间直线最短的原理，所得线段与直线的交点，即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时的点C为直线l与线段AB的交点2.求已知直线上一点与直线同侧两点所连线段的和的最短问题：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得的线段与该直线的交点即为所要确定的点。

如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一个点C，使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求的点C；或者先作点A关于直线l的对称点A'，连接BA’，BA'与直线l的交点即为所求的点C.我们在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径。

下面举例说明轴对称变换在解决距离和最短问题时的应用，解这些题的关键是要把握好“两点之间，线段最短”的原理。

例1.[解析](1)因为AB在EF同侧，作点A关于EF的对称点A'；(2)连接A'B交EF于点C，则点C为所求的点，此时，△ABC的周长最短.由于AB为定长，问题转化为在EF上求一点C，使AC+BC最短。

[解答]例2.[解析]要使总路程最短，需要将三条线段设法转化到一条线段上，根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路l1的对称点A，作B关于公路Ⅰ2的对称点B'，连接AB与公路Ⅰ1、Ⅰ2分别相交于点C、D，然后沿A→C→D→B走才能使总路程最短.[解答]求最短离问题，在实际生活中的应用非常广泛，如水泵站的选址，煤气管道的铺设，天桥的选址等。

8.3 轴对称之最短路径问题破解策略最短路径问题通常会转化为“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称是实现这一转化的有效方法之一．常见的题型如下．1．两点在一条直线异侧如图，点A ，B 在直线l 的两侧．(1)在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作法：如图，连接AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．2．两点在一条直线同侧如图，点A ，B 在直线l 的同侧．(1)在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．作法：如图，作点B 关于直线l 的对称点B ，连接AB 1，与直线l 的交点即为所求点P ．(2)在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．作法：如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线，与直线l 的交点即为所求点P ．llll(3)在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最大．作法：如图，作：直线AB ，与直线l 的交点即为所求点P ．(4)在直线l 上找两点P 、Q (PQ 的长度等于已知线段a 的长度)，使得AP ＋PQ ＋QB 是最小．作法：如图，先将点B 向若平移a 个单位长度到点B 1，再作B 1关于直线l 的对称点B 2，连接AB 2，与直线l 的交点即为所求点P ，然后将点P 向右平移a 个单位长度，所得点即为点Q ．3．一点在角的内部如图，点P 在∠AOB 的内部．(1)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N 使得PM ＋MN ＋NP 最小．作法，如图，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，与OA ，OB 的交点即为所求的点M 、N ．(2)分别在边OA ，OB 上确定点M ，N ，使得PM ＋MN 最小．作法：如图，作点P 关于OA 的对称点P 1，过点P 1作OB 的垂线，与OA ，OB 的交点即为所求的点M ，N ．ll P al例题讲解例1 如图，A ，B 两点在直线MN 的同侧，AC ∠MN 于点C ，BD ∠MN 于点D ，点P 在直线MN 上运动，若AC ＝16，BD ＝10，CD ＝8，则PA PB -的最大值等于＿＿＿＿．分析 显然PA PB -的最大值即为线段AB 的长，只需过点B 作AC 的垂线，构成直角三角形求AB 的长即可．解答例2 如图，等边∠ABC 的面积为P 、Q 、R 分别为边AB ，BC ，AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是＿＿＿＿．分析 点R 在AC 上，而点P 、Q 在AC 的同侧，故作点P 关于AC 的对称点P '，当点P '，R ，Q 三点共线且P Q '⊥BC 时，PR ＋QR 取最小值．解答例3 如图，AB ∠BD 于点B ，DE ⊥BD 于点D ，C 为线段BD 上一动点，连接AC ，CE ，已知AB ＝5，DE ＝2，BD ＝12，设CD ＝x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)求AC ＋CE 的最小值；ABP C D M NAB CPRQ(3)解答例4 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC ，CD 上各找一点，分别为点M ，N ，使得∠AMN 的周长最小，则此时∠AMN ＋∠ANM 的度数为＿＿＿＿．分析 点A 在∠BCD 内部，作点A 关于∠BCD 两边的对称点A 1，A 2，连接A 1A 2，则A 1A 2即为∠AMN 周长的最小值．解答例5 如图，长为1的线段AB 在x 轴上移动，点C (0，1)，D (0，2)在y 轴上，则AC ＋BD 的最小值是＿＿＿＿．分析 AB 为x 轴上的定线段，点C ，D 在x 轴同侧，故作点C 关于x 轴的对称点C '，将点D 沿x 轴负方向平移AB 长至点D '，则C D ''的长即为AC ＋BD 的最小值．解答：例6 如图，∠MON ＝30°，点A ，D 分别在OM ，ON 上，且OA ＝2，OD ＝4，C ，B 分别为OM ，ON 上任意一点，则折线AB －BC －CD 的最短长度为＿＿＿＿．分析 线段和差的最值问题通常都转化为“两点之间线段最短”的问题，可利用轴对称将分散的线段变成两定点间的折线，然后再化“折”为“直”即可．解答例7 如图,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠B ＝30°,E ,F 是线段AB 的三等分点,P ,Q 分别是线段BC ,AC 上的动点,若AC ＝3,则四边形EPQF 周长的最小值是解答例8 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且3AE ＝ EB ,有一只蚂蚁从点E 出发,经过点F ,G ,H ,最后回到点E ,则蚂蚁所走的最短路程是解答进阶训练1.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ＝4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,在CD 上找一点P ,使P A ＋PE 最小，则这个最小值是2.如图2,P 为∠AOB 内部的一点,且OP ＝2,E ,F 分别是OA ,OB 上的动点,若△PEF 周长的最小值等于2,则∠AOB ＝3.已知y =y 的最小值是4.如图3,在平面直角坐标系中有四个点A (－6,3),B (－2,5),C (0,m ),D (n ,0),当四边形ABCD 的周长最短时,m ＋n ＝5.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∠BAC的平分线交BC于点D,若P,Q分别是AC,AD 上的动点,求CQ＋PQ的最小值.6.已知三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),且点A在正比例函数12y x的图象上,P为x轴上的动点，当△OAP与△CBP周长之和取最小值时,求点P的坐标.7.如图5,等边△ABC的边长为2,D是边AB的中点,P,Q分别是边BC,AC上的动点,当P,Q的位置在何处时,才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值.8.如图6,正方形ABCD的边长为4,E为边CD的中点,点F在边BC上,且满足BF＝3CF,M,N均为对角线BD上的动点,且MN求四边形EMNF周长的最小值.9.如图7,在矩形ABCD中,点E在对角线AC上,满足CE＝3AE,P,Q分别为AB,AC上任意的点,若AC＝2,BC＝1,求折线EP＋PQ＋QB长的最小值.10.如图8,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作⊙A,⊙B ,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,求PM＋PN的最小值.。

数学教学（2）——轴对称在解复杂最短路径问题中的应用最短路径问题是初中教学的一个难点，无论是简单问题还是复杂问题，采用的方法是作轴对称变换，转化为：①两点之间，线段最短；②垂线段最短.下面我们就一个很著名的定理加以说明.定理内容：在一个锐角三角形内部作一个内接三角形（三个顶点分别都在原三角形的边上），以三个垂足为顶点的三角形周长最小.且最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）.如图1所示. △DEF内接于锐角△ABC，当CD⊥AB，BF⊥AC，DE⊥BC时，△DEF的周长最小.图1我们先将D固定在边AB上任意一点，找到在这点不动的前提下，E和F的位置，求出最短周长与某条线段的关系分别作D关于直线AC和BC的对称点D'和D''，连接D'D'',分别交AC，BC于点F和E很明显，此时的△DEF的周长最小，最小值是D'D''的长度，如图2所示.图2根据三角形两边之和小于第三边，得：D'D''<AD'+AD''根据轴对称性质，得：AD=AD'=AD''所以D'D''<2AD因此，△DEF周长的最小值，是在AD最小时取得，根据垂线段最短原则，当AD⊥AB时，AD最小，此时△DEF周长最小. 如图3所示.图3下面我们证明，BF⊥AC，AE⊥BC如图3，由轴对称可知：标∠1的两个角相等，标∠2的两个角相等，标∠3的两个角相等，标∠7的两个角相等因为CD'=CD''，所以∠1=∠2,因为AD⊥AB，所以∠3=∠4，（等角的余角相等）根据对顶角相等，所以∠7=∠8所以可以得到：∠FDB+∠FD''B=180°根据对角互补的四边形四点共圆，又因为BD=BD''所以∠5=∠6（等弦，则等弧，则相应的优弧或劣弧所对圆周角相等）又∠7=∠8所以∠5+∠7=90°，即BF⊥AC同理AE⊥BC根据前面所证：∠1=∠2，∠5=∠6，可知AD、BF是△DEF的内角平分线即最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）故而得证.写在最后：几何美而有刺，代数枯而多思，不要老想寻捷径而走，学数学真的不要想弯道超车，驾驶技术不过关，会容易翻车的！。