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考点：函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f （x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．2、函数的周期性令a , b 均不为零，若：（1）函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|（3）函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|（4）函数y = f(x) 存在f(x + a) ===> 函数最小正周期T=|2a| （5）函数y = f(x) 存在f(x + a) = ==> 函数最小正周期T=|4a|。
函数的奇偶性与函数的图象一、复习目标掌握函数的奇偶性的判断方法以及图象的对称性。
二、考纲要求函数的奇偶性：B 函数的图象：B 三、例题精讲例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(=（3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f（5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()(（7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。
若()2-=a f ，则实数=a ____.（3）若函数)(x f 是奇函数，且在区间),0(+∞上是单调增函数，又,0)2(=f 则0)(<x xf 的解集为_______________________.（4）已知函数7)(3++=bx ax x f ，,3)5(=f 则=-)5(f _______________.（5）已知)(),(x g x f 均为奇函数，若2)()()(++=x bg x af x H 在区间),0(+∞上有最大值5，则)(x H 在区间)0,(-∞上的最小值为___________________.（6）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)2(2a f -)(a f >，则实数a 的取值范围是_________.（7）已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-.若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.（8）已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f =，则()2006f 的值为 .题型三：作函数的图象 例3作出以下函数的图象 （1） y =|x 2-2x |+1 （2）23x y x -=- （3）|12|-=xy(4)|1|lg +=x y (5)xx y ln 1= (6)||ln x ey =变式：（1）为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数y=lgx 的图象上所有的点向___________平移3个单位长度，再向___________平移___________个单位长度. （2）已知)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则，)12(+x f 的图象关于直线 对称.（3）对任意实数x ，设)(x f 是42,2,14+-++x x x 三个函数中最小者，那么)(x f 的最大值为 .题型四：应用函数的图象解题例4方程x x sin lg =的实根有多少个？变式：（1）x x sin ||lg =的实根有________个.（2） 试讨论方程kx x =-|1|的实根的个数.（3） 已知不等式,0log 2<-x x a 当)21,0(∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是___________.（4）设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 .（5）已知函数4)(x ax x f -=，]1,21[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421≤≤k ，则实数a 的值是 . （6）已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出以下四个命题： ① 存有实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存有实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存有实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存有实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为____ _____． 题型五：函数性质的综合应用例5 已知函数)(x f 对一切R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f +=+. （1） 求证：)(x f 是奇函数；（2） 若0)293()3(<--+⋅xxxf k f 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．变式：（1）设曲线C 的方程是x x y -=3，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移)0(,≠t s t 个单位长度后得到曲线1C .①写出曲线1C 的方程；② 证明：曲线C 与1C 关于点,22t s A ⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③ 若曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：t t s -=42． （2）设)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数，)(x g 图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ①求)(x f 的解析式；②对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：||2|)()(|2121x x x f x f -<-；③ 对于任意的]1,0[,21∈x x 且21x x ≠，求证：1|)()(|21≤-x f x f . 四、作业1.若函数ax x f +=1)(为定义域内的奇函数，则实数=a ___________. 2.定义在实数集上的偶函数)(x f y =在),0(+∞上单调增，且满足)2()(f a f <，则实数a 的取值范围是__________________.3.已知函数)(x f y =是R 上奇函数，且当x >0时，x x x f 2)(2+-=，则函数)(x f y =的表达式是________________.4.设奇函数)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，且0)2(=f ，则不等式)()(≥--xx f x f 的解集为___________.5．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. 6.已知()f x 是奇函数，满足()()2f x f x += ，当[]0,1x ∈时，()21xf x =- ，则21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是 .7.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0)()(2>-'xx f x f x 0x >（），则不等式0)(2>x f x 的解集是 ．设()x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若()()()()3212,11-+=>a a f f ，则a 的取值范围是则____________.8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且 ()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为 ．9.定义在R 上的函数)(x f ，给出以下四个命题：（1）若)(x f 是偶函数，则)3(+x f 的图象关于直线3=x 对称 （2）若),3()3(x f x f --=+则)(x f 的图象关于点)0,3(对称（3）若)3(+x f =)3(x f -，且)4()4(x f x f -=+，则)(x f 的一个周期为2 （4）)3(+=x f y 与)3(x f y -=的图象关于直线3=x 对称 其中准确命题的序号为 .10.（1）减函数)(x f y =是定义在]1,1[-上的奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的取值范围是.（2）设函数f （x ）=x 3+2x 2,若函数g (x )的图象与f （x ）的图象关于点（2，1）对称，求函数g (x )的解析式.答案例1.试判断以下函数的奇偶性（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(= （3）||)(x x f = （4）2)1()(-=x x f （5）x x x f -+-=44)( （6）xxx x f -+-=11)1()( （7）3|3|1)(2-+-=x x x f变式：（1） 判断函数 )0(,2≥+-x x x 的奇偶性. =)(x f)0(,2<+x x x 奇函数（2）证明：函数f （x ）=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a （其中a 为常数）为偶函数. ［解答］易知此函数的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），关于原点对称.∵f （-x ）=1121212212x x x x a x a -⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2111212x x x a x ⎛⎫-+=-+= ⎪-⎝⎭11212x a -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=f (x )∴f （x ）11212xx a ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭（其中a 为常数）为偶函数.题型二：根据函数的奇偶性求值例2. （1）若=)(x f 121x-+a 是奇函数，则a =___________. a =12 （2）已知()x f 为R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1+=x x x f 。
