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第二章2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布(一)情境引入导学美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁．就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57、61、57、57、58、57、61、54、68、51、49、64、50、48、65、52、56、46、54、49、51、47、55、55、54、42、51、56、55、51、54、51、60、62、43、55、56、61、52、69、64、46、54、48. 这44个数据中最大值与最小值的差是多少？最大值最小值样本分组频率与组距的比值各小长方形的面积表示等于12．频率分布折线图、总体密度曲线(1)频率分布折线图的定义把频率分布直方图________________________用线段连接起来，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线如果样本容量________，分组的组距________，则频率分布直方图实际上越来越接近于__________，它可以用一条光滑曲线y ＝f (x )来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．各个长方形上边的中点不断增大不断缩小总体的分布十位个位没有原始信息的损失数据信息记录与表示命题方向1 频率分布表和频率分布直方图例1.从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12，[90,100)，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．[分析] 决定组数与组距，计算频率、列表与绘图.解 (1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100)80.16合计50 1.00根据表格画出如下的频率分布直方图：(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%.跟踪训练1.考察某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168165 171 169 167 169 151 168 170 168160 174 165 168 174 159 167 156 157164 169 180 176 157 162 161 158 164163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．解 确定组距与组数是解决“样本中的个体取不同值较多”这类问题的出发点．(1)最低身高151，最高身高180，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为3，组数为10，列表如下：分组频数频率[150.5,153.5)10.025 [153.5,156.5)10.025 [156.5,159.5)40.1 [159.5,162.5)50.125 [162.5,165.5)80.20 [165.5,168.5)110.275 [168.5,171.5)60.150 [171.5,174.5)20.050 [174.5,177.5)10.025 [177.5,180.5)10.025合计40 1.0(2)频率分布直方图如图所示．命题方向2 茎叶图的绘制例2.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357、359、367、368、375、388、392、399、400、405、412、414、415、421、423、423、427、430、430、434、443、445、445、451、454品种B：363、371、374、383、385、386、391、392、394、394、395、397、397、400、401、401、403、406、407、410、412、415、416、422、430(1)作茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？跟踪训练2.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下：(单位：分)甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示这两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．命题方向3 直方图、茎叶图的综合应用例3.心理教育专家对某班50人进行智力测验，其得分如下：48、65、52、86、71、48、64、41、86、79、71、68、82、84、68、64、62、68、81、57、90、52、74、73、56、78、47、66、55、64、56、88、69、40、73、97、68、56、67、59、70、52、79、44、55、69、62、58、32、58.(1)这次测验成绩的最大值和最小值是多少？(2)将[30,100]平均分成7个小区间，试画出该班学生智力测验成绩的频数分布直方图；(3)分析这个频数分布直方图，你能得出什么结论？(4)画出并分析这50人成绩的茎叶图，你能得出什么结论？解 (1)这次测验成绩中最小值为32，最大值为97；(2)七个区间分别为[30,40)、[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)，[90,100)，每个小区间内的长度是10，统计出各小区间内的数据频数，列表如下：分组[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数161214962频数分布直方图如下：(3)可以看出，该班智力测验成绩大体上呈两头小、中间大、左右基本对称的钟形状态，说明该班学生智力特别好或特别差的是极少数，而智力一般的是多数，这是一种最常见的分布．跟踪训练3.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)、[5,10)、…、[30,35)、[35,40)时，所作的频率分布直方图是( )【答案】A[辨析] 错误原因在于对频率分布直方图理解不正确，图中标注的0.5并不是第五组的频率，0.5×0.3＝0.15才是频率．(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.当堂检测1.下列关于频率分布直方图的说法正确的是( )A．直方图的高表示取某数的频率B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值【解析】要注意频率分布直方图的特点．在直方图中，纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积．【答案】D2．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C.21.5 D．23【解析】根据茎叶图的显示易知中位数为20.【答案】B3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．200、20B．100、20C．200、10D．100、10【解析】该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.【答案】A【答案】8 0.185．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．【解析】本题考查了统计中的频率分布直方图等有关知识．成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2故3 000名学生中小于60分的学生数为：3 000×0.2＝600.【答案】6006.为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？。
