数学与自然科学类课程.pdf

第3章数学与自然科学类课程3.1 高 等 数 学《华盛顿协议》指出，复杂工程问题需要进行工程原理的深入分析，构建合适的抽象模型，并使用综合的方法才能求解。

在新形势下，为了提高教学质量以达到工程教育国际标准，应大力推进“新工科”教育工作。

本科工程教育的目标就是培养学生解决复杂工程问题的能力，因此，要求学生应同时具备数学与自然科学基础理论和计算机程序设计的综合能力，最终达到《工程教育认证标准》所给出的要求。

“高等数学”课程又名“微积分”，主要讨论连续时间动态系统建模方法，是一门理论性很强的课程。

作为面向计算机类专业解决复杂工程问题能力培养的数学与自然科学类课程，“高等数学”的教学内容符合《华盛顿协议》关于复杂工程问题的基本特征，其教学目标支撑《工程教育认证标准》所给出的毕业要求1～4和12。

本课程以能力培养为导向，按照培养计算机专业的工程类人才的需要规划教学环节和学生能力评价，总学时162，分两个学期讲授，第一学期可讲授3.1.3节的前6个部分，第二学期可讲授3.1.3节的后6个部分。

面向其他类型学生培养时可根据本大纲要求对教学环节和考核要求进行适当调整。

3.1.1 课程简介“高等数学”是计算机类专业学科基础课程之一，它是数学的一个较大的分支，研究连续时间动态系统建模的方法及理论，是解决复杂工程问题的重要理论基础。

其主要内容是学习处理连续时间动态系统的微分和积分方法，内容广泛且理论性很强。

通过学习本课程，使学生掌握处理连续时间动态系统中科学和工程问题的理论、方法和技能，提升其解决复杂工程问题的能力。

数学理论与工程技术紧密相关，以各种形式应用于工程领域。

在求解工程问题时所构建的各种抽象数学模型中，连续时间动态系统是最常见的。

高等数学是研究借助函数极限以讨论系统随连续时间变化的微积分理论及其求解方法的课程。

本课程以函数为研究对象，要求学生掌握函数、函数的极限、函数的微分和函数的积分等重要概念、基本理论和基本计算方法。

通过本课程内容的学习，要求学生学会处理连续时间动态系统的建模方法，逐步培养学生抽象思维能力、严密的逻辑思维能力、空间想象能力、准确的运算能力和综合运用所学知识分析和解决复杂工程问题的能力。

3.1.2 课程地位和教学目标1. 课程地位本课程是计算机类专业必修的基础课程，属于数学与自然科学类课程。

本课程的学习·23·培养计算机类专业学生解决复杂工程问题的能力·24· 目的是让学生学习处理连续时间动态系统的数学理论和方法，以培养学生解决复杂科学与工程问题的能力。

因此，本课程在本科工程教育中起着举足轻重的作用。

2. 教学目标通过本课程的学习，学生应掌握一元及多元函数的极限、微分和积分的基本理论和计算方法，包括函数的级数和简单的微分方程知识，深入理解其在复杂工程问题中的作用，并能正确计算函数的极限以及微积分。

具体来说，学生通过学习最终应达到如下目标：目标1：掌握函数微积分的基本理论和方法，为解决复杂工程问题奠定数学基础，为毕业要求1的实现提供支持。

目标2：能够对复杂工程问题进行分析，识别其本质的数学问题，建立连续时间动态系统的数学模型，并选择合适的计算方法求解，为毕业要求2的实现提供支持。

目标3：能够对一些复杂工程问题进行分解，针对分解的各子问题选择合适的微积分方法，综合运用微积分方法，提出解决整体问题的综合方案，对复杂工程问题进行求解，为毕业要求3的实现提供支持。

目标4：能够对复杂工程问题根据微积分的理论和方法进行研究，设计针对同一问题的多种方法进行建模，对得到的计算结果进行对比分析，提升解决综合性复杂工程问题的能力，为毕业要求4的实现提供支持。

目标5：通过布置综合性及有一定难度的课外作业，培养学生主动阅读文献和自主学习的能力，为毕业要求12的实现奠定基础。

3.1.3 课程教学内容及要求第1章 函数与极限集合与映射的定义，函数的特性（有界性、单调性、奇偶性和周期性），反函数与复合函数的定义，函数的运算，基本初等函数的性质与图形；数列极限的ε-N 定义，函数极限的定义，左右极限，无穷小与无穷大，无穷小与函数极限的关系，极限四则运算法则，极限存在准则，两个重要极限1sin lim 0=→x x x 和e 11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→x x x ，无穷小的比较，等价无穷小的概念；函数连续定义，函数间断点及其分类，连续函数四则运算，反函数的连续性，复合函数的连续性，基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的有界性与最大值最小值定理、零点定理及介值定理。

重点：极限的定义、极限四则运算法则；连续的概念和性质。

难点：极限的定义、连续的概念。

函数反映了客观世界的运动与实际的量之间的依赖关系，是后续章节学习的基础。

本部分除了介绍函数的基础知识外，还需要介绍函数在复杂工程问题中的应用，例如在图像JPEG2000压缩中要用到小波函数，在电杆架设中需要对悬链线函数进行参数计算，在机器学习中支持向量机要用到高斯核函数，在深度学习中要用到激活函数。

同时还应注重培养学生把复杂工程问题转换为数学函数模型的能力。

第2章 导数与微分导数的定义，导数的几何意义，可导性与连续性之间的关系，函数求导法则（和差积商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数的求导法则），基本导数公式，高阶导数，隐第3章数学与自然科学类课程函数的导数，参数方程所确定的函数求导；微分的定义，微分的几何意义，基本微分公式与微分运算法则，一阶微分的形式不变性，微分在近似计算中的应用。

重点：导数和微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；导数的四则运算法则和复合函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数。

难点：导数和微分的概念；隐函数和参数式所确定的函数的导数。

本部分要明确导数与微分的区别，除了学习导数与微分的基本知识以外，应介绍导数与微分的历史和其在科学和工程计算中的重要性。

导数在物理学、工程学、天文学、经济学等学科中都是研究问题的首选工具。

在教学中要注重引导学生在求解复杂工程问题时，在与运动有关联的变量研究中引入导数这个工具，在讲授具体方法时，应选择合适的工程问题进行讨论，例如人机界面设计中设备物理表面设计问题，即如何设计高阶导数来满足设备表面的舒适度与美感，引导学生从解决工程问题的角度出发学习导数这个工具，以提升其解决复杂工程问题的能力。

第3章微分中值定理与导数的应用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理，洛必达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理与泰勒公式，函数和曲线性态的研究（函数单调性的判定，曲线的凹凸性与拐点，函数的极值及其求法，最值问题，函数图形的描绘），弧微分公式。

重点：罗尔定理和拉格朗日定理；洛必达法则求未定式的极限；泰勒公式；用导数判断函数的单调性和求极值、最值的方法。

难点：洛必达法则求未定式的极限；泰勒公式。

本部分将微分和导数的概念应用于关于函数的一些具体问题，要求学生能够理解罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理，理解洛必达法则，会用洛必达法则求未定式的极限，理解泰勒中值定理，掌握泰勒公式和麦克劳林公式。

理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求解最大值和最小值的应用问题；会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会综合利用导数知识描绘函数的图形；了解弧微分的概念，了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

本部分需要强调导数及微分的实际工程应用，让学生理解应用导数和微分知识解决具体的复杂工程问题的一些技巧。

本部分是导数的具体应用。

在教学中，要注重把解决复杂工程问题中需要的方法引入到课堂中，强调导数及微分的实际工程应用，让学生理解应用导数和微分知识解决具体的复杂工程问题的一些技巧。

例如在建筑、桥梁、船舶结构设计领域广泛应用的工字钢，在同样的载荷条件下，怎样设计工字钢的剖面几何形状才能使它的重量最轻，最能节省材料；又如在火车轨道设计中曲率的计算等。

第4章不定积分原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分（有理函数，能化为有理函数的三角函数和无理函数）。

重点：不定积分的基本公式；不定积分的换元法与分部积分法；有理函数的积分。

难点：不定积分的换元法与分部积分法。

本部分重点在于不定积分的计算，同时还应介绍不定积分的历史及其在科学和工程计算中的重要性，在教学中要注重引导学生在复杂工程问题和变量不断变化的问题中引入不·25·培养计算机类专业学生解决复杂工程问题的能力定积分这个工具。

例如在工程领域，在受力不断变化的情况下计算水压力、结构应力等，都要用到不定积分。

第5章定积分定积分的定义及性质，积分上限的函数及其求导定理，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式；定积分的换元法与分部积分法，反常积分。

重点：定积分的概念及性质；积分上限的函数及其求导定理；牛顿-莱布尼茨公式；定积分的换元法与分部积分法；两类反常积分。

难点：定积分的概念、积分上限的函数及其求导定理。

通过定积分的学习，要求学生能够理解定积分的概念，掌握定积分的计算，同时还应介绍定积分在科学和工程计算中的重要性，在教学中要注重引导学生在复杂工程问题和变量不断变化的问题中引入定积分这个工具。

例如在工程应用中，求不规则物体的面积要引入定积分进行计算，不规则设备运动求行程也要引入定积分进行计算；再例如在工程测算和施工计算中，为了预算水泥和沙石的数量，桥梁施工前要计算桥墩的体积，楼房施工前需要计算占地面积和墙面的面积，打地基时考虑变力做功等问题，均要引入定积分进行计算。

第6章定积分应用定积分的元素法，定积分在几何上的应用（平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积已知的立体的体积，平面曲线的弧长）。

重点：定积分的元素法。

难点：定积分的元素法。

本部分是定积分的具体应用，实用性较强，在教学中，要注重把解决复杂工程问题需要的方法引入课堂，强调定积分思想在实际问题中的应用，让学生理解利用定积分思想解决复杂工程问题的方法。

在讲授具体方法时，应选择合适的工程问题进行讨论，例如土木工程中的异形体工程量计算或者石油工程应用、流体力学计算问题等，目的是引导学生从工程的角度出发去学习具体方法，以提升其解决复杂工程问题的能力。

第7章微分方程微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程；齐次方程；可化为齐次方程的方程，一阶线性微分方程，线性方程；伯努力方程，可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程，二阶线性微分方程举例；线性微分方程的解的结构；常数变易法，常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程，微分方程的幂级数解法，常系数线性微分方程组解法举例。