【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：4.2.2 对数运算法则

4.2.2对数运算法则(教师独具内容)课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的化简、求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数.教学重点：对数运算法则、换底公式.教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.知识点一对数运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，(1)□01log a(MN)＝log a M＋log a N；推广：□02log a(N1N2…N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(k∈N＋)；(2)□03log a Mα＝αlog a M；(3)□04log a M N＝log a M－log a N.知识点二对数的换底公式(1)log a b＝□01log c blog c a，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.(2)转换成自然对数或常用对数log a b＝□02ln b ln a＝□03lg b lg a.1．对数运算性质口诀积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．2．换底公式的常用推论(1)log an b n＝log a b；(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下：log a b·log b c·log c d＝lg blg a·lg clg b·lg dlg c＝lg dlg a＝log a d.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)log a(xy)＝log a x·log a y.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得log a b＝log(－2)blog(－2)a.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log325－log35＝________.(2)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.答案(1)log35(2)3(3)a b题型一对数运算法则的应用例1若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④log a xlog a y＝log axy；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥log a x＝－log a 1 x；⑦log a xn＝log anx；⑧log a x－yx＋y＝－log ax＋yx－y.其中式子成立的个数为() A．3 B．4 C．5 D．6[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x －log a y＝log a(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴log a(xy)＝log a x·log a y不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24log22＝2≠log242＝1，∴log a xlog a y＝log a xy不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(log a x)n＝log a x n不成立；⑥成立，由于－log a1x＝－log a x－1＝log a(x－1)－1＝log a x；⑧成立，由于log a x－yx＋y＝log a⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋yx－y－1＝－log ax＋yx－y.[答案] A例2化简：(1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2；(3)log28＋43＋log28－4 3. [解]＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(3)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2.利用对数运算法则解决相关问题的思路(1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a＝－lg a 等．计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.题型二 换底公式的应用例3 (1)用log a b 表示log an b n 和log am b n (m ≠0，n ≠0)； (2)计算：(log 85＋log 25)(log 54＋log 258)；(3)已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 89.8的值． [解] (1)log an b n＝lg b n lg a n ＝n lg b n lg a ＝lg blg a ＝log a b ；log am b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝nm log a b .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 5lg 8＋lg 5lg 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4lg 5＋lg 8lg 25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 53lg 2＋lg 5lg 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg 2lg 5＋3lg 22lg 5 ＝23＋12＋2＋32＝143.(3)log 89.8＝lg 9.8lg 8＝lg 72×210lg 23＝2lg 7＋lg 2－13lg 2＝2b ＋a －13a.换底公式的作用换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e 为底的常用对数或自然对数．(1)计算：(log 43＋log 83)lg 2lg 3； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b .又∵log 189＝a ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－a. 解法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b . 又∵log 189＝a ，于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 解法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.题型三 与对数有关的条件求值例4 (1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a ，b 表示log 830； (2)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值． [解] (1)∵lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴log 830＝lg 30lg 8＝lg 3＋lg 103lg 2＝b ＋13a .(2)对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636， 即x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，1y ＝log 62， ∴2x ＋1y ＝log 63＋log 62＝log 66＝1，即2x ＋1y ＝1.与对数有关的条件求值问题的解题技巧(1)通过指数式化对数式求出x ，y ，再代入所求式子中进行对数运算． (2)对等式两边取对数，是一种常用的技巧，一般地给出的等式以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值． 解 解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ， ∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0， ∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ，∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t.∵1 x ＋1y＋1z＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.1．若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，则下列各式不恒成立的是()①log a x2＝2log a x；②log a x2＝2log a|x|；③log a(xy)＝log a x＋log a y；④log a(xy)＝log a|x|＋log a|y|.A．②④B．①③C．①④D．②③答案 B解析∵xy>0，∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立，故选B.2．计算log916×log881的值为()A．18 B.118 C.83 D.38答案 C解析log916×log881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C.3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝()A.a＋ba B.a＋bb C.aa＋bD.ba＋b答案 B解析log36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a＋bb，故选B.4．已知log a2＝m，log a3＝n，则log a18＝________(用m，n表示)．答案m＋2n解析log a18＝log a(2×32)＝log a2＋log a32＝log a2＋2log a3＝m＋2n. 5．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)已知log35＝m,3n＝7，用m，n表示log3245.解(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)由3n＝7，得log37＝n，∴log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.。

4.2.2 对数运算法则自主预习复习回顾问题1 对数的定义及性质有哪些?问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗?问题3 指数的运算法则有哪些?课前自测1.用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)√x 23= ;(2)1√a3= ;(3)√x√y 23= .2.用对数的形式表示x. (1)10x =25;(2)5x=6; 3.求值.(1)log 218;(2)log 48;(3)lg 1+lg 10+lg 100.4.解方程.(1)log 7(log 3x )=1;(2)(12)x 82x=4.课堂探究探究一 对数的运算法则 【证明运算法则一】log a (MN )=log a M+log a N ,a>0且a ≠1.请同学们写出探究结论: (1) (2) (3)探究二 运算法则的应用例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x 2√y√z3.例2 求(lg 2)2+lg 20×lg 5的值.探究三 证明、应用换底公式阅读课本第22~23页,讨论公式的证明并解决问题. 例3 求log 89×log 2732的值.变式训练求log 2125×log 38×log 519的值.课堂练习(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36.(2)已知log 32=a ,3b=5,用a ,b 表示log 3√30.课堂小结(1) (2)核心素养专练【作业A 】基础练习 练习A 第4,5题. 练习B 第3,4,5题. 【作业B 】提升练习 限时20分钟完成. 1.化简求值.(1)-log 2log 2√√√2;(2)log 48-lo g 193-lo g √24;(3)log 43log 925log 58;(4)(log 25+log 415)(log 52+log 2512).2.已知log 189=a ,18b=5,则log 3645= .(用a ,b 表示) 3.设3a=4b=36,求2a +1b的值.参考★答案★自主预习复习回顾:略 课前自测: 1.(1)x 23(2)a -13(3)x 12y -232.(1)x=lg 25 (2)x=log 563.(1)-3 (2)32(3)3 4.(1)x=37(2)x=25课堂探究探究一:略例1 (1)log a x+log a y-log a z (2)3log a x+5log a y (3)2log a x+12log a y-13log a z例2 原式=(lg 2)2+(2lg 2+lg 5)·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1.例3 log 89×log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=109. 变式训练原式=12 课堂练习(1)a-1 (2)12a+b 2+12课堂小结 略核心素养专练作业A 略 作业B1.(1)3 (2)-2 (3)32(4)142.a+b2-a3.a=log 336=lg36lg3,b=log 436=lg36lg4,则2a +1b =2lg3lg36+lg4lg36=lg(32×4)lg36=1.学习目标1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.自主预习认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记. 1.积、商、幂的对数对于a>0且a ≠1,M>0,N>0, 积的对数log a (MN )=log a M+log a N. 真数为有限多个正因数相乘的情形,即 log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 商的对数log a M N=log a M-log a N. 幂的对数log a M n=n log a M. 2.换底公式 log a b=log c blog c a,a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.课堂探究一、积、商、幂的对数请同学们判断一下几组数是否相等? (1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1); (2)log 28+log 24与log 232.1.你知道log 63与log 62的值吗?你能算出log 63+log 62的值吗?如果设x=log 63,y=log 62,则6x = ,6y= ,怎样由这两个式子得到x+y ?2.由指数运算的法则a αa β=a α+β能得出对数运算具有什么运算法则?一般地,设a α=M>0,a β=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由a α+β=a αa β=MN.可知log a (MN )=α+β,代入α与β的值,有log a (MN )=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 特别地,当正因数全部相等时,可得log a N k=k log a N (正数的k 次方的对数=正数的对数的k 倍),其中k 是正整数. 我们还可以由(a β)α=a β×α得出log a M α=αlog a M ,其中α为任意实数(证明留作练习).例如, lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3. 另外,由上面两个结论可知log a M N=log a (MN -1)=log a M+log a N -1=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1 log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x 2√y√z3.例2 计算下列各式的值. (1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003;(3)log 2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.二、换底公式我们能不能借助lg 3和lg 5求出log 35的值呢?一般地,我们有 log a b=log c blog c a, 其中a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.这一结果通常被称为换底公式. 换底公式及常用的推论 (1)log a b=log c blog c a(a>0且a ≠1,c>0且c ≠1,b>0)叫做换底公式.(2)由换底公式可得两个结论:①lo g a m b n=nm log a b ;②log a b=1log ba (或log ab ·log b a=1).例3 求log 89×log 2732的值.例4 求证lo g a t b s=s tlog a b ,其中a>0且a ≠1,b>0,s ∈R ,t ∈R 且t ≠0.三、对数式的化简求值 例5 计算下列各式的值. (1)12lg 3249-43lg √8+lg √245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.课堂练习一、积、商、幂的对数1.计算下列各式的值.;(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log513(4)log35-log315;(5)ln√e;(6)lg 100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、换底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3√30.4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).三、对数的运算法则5.计算:log54×log85.6.化简:√(log35)2-4log35+4.核心素养专练1.求下列各式的值.;(1)lg 0.001-log27181(2)log48+lo g14;23.(3)log7√492.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明log a Mα=αlog a M;(2)由对数的定义证明换底公式log a b=log c blog c a.3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.4.求证log x y×log y z×log z x=1.5.比较log 62与log 63的大小.6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3)2+lg 0.06-lg 6. 7.化简2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.参考★答案★自主预习略 课堂探究略课堂练习1.(1)1 (2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)12(6)-42.由3a=2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 323= log 32-1=a-1. 3.log 3√30=12log 330=12(1+a+b ) 4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0 5.236.2-log 35 核心素养专练 1.(1)-53 (2)-12 (3)232.(1)设a β=M ,则β=log a M ,所以 log a M α=log a (a β)α=log a aβ×α=α×β. 把β=log a M 代入,即可得log a M α=αlog a M.(2)设对数log a b=x ,则a x=b ,且a=√b x ,于是c log c a =√b x,则c xlog c a =b ,两边取以c 为底的对数得x log c a=log c b , 则x=log c blog c a,即log a b=log c blog c a. 3.1 4.左边=lgy lgx ×lgz lgy ×lgxlgz =1=右边 5.log 62<log 63 6.1 7.1感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

4．2.2　对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，(2)log a MN＝____________，(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二　对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔　对数换底公式常见的两种变形(1)log a b·log b a＝1，即1logab＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝mnlog N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24B．log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49log43的值为( )A．12 B．2 C．32 D．923．2log510＋log50.25＝( )A．0 B．1C．2 D．44．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　用已知对数表示其他对数[经典例题]例1　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z；(3)lg x y3z；(4)lg√xy2z.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1　如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12lg15等于( )A．2m+n1+m+nB．m+2n1+m+nC．2m+n1−m+nD．m+2n1−m+n题型2　对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2　(1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为( ) A．21 B．20　C．2 D．1(2)求值：log2√748＋log212－12log242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2　(1)计算：lg52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log53＋log51 3；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3　对数换底公式的应用[经典例题]例3　(1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔　(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝mnlog a b .跟踪训练3　(1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B ．118C ．83D ．38(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．状元随笔　(1)方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二　先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2　对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N　(2)log a M－log a N　(3)n log a M知识点二logcblog c a　1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2．解析：原式＝log39＝2.答案：B3．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：a b课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg xy2z＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.xy3√lg (xy3)－lg√z＝lg x＋3lg y－12lg z.(4)lg √xy2z＝lg√x－lg (y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.跟踪训练1　解析：因为lg2＝m，lg3＝n，所以lg12lg15＝2lg2+lg3lg3+lg5＝2m+nn+1−lg2＝2m+nn+1−m.答案：C例2　【解析】　(1)lg2＋lg5＋2log510－log520＝1＋log510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.【答案】　(1)C　(2)见解析跟踪训练2　解析：(1)lg52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log5(3×13)＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1　(2)见解析例3　【解析】　(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x+1y＝1log2a+1log3a＝log a2＋log a3＝log a6＝2，所以a2＝6，解得a＝±√6.又a＞0，所以a＝√6.(2)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32 lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(3)方法一　因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log18(18×2)＝11+log182＝11+log18189＝11+1−log189＝12−a，所以原式＝a+b 2−a.方法二　∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log18(5×9)log18(4×9)＝log185+log1892log182+log189＝a+b2log18189+log189＝a+b2−2log189+log189＝a+b2−a.【答案】　(1)D　(2)(3)见解析跟踪训练3　解析：(1)原式＝log3224log2334＝2log32·43log23＝83.(2)lg5＝log65log610＝qlog62+log65＝qp+q.(3)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427 log14(5×7)＝log14142−log147log145+log147＝2−aa+b.②∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1 x ＝1log336＝1log3636log363＝log363，1 y ＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x+1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)C　(2)qp+q　(3)见解析。

对数运算法则【教学过程】一、新知初探探究1：具体数的化简求值例1：计算：（1）log 345－log 35；（2）log 2（23×45）；（3）lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2； （4）log 29·log 38．解：（1）log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2．（2）log 2（23×45）＝log 2（23×210）＝log 2（213）＝13log 22＝13． （3）原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×41032lg 1210＝32lg 1210lg 1210＝32． （4）log 29·log 38＝log 2（32）·log 3（23）＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6． 规律方法：具体数的化简求值主要遵循两个原则：（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．（2）不同底化为同底．探究点2：代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换例2：化简log a x 2y 3z． 解：因为x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，所以y >0，z >0． log a x 2y 3z＝log a （x 2y ）－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x |＋12log a y －13log a z ． 规律方法：使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2lg x ，反例：log 10（－10）2＝2log 10（－10）是不成立的．要特别注意log a （MN ）≠log a M ·log a N ，log a （M ±N ）≠log a M ±log a N ．命题角度二：用代数式表示对数例3：已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645．解：法一：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ．法二：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2） ＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a． 法三：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a ． 规律方法：用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．二、课堂总结1．对数运算法则log a （MN ）＝log a M ＋log a N ，log a M α＝αlog a M ，log a M N ＝log a M －log a N ．（其中，a >0且a ≠1，M >0，N >0，α∈R ）2．换底公式log a b ＝log c b log c a ．（其中a >0且a ≠1，b >0，c >0且c ≠1） 三、课堂检测1．log 513＋log 53等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．log 5103答案：A2．（2019·广西南京市期中）在对数式b ＝log a －2（5－a ）中，实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |a >5或a <2}B ．{a |2<a <5}C ．{a |2<a <3或3<a <5}D ．{a |3<a <4} 解析：选C ．由题意得⎩⎨⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5．3．log 29×log 34等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：D4．log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋（－9.8）0＝________．解析：原式＝12log 333＋lg （25×4）＋2＋1＝32＋2＋3＝132． 答案：132。

对数运算法则【学习目标】1．掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。

2．掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。

【学习重难点】1．对数运算法则。

2．换底公式。

【学习过程】问题导学预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：1．对数运算法则是什么？2．换底公式是如何表述的？新知初探1．对数运算法则log a（MN）=log a M＋log a N，log a Mα=αlog a M，log a MN=log a M－log a N。

（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）2．换底公式log a b=log c blog c a。

（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）■名师点拨对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。

【自我检测】1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）积、商的对数可以化为对数的和、差。

（）（2）log a xy=log a x·log a y。

（）（3）log a（－2）3=3log a（－2）。

（）2．计算log916·log881的值为（）A ．18B ．118C ．83D ．383．若lg5=a ，lg7=b ，用a ，b 表示log 75等于（ ）A ．a ＋bB ．a －bC ．b aD ．a b4．lg20＋lg50的值为________。

【探究】一、具体数的化简求值1．计算：（1）log 345－log 35；（2）log 2（23×45）；（3）lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； （4）log 29·log 38．[规律方法]具体数的化简求值主要遵循两个原则：（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。

（2）不同底化为同底。

2．计算：（1）2log 63＋log 64；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 25－lg 14÷100－12； （3）log 43·log 98；（4）log 2．56．25＋ln e －0.06413。