南京清江花苑严老师2016江苏高考数学模拟训练03

江苏高考数学填空题“培优练习”（3）1. 对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是__________．2．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++= __________．3．已知0a ≥，函数21()cos()sin 242f x a x x π=+-+的最大值为252，则实数a 的值为__________．4、适当排列三个实数21081207,2,262a a a a +++-，使它们取常用对数后构成公差为1的等比数列，则实数a 的值为__________．5、已知函数 24(),f x ax x=+若()0f x ≥在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是______．6．已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为__________．7．实数,x y 满足tan ,tan x x y y ==，且x y ≠，则sin()sin()x y x y x y x y+--=+-_______．8．若等比数列{}n a 的公比1≠q 且满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是__________．9．已知不等式tt a t t 1922+≤≤+在20≤<t 时恒成立，则实数a 的取值范围为__________．10．已知正数x 、y 满足2xy =，不等式y a x +≥+42成立，则正数a 的取值范围是__________．11．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是__________．12．已知各项都为正数的等差数列{}n a 的公差d 也不为0，若正整数k 、l 、m 满足m l k <<，且k a 、l a 、m a 三项成等比数列，则此等比数列的公比q =__________．（用含k 、l 、m 的式子表示）13．某同学在借助题设给出的数据求方程lg 2x x =-的近似数（精确到0.1）时，设()lg 2,f x x x =+-()10f <,且()0f >2，他用“二分法”又取到了4个值，计算到其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为 1.8x ≈，那么他所取的4个值中的第二个值为__________．14、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数5x =，方差24S =，则数据137x +，237x +， ，37n x +的平均数和标准差分别为__________．。

南京市2016届高三年级第三次模拟考试数 学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)． 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．（第5题图）9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线； （2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*．记直线AP n的斜率为k n．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．····················································7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C ． ·········································································9分 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．······················································11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．·································································14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分 因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC ＝1． ··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1． ··································································2分（2）①解法一 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．······························4分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． ·································6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法二 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．·······························4分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．·····················6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2． 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ·································10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． 因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2． 将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2．·································12分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km 1＋2k2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··································10分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)． 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ················································6分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9． 因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v 都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分 ③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)． 由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )． 由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数； 所以，f (·················································4分．···············································6分·······8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分 将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)． 因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分 整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分 （2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ． 因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1． 又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63． 当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：。

一、填空题（本大题共14个小题,每小题5分,共70分.）1.已知集合{}1,1k A =-，{}2,3B =，且{}2A B=，则实数k 的值为 ． 2.设()212i a bi +=+（a ，R b ∈），其中i 是虚数单位，则ab = ．3.若五个数1，2，3，4，a 的平均数为3，则这五个数的标准差是 ．4.右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．5.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．6.将边长为a 的正方形CD AB 沿对角线C A 折起，使D a B =，则三棱锥D C -AB 的体积为 ．7.设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,6x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为 ．8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线C 与抛物线216yx =的准线交于A ，B 两点，AB =C 的实轴长为 ．9.如图甲所示，在直角C ∆AB 中，C AB ⊥A 、D C A ⊥B ，D 是垂足，则有2D C AB =B ⋅B ，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥CD A -B 中，D A ⊥平面C AB ，AO ⊥平面CD B ，O 为垂足，且O 在CD ∆B 内，类比直角三角形中的射影定理，则有 ．10.在C ∆AB 中，90∠B =，C 1BA =B =，点D 、E 分别在边C A 、AB 上，且D E 平行于C B ，F 是C B 的中点，则D DF E⋅的最小值为 ．11.若直线0x y m ++=上存在点P 可作圆:O 221x y +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，且60∠APB =，则实数m 的取值范围为 ．13.设数列{}n a 的通项公式为132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足不等式113nni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ． 14.若二次函数()2f x ax bx c =++（a b ≤）的值域为[)0,+∞，则b aa b c-++的最大值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在C ∆AB 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()tan 2tan b c b A =-B ．（1）求角A 的大小；（2）设D C A ⊥B ，D 为垂足，若2b =，3c =，求D C A ⋅A 的值．16.（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 是边长为2的菱形，1C 60∠A A =．在平面C AB中，AB =C 4B =，M 为C B 的中点，过1A ，1B ，M 三点的平面交C A 于点N ．（1）求证：N 为C A 中点；（2）求证：平面11A B MN ⊥平面11CC A A ．17.（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为V 3cm ．（1）求V 关于x 的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知()00R ,x y 是椭圆C :2212412x y +=上的一点，从原点O 向圆R:()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q ．（1）若直线OP ，Q O 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，Q O 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12210k k +=；（3）试问22Q OP+O 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．19.（本小题满分16分） 对于数列{}n a ，若从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，则称该等比数列为“差等比数列”，现已知11a =，设其差等比数列的首项为2，公比为q （0q >）． （1）是否存在0q >，使得数列{}n a 是等差数列或等比数列？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由； （2）当12q <<时，若{}n n a b +是公差为q 的等差数列，且1b q =．试确定n 的取值范围，使得0n b <．20.（本小题满分16分）已知函数()f x =-0x >），2.71828e =⋅．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：ln x <（3）证明：对任意正数m ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，都有ln x <数学附加题（三）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6AB =，CD =C A 的长度．B ．（选修4-2：矩阵与变换）若点()2,1A 在矩阵11a b ⎡⎤M =⎢⎥-⎣⎦对应变换的作用下得到点()4,5B ，求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，设圆C经过点6π⎫P ⎪⎭，圆心是直线sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭交点，求圆C 的极坐标方程．D.（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）已知点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:l 2p x =-，点M 是l 上的动点，过点M 垂直于y 轴的直线与线段F M 的垂直平分线相交于点N ． （1）求点N 的轨迹方程； （2）若2p =，直线y x =与点N 的轨迹交于A 、B 两点，试问N 的轨迹上是否存在两点C 、D ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．23.（本小题满分10分） 设n *∈N 且4n ≥，集合{}1,2,3,,n M=⋅⋅⋅的所有3个元素的子集记为1A ，2A ，⋅⋅⋅，3C nA ．（1）求集合1A ，2A ，⋅⋅⋅，3C nA中所有元素之和S ；（2）记i m 为i A （1i =，2，⋅⋅⋅，3Cn）中最小元素与最大元素之和，求32016C 132016Cii m=∑的值．数学模拟卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.3 【解析】由{}2A B =得，2∈A ，∴12k -=，即3k =．2.12- 【解析】由()212i a bi +=+得，()21234a bi i i +=+=-+，∴3a =-，4b =．【解析】由平均数为3，可知5a =，由()()()()()222222113233343535S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦2=，得标准差S =4．27 【解析】当0S←，1n ←时，1S ←，2n ←，再循环，6S ←，3n ←，继续得27S ←，4n ←，结束，输出27S ←．5.13【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{}1,2，{}2,4，共2个，所以所求的概率为13．6.312a【解析】取C A 的中点为O ，则D 2a AO =O =，翻折以后D a B =，∴AO ⊥BO ，在三棱锥D C -AB 中，选择D ∆BO 为底面，C A 为高，则三棱锥D C -AB 的体积为3111V3322212Sh a==⨯⨯⨯=．7.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.4【解析】设双曲线的方程为222x y a-=，由点(4,-在双曲线上，得()(2224a--=，即24a=，故2a=，所以双曲线的实轴长为4．9.2C C CDS S S∆AB∆B O∆B=⋅【解析】从题中条件不难发现：图甲中的CA⊥AB对应图乙中的DA⊥平面CAB，图甲中的D CA⊥B对应图乙中的AO⊥平面CDB，因此在类比的结论中，图甲中的边AB对应图乙中的面CAB，图甲中的边CB对应图乙中的面CDB，图甲中的边DB对应图乙中的面CBO．10.116-【解析】以点B为原点，CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点()D,1x x-，则()221111D DF,0,122416x x x x x x⎛⎫⎛⎫E⋅=-⋅--=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当14x=时，D DFE⋅的最小值为116-.11.⎡-⎣【解析】若60∠APB =，则2O P=．直线0x y m++=上存在点P可作圆:O221x y+=的两条切线PA、PB等价于直线0x y m++=与圆224x y+=2≤，得⎡-⎣．12.74-【解析】令0x <，则0x ->，所以()221f x ax x -=+-，由函数是偶函数，则()()f x f x -=，所以1a =，2b =，1c =-，所以()2221,021,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩，由对称性知，C CD AB =B =，所以D C 3x x =，因为C D 12x x +=，所以C 12x =，代入()y f x =，所以74t =-． 13.{}1,2,3【解析】由于数列{}n a 的通项公式为123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n n i i i i a a ==>∑∑等价于1113n ni i i i a a ==>∑∑，即2311323231132nn⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅>--，解之得22193n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n *∈N ，∴n 只能取1，2，3．14.13【解析】由题意可得24b ac =，且0b a ≥>，则224c b a a =，令b a y b a c -=++，则211112b bb a a a y b ac b b a a a a ---===++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，令b t a =，1t ≥，则()24144t y t t -=++，再令1t u -=，则2469uy u u =++，当0u >时，44191236y u u=≤=++，所以当且仅当3u =时，b a b ac -++取最大值13．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15.解：（1）()tan 2tan b c b A =-B ，∴由正弦定理得：()sin sin sin 2sin C sin cos cos A BB⋅=-B ⋅A B， 又在C ∆AB 中，sin 0B ≠，∴sin cos 2sin Ccos cos sin A B =A -A B ，即()sin 2sinCcos A+B =A ，又在C ∆AB 中，()sin sinC 0A+B =≠，∴1cos 2A =，又0π<A <，∴3πA =；（2）由余弦定理，2222cos a b c bc =+-A ，2b =，3c =，3πA =，∴a =11C D C sin22B ⋅A =AB⋅A ⋅A D 32A =⋅，∴D A =，∴227D C D C cos C D=D 7A ⋅A =A ⋅A ∠A A =．16.解（1）由题意，平面C //AB 平面111C A B ，平面11A B M 与平面C AB 交于直线MN ， 与平面111C A B 交于直线11A B ，所以11//MN A B ． 因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以C C N M=AN BM． 因为M 为AB 的中点，所以C 1N=AN，所以N 为C A 中点． （2）因为四边形11CC A A 是边长为2的菱形，1C 60∠A A =．在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得1A N 故22211A A =AN +A N ，从而可得190∠A NA =，即1C A N ⊥A ．在三角形C AB 中，AB =C 2A =，C 4B =，则222C C B =AB +A ，从而可得C 90∠BA =，即C AB ⊥A ． 又//MN AB ，则C A ⊥MN ．因为1MNA N =N ，MN ⊂面11AB MN ，1A N ⊂面11A B MN ，所以C A ⊥平面11A B MN ．又C A ⊂平面11CC A A ，所以平面11A B MN ⊥平面11CC A A ． 17.解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h 010x h +=，解得010h x =-．则h===(x∈．所以，正三棱锥体积211V33Sh x x===，设4452100V10048348x xy x⎛⎫==-=-⎪⎪⎝⎭，求导得3410012xy'=，令0y'=，得x=当(x∈时，0y'>，∴函数y在(上单调递增，当(x∈时，0y'<，∴函数y在(上单调递减，所以当x=cm时，y取得极大值也是最大值．此时15360y=，所以maxV=3cm．答：当底面边长为cm时，正三棱锥的最大体积为3cm．18.解：（1）由圆R的方程知圆R的半径r=OP，QO互相垂直，且和圆R相切，所以R4O==，即220016x y+=，①又点R在椭圆C上，所以220012412x y+=②联立①②，解得0xy⎧=±⎪⎨=±⎪⎩R的方程为((228x y±+±=（2）因为直线:OP1y k x=和Q:O2y k x=都与圆R相切，==()2220100108280x k x y k y--+-=，()2220200208280x k x y k y--+-=，所以1k，2k是方程()22200008280x k x y k y--+-=得两个不相等的实数根，由韦达定理得，212288yk kx-⋅=-．因为()00R ,x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以220012220014812882x y k k x x --⋅===---，即12210k k +=． （3）（i ）当直线OP ，Q O 不落在坐标轴上时，设()11,x y P ，()22Q ,x y ，因为12210k k +=， 所以1212210y y x x +=，故2222121214y y x x =． 因为()11,x y P ，()22Q ,x y 在椭圆上，221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以()22222212121211112122412222y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22Q 36OP +O =． 19.解：（1）由题设得212n n n a a q ---=，则()()()()23112211211n n n n n n n a a a a a a a a q q q -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+++ （2分）当1q =时，()21121n a n n =-+=-，则12n n a a --=， 所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． （4分） 当1q ≠时，()12111n n q a q--=+-，由212n n n a a q ---=，11a =知{}n a 不可能为等差数列．若{}n a 是等比数列，则存在非零常数λ，使得1n n a a λ+=， （6分） 即()()121211111n n q q qq λ-⎡⎤--⎢⎥+=+--⎢⎥⎣⎦，整理得()()()12130n q q q λλ-----=，由于上式对一切n *∈N 都成立，所以()()()20130q q λλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩，解得11q λ=⎧⎨=⎩（舍）或33q λ=⎧⎨=⎩，∴当3q =时，{}n a 是等比数列． （8分）（2）()()11n n n n a b a b q --+-+=，212n n n a a q ---=，∴212n n n b b q q ---=-， （10分）∴()()()()2311221121n n n n n n n b b b b b b b b nq q q q -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=-++⋅⋅⋅++()1211n q nq q--=--， （12分）于是10b q =>，()2210b q =->，320b q =-<， （14分）且有()()()()121212111211n n n n n q q b b n q nq q q q q --+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-=+---=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 12q <<，∴10n n b b +-<，综上，当3n ≥时，恒有0n b < （16分）20.解：（1）()f x '==， （2分） 由()0f x '=，解得6481x =，当640,81x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当64,81x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '> 所以()f x 的单调减区间是640,81⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间是64,81⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （5分） （2）设()ln g x x =，()133g x x x'==， 由()0g x '=，解得9x =，当()0,9x ∈时，()0g x '>；当()9,x ∈+∞时，()0g x '<． （8分）()g x 在9x =处取得极大值，也即最大值，因为3322.790.3 2.79e >=⨯⨯>，所以()399ln 9ln 93ln 0g e==-=<，所以()0g x <，即l n x < （10分）（3）由（1）知，()f x 在64,81⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又()90f =，所以当()9,x ∈+∞时，恒有()0f x >，>2）知ln x <0x >）恒成立，当1m ≥时，存在09x =，当()9,x ∈+∞时，有ln x <（12分）当01m <<<69x m >，取069x m =，则当()0,x x ∈+∞时，有ln x <成立．综上，对任意正数m ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，都有ln x < （16分）注：若不对m 进行讨论，<解得69x m >，取069x m=，得当()0,x x ∈+∞时，有ln x <成立，不扣分．数学附加题（三）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分：请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．A.解：连接C B ，AB ，CD 相交于点E ． 因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，C 90∠A B =． 设x AE =，则6x EB =-，由射影定理得2C E =AE⋅EB ，又C E =即有()65x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以2C 5630A =AE⋅AB =⨯=，C A =B ．解：2415⎡⎤⎡⎤M =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，∴24215a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，∴1231⎡⎤M =⎢⎥-⎣⎦， 解法一：∴()12det 731M ==--，11212777731317777---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--M ==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． 解法二：设1c d e f -⎡⎤M =⎢⎥⎣⎦，由11001-⎡⎤M M =⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31302021c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩，解得17273717c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，∴112773177-⎡⎤⎢⎥M =⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．解：因为圆心为直线2sin sin 33ππρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是()1,0 又圆C经过点6π⎫P ⎪⎭，∴圆的半径1r ==，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．D ．证明：由a ，b ，c为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥，11b c +≥11a c +≥将此三式相加，得1112a b c ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，即111a b c ++≥+． 由1abc =1=．所以111a b c ++≥=【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.解：（1）设(),x y N ，依题意，F N =NM 2p x =+．化简整理得22y px =． （4分）（2）把y x =与24y x =联立，解得()0,0A ，()4,4B ，则线段AB 的垂直平分线方程4y x =-+若存在C 、D 两点，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则圆心必在直线4y x =-+上，设圆心坐标(),4a a -+，则半径r =∴圆的方程为()()()222244x a y a a a -++-=+-+， （7分）将24y x =代入并整理得()()421683240y a y a y +-+-=，则()()2443280y y y y a -++-=，∴10y =或24y =或243280y y a ++-=，∴243280y y a ++-=应有除10y =、24y =之外的两个根， ∴0∆>，且3280a -≠，24443280a +⨯+-≠，解得72a >且4a ≠，8a ≠． ∴存在72a >且4a ≠，8a ≠的无数个圆()()()222244x a y a a a -++-=+-+满足条件． （10分）23.解：（1）因为含元素1的子集有21C n -个，同理含2，3，4，⋅⋅⋅，n 的子集也各有21C n -个，于是所求元素之和为()()()22211123C 214n n n n n -+++⋅⋅⋅+⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,n M =⋅⋅⋅的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21C n -个，以n 为最大元素的子集有21C n -个；以2为最小元素的子集有22C n -个，以1n -为最大元素的子集有22C n -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． ∴()()33C 22212122C 11C C C nni n n i m m m m n --==++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+∑()()()()22232223123312441C C C C 1C C C C n n n n n n ----=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++()31Cn n =⋅⋅⋅=+，∴3C 131Cn ii nmn ==+∑．∴32016C 132016201612017Cii m==+=∑．。

2016江苏高考数学模拟训练08一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设Ρ是椭圆x225＋y216=1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________． 2. 设i 是虚数单位，复数12aii++为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=2, b=2,那么输出的a 值为4. 随机抽取100名年龄在[)[)[)60,50,,30,20,20,10 年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[)60,50年龄段抽取的人数为 .5. 若全集为实数集R ，集合A=12{|log (21)0},R x x C A ->则= .6. 已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=.7. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为8. 直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)9. 在△ABC 中，已知5AB =，2BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ．10. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2A B B C A A===，则四面体11A BC D 的体积为 ．（第3题） （第4题）A C11. 不共线的四点O,A,B,C满足=+=OC OA OB ,3231 12. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ． 13．已知函数122++=ax ax y 的值域为[)+∞,0, 则实数a 的取值范围是14.已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足,,22n a ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且公差0d ≠,若1227()()...()0f a f a f a +++=,则当()0.k f a =时，k =二、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（１）证明：PA ∥平面EDB ； （２）证明：PB ⊥平面EFD .16.（本小题满分14分）已知函数,)(x f ⋅=其中向量),cos 3,cos (sin x x x ωωω+=),sin 2,sin (cos x x x ωωω-=,0>ω若)(x f 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于.π（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,3=a 当ω最大时，,1)(=A f 求ABC ∆的面积最大值.17.(本小题满分14分) 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)=200x+3361x (元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?18. (本小题满分16分) 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．19. (本小题满分16分) 如图,已知椭圆E: 23)0(12222的离心率为>>=+b a b y a x , 过左焦点F ()03，-且斜率为k 的直线交椭圆于A,B 两点,线段AB 的中点为M, 直线04:=+ky x l 交椭圆E 于C,D 两点.(1) 求椭圆E 的方程; (2) 求证:点M 在直线l 上; (3) 若⊿BDM 的面积是⊿ACM 面积的3倍, 求斜率k 的值.20. （本小题满分16分） 设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（3）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.。